第06講估算和用計算器開方（3種題型）

坐【知識梳理】

一.實數(shù)大小比較

實數(shù)大小比較

（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大小.正實數(shù)都大于0,負(fù)實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負(fù)實數(shù)，兩個負(fù)實

數(shù)比大小，絕對值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點左側(cè)，絕對值大的反而小.

二.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

三.計算器一數(shù)的開方

正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：

當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點每向左或向右平移2位時，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點也相應(yīng)向左或向右平移1位，

即a每擴(kuò)大（或縮小）100倍，。相應(yīng)擴(kuò)大（或縮小）10倍.

W【考點剖析】

一.實數(shù)大小比較（共16小題）

1.（2023?福鼎市模擬）在實數(shù)TT,0,-1中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.0C.A/3D.TT

2.（2023春?梁山縣期中）比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小，正確的是（）

A.-3>-V3B.C.D.V8>2A/2

234

3.（2023?邦州區(qū)校級模擬）同表示不超過a的最大整數(shù).若實數(shù)a滿足方程@出工+^2,則同=

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022秋?海口期末）比較2、歷，3,有的大小，正確的是（）

A.V?<3<2A/2B.26<A/7<3C.V7<2A/2<3D.2M<3<夜

5.（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知a=-5&,b=-2遙，則a與b的大小關(guān)系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.無法確定

6.（2023?光山縣三模）寫出一個大于5小于6的無理數(shù)：.

7.（2023春?富川縣期中）比較大小：-岳1-近（填或“=”）

2

8.（2023春?龍子湖區(qū)期中）比較大小：通T_1（填

33

9.（2023?雁塔區(qū)校級模擬）比較大小：2A/34（填或"=

10.（2023?臨沐縣一模）比較大小生近_______-1.

22

11.（2022秋?宜陽縣期末）將下列各數(shù)按從小到大的順序排列，并用號連接起來：

2近,匹,,0,-1.7.

2

12.（2022秋?晉州市期中）已知如下信息：

①實數(shù)。有兩個不同的平方根，分別是彳-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反數(shù)是-5.

請解決以下問題：

（1）求出a,b,c的值；

（2）比較后I與c的大小，直接寫出結(jié)果.

13.（2021秋?山亭區(qū)期末）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較E-Z與2的大小.

33

小華的方法是：

因為內(nèi)>4,所以施-2_______2,所以內(nèi)-2_____2（填“>”或“<”）；

33

小英的方法是：

返且-2=運二￡因為19>42=16,所以5-40,所以逗二10,所以-2

33333

2（填“>”或

3

（1）根據(jù)上述材料填空；

（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較返二1與工的大小.

42

14.（2022春?跳北區(qū)期末）觀察表格，回答問題:

a…0.00010.01110010000

Va…0.01X1y100

（1）表格中，y=；

（2）從表格中探究。與遍數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：

①已知心316,則Yiooo弋；

②已知在=8.973,若五=897.3,用含機(jī)的代數(shù)式表示b,貝U6=；

（3）試比較與。的大小.

當(dāng)時，Va>a；當(dāng)時，Va=a；當(dāng)時，Va<a.

15.（2022秋?方城縣月考）（1）用或“="填空：如曰，娓戈；

（2）由以上可知：①|(zhì)J正-V17I=，②lVn-l-VnI

（3）計算：|1-我|+|&-百1+lJE-T|+……+|4-后4|.（結(jié)果保留根號）

16.（2021秋?正定縣期中）已知我+1在兩個連續(xù)的自然數(shù)a和。+1之間，1是b的一個平方根.

（1）求a,6的值；

（2）比較a+b的算術(shù)平方根與我的大小.

二.估算無理數(shù)的大小（共19小題）

17.（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）比收大且比J五小的整數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2023春?梁子湖區(qū)期末）一個正方形的面積是60,那么它的邊長在哪兩個相鄰的整數(shù)之間（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

19.（2023?臺兒莊區(qū)模擬）正整數(shù)人6分別滿足殯強(qiáng)，V2<b<V7,則〃=（）

A.16B.9C.8D.4

20.（2023春?合江縣期中）絕對值小于的所有正整數(shù)的和是.

21.（2023春?浦東新區(qū)校級期末）返在兩個連續(xù)的整數(shù)a和b之間（a<b）,則6。=.

22.（2022秋?長安區(qū)校級期末）的小數(shù)部分為a,則a（a+4）=.

23.（2022秋?永興縣期末）定義區(qū)為不大于x的最大整數(shù)，如⑵=2,［%巧］=1，［4.1］=4,則滿足］=5,

則n的最大整數(shù)為.

24.（2023?海淀區(qū)校級三模）已知a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，且貝Ia+6=.

25.（2023春?孝昌縣期中）若的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,求怎的值_______.

26.（2023春?臨潁縣期中）若6-JI5的整數(shù)部分為無，小數(shù)部分為》則（2尤+小石）y的值為

27.（2022秋?綏寧縣期末）已知述的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則a-工的值為.

28.（2023春?忠縣期末）已知實數(shù)。的平方根為2x+l,1-7元，舊的整數(shù)部分為4

(1)求a,6的值；

(2)若的小數(shù)部分為c，求25a-(b+c)2的平方根.

29.(2023春?常州期末)如圖1,已知紙片A是邊長為所的正方形，紙片B是相鄰兩邊長分別為皿、ym

的長方形，且紙片A、8的周長相等.

(1)當(dāng)a=5時.

①若x＞6,求y的取值范圍;

②如圖2,以紙片B的相鄰兩邊為邊長分別向外作正方形C、D,若紙片B的面積比紙片A的面積小

10cm2,求C、￡)的面積之和;

(2)如圖3,將紙片A、8疊合在一起，記陰影部分的周長為

①“=(用含X、。的代數(shù)式表示);

②若關(guān)于尤的不等式12恰有3個正整數(shù)解，則。的取值范圍是

30.(2023春?固始縣期末)下面是小李同學(xué)探索聲方的近似數(shù)的過程:

;面積為107的正方形邊長是“詬，且10＜百而＜11,

六設(shè)百方=10+x,其中0<x<l,畫出如圖示意圖，

,圖中S正方形=102+2X10*x+x^,S正方形=107

.,.102+2XWX+X2=107

當(dāng)了較小時，省略無2,得20x+l00Pl07,得至lJx^O.35,即。157^10.35.

（1）標(biāo)的整數(shù)部分是;

（2）仿照上述方法，探究/石的近似值.（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

10x

10

X

31.（2023春?鶴峰縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道的是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小

數(shù)，因此&的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用血-1來表示的小數(shù)部分，你同意小

明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為血的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)

部分，差就是小數(shù)部分.又例如：：22<（V7）2<32,即2<J7<3,...我的整數(shù)部分為2,小數(shù)部

分為（J7-2）.

請解答：

（1）板的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是

（2）如果旄的小數(shù)部分為m/而的整數(shù)部分為b,求a+b-芯的值.

32.（2023春?前郭縣期中）己知。-4的立方根是1,3a-6-2的算術(shù)平方根是3,W3的整數(shù)部分是c,

求2a-3b+c的平方根.

33.（2023春?無為市期中）根據(jù)表格解答下列問題:

X1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914

X2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196

（1）190.44的平方根是.

（2）V176.9^，718769=

（3）若13.5＜曰＜13.6,求滿足條件的整數(shù)w的值.

34.（2023?章貢區(qū)校級模擬）已知5a-2的立方根是-3,2a+b-1的算術(shù)平方根是4,c是的整數(shù)部

分，求3a+b+c的平方根.

35.（2023春?仙游縣期中）觀察：即2V板＜3,...有的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為

V7-2,請你觀察上述式子規(guī)律后解決下面問題.

（1）規(guī)定用符號［〃”表示實數(shù)機(jī)的整數(shù)部分，例如：［當(dāng)=0,何=3,填空：［、/1。+2］=_______；［5-

5

7131=.

（2）如果5+的小數(shù)部分為a,5-的小數(shù)部分為6,求次-房的值.

三.計算器一數(shù)的開方（共8小題）

36.（2021秋?鄭縣期中）利用計算器求啦）.059的值,正確的按鍵順序為（）

A.

37.（2020?安丘市二模）用計算器求35值時，需相繼按“3”，“射”，“5"，“=”鍵，若小穎相繼按

“4”，“冒”“3"，“=”鍵，則輸出結(jié)果是C）

A.6B.8C.16D.48

38.（2022秋?商水縣月考）甲同學(xué)利用計算器探索一個數(shù)x的平方，并將數(shù)據(jù)記錄如表:

X16.216.316.416.516.616.716.816.917.0

x1262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根據(jù)表求得282.24的平方根是.

39.（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）求一個正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如有些數(shù)則不能

直接求得，如病，但可以通過計算器求得，還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得,

請同學(xué)們觀察表：

n0.00160.16161600160000???

Vn0.040.4440400???

（1）表中所給的信息中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或向右移動2位則它的算術(shù)平方根的小

數(shù)點就向移動位；

（2）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：

①若43.65公1.910,V36.5?6.042,則4365000"；

②已知/~0.000365,貝I]x心.

40.（2021秋?通川區(qū)校級期中）利用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下:

???VO.0625Vo.625也.25“62.5V625“6250J62500???

???0.250.79062.57.9062579.06250???

根據(jù)以上規(guī)律，若71,69=1.30,V16.9=4.11,則。1690=.

41.（2023春?興寧區(qū)校級期末）閱讀下面材料，解答問題：

【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開展“運用規(guī)律求一個正數(shù)的算術(shù)平方根”的實踐活動.

【實踐探究】同學(xué)們利用計算器計算出下表中的算術(shù)平方根，整理數(shù)據(jù)如下：

…VO.0625VO.62576.25462.5^62546250462500…

…0.250.7912.57.912579.1250…

（1）根據(jù)上述探究，可以得到被開方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點的變化規(guī)律是：若被開方數(shù)的小數(shù)

點向右或向左移動位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或向左移動位：

（2）已知通生1.732，請運用上述規(guī)律直接寫出各式的值：Vo.03?，

V300^.

（3）你能根據(jù)?的值說出函的值是多少嗎？請說明理由.

42.（2022?惠陽區(qū)校級開學(xué)）（1）用計算器計算：仙-2=

41111-22=

7111111-222=

711111111-2222=

（2）觀察題（1）中各式的計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（3）試運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想：71111111111-22222=，并通過計算器驗證你的猜想.

43.（2022?惠陽區(qū)校級開學(xué)）用計算器求下列各式的近似值（精確到0.01）：

⑴陣+軻-兀；⑵VT1xM

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）己知a為整數(shù)，且滿足*＜a＜JR,則。等于（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022秋?河南平頂山?八年級統(tǒng)考期中）用計算器求應(yīng)的按鍵順序是（）.

A.8=S0DB.x28V0=SEID

C.J?的'=SEIDD.8V0%2=S0D

3.（2023?全國，八年級假期作業(yè)）估計12的算術(shù)平方根介于（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

4.（2022秋?全國?八年級階段練習(xí)）如果整數(shù)。滿足近＜°＜而，貝Ua的值是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2023春?廣東韶關(guān)?八年級統(tǒng)考期中）張華是初三的一名男生，今年三月，他參加了招飛體檢測評，他

的身高、體重和視力等各項指標(biāo)均達(dá)到了合格標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為他的身高和下面哪一個數(shù)值最接近？（）

A.0米B.6米C.小米D.（君-1）米

6.（2023春?河南安陽?八年級統(tǒng)考期中）一個正方形的面積是21,把此正方形的邊長增加1,則新的正方

形的邊長范圍是（）

A.4與5之間B.5與6之間C.6與7之間D.7與8之間

7.（2022秋?廣東梅州?八年級校考階段練習(xí)）估計0+3的值（）

A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間

8.（2023秋?福建寧德?八年級統(tǒng)考期末）面積為20的正方形的邊長為加，則優(yōu)的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

9.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則

大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）

10.（2023春?安徽亳州?八年級統(tǒng)考期末）滿足-應(yīng)＜x〈君的整數(shù)尤可以是（）

A.-3B.-2C.2D.3

二、填空題

11.（2023春?重慶九龍坡?八年級統(tǒng)考期末）已知行＜〃＜",且〃為正整數(shù)，則幾=.

12.（2022秋?北京昌平?八年級統(tǒng)考期末）若。和b為兩個連續(xù)整數(shù)，且］＜何＜"那么，=

，b=.

13.（2022秋?河南周口?八年級校考階段練習(xí)）若二ABC的底A5為4,底邊A3上的高為5,面積為S,則

V?4（填或

14.（2022秋?八年級課時練習(xí)）若°〈而＜6,且。、b為兩個連續(xù)的整數(shù)，c為這四個數(shù)g,兀，舟

收中的唯一有理數(shù)，則。兒=.

15.（2023春?黑龍江綏化?八年級統(tǒng)考期中）已知a,b分別是6-9的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么

的值為.

16.（2021春?廣東江門?八年級江門市第一中學(xué)校考期中）設(shè)#■的小數(shù)部分為“，則/的值是.

三、解答題

17.（2022秋?八年級課時練習(xí)）已知75而'=0.1,圻=1，A/100=10,710000=100,......

⑴填空：Vo.oooi=；

（2）已知?=1.414,4=141.4用含X的代數(shù)式表示V,貝IJy=；

⑶根據(jù)規(guī)律寫出夜與a的大小情況.

18.（2022秋?陜西榆林?八年級統(tǒng)考期中）觀察：因為"〈君＜百，即2（如＜3,所以君的整數(shù)部分為

2,小數(shù)部分為百-2.

請你觀察上述規(guī)律后解決下面的問題：

⑴規(guī)定用符號［詞表示實數(shù)加的整數(shù)部分，例如：［，=°，［而］=2.按此規(guī)定，那么［、何+1］的值為

(2)若JTT的整數(shù)部分為“，小數(shù)部分為6,H=而，求c(a-6-6)+12的值.

19.(2022秋?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期末)已知根-〃是-27的立方根，〃是萬的整數(shù)部分，求m+3〃的

平方根.

20.(2023?全國?八年級假期作業(yè))如圖，把兩個面積均為18cm2的小正方形分別沿對角線裁剪后拼成一個

大的正方形.

⑴求大正方形的邊長.

(2)若沿此大正方形邊的方向裁剪出一個長方形，能否使裁剪出的長方形紙片的長寬之比為3:1,且面積為

24cm2.若能，試求剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由.

21.(2023春?山東聊城?八年級統(tǒng)考期中)已知5a+2的立方根是3,3a+〃-l的算術(shù)平方根是4,。是M

的整數(shù)部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求2a+b-c的平方根.

22.(2023?江蘇?八年級假期作業(yè))用計算器求下列各式的值(精確到0.001);

(1)-7843；

(2)±7557；

(3)^045;

⑷々-34012?

23.(2023春?山東濰坊?八年級高密市立新中學(xué)校考階段練習(xí))如圖圖形，每個小正方形的邊長為1.

⑴求圖中陰影