期中測試壓軸題考點訓練(1-4章)

一、單選題

1.如圖是由一些棱長為1的小正方體搭成的幾何體的三視圖.若在所搭幾何體的基礎上(不

改變原幾何體中小正方體的位置)，繼續添加相同的小正方體，以搭成一個長方體，至少還

需要小正方體的個數為()

年且

主視圖左視圖

<

俯視圖

A.24B.25C.26D.27

【答案】C

【分析】首先根據該幾何體的三視圖確定需要的小立方塊的塊數分布情況，然后確定搭成一

個大長方體需要的塊數.

【詳解】解：由俯視圖易得最底層有7個小立方體，第二層有2個小立方體，第三層有1

小立方體，其小正方塊分布情況如下：

俯視圖

那么共有7+2+1=10個幾何體組成.若搭成一個大長方體，共需3x4x3=36個小立方體，所

以還需36-10=26個小立方體.

故選C.

【點睛】本題考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方

面的考查.如果掌握口訣"俯視圖打地基,主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.

2.某廠今年3月的產值為40萬元，5月上升到72萬元，這兩個月平均每月增長的百分率

是多少？若設平均每月增長的百分率為x,則列出的方程是()

A.40(l+x)=72B.40(l+x)+40(l+x)2=72

C.40(l+x)x2=72D.40(l+x)2=72

【答案】D

【分析】可先表示出4月份的產值，那么4月份的產量x(1+增長率)=5月份的產值，把相

應數值代入即可.

【詳解】4月份的產量為40x(1+x),5月份的產量在4月份產量的基礎上增長X,為40x(1?)

x(1+x),則列出的方程是40(1+x)2=72.

故選D.

【點睛】本題考查了求平均變化率的方法.若設變化前的量為。，變化后的量為6,平均變

化率為x,則經過兩次變化后的數量關系為a(1+r)2=b.

3.如圖，在中，a4cB=90。，分別以其三邊向外作正方形，過點C作CA0AB交

于點K,延長即交AG于點L若點工是AG的中點，4RC的面積為20,則CK的值

為()

A.4B.5C.2A/5D.475

【答案】B

【分析】延長KC交于點分別延長〃/、CK,并相交于點N,連接。N；根據正方形

和平行線的性質，得NCAM=ZABL,通過證明△BC4s△乙針，根據相似三角形性質得

CA=2CB,結合題意計算得CB、CA；通過證明ANTCsEa,得w=C￡>,根據矩形性

質，得IK=DK,再根據直角三角形斜邊中線和勾股定理的性質計算，即可得到答案.

【詳解】如圖，延長KC交A8于點M,分別延長HI、CK,并相交于點N,連接DN

根據題意，得四邊形4BFG、BCDE、AH/C均為正方形

田AD//LE,HIIIAC,NGAB=NHIC=900,AG=AB,IC=CA,CD=CB

^1ZCAM=ZABL

回媯C3=90°

團Z\5C4s

CBAL

團---=----

CAAB

團點￡是人6的中點

CBAL1

團==一

CAAB2

團C4=2C5

團AABC的面積為20

a|cAxCB=20,即G4xCB=40

^\2CBxCB=40

0CB=2A/5

aCD=CB=2非

團CA=46

團/C=CA=4行

^ZMCB^ZABC=90°

RZICN=ZMCB,ZCAB-^-ZABC=90°

^\ZICN=ZCAB

團N印。=90。

^IZNIC=180°-ZHIC=90°

0ANICSRCA

INCB

田——=

ICCA2

SlN=—=2y/5,0IN=CD=2下

2

EINN“7=9O°,HIIIAC,BPHN//AD,回四邊形CZMD為矩形

回點K為矩形Cn?對角線交點，SIK=DK

S\ZICD=ZACB=90°

SCK=-ID=-V/C2+CO2=5,故選：B.

22

【點睛】本題考查了平行線、正方形、矩形、直角三角形、相似三角形的知識；解題的關鍵

是熟練掌握相似三角形、直角三角形斜邊中線、正方形、勾股定理的性質，從而完成求解.

4.如圖1,點尸從菱形ABC。的頂點A出發，沿A-ZXB以lcm/s的速度勻速運動到點3,

圖2是點尸運動時，AEBC的面積(cm?)隨時間x(s)變化的關系圖像，則“的值為()

As/cm2

AFD

K.

BCo]aa+5x/s

圖1

圖2

4C.小1D.空

A.5B.

26

【答案】D

【分析】通過分析圖像，點/從點A到。用as,此時，AFBC的面積為2a,依此可求菱形

的高。E,再由圖像可知BD=5,應用勾股定理分別求BE和a即可.

【詳解】解：過點。作DE^BC于點E,

AD

上

BEC

由圖像可知，點/由點A到點。用時為as,△FBC的面積為2tzcm2.

她。=°

^DE-AD=2a

回￡>4=4

點方從。到8,用了5s

國3。二5,

Rt^DBE中，

BE=yjBD2-DE2=/52-42=3,

0ABCD是菱形，0EC=a-l,DC=a

耳△DEC中,a2=42+(a-3)2

解得的鄉25.

6

故選D.

【點睛】本題綜合考查了菱形性質和一次函數圖像性質，解答過程中要注意函數圖像變化與

動點位置之間的關系是解題的關鍵.

5.如圖，點尸是菱形對角線3D上一動點，點E是線段BC上一點，且CE=43E,連接昉、

CF,設8尸的長為無，EF+C〃=y，點E從點8運動到點D時，＞隨天變化的關系圖象，

圖象最低點的縱坐標是（）

A.-B.■'^5C.4&D.

55

5月

F

【答案】B

【分析】由函數圖象可知：BC=5,BD=6,連接4c交2。于點。，連接物，證明當A,E,

12

F三點共線時，y取最小值為AE,作交于點P,利用EPCS^BOC求出腓=二,

PC=J,進一步求出AP=m再利用勾股定理即可求出AE.

【詳解】解：由函數圖象可知：當尸與2重合時，EF+CF=y,^BE+BC=y=6,

41

0CE=45E,EBC=5,CE=—BC=4,BE=—BC=1,

55

當B與。重合時，BD=6,

連接AC交8。于點O,連接以，

C

0A2CO是菱形,

a4c和互相垂直平分,

SFC^FA,

團EF+CF=EF+FA=AE,

當A,E,尸三點共線時，y取最小值為AE,

作交于點P,

0BC—5,BD=6,

0OC=4,

0EP〃BD,

國EPCs/\BOC,

EPPCEC口門EPPC4

團---=---—即——=——=—

BOOCBC'345，

…12「16…c1624

團"二——，PC=—,AP=S——=

555y

^AE=yjEP2+AP2

故選：B

【點睛】本題考查菱形的性質，勾股定理，三角形相似的判定及性質，解題的掛件是根據函

數圖象求出BC=5,BD=6,再證明當A,E,尸三點共線時，y取最小值為AE.

6.如圖，尸為等腰Rt^ABC的斜邊4B上的一動點，連接CP,AF1CP,BELCP,垂

足分別為點及F,己知AC=4,以下結論錯誤的是（）

A.CE=AFB.若CF=FP,則所=

C.EF=AF-BED.若=時，ZAFB=135°.

【答案】D

【分析】先證明△ACF四△CBE,可得CE=AF,CF=BE,可判斷A,C選項；當CF=FP

A尸f—

時，AP=AC=4,可得=-4，再根據△4/方—㈤石，可得中=.2+1,從而得

BE

?\EFAF_RFAFr-

至u——二—~l=y/2,可判斷B選項；當ZAFB=135。時，△BEF是等腰直角三角

BEBEBE

形，可得EF=BE=CF,從而得至!JAF=2B石，再由△AP尸,可判斷D選項，即可.

【詳解】解：等腰Rt^ABC中，AC=BC,ZACB=90°9

SZACF+ZBCE=90°,

國AFLCP,BE1CP,

0ZAFC=ZE=9O°,

0ZACF+ZC4F=9O°,

^1ZBCE=ZCAF,

SZkACF^ACBE,

?.CE=AF,CF=BE,故A選項正確，不符合題意；

國EF=CE—EF=AF—BE,故C選項正確，不符合題意;

當Cb=fP時，AP=AC=4,

^AB=y/AC2+AB2=4y/2，

團5尸=4忘一4，

回AFLCP,BE1CP,

團AF〃鹿，

孤APFsBPE,

,BE_BP

AF~AP4

AF1r-.

即標=FT忘+1'

EFAF-BE

=-------1=A/2+1—1=-y/2,

BE~BEBE

EF=42BE＞故B選項正確，不符合題意;

當ZAFB=135。時，ZEFB=45°,

此時ABEF是等腰直角三角形,

SEF=BE=CF,

■.CE=2BE,

即AF=2BE,

B^APF^^J3PE,

,BEBP1

AP=2BP,故D選項錯誤，符合題意；

故選：D

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三

角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰直

角三角形的判定和性質是解題的關鍵.

7.在矩形ABC。中，BC=2,DC=屈,取A。中點E,連接80、BE,將ABOE沿BE翻

折至ABEF,過點A作AG^BF于G,則AG的值為（）

【答案】C

【分析】連接并延長BC交。產于點M,根據等腰三角形三線合一得出EM0￡?F,FM=

DM,利用勾股定理求出3E,再根據442比劭〃汨得出EM,連接AE根據是AA。尸的

中位線得出AF,利用勾股定理求BG,再用勾股定理得出AG即可.

【詳解】解：連接。尸并延長BE交。產于點M,如圖所示，

BC

豳BDE沿36翻折得到△3跖，

⑦BF=BD,aFBE=aDBE,

團3M為等腰三角形尸5。的中線，高線，角平分線,

由EMHDF,FM=DM,

WC=AD=2,E為AO的中點，

^\DE=EA=1,

國BD=JBC2+CD2=瓜,

^BE=^AB2-^-AE2=V3，

^1BAE=BDME=9O\^\AEB=^MED,

^\BAE^DME,

BAAEBE

p?j_____—_____—_____

DM-ME-DE'

即正=J_=@,

DMME1

EDM=—,ME=—,

33

連接AF,

回〃是。尸的中點，E是4。的中點，

I3ME是AA。尸的中位線，

S\ME=-AF,

2

EAF=2ME=—,

3

SBD=BF=y/6.,

設BG=x,則八7="一了，

由勾股定理得：BA2-BG2=AF2-FG2=AG2,

4r-

即2-d=--（V6-x）2,

解得x=地，

9

回AG12—（還^二述,

V99

故選：C.

【點睛】本題主要考查圖形的翻折，矩形的性質，三角形的中位線，等腰三角形三線合一,

勾股定理等知識點，熟練應用三角形形似得線段比例求值是解題的關鍵.

8.如圖有兩張等寬的矩形紙片，矩形不動，將矩形ABC。按如下方式纏繞：如圖所

示，先將點B與點E重合，再先后沿FG、E”對折，點A、點C所在的相鄰兩邊不重疊、

無空隙，最后點。剛好與點G重合，則圖中45=14,則PG的長度為（）

An

A.12B.10C.7A/2D.7否

【答案】B

【分析】先證明0ABA函結合折疊性質證得aBMN為等邊三角形，再證明麗尸MEBGHP

得到仇0=尸打，設BN=a,AN=b,可求得EH=2a+b,AD=3a+b,在0A2N中，利用含30。的直

角三角形的性質可得到。=2b,進而可求得EH=56,AD=7b,由A￡>=14可求得b=2,進而求

得EH即可求解.

【詳解】解：如圖，

A

回兩張紙片是矩形且等寬,

SAB=EF^HG,EH=FG,SF=^ABM^FBH^H^0°,BMSNQSiPG,EHB\FG,

SS\ABN+^NBM=^\FBM+^NBM=90°,

^S\ABN=^FBM,

^EABNSEFBM(ASA),

0BN=BM,

由折疊性質得：MN=NQ=PQ,BN=MQ=NP,

@BN=BM=MN,貝靦BMN是等邊三角形，

EHNBM=60°,貝l]MBM=0ABN=3O°,

S\BM5\NQS\PG,EHSFG,

^HPG^NBM^FMB,5U3\F^H^0°,BF^HG,

WFMSSGHP(A4S),

SFM=PH,

設BN=a,AN=b,

則EH=2a+6,AD=3a+b,

在0ABN中，0A8N=3O。，BA=90°,

則8N=2AN,即。=26,

國EH=5b,AD=7b,

0AD=14,

勖=2,則EH=10,

^FG=EH=W,

故選B

【點睛】本題考查折疊性質、矩形性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性

質、含30。的直角三角形的性質、平行線性質等知識，理解折疊過程，找準對應邊的關系，

證得aBMN為等邊三角形是解答的關鍵.

9.如圖，點P,Q分別是菱形ABCD的邊AD,BC上的兩個動點，若線段PQ長的最大值為

875,最小值為8,則菱形ABCD的邊長為()

D

B

A.4瓜B.10C.12D.16

【答案】B

【分析】當點P和點A重合時，當點C和點Q重合時，PQ的值最大，當PQ0BC時，PQ的

值最小，利用這兩組數據，在Rt回ABQ中，可求得答案.

【詳解】當點P和點A重合時，當點C和點Q重合時，PQ的值最大，PQ=8也

D

當PQI3BC時，PQ的值最小，回PQ=8,[3Q=90°,

在RtZkACQ中，CQ=?8⑸-8?=16.

在RtAABQ中，設AB=BC=x,則BQ=16-x,

IBAQ2+BQ2=AB2即82+(16-x)2=x2,解之：x=10.

故答案為：B.

【點睛】本題考查菱形的性質和勾股定理的運用，解題關鍵是根據菱形的性質，判斷出PQ

最大和最小的情況.

10.如圖，在YA3CD中，點E、F在BC的延長線上，連接AE、DF,AE//DF,則下列式

子錯誤的是（）

CECGEGCGEGCECEEG

A.-----=-----B.-----------C-----=-----D.-----=-------

ADGDDFAB?DFBECBDF

【答案】D

【分析】先根據題目意思證明ACEG?AZXG,根據相似得到線段的比例，再證明

△CEG?NCFD,利用相似三角形的性質即可得到答案.

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形，點E、F在BC的延長線上,

^ZDAE=ZBEA,ZADC=NFCD,CD=AB,

SACEG-ADAG,

CECG,,一紅

回正=而‘故A正確;

又回AE//DF,

SZAEB^ZDFB,ZEGC=ZFDC,

SACEG-ACFD,

「EGCG

團----=-----,

DFCD

又IBCD=AB,

EGCG,心—

回加=商’故B正確;

又由題意可知四邊形AEFD是平行四邊形,

回AD=EF=BC,

ECF=BE,

y^\CEG~\CFD,

EGCE

團----=-----,

DFCF

故：彘FG二C笠F（等量替換），故c正確;

DFBE

不能得到mCF=為FG，故D錯誤,

CBDF

故選D.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定、相似三角形的判定與性質，熟練掌握判

定方法與熟記相關性質是解題的關鍵.

二、填空題

11.如果x2-2x-m=0有兩個相等的實數根，那么x2-mx-2=0的兩根和是.

【答案】-1

【分析】本題是一元二次方程根的判別式和根與系數關系的綜合試題，本題可以通過根的情

況求出m的取值，然后利用根與系數的關系求解即可.

【詳解】取J2x-m=0有兩個相等的實數根，

H3=b2-4ac=0,

即（-2）2-4x（-m）=0,

解得m=-l,

所以方程x2-mx-2=0為x2+x-2=0,

則兩根的和是一1，

故答案為：一L

【點睛】此題考查根的判別式和根與系數的關系，解題關鍵在于掌握運算公式.

12.如圖是由幾個相同的小正方體組成的幾何體，從三個方向看到的圖形如下，則組成該幾

從正面看從左面看從上面看

【答案】6

【分析】根據主視圖和左視圖確定每個位置小正方體的個數，即可得出結果.

【詳解】解：根據俯視圖定位置，主視圖和左視圖確定個數，可知每個位置上的小正方體的

從正面看從左面看從上面看

團組成該幾何體的小正方體有：1+1+3+1=6個；

故答案為：6.

【點睛】本題考查根據三視圖確定幾何體中小正方體的個數.熟練掌握俯視圖定位置，主視

圖和左視圖確定個數，是解題的關鍵.

13.如圖，中，AB=AC,尸是延長線上一點，C/W1P干凡D,E分別為8c和

AC的中點，連EDEF,若0APB=4O。，則盟）度.

A

【答案】100

【分析】根據鄰補角的性質可得回3b二團。尸尸+團尸二130。，再根據三角形中位線定理得到

DE//AB,則團皮然后由直角三角形的性質得到成三EC,得至膽瓦下二團及C最后

結合圖形計算即可.

【詳解】解：團"IMP,0APB=4OO

團團3C尸二團。尸尸+回尸=130°,BP0EC￡>+0ECF=13O°

0AB=AC

函A5CM3AC5,

團。、E分別為3。和AC的中點

國DE//AB

甌EOO0A3C

^\EDC=^\ACB

^\DEC=180°-2^ACB

團。加4尸，E為AC的中點，

0EF=EC,

mECF=^\EFC

WCEF=180°-2^ECF

^1DEF=BDEC+^CEF=180O-2^ACB+180O-2^ECF=360O-2X13Q=W0O.

故填100.

【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角

形內角和定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

14.若關于x的方程-5.+6)尤2_(3-"?)》+!=0無解，則m的取值范圍是____.

4

【答案】m>3

【分析】根據題意，可分為兩種情況進行分析：①蘇-5m+6=0時，有-(3)=0此時方

程無解，可求出m的值；②加2-5m+630時，由根的判別式/<0,即可求出m的取值范

圍.

【詳解】解：根據題意，

國關于x的方程(w2—5m+6)尤2—(3—ni)xH—=0無解，

①當川-5m+6=0時，則原方程是一元一次方程，即-(3-m)x+；=。；

m2-5m+6=0

則有:解得：m=3；

—(3-m)=0

②當/-5,〃+6w0時，則原方程為一元二次方程，12g3,機W2,

13A=[-(3-//?)]2-4x(m2-5/n+6)x—<0,解得：zn>3；

4

綜合上述，m的取值范圍是〃讓3；故答案為：m>3.

【點睛】本題考查了方程無解問題，根的判別式求參數的取值范圍，以及解一元二次方程,

解題的關鍵是熟練掌握方程無解問題，注意運用分類討論的思想進行解題.

15.已知點A&,%),鳳孫％)在雙曲線>=:(左>。)上，且滿足何+3=3,住+劣=3.若

(另+1)(%+1)=14,則后=

【答案】A/10

【詳解】試題解析：根據題意可知：4(菁,弘),3(々,％)是雙曲線，=：與一次函數版+k3的

兩個交點，聯立方程消去尤得，y2-3y+k2=0.

kx+y=3,

由韋達定理得，%+%=3,%%=%\

(%+1)(%+1)=%%+X+%+1=14.

左？+3+1=14.k=±J10.

-.?^>o.：.k=故答案為回.

16.如圖，在RtZXABC中，NBAC=90°,AB=8,AC=6,以BC為一邊作正方形BOEC設

正方形的對稱中心為。，連接A。，則A0=.

【答案】7立；

【分析】連接AO、BO、CO,過。作FOMO,交AB的延長線于F,判定EIAOCEHFOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進而得到AF=8+6=14,EFAO=45",根據AO=AFxcos45°進行計算

即可.

【詳解】解：連接A。、BO、CO,過。作FOEIAO,交AB的延長線于F,

00是正方形DBCE的對稱中心，

0BO=CO,0BOC=9O°,

0FO0AO,

00AOF=9O°,

EEBOC=0AOF,

1P0AOC+EIBOA=0FBO+EBOA,

00AOC=0FBO,

EEBAC=90°,

團在四邊形ABOC中，0ACO+0ABO=18O°,

EEFBO+0ABO=18O",

EBAC0=[3FB0,

在回AOC和EIFOB中，

ZAOC=ZFOB

<A0=F0,

ZACO=ZFBO

00AOC00FOB(ASA),0AO=FO,FB=FC=6,

I3AF=8+6=14,E1FAO=EIOFA=45°,

EIAO=AFxcos450=14x與=1也.故答案為7行.

【點睛】本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質.本題的關鍵是通過作輔助線

來構建全等三角形，然后將已知和所求線段轉化到直角三角形中進行計算.

17.如圖，在菱形ABCD中，/3=60。，E,H分別為A3,BC的中點，G,尸分別為線

段HD,CE的中點.若線段的長為8,則FG的長為.

D

【答案】2x/3

【分析】連接CG并延長，交相）于點M,連接根據菱形的性質證明△MGD絲ACG”,

再根據三角形中位線定理可得尸G=；EM,在△AEM中，根據等腰三角形的性質、30度角

的直角三角形性質以及勾股定理可求出ME的長度，即可求出FG的長度.

【詳解】解回連接CG并延長，交AD于點連接￡M,

團四邊形ABCD為菱形，NB=60。，AB=8

^AD//BC,AB^BC=AD=8,

EZA=120°,ZDMG=ZHCG,

回點G為HD的中點，

BHG=DG,

0NMGD=/CGH,

回AMGD^ACGH(AAS),

^MG=CG,MD=CH=-BC=-AD,

22

團點G為MC的中點，點M為的中點，

EF,G分別為CE和CM的中點，

EIFG是ACEM的中位線，

0FG=-EM,

2

BE,M分別為AB和AO的中點，

SAE=AM=4,

回/A=120°,

^\ZAEM=ZAME=30°,

過A作AOLEN于點O,

SAE=AM^4,

^AO=-AE=2,EM=2EO,

2

根據勾股定理，得EO=7AE2-A(92=2A/3，

HEM=2EO=45/3,

又FG=LEM,

2

0FG=273.

故答案為：2上.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形中位線定理，全等三角

形的判定與性質等知識，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質.

18.如圖，正方形A3CD中，E為其外面一點，且/AEB=45。，AE,BE分別交8于歹，

G,若CG=3,FG=1,則AF=.

【答案】2M

【分析】作AHL3G交BG于點/,交BC于點H,連接打，延長CB至點J,使B7=。/，

連接利用十字架模型證AAB"三ABCG(ASA),得BH=CG=3.由

ZAEB=45。得ZHAF=45。.利用SAS證明AA7H三AAFH(半角模型)，推出陽=~,

設正方形ABCD的邊長為x,利用勾股定理解RtAFCH即可求出x,進而利用勾股定理求AB.

【詳解】解：如圖所示，作AHL8G交BG于點/,交BC于點、H,連接HE延長CB至點

J,使BJ=DF,連接JA.

團四邊形ABCD是正方形，

0ZABC=Z1+Z2=9O°,AB=BC,

國AH_LBG,

回N3+N2=90。，

0Z3=Z1,

在AA5H與A5CG中,

Z=/l

<AB=BC,

/ABH=NBCG

團AABH=AfiCG(ASA),

?BH=CG=3.

國AHLBG,ZAEB=45°f

回ZHAF=900-ZAEB=45°.

團N4+N3=90。—ZH4/=45。.

在AADF與AABJ中，

AD=AB

<ZADF=NABJ,

DF=BJ

團AADF=AABJ(SAS),

國N4=N5,AF=AJ,

回N3+N5=45。，即ZMH=45。，

在AA〃7與中，

AJ=AF

</JAH=ZFAH,

AH=AH

團AV"工AAFH(SAS),

@JH=FH,

設正方形ABCD的邊長為x,

則D尸=￡>。一。6—尸6=X一3—1=了-4,CH=BC-BH=x-3,

@FH=JH=JB+BH=DF+CG=x—4+3=x—l,

在RtAFCW中，FH2=尸C?+CH2,

回(I)?=(3+1)2+(X-3)2,

解得x=6,

0AD=6,￡>F=6-4=2,

HIAF=7AD2+DF2=>/62+22=2M-

故答案為：2a.

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等，用到了十字架模

型、半角模型，有一定難度，正確作輔助線，熟練運用幾何模型是解題的關鍵.

19.已知a、b是方程2x2-2x-1=0的兩個根，則2/+°+36的值是.

【答案】4

【分析】根據根與系數的關系得a+b=l,因為a為方程的解，根據解的定義得2aJ2a-l=0,兩

式結合即可求解.

【詳解】解：由題意知，a+b=l,2x2=2x+l,即2a2=2a+l,

02a2+a+3b=2a+l+a+3b=3(a+b)+l=3xl+l=4.

故答案為4.

【點睛】本題考查了根與系數的關系及一元二次方程的解，掌握用根與系數的關系與代數式

變形相結合進行解題是解答此題的關鍵.

20.如圖，四邊形ABCD,AO〃BC,對角線8￡>_LBC,NBDC=45°,點E為AB上一點，

BE=BD,連接CE并延長交8。于點E交ZM延長線于點G,AD=8,BF=9,則AG的長

為.

【答案】2

【分析】首先證明3D=3C=8E,再證明AG=AE,設。F=x,運用勾股定理可得

AB=&+18x+145，從而得4G=,心+18尤+145—(9+x)，證明AG￡>尸?△CB/，根據相

似三角形的性質可得爐+18尤=144,從而可求出A3,2。的值，進一步得出結論.

【詳解】解：^\DB.LBC,

=90°,

團回BDC=45°,

配18co=45°,

⑦NBDC=NBCD,

田BD=BC,

團BE=BD,

團BE=BD=BC,

質BEC=/BCE,

^\AEG=ZBECf

幽BCE=NAEG,

RGD〃BC,

團團G=NBCE,

回團G=NAEG,

團AG=AE,

設。斤=%,???BF=9,

團BE=BD=BC=9+x,

^AD//BC,

00ADB=ZCBD=90°,,

在HrAAD3中，AD=8,BD=9+xf

SAB=yjAD2+BD2=褥+(9+4=Jd+18x+145,

EIAG=AE=Jd+i8x+145-(9+x),

^GD=AG+AD=8+&+18x+145-(9+x)=7^+8%+145-(1+x)，

SGD//BC,

^GDF~\CBF

2

GD_FDA/X+18X+145-(1+X)尤

M—,Kp--------------------------------------------=—9

BCFB9+x9

整理，得：&+18彳+145=八片9

2

n(x+18^+9?

Ex2+18^+145=---------------

81

設"V+i8x,則上式變形為：

.._廠+18f+81

Z+145=---------------

81

解得，「1444=一81(舍去)

EX2+18X=144,

EAB=7144+145=7289=17，

^BP=y/AB2-AD2=V172-82=15，

E19+x=15,

0x=6

團AG=AE=17—(9+6)=2.

故答案為2.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質,

證明^GDF?ACBb是解答本題的關鍵.

21.如圖，E、F是口ABCD的邊AD上的兩點，EIEOF的面積為4,I3B0C的面積為9,四邊形

ABOE的面積為7,則圖中陰影部分的面積為.

BC

【答案】10

【分析】將國ECD向左平移，使CD邊與AB邊重合，已知SAEFOEISABOC=4[39,且EIEFOEEICBO,

根據相似三角形的性質可得BO：OF=3E2,從而得OFElBF=2ia5,繼而得O'FEIBF=2回5,所以

SAE,F,O,0SAE,BF=4EI25,再由回E'F'O'的面積為4,可得5\￡,"=25,再求得S四邊彩OFAB=10,由S四邊

形FOCD=S四邊形O'F'AB即可得圖中陰影部分的面積.

【詳解】如圖，將回ECD向左平移，使CD邊與AB邊重合，

團BO：0F=3團2,

國OF國BF=2回5,

回OF回BF=2回5,

0SAE,F,O,0SAE,BF=4[2]25，

團S@BF=1x4=25,

團S四邊形0下7\8=25-2*4-7二10，

團S四邊形FOCD=S四邊彩O'F'AB=10.

故答案為：10.

【點睛】本題為相似三角形和平行四邊形的綜合題，利用平移的性質做出輔助線是解題的關

鍵.

22.如圖，四邊形ABCP是邊長為4的正方形，點E在邊CP上，PE=1；作EfMC,分別

交AC、AB于點G、F,M.N分別是AG、8E的中點，則的長是.

【答案】2.5

【分析】先判斷四邊形BCEF的形狀，再連接尸加、FC,利用正方形的性質得出A"G是等

腰直角三角形，再利用直角三角形的性質得出MN=；PC即可.

【詳解】回四邊形ABCP是邊長為4的正方形，EF//BC,

回四邊形3CEF是矩形，

回PE=1,

ECE=3,

連接FM、FC,如圖所示：

回四邊形是正方形，

0ZBAC=450,AAFG是等腰直角三角形,

IBM是AG的中點，即有AAf=MG,

^FMLAG,ARV/C是直角三角形,

又回N是尸C中點，MNJFC,

2

^FC=4BF1+BC1=5

回MV=2.5,

故答案為：2.5.

【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性質，解題的

關鍵在于合理作出輔助線，通過直角三角形的性質轉化求解.

EF5

23.矩形ABCD中，E、F、G分別為邊AD、AB、BC上一點，且AF=4,BF=3,——=—,IUEFG=135°,

GF3

則線段AE的長為

【答案】572-4

【分析】在AB上作AH=AE,BI=BG,易知AAHE與ABIG是等腰直角三角形，易證變聞叫至,

設AE=x,利用等腰直角三角形性質與相似三角形性質，用X表示出IB與FI,列出方程

IB+FI=FB=3,解出x即可

【詳解】在AB上作AH=AE,BI=BG,如圖

易知AAHE與ABIG是等腰直角三角形

故13AHE=45°,又因為I3AHE=EIHFE+I3HEF

因為EIEFG=135°,所以EIHFE+固FG=45。

得至膽IHEF=EIIFG,又EIGIF=[aEFG=1.35°

所以△GIFEBFHE

dFEFEH5

貝I]有——=——=——=-

IGGFFI3

333

故設AE=x,貝(JHE=岳，HF=4-x,IG=-(4-x),IB=-^(4-x),Fl=-V2x

因為FB=3,所以+512(4-x)=3,解得x=5行-4

【點睛】本題主要考查相似三角形性質與等腰直角三角形性質，屬于較難題型，本題關鍵是

能夠構造出相似三角形

24.在正方形ABCD中，AB=6,連接AC,BD,尸是正方形邊上或對角線上一點，若PD

=2AP,則AP的長為.

【答案】2或或回-◎

【分析】根據題意分情況畫出符合題意的圖形，然后針對每一個圖形利用勾股定理進行求解

即可得到答案.

【詳解】解:田四邊形ABCD是正方形，

E|AD=AB=6,0BAD=9O°,0DAC=45°,

HAC=BD=y/AB2+AD2=6-s/2;

如圖1,當點P在AD上時，

回AP+PD=AD=6,PD=2AP,

13Ap=2；

圖1

如圖2,當點P在AB上時,

EBPAD=90",

0AP2+AD2=DP2,

0AD=6,PD=2AP,

0AP2+36=4AP2,

0AP=25/3;

AD

圖2

如圖3,當點P在AC上時，作PNI3AD于點N,

設AN=x,貝有DN=6-x,PN=x,

由勾股定理得AP=0x,PD=JX2+（6-X）2,

回PD=2AP,

0^X2+（6-X）2=272x,

回x=?-l或X=_J7_1（不符合題意，舍去），

回AP=-y/2x=J14--\/2，

圖3

當點P在其余邊或對角線上時，不存在可以使PD=2AP的點，

綜上，AP的長為2,2TLV14-V2.

故答案為2或或JT?-④.

【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理的應用等，難度較大，解題的關鍵是正確畫出

符合題意的圖形.

25.如圖，在矩形ABC。中，E是BC邊上的一點，連接AE,將沿AE翻折，點B的

對應點為足若線段的延長線經過矩形一邊的中點，AB=2,AD=4,則BE長為.

【分析】主要分三種情況進行討論：①當線段AP的延長線AG經過BC的中點時，②當線

段A尸的延長線經過AD的中點時，③當線段A尸的延長線AG經過CZ）的中點時，進行一

一求解即可.

【詳解】解：分三種情況討論，

①當線段AF的延長線AG經過BC的中點時，如圖1,此時8G=CG=2,

由折疊的性質可得：AP=A3=2,EA產E=?B=90。，

SRt^ABG中，AB=BG=2,

0AG=2應，a4G8=45°,

回尸G==AG—AF=20一2，EF=FG,

團BE=EF=FG=2A/2-2;

②當線段A尸的延長線經過A。的中點時，如圖2,此時8E=CE=2,

1c

圖2

由折疊的性質可得：AF=AB=2,0AFE=0B=9O°,

團四邊形ABEP是正方形，

^BE=AF=2,

③當線段AF的延長線AG經過CO的中點時，如圖3,止匕時QG=CG=L

圖3

由折疊的性質可得：AF=AB=2,0AFE=0B=9Ot',

SRt^ADG中，A￡>=4,0G=1,0AG=>]AD2+DG2=742+12=歷>^FG=AG-AF=V17-2,

設BE=x,貝l]EF=x,CE=4-x,

0EG2=EF2+FG2,EG2=EC2+CG2,EEF2+FG2=EC2+CG2,

E(^-2)2+X2=12+(4-X)2,解得：x=^T,@BE=^J,

故答案為：2逝-2或空匚或2.

【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質是解決本

題的關鍵.

三、解答題

26.如圖，EL48C中，0C=9O°,AC=6cm,BC=8cm,點P從A沿AC邊向C點以lcm/s

的速度移動，在C點停止，點。從C點開始沿C8邊向點8以2cm/s的速度移動，在2點

停止.

2

(1)如果點尸，0分別從A、C同時出發，經過2秒鐘后，SAQPC^_cm；

(2)如果點尸從點A先出發2s,點Q再從點C出發，問點Q移動幾秒鐘后S/QPC=4cm2?

(3)如果點尸、Q分別從A、C同時出發，經過幾秒鐘后PQ=2Q?

【答案】(1)8；(2)2s；(3)-10+8應

【分析】本題可設尸出發期后，S.眄符合已知條件：

在(1)中，AP-xm,PC=(6-x)m,QC=2xm,得出工紗。=；(6-x>2x,即可求出經過2

秒鐘后的面積；

在(2)中，AP^xm,PC=(6-x>,QC=2(x-2)m,進而可列出方程，求出答案；

在(3)中，PC=(6-x)m,QC=2xm,BQ=8-2x,利用勾股定理和PQ=BQ列出方程，

求出答案.

【詳解】解：(1)尸、。同時出發，經過x秒鐘，S&QPC=^6-X).2X,

當x=2,

S^QPC=5(6-=—x4x4=8,

故答案是：8.

(2)設尸出發ts時則。運動的時間為(x-2)秒，由題意得：

-(6-x).2(x-2)=4,

2

/.X2-8x4-16=0，

解得：±=%=4

因此經4秒點尸離A點lx4=4cm,點。離。點2x(4-2)=4的，符合題意.

2

答：P先出發2s,。再從。出發2s后，S^QPC=4cm.

(3)設經過x秒鐘后PQ=5Q,則尸。=(6-％)加，QC=2xm,BQ=8-2x,

(6-X)2+(2X)2=(8-2X)2,

解得石=-10+80,々=-10—80(不合題意，舍去)

答：經過TO+80秒鐘后尸。=3Q.

【點睛】本題考查一元二次方程的實際運用，解題的關鍵是弄清圖形與實際問題的關系，另

外，還要注意解的合理性，從而確定取舍.

27.綜合與實踐

【項目學習】

配方法是數學中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函

數的頂點坐標等.所謂配方法是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個

完全平方式的和的方法.其實這種方法還經常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義

解決某些問題.

例1：把代數式Y+8x+25進行配方.

解：原式=f+8x+16+9=(x+4y+9.

例2：求代數式-/+4x-7的最大值.

解：原式=-(尤2-4x+4)-3=-(x-2)—3.

v(x-2)2>0,.'.-(%-2)2<0,

.-.-(%-2)2-3<-3,.-.-x2+4尤一7的最大值為一3.

【問題解決】

(1)若〃/,k,/?滿足2療=+/?,求左+/，的值.

(2)若等腰AABC的三邊長“，b,c均為整數，且滿足片+262—8a-206=-66,求"RC的周

長.

⑶如圖，這是美國總統加菲爾德證明勾股定理的一個圖形，其中a,b,c是Rt^ABC和

RtAD所的三邊長，根據勾股定理可得==我們把關于x的一元二次方程

依2+夜次+6=0稱為"勾系一元二次方程已知實數P，4滿足等式q-/+15p-48=0,

且P+4的最小值是"勾系一元二次方程”加+&cx+6=0的一個根.四邊形ACDE的周長為

6a,試求AABC的面積.

【答案】⑴T

(2)等腰三角形“1BC的周長為13或14

(3)1

【分析】(1)將等式2歷-12m+11=2(機-左丫+方的右邊展開，再對應相等得到

4k=12,2k2+h=ll,求出晨場的值即可；

(2)將式子配方可得(a-4y+2(6-5)2=0,由偶次方的非負性可求出a=4,b=5,再分

兩種情況：當。=4為腰長時，當6=5為腰長時，利用等腰三角形的性質進行計算即可；

(3)由q—p?+15P_48=0兩邊同時力口〃可得p+q=//_i5〃+p+48=(p—7)2,求出

P+4的最小值，從而得出x=-l是依2+"：龍+6=0的一個根，得至!Ja+6=0c，由四邊形

AC7汨的周長為60求出c=2,再由勾股定理可得"+》2=?2=4,最后由

2"=(4+6)2_.2+〃)，求出血的值即可得到答案.

【詳解】(1)解：1.'2m2-\2m+\\-2^m-k^+h,

2m2—12m+ll=2m2—4km+2k?,

:Ak=n,2k2+h=U,

k=3jh=—7,

.,.左+/z=3+(—7)=T；

(2)解：?.?/+2〃一8a—20人=—66,

(a2-8a+16)-16+2(Z?2-1