一、f(x)在點(diǎn)x0的連續(xù)第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的連續(xù)性第二章

二、間斷點(diǎn)的類型

三、f(x)在區(qū)間上的連續(xù)一f(x)在點(diǎn)x0的連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義，若，則稱在點(diǎn)處連續(xù)。若在點(diǎn)處不連續(xù)，則在點(diǎn)處間斷，稱為的間斷點(diǎn)。2條件.根據(jù)連續(xù)的定義，在點(diǎn)處連續(xù)，必須滿足：（1）在點(diǎn)處有定義，即有意義；（2）存在，即=（3）極限值等于函數(shù)值，即=1定義.f(x)在點(diǎn)x0的連續(xù)二、間斷點(diǎn)的類型機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束按在點(diǎn)處的左、右極限是否存在，可以將間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。1.第一類間斷點(diǎn)：左極限、右極限都存在如果說左極限≠右極限，則稱為跳躍間斷點(diǎn)；如果左極限=右極限，則稱為可去間斷點(diǎn)；可去間斷點(diǎn)又可以分為兩種：第一種，左極限=右極限，但是在點(diǎn)處沒有定義；第二種，左極限=右極限≠函數(shù)值。2。第二類間斷點(diǎn)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束左極限、右極限至少有一個(gè)不存在。第二類間斷點(diǎn)又可以分：無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)等。例如x=0是的可去間斷點(diǎn)。x=0也是=的可去間斷點(diǎn).只要在x=0處重新定義函數(shù)值，使得函數(shù)值=左極限=右極限=2，又如x=0是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束=的振蕩間斷點(diǎn)如圖所示三、f(x)在區(qū)間上的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)在某區(qū)間上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，該區(qū)間稱為函稱的連續(xù)區(qū)間。定理1初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的每一點(diǎn)都連續(xù)，即數(shù)初等函數(shù)是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)這個(gè)定理是求初等函數(shù)極限的重要依據(jù)，我們?cè)谇懊嬗?jì)算極限時(shí)已經(jīng)用到了這個(gè)定理。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束判斷函數(shù)連續(xù)性的方法：（1）尋找使函數(shù)沒有定義的點(diǎn)，如果有沒有定義的點(diǎn)，則一定為間斷點(diǎn)；（2）尋找使不存在的點(diǎn)，分段函數(shù)間斷點(diǎn)通常發(fā)生于分段點(diǎn)處；（3）尋找使≠的點(diǎn)例1當(dāng)a取什么值時(shí)，函數(shù)=連續(xù)？機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解當(dāng)

時(shí)，=是初等函數(shù)，故在上，=是連續(xù)函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，=a+x是初等到函數(shù)，故在上，=a+x是連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)x=0處，，因此，當(dāng)a=1時(shí)，故在點(diǎn)x=0連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2判斷函數(shù)

在x=0處的連續(xù)性。解因?yàn)樽髽O限、右極限不相等，所以在點(diǎn)x=0處間斷。2.f(x)在區(qū)間上連續(xù)的幾何意義第九節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間上函數(shù)f(x)的曲線是一條不間斷連續(xù)曲線。3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1有界性定理若函數(shù)f(x)在[a，b]連續(xù)，則在[a，b]上有界。這個(gè)定理的幾何意義是：f(x)的圖形位于與x軸平行的兩直線y=N和y=-N之間。(注意，閉區(qū)間換成開區(qū)間，結(jié)論不一定成立。)性質(zhì)2最大值和最小值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a，b]上必能取得最大值M和最小值m，也就是說，對(duì)一切x∈[a，b]，成立m≤f(x)≤M。對(duì)最大值最小值定理應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)如果函數(shù)不是在閉區(qū)間而是在開區(qū)間上連續(xù)，定理的結(jié)論不一定正確。例如，考慮在開區(qū)間（a，b）上，它在（a，b）上，既無最大值，也無最小值；(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，定理的的結(jié)論不一定正確，例如，函數(shù)定義在閉區(qū)間[0，2]上，x=1是它的間斷點(diǎn)，該函數(shù)在[0，2]上既取不到最大值，也取不到最小值。性質(zhì)3中間值定理（介值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上一定能取到最大值M和最小值m之間的任何一C，即存在，使個(gè)中間值性質(zhì)4零點(diǎn)存在定理（根的存在定理）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且則一定存在f(x)的零點(diǎn)，使因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a，b]端點(diǎn)x=a和x=b的值異號(hào)，曲線上對(duì)應(yīng)于區(qū)間端點(diǎn)的值A(chǔ)、B分布在x軸的上、下兩側(cè)，由中間值定理，必有，使內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.函數(shù)f