第八章§8.5橢圓

知識過關

一、單項選擇題

1.“1<后<5”是方程“上+」'2-=1表示橢圓”的（）

5-k

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?濟南模擬）若橢圓C?+￥=1的離心率為W，則橢圓C的長軸長為（）

m23

A.2也B呼或2^6

C.2/D.2也或2#

3.（2022?全國甲卷）已知橢圓C：，+，=l（a>b>0）的離心率為:，Ax,4分別為C的左、右

頂點，8為C的上頂點.若五不?互石=—1,則C的方程為（）

2彥

A.《十武=1Bx.L+-=1

181698

C.X=1口.：+戶1

32

4.（2024?昆明模擬）已知橢圓C：[+[=1的左、右焦點分別為Fi,F2,直線與橢圓

。交于4,8兩點，若以8尸尸1%|,則的面積等于（）

A.18B.10C.9D.6

5.（2023?沈陽模擬）魏晉時期數學家劉徽（圖（1））為研究球體的體積公式，創造了一個獨特的立

體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面

上.將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖（2））,兩

圓柱公共部分形成的幾何體（如圖（3））即得一個“牟合方蓋”，圖（4）是該“牟合方蓋”的直觀

圖（圖中標出的各點N,B,C,D,P,。均在原正方體的表面上）.

p

Q

⑶(4)

由“牟合方蓋”產生的過程可知，圖⑷中的曲線為一個橢圓，則此橢圓的離心率為

6.（2023?陜西省安康中學模擬）已知尸為橢圓C：1（心6>0）上一點,若C的右焦點F

的坐標為（3,0）,點M滿足|兩=1,PM-FM=0,若|西的最小值為2也，則橢圓C的方程為

)

B工+匕=i

3627

c工N+匕V2=i

167

二、多項選擇題

7.（2023?長沙模擬）人造地球衛星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛星在以地球為焦點

的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛星

的向徑（衛星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為

2a,2c,下列結論正確的是（）

A.衛星向徑的取值范圍是[a—c,a+c]

B.衛星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大

C.衛星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

D.衛星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間

22

8.已知橢圓工+匕=1的左、右焦點分別為尸1,尸2,點尸在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂

42

點重合，則下列關于△尸。尸2的說法正確的有（）

A.△PBEz的周長為4+2也

B.當/尸為尸2=90°時，|產西|=2

C.當/尸田尸2=60°時，△尸西凡的面積為*?

3

D.橢圓上有且僅有6個點尸，使得△尸。尸2為直角三角形

三、填空題

9.已知~(—2,0),22(2,0)是橢圓C的焦點，過尸2且垂直于x軸的直線交橢圓C于42兩

點，且［48|=6,則橢圓C的方程為.

10.橢圓T^+《=l(加>0)的兩個焦點分別為尸1,F2,與夕軸的一個交點為4若NF1AF2

=四，則m=.

3--------

11.已知一個離心率為1,長軸長為4的橢圓，其兩個焦點分別為尸1,反，在橢圓上存在一

2

點尸，使得/尸上尸2=60。，設△尸為凡的內切圓半徑為r,則r的值為________.

12.(2023?濰坊模擬)如圖，菱形架/BCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用錢鏈

首尾連接而成.已知力,。可在帶滑槽的直桿/上滑動；另一根帶滑槽的直桿D8長度為4,

且一端記為“，另一端用錢鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點尸處有一栓子(可在

帶滑槽的直桿上滑動).若將〃，8固定在桌面上，且兩點之間距離為2,轉動桿/TO,則點P

到點B距離的最大值為.

D

四、解答題

13.(2024?西安模擬)已知橢圓C：定+，=l(a>b>0)的左、右焦點分別為9(—c,0),F2(c,0),

過尸2作垂直于X軸的直線/交橢圓于a8兩點,且滿足|/尸2|=近，

6

(1)求橢圓C的離心率；

(2)M,N是橢圓C短軸的兩個端點，設點P是橢圓C上一點(異于橢圓C的頂點)，直線VP,

NF分別與x軸相交于R,。兩點，O為坐標原點，若。穴卜。0|=4,求橢圓C的方程.

14.在平面直角坐標系中，點8與點/I1'2」關于原點對稱，P是動點，且直線AP與8尸

的斜率之積等于1

（1）求動點P的軌跡方程，并注明X的取值范圍；

（2）設直線AP與BP分別與直線x=3交于M,N,問是否存在點P使得與面積

相等？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，說明理由.

lb能力拓展

15.（2023?衡陽聯考）已知橢圓C：4+片=15>6>0）的左、右焦點分別為為，尸2,過尸1作直

crb1

線/與橢圓。相交于跖N兩點，NMFW=90。，且4門劉=3/陽，則橢圓的離心率為（）

22

⑹（2。24?呼和浩特模擬）已知點P是橢%+.1上異于頂點的動點，用為橢圓的左、

右焦點，。為坐標原點，若/是/尸1尸產2平分線上的一點，且記應?癡=0,則|勵的取值范

圍是?

§8.5橢圓

1.A2.D3.B4.C

5.A［如圖，連接/C,3。交于點O,連接尸O,

立

Q

由“牟合方蓋”產生的過程可知，圖中的曲線網0D所對應的橢圓的長軸長2a=2口=2/,

短軸長2b=|尸。|=2,

于是可得此橢圓的半焦距二涼=1,

因此離心率e=-=-.］

a2

6.B［如圖，

OX

???|兩=1,

又：屈f俞=0,

：.PM±FM,

即PMLFM,

：.\PM\=\PM\=yJ\PF\2~\FA4\2=yj\PF\2-l,

當點尸為橢圓的右頂點時，|尸尸|取最小值,\PF\mm=a-c=a-3,

此時|兩min=>(a—3)2—1=2仍,

解得。=0(舍)或a=6,

222

b=a—c=36—9=279

二橢圓。的方程為？+正=1.］

7.ACD［根據橢圓定義知衛星向徑的取值范圍是［Q—C,a+c］,A正確；

根據面積守恒定律，衛星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度

最小，B不正確；

a-c_1_e_2

1,比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C正確;

a-\-c1+e1+e

當衛星在左半橢圓弧上運行時，對應的速度慢，根據面積守恒定律，則運行時間長，D正確.]

8.AD[由橢圓的方程可得，a=2,b=、/2,c=~\j2,

△PF1F2的周長為1PBl+|尸尸2|+尸匹|=20+2c=4+2也，故A正確；

當NPE尸2=90。時，PE_Lx軸，令x~也,可得y=±l,

所以故B不正確；

當NEPF2=60。時，的面積為b2-tan30o=2X/=",故C不正確；

33

當點P位于橢圓的上、下頂點時，『為|=|尸/司=。=2,而內正2|=2c=2也，此時/尸山尸2=90。,

有2個直角三角形，

當PFi±FIF2時，NPFiFz=90°,

此時點尸位于第二或第三象限，有2個直角三角形，

同理可得尸入J_FIF2時，/PF/i=90。，

此時有2個直角三角形，所以共有6個直角三角形，故D正確.]

9.—+^=110.3

1612

113

3

解析因為橢圓的離心率為:，長軸長為4,所以。=2,c=l,

2

在△PEB中，由余弦定理得

222ICOSI2I

IF1F2I=\PFII+\PF2\-2|PF||PF2|600=（|^F|+|PF2|）一3|PF||PF2|,

解得尸尸小尸7司=4,

所以S△咫后=3代4PF2|sin60。=%P人|+叱2|+「典），

即1X4X/=LX（4+2）,

222

解得

3

12.3

解析連接5。，PB,（圖略），

因為四邊形為菱形，則4C為線段班）的垂直平分線，故|必|=甲。，

所以|耽十|必|=|尸2/|+1尸0=|。//|=4>2=|班7|,

故點夕的軌跡是以5,〃為焦點且長軸長為4的橢圓，

可得2a=4,2c=2,即Q=2,c=l,

所以|尸的最大值為a+c=3.

13.解(1)由題意，

令》=°,可得產=〃[1—力，

解得了=盧，可得尤=金以

aa6

又由c2=a2~b2,

整理得6a2—6c2=\[3ac,

即6—6e2=yj3e,

即6/+#?—6=0,解得e=宣，

2

即橢圓C的離心率為

2

(2)由橢圓。的方程，可得MO,b),N(0，—b),

設P(xo,yd),所以b2xi+a2yi=a2b2,

則直線〃尸的方程為y=也二"+6,

Xo

令y=0,可得XR=3,

b—yo

同理直線NF的方程為了=如乜-6,令y=0,可得攻=凡

XQb+次

因為。刈。。|=儼;=層=4,

解得。=2,

又因為e=也，所以c=3,

2

則b=\ja2—c2=1,

所以橢圓C的方程為：+產=1.

14.解(1)因為點2與點/1―1'J

關于原點對稱，

所以點B的坐標為[1，-2),

設點P的坐標為(x,回，

3.3

y—y~\2

由題意得，?，=—9,

X-\-1X—1

化簡得止+M=l(xW±l),

43

22

故動點P的軌跡方程為工+工=l(xN±l).

43

(2)若存在點P使得△243與△PAW的面積相等，設點尸的坐標為(xo,yo),

則3口卜『3卜$也//尸5

■\PN\-sinZMPN,

因為sin/APB=sin/MPN,

所以也=叫

\PM\\PB\

所以的+1|=|3一瀏

|3—xo||xo-1|

即(3—xo)2=|x§—1|,

解得xo=9,

3

22

因為工+匕=l(xW±l),

43

所以外=色，

6

故存在點尸使得AP4B與叢PMN的面積相等,

［5,而］

此時點尸的坐標為〔3，6J.

15.D［如圖所示，設「典|=2c,

因為4尸訓=3門陽，

設/切=3/,

則尸幽=47,

在RtAF2AW中，\MN\=幣而不M=5/,

由橢圓定義可知/囹=2a—3f,

\F\M\=2a~4t,

|RN|+\FxM\=\MN\=4a—7t=5t,