第07講二次根式

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學習目標

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i.了解二次根式的概念

2.理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數中所含字母的取值范圍。

3.掌握二次根式的性質，能利用二次根式的性質進行化簡

［磨基礎知.

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知識點1:二次根式

1.二次根式的概念

一般地，我們把形如、儲（a?0）的式子的式子叫做二次根式，“，”稱為稱為

二次根號.

如百，向都是二次根式。

/\

二次根式滿足條件：_

（1）必須含有二次根號久「”

（2）被開方數必須是非負數

知識點2：二次根式有無意義的條件

條件字母表示

二次根式有意義被開方數為非負數幾有意義<=>a>0

二次根式無意義被開方數為負數幾無意義=a<0

知識點3：二次根式的性質

l.Va(a>0)的性質

符號語言Va(a>0)

文字語言一個非負數的算數平方根是非負數

提示疝a20)有最小值，為0

2.(4j2(a>0)的性質

(Va)2=a(a20)

符號語言

(1)正用：(V5)2=5'(7m2+l)=m2+1

應用

⑵逆用：若aNO,則a=(向，如2=(⑸,;=(?

逆用可以再實數范圍內分解因式：如

提示a--5=a_(^5)=(a+V5)(?-V5)

3.7a2的性質

-a(a>0)

符號語言后=|a|=_0(a=0)

_-a(a<0)

文字語言任意一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值

應用(1)正用：^(3_n)2=|3-n|=n-3

⑵逆用3小河坨

I|Q考點剖析

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考點一：根據二次根式概念判斷二次根式

1.（2023春?津南區期中）下列各式中，一定是二次根式的個數為（）

①席;②｛（一2產;③4;④3+1；⑤患;⑥病;⑦產（x>0）；⑧倔

⑨口.

A.7個B.6個C.5個D.4個

【答案】B

【解答】解：①J云；②｛（-2）2；③我;@A/X2+1;⑤⑥我;⑦(x>

0）；⑧&i；⑨口中，

只有③4；⑥我；⑨口不符合二次根式的定義,

故是二次根式的有6個.

故選：B.

【變式1-1］（2023春?雄縣月考）若遍為二次根式，則。的值可以是（）

A.2B.-0.1C.-2D.-5

【答案】A

【解答】解：；4是二次根式，

???〃的值可以是2.

故選：A.

【變式1-2］（2023春?金安區校級月考）下列式子中是二次根式的是（）

A.VaB.Vx-lC.｛J+2x+lD.V-2

【答案】C

【解答】解：A、?中，當。<0時，不是二次根式，故此選項不符合題意；

B、匯！中，當時，不是二次根式，故此選項不符合題意；

C、VX2+2X+1=A/（X+1）2>（尤+1）220恒成立，因此該式是二次根式，故此選項符

合題意;

。、d工中，被開方數-2<0,不是二次根式，故此選項不符合題意；

故選：C.

【變式1-3]（2023春?青秀區校級月考）下列各式是二次根式的是（）

A.｛軟2+]B.V-7c.VaD.^3

【答案】A

【解答】解：A、則八可是二次根式，故此選項符合題意；

B、17無意義，故此選項不符合題意；

C、當。<0時，?無意義，故此選項不符合題意；

D、我屬于三次根式，故此選項不符合題意；

故選：A.

考點二：根據二次根式的定義求字母的值

0rl例2.（2023春?崇左月考）已知怎是正整數，則自然數〃的最小值為（）

A.0B.2C.3D.12

【答案】C

【解答】解：：怎是正整數，”是整數，

：.n的最小值是3.

故選：C.

【變式2-1]（2023春?西青區期中）已知倔是整數，非負整數〃的最小值是（）

A.4B.3C.2D.0

【答案】D

【解答】解：：倔=W^,且倔是整數，

/.2^是整數，即2"是完全平方數，

，2心0,

的最小非負整數值為0,

故選：D.

【變式2-2]（2020春?江岸區校級期中）已知倔是整數，則滿足條件的最小正整數”為

（）

A.0B.1C.2D.8

【答案】C

【解答】解：；倔=2缶且是整數

：.2n是完全平方數

.??正整數〃的最小值是2

故選：c.

【變式2-3]（2023春?天門校級月考）112-n是一個正整數,則n的最小正整數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：由疵三是一個正整數，得

12-〃=9,

〃=3,

故選：C.

考點三：根據二次根式有意義條件求范圍

例3.（2023?貴港二模）若《互在實數范圍內有意義，則尤的值有可能是（）

ILJlA.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解答】解：：/言在實數范圍內有意義，

.*320,

解得：龍23,

故選：D.

【變式3-1]（2023?寧波模擬）使心互有意義的尤的取值，在數軸上表示正確的是（）

IbIII>

A.-2-1012

_1-------A——I--------1----------

B.-2-1012

?????

C.-2-1012

-J-------------1-1——6——

D.-2-1012

【答案】A

【解答】解：使471有意義,

則1+120,

解得：工2-1,

在數軸上表示為：

?,卜???>

-2-1012.

故選：A.

【變式3-2］（2023?長春模擬）若式子J放在實數范圍內有意義，則尤的取值范圍是（）

A.1W-2B.-2C.xW2D.x22

【答案】C

【解答】解：式子&在實數范圍內有意義，

則2-尤N0,

解得：xW2.

故選：C.

【變式3-3］（2023春?淮北月考）若至二在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為（）

V1-x

A.0?1B.OWxWlC.x20且xWlD.x>l

【答案】A

'x》0

【解答】解：根據題意得：（l-x>0,

1-xK0

解得：0Wx<l.

故選：A.

考點四：根據二次根式有意義求值

4.（2023春?東寶區月考）若產正工W4-2x-3,則（x+y）2023等于（

A.1B.5C.-5D.-1

【答案】D

【解答】解：*.*y=Vx-2+V4~2x-3,

：?x-220,4-2x20.

.??x22,九W2.

??兀=2?

y=Vx-2+V4-2x-3=0+0-3=-3.

(x+y)202』(2-3)2023=(-1)2023=-1.

故選：D.

【變式4-1](2022春?高青縣期末)若丫=正工+V4-2XT,則(x+y)2022等于()

A.1B.5C.-5D.-1

【答案】A

【解答】解：y=Vx-2+V4-2x-3，

.,.x-220,4-2x20.

.?.x22,xW2.

?.x=2?

/.y=Vx-2W4-2x-3=0+0-3=-3.

（x+y）202』（2-3）202』（-1）2022=1.

故選：A.

【變式4-2］（2023春?慈溪市期中）若x,y為實數，且GI+百彳+2y=4,貝Ux+y的值

為（）

A.2B.3C.5D.不確定

【答案】B

【解答】解：由題意，得

x-120,1-

解得x=l,

2y=4

y=2.

x+y=1+2=3.

故選：B.

【變式4-3］（2023春?潮南區期中）已知尤、y為實數，且y="x-2023W2023-X+1，則

x+y的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

【解答】解：202320,2023-H2,

Ax-2023=0,

，x=2023,

；.x+y=2023+l=2024,

故選：C.

考點五：利用二次根式的性質化簡（數字型）

例5.（2023春?樂清市期中）下列等式正確的是（）

B.A/16=+4CJ(-5廠2=7

D-7S2-22=1

【答案】A

【解答】解：A.喙，故此選項正確，符合題意;

B.V16=4,故此選項錯誤，不符合題意；

C.1（_5廠2=底=］，故此選項錯誤，不符合題意;

D.^32-22^^,故此選項錯誤，不符合題意.

故選：A.

【變式5-1]（2023春?東莞市校級期中）下列式子正確的是（）

A.7376=0.6B.｛（-13）2=--

C.^5=-3/5D.V49=±7

【答案】C

【解答】解：A.V0.62=0.36,

選項不符合題意；

B.J（-13）2=7169=13,不符合題意；

C.負數的立方根是負數，符合題意；

D，V49=7,不符合題意.

故選：C.

【變式5-2]（2023春?漢陽區期中）化簡：1（-2）2=（）

A.A/T2B.-2C.4D.2

【答案】D

【解答】解：7（-2）2=V4=2-

故選：D.

【變式5-3]（2023春?澄邁縣月考）把4小冷根號外的因式移進根號內，結果等于（）

A.-4nB.VTTc.-/44D.V44

【答案】D

【解答】解：原式=值義杵=值,

故選：D.

考點六：根據二次根式性質化簡（字母及復合型）

\一例6.（2023春?普蘭店區期中）實數a,b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡

"--------1J（a-b）2的結果是（）

—?-----??~?

Q0b

A.-a+bB.a-bC.-bD.b

【答案】A

【解答】解：由數軸可得：a-b<0,

故原式=-（a-b）=-〃+。.

故選：A.

【變式6-1](2022秋?開福區期末)實數a,b在數軸上的位置如圖所示，化簡

V(a+l)2+V(b-1)2-V(a-b)2的結果是()

-3-2-10123

A.0B.-2C.-2aD.2b

【答案】B

【解答】解：由題意得：a<-1,b>l,

d：+l<0,b-I>0,a-Z?<0,

：.^^=\a+l\+\b-\\-\a-b\

=-(〃+l)+/?-1-Qb-a)

=-a-1+b-1-b+a

=-2.

故選：B.

【變式6-2](2022秋?安岳縣期末)已知實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡：

Ia-2|+4(”4)2的結果為()

----1--------1_4

0----24

A.2B.-2C.2〃-6D.2〃+6

【答案】A

【解答】解：根據實數。在數軸上的位置得知：2<a<4,

即：a-2>0,a-4<0,

故原式=a-2+4-a=2.

故選：A.

考點七：根據參數范圍及二次根式的性質化簡二次根式

例7.(2023春?云浮校級期中)若1cx<3,則僅-3|+、/叫-1)2的值為()

A.2%-4B.-2C.2D.4-2尤

【答案】C

【解答】解：..TVxVS,

-1>0,x-3<0,

原式=仇-31+lx-1|

=-(x-3)+(x-1)

=-%+3+x-1

=2.

故選：C.

【變式7-1]（2023春?武穴市月考）己知那么化簡代數式M2a4?-

Ja2-8a+16的結果是（）

A.5-2aB.2a-5C.-3

【答案】B

【解答】解：

?二〃-1>0,a-3V0,

AVl-2a+a2-Va2-8a+16

=\a-l|-|tz-4|

=a~l+〃-4

—la-5,

故選：B.

【變式7-2］（2023春?東湖區校級期中）已知化簡：」笑-3產+|x+1|=

【答案】4.

【解答】解：

?*.x-3<0>x+l>0,

則原式=|x-3|+|x+l|

=3-x+x+1

=4,

故答案為：4.

考點八：含隱含條件的參數范圍化簡二次根式

例8.（2023春?花山區校級期中）化簡（卜a）p]的結果是（）

A.V1-aB.-Va-lC.-Vl-aD.Va-l

【答案】B

【解答】解：：戶有意義，

-1>0,

???1-aVO

—■Va-l-

故選：B.

【變式8-1]（2023春?黃陂區校級月考）把（x-1）根號外的因式移入根號內，結

果為（）

A.V1-xB.-V1-xC.Vx-lD.-Vx-l

【答案】B

【解答】解：由已知可得：」一〉0，

x-l

.,.X-1<0,即1-x>0,

故選：B.

【變式8-2]（2023春?德城區校級月考）若某三角形的三邊長分別為2,5,n,則化簡

V（3-n）2+|8-川的結果為（）

A.5B.2n-10C.2n-6D.10

【答案】A

【解答】解：?.?三角形的三邊長分別為2,5,”,

A5-2<"<5+2,

.\3<?<7,

W(3F產+18-n\

=|3-川+|8-n\

=n-3+8-n

=5,

故選：A.

考點九：復雜的復合二次根式化簡

例8（2。22春?宜秀區校級月考）已知|2020-3+江瓦元=。，則4a-40402的

值為（）

A.8084B.6063C.4042D.2021

【答案】A

【解答】解：由題意得，a-202120,

解得，。22021,

原式變形為：a-2O2O+Va-2021=a-

則Va-2021=2O2O,

：.a-2021=20202,

.?.4(1=4X20202+8084,

：.4a-40402=40402+8084-40402=8084,

故選：A.

||域真題演練'

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1.（2022?廣州）代數式一有意義時，x應滿足的條件為（)

x+1

A.xW-1B.x>-1C.x<-1D.xW-1

【答案】B

【解答】解：代數式^^有意義時，x+l>0,

x+1

解得：X>-1.

故選:B.

2.（2023?番禺區一模）下列計算正確的是（）

A-V^=2B..（-2）2=-2C,D-,(-2)2=±2

【答案】A

【解答】解：A.正確；符合題意.

B?（-2）2=2；不符合題意.

c.^yTg=-2；不符合題意.

D.q（-2）2=2;不符合題意.

故選：A.

3.（2021?益陽）將榨化為最簡二次根式，其結果是（）

AV45_Bc

'~2~'~2~'2

【答案】D

【解答】解：、匡=pw=①,

V2V2X22

故選：D.

4.（2023?潮南區模擬）實數a,b在數軸上對應點的位置如圖，則化簡J”+|@+b|的結

果為（）

A

—1a01b

A.2a-bB.2a+bC.bD.-2a+b

【答案】c

【解答】解：由圖可得：a<0,b>0,\a\<\b\,

**?4a2+|〃+"

=|。|+(〃+/?)

=-a+a+b

=b.

故選：C.

［營過關檢

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1.（2023春?巴南區期中）下列式子一定是二次根式是（）

A.V-4B.TTC.D.V7

【答案】D

【解答】解：4該代數式無意義，不符合題意；

8、TT是無理數，不是二次根式，故此選項不合題意；

C、該代數式是三次根式，故此選項不合題意；

D、4是二次根式，故此選項符合題意.

故選：D.

2.（2023春?荊州月考）若找次是整數，則正整數a的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

［解答］解:V54a=V9X6a=V9X竭=3強；

由J演是整數，得。最小值為6,

故選：C.

3.（2022春?裕安區校級期中）若尤,y為實數，且尸2+后^+匯§,則|.r+y|的值是（

A.5B.3C.2D.1

【答案】A

..(3-x>0

【解答】解:

1

.(x<3

Ix>3

.?.x=3,

?'?y=2.

??.|x+y|=|3+2|=5,

故選：A.

4.（2023?蕭山區模擬）下列各式中，正確的是（）

A..（-4）2=7B.774=-2C.V9=3D.V16=+4

【答案】C

【解答】解：可（一4）2=1-41=4,因此選項A不符合題意；

B.由于負數沒有平方根，因此無意義，因此選項8不符合題意；

C.如,即9的算術平方根，9的算術平方根是3,所以/§=3,因此選項C符合題意；

O.V16;即16的算術平方根，16的算術平方根是4,所以夜［=4,因此選項。不符合

題意；

故選：C.

5.（2023春?渦陽縣期中）化簡3-兀產的結果是（）

A.3-nB.-3-7iC.n-3D.n+3

【答案】c

【解答】解：原式=|3-句

=TT-3,

故選：C.

6.（2022秋?鼓樓區校級期末）實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡

7a2-8a+16+4（a-11）?結果為（）

--------?-------------?----?------?-----------A

05a10

A.