PAGE1-課時分層作業(二十二)獨立性檢驗(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．為了探討中學學生對鄉村音樂的看法(喜愛和不喜愛兩種看法)與性別的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算得χ2＝7.01，則認為“喜愛鄉村音樂與性別有關系”的把握約為()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%C[易知χ2＝7.01>6.635，比照臨界值表知，有99%的把握認為喜愛鄉村音樂與性別有關系．]2．某探討所為了檢驗某血清預防感冒的作用，把500名運用了該血清的志愿者與另外500名未運用該血清的志愿者一年中的感冒記錄作比較，提出假設H：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯表計算得χ2≈3.918，經查臨界值表知P(χ2≥3.841)＝0.05.則下列敘述中正確的是()A．有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”B．若有人未運用該血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．這種血清預防感冒的有效率為95%D．這種血清預防感冒的有效率為5%A[χ2≈3.918>3.841，因此有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”，故選A.]3．給出下列實際問題：①一種藥物對某種病的治愈率；②兩種藥物治療同一種病是否有區分；③吸煙者得肺病的概率；④吸煙是否與性別有關系；⑤網吧與青少年的犯罪是否有關系．其中用獨立性檢驗可以解決的問題有()A．①②③ B．②④⑤C．②③④⑤ D．①②③④⑤B[獨立性檢驗是推斷兩個分類變量是否有關系的方法，而①③都是概率問題，不能用獨立性檢驗．]4．下表是甲、乙兩個班級進行數學考試，按學生考試及格與不及格統計成果后的2×2列聯表，則χ2的值為()不及格及格合計甲班123345乙班93645合計216990A.0.559 B．0.456C．0.443 D．0.4A[χ2＝eq\f(90×12×36－33×92,45×45×21×69)≈0.559，故選A.]5．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是()A．若χ2>6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病B．從獨立性檢驗可知，有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C．若從χ2統計量中得出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤D．以上三種說法都不正確C[A，B是對χ2的誤會，99%的把握認為吸煙和患肺病有關，是指通過大量的視察試驗得出的一個數值，并不是100個人中必有99個人患肺病，也可能這100個人全健康．]二、填空題6．(一題兩空)在一項打鼾與患心臟病的調查中，共調查了1671人，經過計算χ2＝7.63，依據這一數據分析，有______的把握說，打鼾與患心臟病是________的．(“有關”或“無關”)99%有關[∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握說，打鼾與患心臟病是有關的．]7．若兩個分類變量x和y的列聯表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關系的概率約為________．0.999[χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>10.828，∴x與y之間有關系的概率約為1－0.001＝0.999.]8．某高校“統計初步”課程的老師隨機調查了選該課程的一些學生狀況，詳細數據如下表：非統計專業統計專業男1310女720為了推斷主修統計專業是否與性別有關系，依據表中數據，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844>3.841，所以斷定主修統計專業與性別有關系，那么這種推斷出錯的可能性約是________．5%[∵P(χ2≥3.841)＝0.05，故推斷出錯的可能性為5%.]三、解答題9．某高校餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如下表所示：喜愛甜品不喜愛甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100(1)依據表中數據，問是否有95%的把握認為南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異；(2)已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生，其中2名喜愛甜品，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜愛甜品的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635[解](1)將2×2列表中的數據代入公式計算，得χ2＝eq\f(100×60×10－20×102,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握認為南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異．(2)從5名數學系學生中任取3人的一切可能結果所組成的基本領件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜愛甜品的學生，i＝1,2，bj表示不喜愛甜品的學生，j＝1,2,3.基本領件空間Ω由10個基本領件組成，且這些基本領件的出現是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜愛甜品”這一事務，則A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．事務A由7個基本領件組成，因而P(A)＝eq\f(7,10).10．某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產方式，其次組工人用其次種生產方式．依據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據莖葉圖推斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由．(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：超過m不超過m第一種生產方式其次種生產方式(3)依據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)其次種生產方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用其次種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多80分鐘．因此其次種生產方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘．因此其次種生產方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需平均時間高于80分鐘；用其次種生產方式的工人完成生產任務所需平均時間低于80分鐘．因此其次種生產方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同，故可以認為用其次種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少．因此其次種生產方式的效率更高．(以上給出了4種理由，答出其中隨意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列聯表如下：超過m不超過m第一種生產方式155其次種生產方式515(3)因為χ2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異．11．某人探討中學生的性別與成果、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是()表1成果性別不及格及格總計男61420女102232總計163652表2視力性別好差總計男41620女122032總計163652表3智商性別偏高正常總計男81220女82432總計163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計男14620女23032總計163652A.成果 B．視力C．智商 D．閱讀量D[A中，χ2＝eq\f(52×6×22－10×142,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440)；B中，χ2＝eq\f(52×4×20－12×162,20×32×16×36)＝eq\f(637,360)；C中，χ2＝eq\f(52×8×24－8×122,20×32×16×36)＝eq\f(13,10)；D中，χ2＝eq\f(52×14×30－2×62,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).因此閱讀量與性別相關的可能性最大，所以選D.]12．(多選題)有兩個分類變量X，Y，其列聯表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數，若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為X，Y有關，則a的值為()A．6 B．7C．8 D．9CD[依據公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)＞3.841，依據a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得當a＝8或9時滿意題意．]13．(一題兩空)為探討某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調查后得下表中的數據：無效有效合計男性患者153550女性患者64450合計2179100設H：服用此藥的效果與患者的性別無關，則χ2≈________(小數點后保留一位有效數字)，從而得出結論：服用此藥的效果與患者的性別有關，這種推斷出錯的可能性為________．4.95%[由公式計算得χ2≈4.9.∵χ2>3.841，∴我們有95%的把握認為服用此藥的效果與患者的性別有關，從而有5%的可能性出錯．]14．某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜愛足球進行調查，對高于40歲的調查了50人，不高于40歲的調查了50人，所得數據制成如下列聯表：不喜愛足球喜愛足球總計高于40歲pq50不高于40歲153550總計ab100若工作人員從全部統計結果中任取一個，取到喜愛足球的人的概率為eq\f(3,5)，則有超過________的把握認為年齡與足球的被喜愛程度有關．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥k)0.050.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82895%[設“從全部人中隨意抽取一個，取到喜愛足球的人”為事務A，由已知得P(A)＝eq\f(q＋35,100)＝eq\f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝eq\f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq\f(25,6)≈4.167>3.841.故有超過95%的把握認為年齡與足球的被喜愛程度有關．]15.海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖：舊養殖法新養殖法(1)設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事務“舊養殖法的箱產量低于50kg，新養殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯表，并依據列聯表推斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關．箱產量<50kg箱產量≥50kg舊養殖法新養殖法附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)記B表示事務“舊養殖法的箱產量低于50kg”，C表示事務“新養殖法的箱產量不低于50kg”，由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，舊養殖法的箱產量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估計值為0.62，新養殖法的箱產