試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二章方程與不等式第08講不等式（組）及其應用（思維導圖+4考點+3命題點14種題型（含3種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一不等式的有關概念及性質考點二一元一次不等式考點三一元一次不等式組考點四不等式（組）及應用04題型精研·考向洞悉命題點一解一元一次不等式（組）?題型01不等式的性質?題型02直接解一元一次不等式（組）?題型03利用數軸表示一元一次不等式（組）的解集?題型04求一元一次不等式（組）的特殊解?題型05以注重過程性學習的形式考查一元一次不等式（組）?題型06與解一元一次不等式（組）有關的新定義問題命題點二不等式（組）的含參問題?題型01已知解集求參數的值或取值范圍?題型02已知整數解的情況求參數的值或取值范圍?題型03已知不等式有/無解求參數的取值范圍?題型04不等式與方程綜合求參數的取值范圍?題型05與含參不等式（組）有關的新定義問題?題型06以開放性試題的形式考查解一元一次不等式（組）命題點三不等式（組）的實際應用?題型01列不等式（組）?題型02利用不等式（組）解決實際問題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求不等式的性質★結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質；能用不等式的基本性質對不等式進行變形.解不等式（組）★★★能解一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集;會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集.不等式（組）解集的表示★不等式（組）的含參問題★★不等式（組）的特殊解★不等式（組）的實際應用★★能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式,解決簡單的實際問題.【考情分析1】本專題包含不等式的基本性質、一元一次不等式及一元一次不等式組的解法，解題時注意不等式與等式性質的區別，試題多以選擇題、填空題的形式出現，難度一般，題目中經常出現非負整數、正整數等名詞，注意其含義.對于不等式（組）中含參數問題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學生應在復習過程中扎實掌握．【考情分析2】用不等式(組)解決實際問題，多以解答題形式出現，難度一般，其多與二元一次方程組或分式方程等結合，解題的一般步驟類比列方程解應用題的步驟，依次為審、設、列、解、答.需要注意的是找出重要的數量信息，確定不等關系，以及“不超過”“不少于”等詞語與不等號間的轉化，問題中的“不超過”“不少于”“至少”“最多”等表示不等關系的詞語在設未知量的過程中不體現，體現在列不等式上.【備考建議】在備考過程中，建議學生加強對不等式（組）基礎概念的理解，掌握一元一次不等式（組）的解法，并注重實際應用和綜合題型的練習.同時，也要注意培養自己的思維能力和解題技巧，以便更好地應對各種命題形式.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一不等式的有關概念及性質1.不等式不等式的定義：用符號“＞”、“＜”表示大小關系的式子，叫做不等式，像x≠2這樣用符號“≠”表示的不等關系的式子也叫不等式.常見的不等式基本語言與符號表示不等式基本語言符號表示不等式基本語言符號表示不等式基本語言符號表示a是正數a＞0a是非正數a≤0a、b同號ab＞0a是負數a＜0a是非負數a≥0a、b異號ab＜02.不等式的解及解集不等式的解：使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示.不等式表示x＞ax＜ax≥ax≤a數軸表示【易錯點】用數軸上表示不等式的解集時，要注意兩點：1）確定邊界點，若邊界點表示的數是不等式的解，用實心圓點，若邊界點表示的數不是不等式的解，則用空心圓圈；2）確定方向，小于邊界點表示的數時向左畫，大于邊界點表示的數時向右畫.解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.3.不等式的性質性質1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變若a＞b，則a±c＞b±c性質2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變若a＞b，c＞0，則ac＞bc（或ac性質3不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變若a＞b，c＜0，則ac＜bc（或ac【補充說明】運用不等式的性質的注意事項：1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數一定是同一個數或同一個式子．3）在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清楚這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號要改變方向.4）所謂不等號方向改變，就是指原來的不等號方向改變成與其相反的方向，如“＞”改變方向后就變成“＜”.1．（2024·廣東廣州·中考真題）若a<b，則（

）A．a+3>b+3 B．a?2>b?2 C．?a<?b D．2a<2b2．（2024·湖南長沙·模擬預測）若x>y，且ax>ay，則（

）A．a>0 B．a<0 C．a>1 D．a<13．（2023·山東濟南·中考真題）實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）

A．ab>0 B．a+b>0C．a+3<b+3 D．?3a<?3b4．（2024·江蘇無錫·中考真題）命題“若a>b，則a?3<b?3”是命題．（填“真”或“假”）5．（23-24七年級下·河南新鄉·期中）選擇適當的不等號填空：若a<b，則?2a+1?2b+1．考點二一元一次不等式1.一元一次不等式定義：一般地，不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，不等式的左右兩邊都是整式，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.一元一次不等式的一般形式：ax+b＜0或ax+b＞0a≠02.一元一次不等式的解集及表示方法定義：一元一次不等式的所有解組成的集合，叫做一元一次不等式的解集.表示方法：1）用不等式表示.2）用數軸表示.3.解一元一次不等式的一般步驟為：步驟具體做法注意事項去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數，得到系數為整數的不等式1）不要漏乘不含分母的項；2）當分母中含有小數時，先將小數化成整數，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號1)去括號時，括號前的數要乘括號內的每一項，不要漏乘；2)若括號外是負號時，去掉括號后括號內的各項負號都要改變符號..移項一般把含有未知數的項移到不等式左邊，其它項都移到不等式右邊1）移項時不要漏項;2）將不等式中的項從一邊移到另一邊要變號，而在不等式同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把不等式變為ax＜aa≠0的形式1）不要漏項；2）系數的符號處理要得當.

3）字母及指數保持不變.系數化為1將不等式化為的形式1)不等式兩邊都除以未知數系數;2)當系數為負數，不等號的方向發生改變.【補充說明】在解一元一次不等式時，上述的五個步驟不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的順序，要根據不等式的形式靈活安排求解步驟.1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）要使x?1有意義，則實數x的取值范圍是．2．（2024·福建·中考真題）不等式3x?2<1的解集是．3．（2023·江蘇宿遷·中考真題）不等式x?2≤1的最大整數解是．4．（2023·山東日照·中考真題）若關于x的方程xx?1?2=3m2x?2解為正數，則A．m>?23 B．m<43 C．m>?23且5．（2024·四川眉山·中考真題）解不等式：x+13QUOTEQUOTE考點三一元一次不等式組1.一元一次不等式組定義：關于同一個未知數的幾個一元一次不等式聯立在一起，就組成了一個一元一次不等式組.2.一元一次不等式組的解集一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的不等式組的解集．解不等式組就是求它的解集.【補充】1）如果不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解.2）在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數軸來表示不等式組的解集的.確定方法如下表所示：不等式組設a＞b解集x＞ax＜b無解數軸上的表示口訣同大取大同小取小大大小小無處找大小，小大中間找3.解一元一次不等式組的一般步驟第一步：求出不等式組中各不等式的解集；第二步：將各不等式的解集在數軸上表示出來；第三步：在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.1．（2024·河南·中考真題）下列不等式中，與?x>1組成的不等式組無解的是（

）A．x>2 B．x<0 C．x<?22．（2024·四川涼山·中考真題）求不等式?3<4x?7≤9的整數解．3．（2023·黑龍江大慶·中考真題）若關于x的不等式組3(x?1)>x?68?2x+2a≥0有三個整數解，則實數a的取值范圍為4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）解不等式組：2x+6>x5．（2023·青海·中考真題）為豐富學生課余生活，提高學生運算能力，數學小組設計了如下的解題接力游戲：(1)解不等式組：2x?1<7①x+1>2②(2)當m取（1）的一個整數解時，解方程x2考點四不等式（組）及應用用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟：審：認真審題，分清已知量、未知量及其關系，找出題中不等關系要抓住題中的關鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過”、“超過”等；設：設出適當的未知數；列：根據題中的不等關系，列出不等式；解：解所列的不等式；驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.一元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句：1）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系，因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．2）對一些實際問題的分析還要注意結合實際.有些不等關系隱含于生活常識中,如小王用50元去買單價為6元的筆記本，設買x本，求x的取值范圍時,其問題中就隱含著所花錢數不能超過50元.由此可得出不等式6x≤50.3）在設未知數時，表示不等關系的文字如“至少”不能出現，即應給出肯定的未知數的設法，然后在最后寫答案時，應把表示不等關系的文字補上．

1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）端午節是我國傳統節日，端午節前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（

）A．20% B．25% C．75%2．（2023宜賓市一模）八（1）班同學參加社會實踐活動，在王伯伯的指導下，要圍一個如圖所示的長方形菜園ABCD，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊的總長恰好為12m，設邊BC的長為xm，邊AB的長為ym(x>y)．則y與x之間的函數表達式為（

）A．y=?2x+12(0<x<12) B．y=?C．y=2x?12(0<x<12) D．y=3．（2024·浙江臺州·二模）州市域鐵路S1線臺州站至城南站全長52km，理論票價實行里程分段計價制，理論票價y（單位：元）與行駛里程x（單位：km）之間的函數關系如圖（AB，BC為線段），但在定價時，按該分段計價制所得結果常為小數，實際票價為大于或等于該值的最小整數，如當行駛里程為37km時，所得理論票價為8.5元，實際票價則為9元，經查從甲站到乙站的實際票價為10元，則甲乙兩站的里程不可能為（

A．44km B．45km C．46km D．47km4．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，根據機器零件的設計圖紙，用不等式表示零件長度L的合格尺寸（L的取值范圍)．5．（2024·山東濱州·模擬預測）小明帶10元錢想買一盒餅干和一袋牛奶，可是售貨員阿姨說：本來10元錢夠一盒餅干的，但再買一袋牛奶就不夠了，今天是兒童節給你的餅干打9折，兩樣東西拿好，再找你8角錢，餅干的標價可是整數哦，請你幫小明算出牛奶和餅干的標價．04題型精研·考向洞悉命題點一解一元一次不等式（組）?題型01不等式的性質解題方法：性質1若a＞b，則a±c＞b±c性質2若a＞b，c＞0，則ac＞bc（或ac性質3若a＞b，c＜0，則ac＜bc（或ac互逆性若a＞b，則b＜a，若a＜b，則b＞a傳遞性若a＞b，b＞c，則a＞c【易錯點】在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清楚這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號要改變方向.1．（2024·吉林長春·中考真題）不等關系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A．若a>b，則a+c>b+c B．若a>b，b>c，則a>cC．若a>b，c>0，則ac>bc D．若a>b，c>0，則a2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）若a>b?1，則下列結論一定正確的是（

）A．a+1<b B．a?1<b C．a>b D．a+1>b3．（2024·安徽·中考真題）已知實數a，b滿足a?b+1=0，0<a+b+1<1，則下列判斷正確的是（

）A．?12<a<0C．?2<2a+4b<1 D．?1<4a+2b<04．（2024·山東德州·中考真題）實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所，下列結論正確的是（

）A．a>b C．a+2>b+2 D．a?1QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直接解一元一次不等式（組）1．（2024·河北·中考真題）下列數中，能使不等式5x?1<6成立的x的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·廣西·中考真題）不等式7x+5<5x+1的解集為．3．（2024·北京·中考真題）解不等式組：34．（2024·四川成都·中考真題）（1）計算：16+2（2）解不等式組：2x+3≥?1?題型03利用數軸表示一元一次不等式（組）的解集不等式組設a＞b解集x＞ax＜b無解數軸上的表示口訣同大取大同小取小大大小小無處找大小，小大中間找1．（2023·浙江臺州·中考真題）不等式x+1≥2的解集在數軸上表示為（

）．A．

B．

C．

D．

2．（2024·江蘇連云港·中考真題）解不等式x?123．（2024·西藏·中考真題）解不等式組：3x?2>12x?14．（2023·天津·中考真題）解不等式組2x+1≥x?1請結合題意填空，完成本題的解答．(1)解不等式①，得________________；(2)解不等式②，得________________；(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

(4)原不等式組的解集為________________．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04求一元一次不等式（組）的特殊解1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）不等式組x>x?225x?3<9+x2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式1+x33．（2024·山東淄博·中考真題）解不等式組：124．（2023·山東煙臺·中考真題）先化簡，再求值：a2?6a+9a?2÷a+2+QUOTE?題型05以注重過程性學習的形式考查一元一次不等式（組）1．（2024·山西·模擬預測）（1）計算：6×3（2）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．2x+13解：22x+14x+2?6>x?1，第二步4x?x>?1?2?6，第三步3x>?9，第四步x>?3．第五步任務一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據____________進行變形的；②第____________步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是____________．任務二：請直接寫出該不等式的正確解集．2．（2024·浙江金華·二模）解不等式x?12解：去分母得：3(x?1)?2(2x+1)≥1…①去括號得：3x?3?4x+1≥1…②移項得：3x?4x≥1+3?1…③合并同類項得：?x≥3…④兩邊都除以?1得：x≥?3…⑤3．（2023·寧夏·中考真題）解不等式組1?下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：解：由①得：4?22x?1>3x?14?4x+2>3x?1

第2步?4x?3x>?1?4?2?7x>?7

第3步x>1

第4步任務一：該同學的解答過程第_______步出現了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．4．（2024·寧夏銀川·模擬預測）下列是某不等式組的部分求解過程，請認真閱讀并解答：3(1?x)解：解不等式①，去括號，得3?3x＜移向，得?3x?2x＜合并同類項，得?5x＜系數化為1，得x＜(1)以上解不等式①的過程中，從第步開始出現錯誤，直接寫出正確的計算結果是，這一步的依據是；(2)將不等式①和不等式②的解集在如圖的數軸上表示出來；(3)原不等式組的解集為；(4)此不等式組的最小整數解為．QUOTE?題型06與解一元一次不等式（組）有關的新定義問題1．（2021·內蒙古·中考真題）定義新運算“?”，規定：a?b=a?2b．若關于x的不等式x?m>3的解集為x>?1，則m的值是（）A．?1 B．?2 C．1 D．22．（2021·廣西·中考真題）定義一種運算：a?b=a,a≥bb,a<b，則不等式(2x+1)?(2?x)>3的解集是（A．x>1或x<13 B．?1<x<13 C．x>1或x<?1 3．（2022·浙江·二模）對于實數a，b，定義一種運算“?”：a?b=a2?ab，那么不等式組1?x>0A． B．C． D．4．（2024·四川南充·模擬預測）定義一種新運算：a?b=a?ab，例如：2?3=2?2×3=?4．根據上述定義，不等式組2?x≥?1x?2≤1的整數解為命題點二不等式（組）的含參問題?題型01已知解集求參數的值或取值范圍1．（2023·湖北鄂州·中考真題）已知不等式組x?a>2x+1<b的解集是?1<x<1，則a+bA．0 B．?1 C．1 D．20232．（2024·四川南充·中考真題）若關于x的不等式組2x?1<5x<m+1的解集為x<3，則m的取值范圍是（

A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤23．（2024·浙江·中考真題）關于x的一元一次不等式組x?m>03x?4>2的解為x>2，則m的取值范圍為4．（2023·湖北黃石·中考真題）若實數a使關于x的不等式組?2<x?1<3x?a>0的解集為?1<x<4，則實數a的取值范圍為5．（2023·山東日照·中考真題）若點Mm+3,m?1在第四象限，則m的取值范圍是?題型02已知整數解的情況求參數的值或取值范圍1．（2023·四川眉山·中考真題）關于x的不等式組x>m+35x?2<4x+1的整數解僅有4個，則m的取值范圍是（

A．?5≤m<?4 B．?5<m≤?4 C．?4≤m<?3 D．?4<m≤?32．（2022·湖南邵陽·中考真題）關于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．63．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的不等式組4?2x≥012x?a>0恰有3個整數解，則a4．（2023·山東聊城·中考真題）若不等式組x?12≥x?232x?m≥x的解集為x≥m5．（2023·四川宜賓·中考真題）若關于x的不等式組2x+1>x+a①x2+1≥52x?9QUOTE?題型03已知不等式有/無解求參數的取值范圍解題方法：解不等式得到的最終形式有：，，，，對應有解或無解的情況如下表：1．（2022·四川綿陽·中考真題）已知關于x的不等式組2x+3≥x+m2x+53?3<2?x無解，則12．（2023·山東泰安·二模）若關于x的不等式組x+a≥02x+1≥3x+1有解，則a?題型04不等式與方程綜合求參數的取值范圍1．（2024·湖南長沙·模擬預測）若關于x的不等式組2x?a≤?1x+12?2x3<1有且只有兩個偶數解，且關于A．15 B．10 C．5 D．32．（2024·四川南充·模擬預測）若關于x的不等式組3x+5≤2x+6x+1>a無解，且關于y的分式方程5?ay2?y?1=3y?2A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或73．（2024·重慶·中考真題）若關于x的不等式組4x?13<x+12x+1≥?x+a至少有2個整數解，且關于y的分式方程a?14．（2024·河北滄州·模擬預測）若關于x，y的二元一次方程組2x+y=k?1x+2y=2的解滿足x?y<0，則k的取值范圍為（

A．k<1 B．k>1 C．k<3 D．k>35．（2022·湖北荊州·中考真題）已知方程組x+y=3①x?y=1②的解滿足2kx?3y<5?題型05與含參不等式（組）有關的新定義問題1．（2022·四川巴中·中考真題）對于實數a，b定義新運算：a※b=ab2?b，若關于x的方程1A．k>?14 B．k<?14 C．k>?14且2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數a，b定義運算“※”為a※b=a+3b，例如5※2=5+3×2=11，則關于x的不等式x※m<2有且只有一個正整數解時，m的取值范圍是．3（2020·內蒙古通遼·中考真題）用※定義一種新運算：對于任意實數m和n，規定m※n=m2n?mn?3n（1）求?2※（2）若3※m≥?6，求m的取值范圍，并在所給的數軸上表示出解集．4．（2024·山東濟寧·二模）定義：若一元一次不等式組的解集（不含無解）都在一元一次不等式的解集范圍內，則稱該一元一次不等式組為該不等式的“子集”．如：不等式組2x?3<9?x5x+5≥2x?4的解集為?3≤x<4，不等式2x?1>?9的解為x>?4∵?3≤x<4在x>?4的范圍內，∴一元一次不等式組2x?3<9?x5x+5≥2x?4是一元一次不等式2x?1>?9若關于x的不等式組3x?6>2?xx?1≥4x?10是關于x的不等式x?k≤1的“子集”，則k的取值范圍是5．（2022·廣東揭陽·模擬預測）已知a，b為常數，對實數x，y定義，我們規定??運算為：x??y=ax?by+1，這里等式右邊是通常的代數四則運算，例如：0?(1)求常數a，b的值；(2)若關于m的不等式組2m??(5?4m)≤4m??題型06以開放性試題的形式考查解一元一次不等式（組）1．（2023·四川瀘州·中考真題）關于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2y=6的解滿足x+y>22，寫出a的一個整數值2．（2024·山東煙臺·中考真題）關于x的不等式m?x2≤1?x有正數解，m3．（2024·山東·中考真題）寫出滿足不等式組x+2≥12x?1<5的一個整數解4．（2024·山東·模擬預測）若關于x的不等式組2x?13?2≥12m?3x2+5．（2024·貴州畢節·三模）（1）計算：4sin（2）對于以下三個不等式①3x+1<?2、②3x?3≤x+1、③2(x?1)≤3x?5，請從中任選兩個不等式，組成一個不等式組，并解出這個不等式組的解集．命題點三不等式（組）的實際應用?題型01列不等式（組）1．（2023·浙江·中考真題）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（

）A．52+15n>70+12n B．52+15n<70+12nC．52+12n>70+15n D．52+12n<70+15n2．（2024·遼寧·模擬預測）丹東九九草莓是一種品質優良、花朵大、果實顏色鮮艷且糖度高的草莓品種，廣泛栽培于遼寧省的丹東市和周邊地區．因其好看、好吃等特點，在市場上備受歡迎．某大型超市從生產基地花費4000元購進200kg丹東九九草莓，運輸過程中質量損失3%，超市計劃銷售這批草莓至少獲得20%的利潤（不計其他費用），售價至少定為多少？設售價定為xA．2001?3%x≥4000C．2001+3%x≥40003．（2023·浙江·模擬預測）圓圓將某服飾店的促銷活動內容告訴芳芳后，假設芳芳購買A商品的定價為x元，并列出關系式為0.8(2x?100)<1000，則圓圓告訴芳芳的內容可能是（

）A．買兩件A商品可先減100元，再打8折，最后不到1000元 B．買兩件A商品可先減100元，再打2折，最后不到1000元C．買兩件A商品可先打8折，再減100元，最后不到1000元 D．買兩件A商品可先打2折，再減100元，最后不到1000元?題型02利用不等式（組）解決實際問題1．（2024·湖南·中考真題）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．(1)求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；(2)該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？2．（2024·江西·中考真題）如圖，書架寬84cm，在該書架上按圖示方式擺放數學書和語文書，已知每本數學書厚0.8cm，每本語文書厚1.2cm．(1)數學書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數學書和語文書各多少本；(2)如果書架上已擺放10本語文書，那么數學書最多還可以擺多少本？3．（2023·四川資陽·中考真題）端午節到來之際，小明家的經銷店準備銷售粽子和咸鴨蛋．據了解，購進500個粽子和200個咸鴨蛋共需1700元，已知一個粽子的進價比一個咸鴨蛋的進價多2元．(1)求每個粽子和每個咸鴨蛋的進價分別為多少元?(2)若每個粽子的售價為5元，每個咸鴨蛋的售價為2元．小明父親打算購進粽子和咸鴨蛋共1000個，全部售完后利潤不低于1600元，求至少購進多少個粽子?4．（2024·江蘇宿遷·中考真題）某商店購進A、B兩種紀念品，已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10元．用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同．(1)求紀念品A、B的單價分別是多少元？(2)商店計劃購買紀念品A、B共400件，且紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）為了增強學生的體質，某學校倡導學生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．(1)購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？(2)若購買甲乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數量不低于乙種品牌毽子數量的5倍且不超過乙種品牌毽子數量的16倍，則有幾種購買方案？(3)若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

第二章方程與不等式第08講不等式（組）及其應用（思維導圖+4考點+3命題點14種題型（含3種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一不等式的有關概念及性質考點二一元一次不等式考點三一元一次不等式組考點四不等式（組）及應用04題型精研·考向洞悉命題點一解一元一次不等式（組）?題型01不等式的性質?題型02直接解一元一次不等式（組）?題型03利用數軸表示一元一次不等式（組）的解集?題型04求一元一次不等式（組）的特殊解?題型05以注重過程性學習的形式考查一元一次不等式（組）?題型06與解一元一次不等式（組）有關的新定義問題命題點二不等式（組）的含參問題?題型01已知解集求參數的值或取值范圍?題型02已知整數解的情況求參數的值或取值范圍?題型03已知不等式有/無解求參數的取值范圍?題型04不等式與方程綜合求參數的取值范圍?題型05與含參不等式（組）有關的新定義問題?題型06以開放性試題的形式考查解一元一次不等式（組）命題點三不等式（組）的實際應用?題型01列不等式（組）?題型02利用不等式（組）解決實際問題

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求不等式的性質★結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質；能用不等式的基本性質對不等式進行變形.解不等式（組）★★★能解一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集;會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集.不等式（組）解集的表示★不等式（組）的含參問題★★不等式（組）的特殊解★不等式（組）的實際應用★★能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式,解決簡單的實際問題.【考情分析1】本專題包含不等式的基本性質、一元一次不等式及一元一次不等式組的解法，解題時注意不等式與等式性質的區別，試題多以選擇題、填空題的形式出現，難度一般，題目中經常出現非負整數、正整數等名詞，注意其含義.對于不等式（組）中含參數問題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學生應在復習過程中扎實掌握．【考情分析2】用不等式(組)解決實際問題，多以解答題形式出現，難度一般，其多與二元一次方程組或分式方程等結合，解題的一般步驟類比列方程解應用題的步驟，依次為審、設、列、解、答.需要注意的是找出重要的數量信息，確定不等關系，以及“不超過”“不少于”等詞語與不等號間的轉化，問題中的“不超過”“不少于”“至少”“最多”等表示不等關系的詞語在設未知量的過程中不體現，體現在列不等式上.【備考建議】在備考過程中，建議學生加強對不等式（組）基礎概念的理解，掌握一元一次不等式（組）的解法，并注重實際應用和綜合題型的練習.同時，也要注意培養自己的思維能力和解題技巧，以便更好地應對各種命題形式.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一不等式的有關概念及性質1.不等式不等式的定義：用符號“＞”、“＜”表示大小關系的式子，叫做不等式，像x≠2這樣用符號“≠”表示的不等關系的式子也叫不等式.常見的不等式基本語言與符號表示不等式基本語言符號表示不等式基本語言符號表示不等式基本語言符號表示a是正數a＞0a是非正數a≤0a、b同號ab＞0a是負數a＜0a是非負數a≥0a、b異號ab＜02.不等式的解及解集不等式的解：使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示.不等式表示x＞ax＜ax≥ax≤a數軸表示【易錯點】用數軸上表示不等式的解集時，要注意兩點：1）確定邊界點，若邊界點表示的數是不等式的解，用實心圓點，若邊界點表示的數不是不等式的解，則用空心圓圈；2）確定方向，小于邊界點表示的數時向左畫，大于邊界點表示的數時向右畫.解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.3.不等式的性質性質1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變若a＞b，則a±c＞b±c性質2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變若a＞b，c＞0，則ac＞bc（或ac性質3不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變若a＞b，c＜0，則ac＜bc（或ac【補充說明】運用不等式的性質的注意事項：1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數一定是同一個數或同一個式子．3）在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清楚這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號要改變方向.4）所謂不等號方向改變，就是指原來的不等號方向改變成與其相反的方向，如“＞”改變方向后就變成“＜”.1．（2024·廣東廣州·中考真題）若a<b，則（

）A．a+3>b+3 B．a?2>b?2 C．?a<?b D．2a<2b【答案】D【分析】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題關鍵．根據不等式的基本性質逐項判斷即可得．【詳解】解：A．∵a<b，∴a+3<b+3，則此項錯誤，不符題意；B．∵a<b，∴a?2<b?2，則此項錯誤，不符題意；C．∵a<b，∴?a>?b，則此項錯誤，不符合題意；D．∵a<b，∴2a<2b，則此項正確，符合題意；故選：D．2．（2024·湖南長沙·模擬預測）若x>y，且ax>ay，則（

）A．a>0 B．a<0 C．a>1 D．a<1【答案】A【分析】本題主要考查了不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握不等式兩邊都加上或減去同一個數或同一個式子，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向改變．據此即可解答．【詳解】解：∵x>y，且ax>ay，∴a>0，故選：A．3．（2023·山東濟南·中考真題）實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）

A．ab>0 B．a+b>0C．a+3<b+3 D．?3a<?3b【答案】D【分析】根據題意可得?3<b<?2,a=2，然后根據數的乘法和加法法則以及不等式的性質進行判斷即可.【詳解】解：由題意可得：?3<b<?2,a=2，所以b<a，∴ab<0,a+b<0,a+3>b+3,?3a<?3b，觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的；故選：D.【點睛】本題考查了實數與數軸以及不等式的性質，正確理解題意、得出?3<b<?2,a=2是解題的關鍵.4．（2024·江蘇無錫·中考真題）命題“若a>b，則a?3<b?3”是命題．（填“真”或“假”）【答案】假【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質，根據a>b，可得出a?3>b?3，進而可判斷出若a>b，則a?3<b?3是假命題．【詳解】解：∵a>b∴a?3>b?3，∴若a>b，則a?3<b?3是假命題，故答案為：假．5．（23-24七年級下·河南新鄉·期中）選擇適當的不等號填空：若a<b，則?2a+1?2b+1．【答案】>【分析】本題主要考查了不等式的性質，熟練掌握不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．【詳解】解：∵a<b，∴?2a>?2b，∴?2a+1>?2b+1，故答案為：>．考點二一元一次不等式1.一元一次不等式定義：一般地，不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，不等式的左右兩邊都是整式，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.一元一次不等式的一般形式：ax+b＜0或ax+b＞0a≠02.一元一次不等式的解集及表示方法定義：一元一次不等式的所有解組成的集合，叫做一元一次不等式的解集.表示方法：1）用不等式表示.2）用數軸表示.3.解一元一次不等式的一般步驟為：步驟具體做法注意事項去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數，得到系數為整數的不等式1）不要漏乘不含分母的項；2）當分母中含有小數時，先將小數化成整數，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號1)去括號時，括號前的數要乘括號內的每一項，不要漏乘；2)若括號外是負號時，去掉括號后括號內的各項負號都要改變符號..移項一般把含有未知數的項移到不等式左邊，其它項都移到不等式右邊1）移項時不要漏項;2）將不等式中的項從一邊移到另一邊要變號，而在不等式同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把不等式變為ax＜aa≠0的形式1）不要漏項；2）系數的符號處理要得當.

3）字母及指數保持不變.系數化為1將不等式化為的形式1)不等式兩邊都除以未知數系數;2)當系數為負數，不等號的方向發生改變.【補充說明】在解一元一次不等式時，上述的五個步驟不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的順序，要根據不等式的形式靈活安排求解步驟.1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）要使x?1有意義，則實數x的取值范圍是．【答案】x≥1/1≤x【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件及解不等式，熟知二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0是解題的關鍵．根據二次根式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵二次根式x?1要有意義，∴x?1≥0，∴x≥1，故答案為；x≥1．2．（2024·福建·中考真題）不等式3x?2<1的解集是．【答案】x<1【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數系數化為1，求解即可解．【詳解】解：3x?2<1，3x<3，x<1，故答案為：x<1．3．（2023·江蘇宿遷·中考真題）不等式x?2≤1的最大整數解是．【答案】3【分析】根據一元一次不等式的解法即可得．【詳解】解：不等式x?2≤1的解集是x≤3，則不等式x?2≤1的最大整數解是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關鍵．4．（2023·山東日照·中考真題）若關于x的方程xx?1?2=3m2x?2解為正數，則A．m>?23 B．m<43 C．m>?23且【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程解得x=4?3m2，根據方程的解是正數，可得4?3m2【詳解】解：x2x?2×22x?4x+4=3m?2x=3m?4x=∵方程xx?1∴4?3m2>0∴m<43故選：D．【點睛】此題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵．5．（2024·四川眉山·中考真題）解不等式：x+13【答案】x≤2，見解析【分析】本題考查求不等式的解集，并在數軸上表示解集，去分母，去括號，移項，合并，系數化1，求出不等式的解集，然后在數軸上表示出解集即可.【詳解】解：x+132x+12x+2?6≤6?3x，2x+3x≤6+6?2，5x≤10，x≤2，其解集在數軸上表示如下：QUOTEQUOTE考點三一元一次不等式組1.一元一次不等式組定義：關于同一個未知數的幾個一元一次不等式聯立在一起，就組成了一個一元一次不等式組.2.一元一次不等式組的解集一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的不等式組的解集．解不等式組就是求它的解集.【補充】1）如果不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解.2）在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數軸來表示不等式組的解集的.確定方法如下表所示：不等式組設a＞b解集x＞ax＜b無解數軸上的表示口訣同大取大同小取小大大小小無處找大小，小大中間找3.解一元一次不等式組的一般步驟第一步：求出不等式組中各不等式的解集；第二步：將各不等式的解集在數軸上表示出來；第三步：在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.1．（2024·河南·中考真題）下列不等式中，與?x>1組成的不等式組無解的是（

）A．x>2 B．x<0 C．x<?2【答案】A【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解題的關鍵．根據此原則對選項一一進行判斷即可．【詳解】根據題意?x>1，可得x<?1，A、此不等式組無解，符合題意；B、此不等式組解集為x<?1，不符合題意；C、此不等式組解集為x<D、此不等式組解集為?3<x<?1，不符合題意；故選：A2．（2024·四川涼山·中考真題）求不等式?3<4x?7≤9的整數解．【答案】2,3,4【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先將?3<4x?7≤9變形為?3<4x?74x?7≤9【詳解】解：由題意得?3<4x?7①解①得：x>1，解②得：x≤4，∴該不等式組的解集為：1<x≤4，∴整數解為：2,3,43．（2023·黑龍江大慶·中考真題）若關于x的不等式組3(x?1)>x?68?2x+2a≥0有三個整數解，則實數a的取值范圍為【答案】?3≤a<?2【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據不等式組有三個整數解，確定整數解，則可以得到一個關于a的不等式組求得a的范圍．【詳解】解：解不等式3(x?1)>x?6，得：x>?1.5，解不等式8?2x+2a≥0，得：x≤a+4，∵不等式組有三個整數解，∴不等式組的整數解為?1，0、1，則1≤a+4<2，解得?3≤a<?2．故答案為：?3≤a<?2．【點睛】本題考查不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）解不等式組：2x+6>x【答案】?6<x<1【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即可得出結果．【詳解】解：2x+6>x由①，得：x>?6；由②，得：x<1；∴不等式組的解集為：?6<x<1．5．（2023·青海·中考真題）為豐富學生課余生活，提高學生運算能力，數學小組設計了如下的解題接力游戲：(1)解不等式組：2x?1<7①x+1>2②(2)當m取（1）的一個整數解時，解方程x2【答案】(1)1<x<4(2)x1=1+3【分析】（1）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）根據1中不等式的解集得出m的一個值，求出x的值即可．【詳解】（1）解：由①得，x<4，由②得，x>1，故不等式組組的解集為：1<x<4．（2）由1知1<x<4，∴令m=2，則方程變為x2∵Δ∴x=2±∴x1=1+【點睛】本題考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式組，先根據題意得出x的取值范圍是解題的關鍵．考點四不等式（組）及應用用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟：審：認真審題，分清已知量、未知量及其關系，找出題中不等關系要抓住題中的關鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過”、“超過”等；設：設出適當的未知數；列：根據題中的不等關系，列出不等式；解：解所列的不等式；驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.一元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句：1）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系，因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．2）對一些實際問題的分析還要注意結合實際.有些不等關系隱含于生活常識中,如小王用50元去買單價為6元的筆記本，設買x本，求x的取值范圍時,其問題中就隱含著所花錢數不能超過50元.由此可得出不等式6x≤50.3）在設未知數時，表示不等關系的文字如“至少”不能出現，即應給出肯定的未知數的設法，然后在最后寫答案時，應把表示不等關系的文字補上．

1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）端午節是我國傳統節日，端午節前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（

）A．20% B．25% C．75%【答案】A【分析】設粽子的成本為a元，設降價幅度為x，根據降價出售后不虧本即售價不低于進價列出不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】解：設粽子的成本為a（a是常數且a>0）元，設降價幅度為x，則1+25%解得x≤20%即為了不虧本，降價幅度最多為20%故選：A．【點睛】此題考查了一元一次不等式的應用，根據題意正確列出不等式是解題的關鍵．2．（2023宜賓市一模）八（1）班同學參加社會實踐活動，在王伯伯的指導下，要圍一個如圖所示的長方形菜園ABCD，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊的總長恰好為12m，設邊BC的長為xm，邊AB的長為ym(x>y)．則y與x之間的函數表達式為（

）A．y=?2x+12(0<x<12) B．y=?C．y=2x?12(0<x<12) D．y=【答案】B【分析】根據菜園的三邊的和為12m，即可得出一個x與y的關系式．【詳解】解：根據題意得，菜園三邊長度的和為12m，∴2y+x=12，∴y=?1∵y>0，x>y，∴?1解得4<x<12，∴y=?1故選：B．【點睛】本題考查一次函數的應用，理解題目中的數量關系，即菜園三邊的長度和為12m，列出關于x，y的方程是解決問題的關鍵．3．（2024·浙江臺州·二模）州市域鐵路S1線臺州站至城南站全長52km，理論票價實行里程分段計價制，理論票價y（單位：元）與行駛里程x（單位：km）之間的函數關系如圖（AB，BC為線段），但在定價時，按該分段計價制所得結果常為小數，實際票價為大于或等于該值的最小整數，如當行駛里程為37km時，所得理論票價為8.5元，實際票價則為9元，經查從甲站到乙站的實際票價為10元，則甲乙兩站的里程不可能為（

A．44km B．45km C．46km D．47km【答案】D【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式組的應用；根據題意求得線段BC解析式為y=16x+73【詳解】解：設AB段解析式為y=k1x2=8k解得：k∴y=當x=28時，y=7，即B依題意，當行駛里程為37km時，所得理論票價為8.5元設線段BC的解析式為y=kx+b37≤x≤52代入∴8.5=37k+b解得：k=∴線段BC解析式為y=16依題意，9<解得：40<x≤46故選：D．4．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，根據機器零件的設計圖紙，用不等式表示零件長度L的合格尺寸（L的取值范圍)．【答案】39.99≤L≤40.01【分析】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式組，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．根據機器零件的設計圖紙給定的數值，可求出L的取值范圍．【詳解】解：由題意得，40?0.01≤L≤40+0.01∴39.99≤L≤40.01．故答案為：39.99≤L≤40.015．（2024·山東濱州·模擬預測）小明帶10元錢想買一盒餅干和一袋牛奶，可是售貨員阿姨說：本來10元錢夠一盒餅干的，但再買一袋牛奶就不夠了，今天是兒童節給你的餅干打9折，兩樣東西拿好，再找你8角錢，餅干的標價可是整數哦，請你幫小明算出牛奶和餅干的標價．【答案】牛奶和餅干的標價分別為1.1元和9元【分析】本題主要考查了一元一次方程，掌握不等式和方程的解法，根據題意列出方程和不等式是解決本題的關鍵．根據題意先列出方程和不等式，求解即可．【詳解】解：設餅干的標價是x元，牛奶的標價是y元．由題意，得x<10x+y>10解得8<x<10．由于餅干的標價是整數，所以x=9（元）．當x=9時，y=10?0.8?0.9×9=1.1（元）．答：牛奶和餅干的標價分別為1.1元和9元．04題型精研·考向洞悉命題點一解一元一次不等式（組）?題型01不等式的性質解題方法：性質1若a＞b，則a±c＞b±c性質2若a＞b，c＞0，則ac＞bc（或ac性質3若a＞b，c＜0，則ac＜bc（或ac互逆性若a＞b，則b＜a，若a＜b，則b＞a傳遞性若a＞b，b＞c，則a＞c【易錯點】在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清楚這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號要改變方向.1．（2024·吉林長春·中考真題）不等關系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A．若a>b，則a+c>b+c B．若a>b，b>c，則a>cC．若a>b，c>0，則ac>bc D．若a>b，c>0，則a【答案】A【分析】本題主要考查不等式的性質，熟記不等式性質是解決問題的關鍵．根據不等式的性質即可解答．【詳解】解：由作圖可知：a>b，由右圖可知：a+c>b+c，即A選項符合題意．故選：A．2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）若a>b?1，則下列結論一定正確的是（

）A．a+1<b B．a?1<b C．a>b D．a+1>b【答案】D【分析】本題主要考查不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵．不等式的性質：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號方向改變．直接利用不等式的性質逐一判斷即可．【詳解】解：a>b?1，A、a+1>b，故錯誤，該選項不合題意；B、a?1>b?2，故錯誤，該選項不合題意；C、無法得出a>b，故錯誤，該選項不合題意；D、a+1>b，故正確，該選項符合題意；故選：D．3．（2024·安徽·中考真題）已知實數a，b滿足a?b+1=0，0<a+b+1<1，則下列判斷正確的是（

）A．?12<a<0C．?2<2a+4b<1 D．?1<4a+2b<0【答案】C【分析】題目主要考查不等式的性質和解一元一次不等式組，根據等量代換及不等式的性質依次判斷即可得出結果，熟練掌握不等式的性質是解題關鍵【詳解】解：∵a?b+1=0，∴a=b?1，∵0<a+b+1<1，∴0<b?1+b+1<1，∴0<b<1∵a?b+1=0，∴b=a+1，∵0<a+b+1<1，∴0<a+a+1+1<1，∴?1<a<?1∵?1<a<?12，∴?2<2a<?1，0<4b<2，∴?2<2a+4b<1，選項C正確，符合題意；∵?1<a<?12，∴?4<4a<?2，0<2b<1，∴?4<4a+2b<?1，選項D錯誤，不符合題意；故選：C4．（2024·山東德州·中考真題）實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所，下列結論正確的是（

）A．a>b C．a+2>b+2 D．a?1【答案】D【分析】本題主要考查了數軸與實數的運算法則，掌握實數與數軸的基本知識是解題的關鍵．根據點在數軸上的位置，判斷數的大小關系，不等式的性質及絕對值的意義判斷出式子的大小即可．【詳解】解：根據數軸得a<0<1<b，∴a<故選：D．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直接解一元一次不等式（組）1．（2024·河北·中考真題）下列數中，能使不等式5x?1<6成立的x的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了解不等式，不等式的解，熟練掌握解不等式是解題的關鍵．解不等式，得到x<7【詳解】解：∵5x?1<6，∴x<7∴符合題意的是A故選A．2．（2024·廣西·中考真題）不等式7x+5<5x+1的解集為．【答案】x<?2【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據解一元一次不等式的步驟解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：移項得，7x?5x<1?5，合并同類項得，2x<?4，系數化為1得，x<?2，故答案為：x<?2．3．（2024·北京·中考真題）解不等式組：3【答案】?1<x<7【分析】先求出每一個不等式的解集，再根據不等式組解集的確定方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”確定不等式組的解集．本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進行不等式求解是解題的關鍵．【詳解】3解不等式①，得x<7，解不等式②，得x>?1，∴不等式組的解集為?1<x<7．4．（2024·四川成都·中考真題）（1）計算：16+2（2）解不等式組：2x+3≥?1【答案】（1）5；（2）?2≤x<9【分析】本題考查實數的混合運算、解一元一次不等式組，熟練掌握相關運算法則并正確求解是解答的關鍵．（1）先計算算術平方根、特殊角的三角函數值、零指數冪、化簡絕對值，然后加減運算即可；（2）先求得每個不等式的解集，再求得它們的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：（1）16=4+2×=5+=5；（2）解不等式①，得x≥?2，解不等式②，得x<9，∴該不等式組的解集為?2≤x<9．?題型03利用數軸表示一元一次不等式（組）的解集不等式組設a＞b解集x＞ax＜b無解數軸上的表示口訣同大取大同小取小大大小小無處找大小，小大中間找1．（2023·浙江臺州·中考真題）不等式x+1≥2的解集在數軸上表示為（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據一元一次不等式的性質解出未知數的取值范圍，在數軸上表示即可求出答案．【詳解】解：∵x+1≥2，∴x≥1．∴在數軸上表示如圖所示：

．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法即在數軸上表示不等式的解集，解題的關鍵在于熟練掌握一元一次不等式的性質．2．（2024·江蘇連云港·中考真題）解不等式x?12【答案】x>?3，圖見解析【分析】本題主要考查解一元一次不等式以及在數軸上表示不等式的解集，根據去分母，去括號，移項，合并同類項可得不等式的解集，然后再在數軸上表示出它的解集即可.【詳解】解：x?12去分母，得x?1<2(x+1)，去括號，得x?1<2x+2，移項，得?1?2<2x?x，解得x>?3．這個不等式的解集在數軸上表示如下：

3．（2024·西藏·中考真題）解不等式組：3x?2>12x?1【答案】1<x<5，數軸見解析【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在數軸上即可．【詳解】解：3x?2>1①解不等式①得：x>1，解不等式②得：x<5，∴不等式組的解集為：1<x<5，將解集表示在數軸上如圖：．4．（2023·天津·中考真題）解不等式組2x+1≥x?1請結合題意填空，完成本題的解答．(1)解不等式①，得________________；(2)解不等式②，得________________；(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

(4)原不等式組的解集為________________．【答案】(1)x≥?2(2)x≤1(3)見解析(4)?【分析】分別解兩個不等式，然后根據公共部分確定不等式組的解集，再利用數軸表示解集即可．【詳解】（1）解：解不等式①，得x≥?2，故答案為：x≥?2；（2）解：解不等式②，得x≤1，故答案為：x≤1；（3）解：把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

（4）解：原不等式組的解集為?2故答案為：?2【點睛】本題考查了解一元一次不等式組并把解集在數軸上表示，熟練掌握一元一次不等式的解法是解決本題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04求一元一次不等式（組）的特殊解1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）不等式組x>x?225x?3<9+x【答案】4【分析】本題主要考查了求不等式組的整數解，先求出每個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進而求出其整數解即可．【詳解】解：x>解不等式①得：x>?2解不等式②得：x<3∴不等式組的解集為：?2<x<3，∴整數解有?1，0，1，2共4個，故答案為：4．2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式1+x3【答案】1，2．【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數解，先求出不等式的解集，進而可得到不等式的正整數解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關鍵．【詳解】解：去分母得，1+x≥3x?1去括號得，1+x≥3x?3，移項得，x?3x≥?3?1，合并同類項得，?2x≥?4，系數化為1得，x≤2，∴不等式的正整數解為1，2．3．（2024·山東淄博·中考真題）解不等式組：12【答案】?4<x<1，?6【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數解．解各不等式，可得出x的取值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數解相加，即可求出結論．【詳解】解：12解不等式①得：x<1；解不等式②得：x>?4，∴原不等式組的解集?4<x<1，∴不等式組所有整數解的和為?3?2?1+0=?6．4．（2023·山東煙臺·中考真題）先化簡，再求值：a2?6a+9a?2÷a+2+【答案】a?3a+3；【分析】先根據分式混合運算法則進行化簡，然后求出不等式的解集，得出正整數a的值，再代入數據計算即可．【詳解】解：a====a?3解不等式a?12≤1得：∵a為正整數，∴a=1，2，3，∵要使分式有意義a?2≠0，∴a≠2，∵當a=3時，a+2+5∴a≠3，∴把a=1代入得：原式=1?3【點睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．QUOTE?題型05以注重過程性學習的形式考查一元一次不等式（組）1．（2024·山西·模擬預測）（1）計算：6×3（2）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．2x+13解：22x+14x+2?6>x?1，第二步4x?x>?1?2?6，第三步3x>?9，第四步x>?3．第五步任務一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據____________進行變形的；②第____________步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是____________．任務二：請直接寫出該不等式的正確解集．【答案】（1）33；（2）任務一：①不等式的基本性質．②三；移項時，?6的符號沒有改變．任務二：【分析】（1）首先計算負整數指數冪，化簡絕對值，計算特殊角的三角函數值，然后計算加減；（2）任務一：①根據不等式的基本性質求解即可；②根據移項的性質求解即可；任務二：不等式去分母，去括號，移項合并，把x系數化為1，即可求出解．【詳解】（1）6×=6×=2?2+=33（2）任務一：①以上解題過程中，第一步是依據不等式的基本性質進行變形的；②第三步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是移項時，?6的符號沒有改變；任務二：2x+124x+2?6>x?13x>3x>1．【點睛】此題考查了負整數指數冪，化簡絕對值，特殊角的三角函數值，解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握以上運算法則2．（2024·浙江金華·二模）解不等式x?12解：去分母得：3(x?1)?2(2x+1)≥1…①去括號得：3x?3?4x+1≥1…②移項得：3x?4x≥1+3?1…③合并同類項得：?x≥3…④兩邊都除以?1得：x≥?3…⑤【答案】①②⑤，過程見詳解【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．按照解一元一次不等式的步驟進行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：錯誤步驟：①②⑤，正確的解答過程如下：x?123(x?1)?2(2x+1)≥6，3x?3?4x?2≥6，3x?4x≥6+3+2，?x≥11x≤?11，∴原不等式的解集為：x<?11．3．（2023·寧夏·中考真題）解不等式組1?下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：解：由①得：4?22x?1>3x?14?4x+2>3x?1

第2步?4x?3x>?1?4?2?7x>?7

第3步x>1

第4步任務一：該同學的解答過程第_______步出現了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【答案】任務一：4，不等號的方向沒有發生改變，x<1；任務二：x≥?1，?1≤x<1【分析】任務一：系數化1時，系數小于0，不等號的方向要發生改變，即可得出結論；任務二：移項，合并同類項，系數化1，求出不等式②的解集，進而得出不等式組的解集即可．【詳解】解：任務一：∵?7x>?7，∴x<1；∴該同學的解答過程第4步出現了錯誤，錯誤原因是不等號的方向沒有發生改變，不等式①的正確解集是x<1；故答案為：4，不等號的方向沒有發生改變，x<1；任務二：2?3x≤4?x，?3x+x≤4?2，?2x≤2，x≥?1；又x<1，∴不等式組的解集為：?1≤x<1．【點睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關鍵是正確的求出每一個不等式的解集，注意系數化1時，系數是負數，不等號的方向要發生改變．4．（2024·寧夏銀川·模擬預測）下列是某不等式組的部分求解過程，請認真閱讀并解答：3(1?x)解：解不等式①，去括號，得3?3x＜移向，得?3x?2x＜合并同類項，得?5x＜系數化為1，得x＜(1)以上解不等式①的過程中，從第步開始出現錯誤，直接寫出正確的計算結果是，這一步的依據是；(2)將不等式①和不等式②的解集在如圖的數軸上表示出來；(3)原不等式組的解集為；(4)此不等式組的最小整數解為．【答案】(1)第四；x>?3；不等式的性質2(2)見解析(3)x>?(4)0【分析】本題考查了解一元一次不等式組及在數軸上表示不等式組的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．（1）根據不等式的基本性質，即可解答；（2）將不等式①和不等式②的解集在如圖的數軸上表示出來即可；（3）根據在數軸上表示出來解集，求出不等式組的解集即可；（4）求出不等式組的最小整數解即可．【詳解】（1）以上解不等式①的過程中，從第第四步開始出現錯誤，直接寫出正確的計算結果是x>?3，這一步的依據是不等式的性質2；故答案為：第四；x>?3；不等式的性質2；（2）解不等式②得：x>?1解集表示在數軸上為：（3）原不等式組的解集為x>?1故答案為：x>?1（4）此不等式組的最小整數解為0．故答案為：0QUOTE?題型06與解一元一次不等式（組）有關的新定義問題1．（2021·內蒙古·中考真題）定義新運算“?”，規定：a?b=a?2b．若關于x的不等式x?m>3的解集為x>?1，則m的值是（）A．?1 B．?2 C．1 D．2【答案】B【分析】題中定義一種新運算，仿照示例可轉化為熟悉的一般不等式，求出解集，由于題中給出解集為x>?1，所以與化簡所求解集相同，可得出等式2m+3=?1，即可求得m．【詳解】解：由a?b=a?2b，∴x?m=x?2m>3，得：x>2m+3，∵x?m>3解集為x>?1，∴2m+3=?1∴m=?2，故選：B．【點睛】題目主要考查對新運算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，難點是將運算轉化為所熟悉的不等式．2．（2021·廣西·中考真題）定義一種運算：a?b=a,a≥bb,a<b，則不等式(2x+1)?(2?x)>3的解集是（A．x>1或x<13 B．?1<x<13 C．x>1或x<?1 【答案】C【分析】根據新定義運算規則，分別從2x+1≥2?x和2x+1<2?x兩種情況列出關于x的不等式，求解后即可得出結論．【詳解】解：由題意得，當2x+1≥2?x時，即x≥13時，則2x+1>3，解得x>1，∴此時原不等式的解集為x>1；當2x+1<2?x時，即x<13時，則2?x>3，解得x<?1，∴此時原不等式的解集為x<?1；綜上所述，不等式(2x+1)?(2?x)>3的解集是x>1或x<?1．故選：C．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關鍵是根據新定義運算規則列出關于x的不等式．3．（2022·浙江·二模）對于實數a，b，定義一種運算“?”：a?b=a2?ab，那么不等式組1?x>0A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意列出不等式組，然后根據一元一次不等式組的解法即可求出答案．【詳解】解：由題意可知不等式組可化為1?x＞解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≤-2，此不等式組的解集在數軸上表示為：所以上不等式組的解集為：x≤-2，故選：B．【點睛】本題考查新定義運算，解題的關鍵是正確理解新定義運算以及一元一次不等式組的解法，本題屬于基礎題型．4．（2024·四川南充·模擬預測）定義一種新運算：a?b=a?ab，例如：2?3=2?2×3=?4．根據上述定義，不等式組2?x≥?1x?2≤1的整數解為【答案】?1，0，1【分析】本題考查解一元一次不等式組的整數解以及有理數的混合運算，根據a?b=a?ab，可以將不等式組2?x≥?1x?2≤1轉化為2?2x≥?1【詳解】由題意可得，不等式組2?x≥?1x?2≤1轉化為2?2x≥?1解得?1≤x≤3所以不等式組2?x≥?1x?2≤1的整數解為?1故答案為：?1，0，1．命題點二不等式（組）的含參問題?題型01已知解集求參數的值或取值范圍1．（2023·湖北鄂州·中