第24講不等式的證明問題

知識梳理

利用導數證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構造函數法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))轉化為證明

/(x)-g(x)>0(或進而構造輔助函數z?(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔

助函數.

(4)對數單身狗，指數找基友

(5)凹凸反轉，轉化為最值問題

(6)同構變形

必考題型全歸納

題型一：直接法

例1.(2024?北京房山?北京市房山區良鄉中學校考模擬預測)已知函數/(x)=21n(x+l).

⑴若函數在點尸&,/(/))處的切線平行于直線y=2x-2,求切點P的坐標及此切線

方程；

(2)求證：當xe[0,e-l]時，〃x)2x2-2x.(其中e=2.71828…)

例2.(2024?北京?高二北京二十中校考期中)已知函數〃》)=里InV-二1

XX

⑴求曲線了=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

⑵求證：f(x)<2x-3.

1

例3.已知函數/(X)=(Q—1)>x+x+3,Q<0.

X

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)當〃<一1時，證明：VxG(l,+oo),/(x)>-a-a2,

題型二：構造函數(差構造、變形構造、換元構造、遞推構造)

例4.(2024?吉林通化?梅河口市第五中學校考模擬預測)已知函數/(力=11+工］(x>0).

⑴證明：/(x)<e；

(2)討論/(x)的單調性,并證明：當時,(2〃+l)ln(〃+l)<〃ln〃+(〃+l)ln(〃+2).

丫2_1

例5.已知曲線/(x)=-^―與曲線g(%)=alnx在公共點(1,0)處的切線相同，

(I)求實數。的值；

,f_1

(II)求證：當x〉0時，----#—

2

例6.已知函數/(x)=e',g(x)=xlnx.

(1)求函數/⑴的單調區間;

2

(2)若直線y=x-l是函數y=/(x)圖象的切線，求證：當x>0時，/(x)^(x).

變式1.已知函數/(x)=sinx+彳-/”(1+x).

(1)證明：/(x)^0;

(2)數列｛%｝滿足：0<%<〈，%+]=/(a,,)("eN*).

(i)證明：0<a“<；("eN*)；

(ii)證明：PneN*,an+i<an.

變式2.討論函數〃x)=—/的單調性，并證明當x>0時，(x-2)/+x+2>0.

x+2

題型三：分析法

例7.已知函數f(x)=ln(a-X),已知x=0是函數y=貨(x)的極值點.

(1)求Q；

(2)設函數g(x)==^.證明：g(x)<l.

30)

3

例8.(2024?山東泰安?統考模擬預測)已知函數/(x)=d

⑴求y=/(x)在x=a處的切線；

(2)若0<a<2,證明當尤>0時，/(x)<-+2.

例9.已知1<32,函數/'⑴=/-尤-a,其中e=2.71828…為自然對數的底數.

(D證明:函數y=/(x)在(0,+oo)上有唯一零點；

(II)記/為函數y=/(x)在(0,+8)上的零點,證明：

(i)a——1)；

x

(ii)xof(e°)0e-l)(a-l)a.

變式3.已知函數/(尤)=，-辦-1在(0,+s)上有零點%,其中e=2.71828…是自然對

數的底數.

(I)求實數。的取值范圍；

(II)記g(x)是函數y=/(x)的導函數,證明：g(x0)<a(a-l).

題型四：凹凸反轉、拆分函數

4

例10.(2024?北京?高三專題練習)已知函數/(工)=X3+辦2+云+〃2,當Q=o,6=一3時,

Y1

證明：任意的xeA,都有/'(x)+22=--恒成立.

ee

例11.(2024?河南開封?校考模擬預測)設函數/(x)=(/-2x)e)g(x)=e2lwc-aex.

⑴若函數g(x)在(e,+8)上存在最大值，求實數。的取值范圍；

(2)當a=2時，求證：/(x)>g(x).

例12.已知函數［(x)=a(加x+3)+二.

XX

(I)若x=是〃x)的極小值點，求。的取值范圍;

3

(II)若。=-1,/(x)為“X)的導函數，證明：當月時,/(X)-r(x)>-.

變式4.已知函數/(x)=x'-辦.(aeR)

(I)求函數〃x)的單調區間;

(II)求證：--------ex+xlnx>---ex~2

f(x)+ax2ex

5

題型五：對數單身狗，指數找朋友

例13.已知函數/(》)=二+法.

ax

(I)當a=l時，求/(x)在［；,2］上最大值及最小值;

(II)當l<x<2時，求證(x+1)歷x>2(x—1).

例14.已知函數例x)=a歷尤+，曲線y=〃x)在點(1,7(1))處的切線方程為y=2.

X

(1)求a、b的值;

(2)當x>0且XR1時.求證：/(x)>(X+1)/-.

x-\

例15.已知二次函數g(x)對任意實數X都滿足g(x-l)+g(l-x)=f—2、-1,且g(1)

=-1,令/(x)=g(x+；)+加歷x+：(加G&X>0).

(1)求g(x)的表達式;

(2)設1<小。,H(x)=/(x)~(m+l)x.證明：對任意修，/￡[1，加]，怛有

17/(x0-H(X2)|<1.

變式5.已知函數/(%)=歷x+〃x-/(a￡氏).

6

(1)討論函數〃x)的單調性;

(2)若函數/(x)圖象過點(1,0),求證：-+lnx+x-l^O.

變式6.已知函數“X)=/〃x+ox-l(aeR).

(I)討論函數〃x)的單調性；

(II)若函數/(X)圖象過點(1,0),求證:ex+xf(x^.

題型六：放縮法

a+XnX

例16.(2024?全國?高三專題練習)已知/(x)=e，+J：,g(x)=^,?eR.

⑴當xe(l,+⑹時，求函數g(x)的極值；

⑵當°=0時，求證：/(x)>g(x).

例17.(2024?湖南常德?常德市一中校考二模)已知函數/(x)=axe，-(x+l『(aeR)e為

自然對數的底數).

⑴討論函數的單調性；

(2)當a2—^■時，求證：y(x)>lnx—%"—x—2.

7

例18.已知函數〃x)=a，+2x-l.(其中常數e=271828…,是自然對數的底數.

(1)討論函數“X)的單調性；

(2)證明：對任意的ad，當x>0時，f+ae)x.

變式7.已知函數〃x)=原+厘，g(x)="(smx+D-2

XX

(1)討論函數〃x)的單調性；

(2)求證：當0/J時,/(%)>g(x).

變式8.已知函數一.

1+lnx

(1)求函數的單調區間；

(2)解關于x的不等式/(x)>』(x+3

2x

題型七：虛設零點

2

例19.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=x-{a-T)x-a\nx{aGR).

8

⑴求函數了=/(x)的單調區間；

(2)當。=1時，證明：對任意的x>0,/(x)+eX>￡+尤+2.

例20.(2024?重慶萬州?重慶市萬州第三中學校考模擬預測)已知函數/(x)=x(lnx+機).

(1)若/(x)在區間(l,e)上有極小值，求實數機的取值范圍；

⑵求證：/(x)<x3ex+(m-l)x.

例21.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(x)=(?Mx+")e*+加/+(加+〃卜在尸-1處取得

極小值.

e

⑴求實數加，”的值；

⑵當xe(0,+oo)時，證明：/(X)>lnx+x+^-.

變式9.(2024?全國?高三專題練習)已知函數〃x)=lru+aTaeR.當ae(0,l］時，證明:

9

變式10.(2024?山東淄博?統考三模)已知函數/(》)=三二1

⑴求函數“X)的單調區間；

(2)證明:當x>0時，/(x)>xln(x+l).

題型八：同構法

例22.已知函數/(x)=ax/〃x-x+l,a&R.

(1)討論〃x)的單調區間；

(2)當p>q>l時，證明qlnp+Inq<plnq+Inp.

例23.已知函數/(x)=/〃x+-----2(aeA).

x+1

(1)討論函數〃x)的單調性；

(2)當a=2時，求證：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

(3)求證：當x>0時，ln(x+1)>——.

例24.已知函數/(x)=ax-1-歷e7?).

(1)當】=2時,求函數"X)的單調區間;

10

(2)若函數"x)在x=l處取得極值，對Vxe(0,+oo),〃x)田-2恒成立，求實數6

的取值范圍；

(3)當x>y>e-l時，求證：ex-y>l，Kx+1).

ln{y+1)

變式11.已知函數/(%)="-1-歷x(q￡R).

(1)討論函數的單調性；

(2)若函數/(x)在x=l處取得極值，不等式/(x)各x-2對Vxe(0,+oo)恒成立，求實

數6的取值范圍；

(3)當x>y>e時，證明不等式d'7〃y>//“x.

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

例25.(2024?全國?高三專題練習)證明不等式：1+2-三<"三(x>0).

28

23

例26.(2024?全國?高三專題練習)證明：ln(l+x)?x-]+'(-1<X<1)

11

例27.（2024?廣東廣州?高三華南師大附中校考階段練習）已知正數數列滿足

^+^aA1-^=0（W>2）,且%=1.（函數“X）求導〃次可用;'（"）（尤）表示）

nn

（1）求｛%｝的通項公式.

（2）求證：對任意的“cN*,x>0,都有e-1+象R.

Z=1

變式12.（2024?四川成都?石室中學校考模擬預測）已知函數=

⑴若/（x）±0,求實數。的值;

（2）已知〃eN*且〃>2,求證：-+-+-<lnw.

23n

變式13.已知函數f（x）=x2+lnx-ax.

（1）求函數的單調區間；

（2）若/（X）■gf,對X￡[0,+GO）恒成立，求實數〃的取值范圍；

（3）當a=1時，設g（x）=xe"-，。）.若正實數4，4滿足4+%2=1，%，x2G（0,

+00）（工戶工2），證明：g（AXl+^2X2）<A^（X1）+^（X2）?

變式14.（2024?全國?高三專題練習）給出以下三個材料：①若函數/（%）可導，我們通常把

12

導函數f(X)的導數叫做〃x)的二階導數，記作了"(X).類似地，二階導數的導數叫做三階

導數，記作三階導數的導數叫做四階導數……一般地，n-1階導數的導數叫做〃階

導數，記作/(")(x)=[/("T(x)]24.②若neN*,定義

n!=wx(?-l)x(n-2)x---x3x2xl.③若函數/(x)在包含%的某個開區間(a,6)上具有〃階

的導數，那么對于任一xw有

g(x)=〃％)+牛(尸/)+牛卜-/)2+空1(》-/)"..+。^口f)"，我

們將g(x)稱為函數“X)在點X=X0處的〃階泰勒展開式.例如，/="在點x=0處的〃階

泰勒展開式為l+x+；x?H--1-x".

2n\

根據以上三段材料，完成下面的題目：

(1)求出工(x)=sinx在點x=0處的3階泰勒展開式g/x),并直接寫出力(尤)=cosx在點

x=0處的3階泰勒展開式gz(x)；

(2)比較(1)中工(x)與4口)的大小.

(3)已知y=e”不小于其在點x=0處的3階泰勒展開式，證明：ex+sinx+cosx>2+2%.

題型十：分段分析法、主元法、估算法

例28.(2024?貴州安順?統考模擬預測)已知函數

(1)討論函數〃x)的導函數的單調性；

721

(2)若———,求證：對Vx20,/(%)2一丁+%恒成立.

42

13

例29.(2024?山東泰安?校考模擬預測)已知函數/(無)=(〃z+l)x-機Inx-m.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)證明:當以￡1,且x>l時，/(無)<4.

例30.若定義在R上的函數/(x)滿足/(x)=.e2x-2+x2-2/(0)x,

g(x)=f—%2+(1-a)x+a,aeR.

(I)求函數解析式；

(ID求函數g(x)單調區間；

(HI)若x、y>加滿足|x-根|qfy-加|,則稱x比y更接近加.當a閆且xd時,

試比較2和/一+a哪個更接近歷x,并說明理由.

x

變式15.已知函數/(x)=e*(sinx-辦2+2a-e),其中aeR,e=2.71828…為自然對數

的底數.

(1)當a=0時，討論函數/(x)的單調性；

(2)當^飛馬時，求證：對任意的X￡[O,+00),/(x)<0.

14

題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值

例31.已知函數/(x)=(/一工)4

(1)求曲線y=〃x)在原點處的切線方程；

(2)若/。)-5+6、為恒成立，求實數。的取值范圍；

(3)若方程/(%)=冽(冽￡R)有兩個正實數根項，x,求證：|石-％21<—+冽+1.

2e

例32.已知函數/(x)=(x-1)》(％+1),曲線>=/(%)在點(1,0)處的切線方程為

y=kx+b(k,bGR).

(1)求左，6的值；

(2)證明：/(x)qkx+b；

_nJ

(3)若函數g(x)=/(x)+M(me尺)有兩個零點X1,%,證明-----

m2

例33.設函數〃x)=x/"x.

(1)求曲線y=〃x)在點(I,7(摩))處的切線方程；

-2

(2)若關于x的方程/(X)=a有兩個實根，設為匹，x2(x,<x2),證明：x2-%[<1+2a+e.

題型十二：函數與數列不等式問題

例34.(2024?四川成都?石室中學校考模擬預測)已知函數=

⑴若求實數。的值；

(2)已知〃eN*且"22,求證：sin-+sin-+---+sin-<lnn.

23n

例35.(2024?四川成都?石室中學校考模擬預測)已知函數=-x.

(1)若/(x)在xeR上單調遞增，求。的值;

15

(2)證明：(l+l)(l+1)---(l+-^)<e2(〃cN*且"22).

例36.(2024?安徽黃山?屯溪一中校考模擬預測)已知函數/(無)=；x2-xlnx+deR).

(l)g(x)是〃x)的導函數,求g(x)的最小值;