第4節旋轉的性質與手拉手模型

前言：相比平移、對稱，旋轉無疑是三大變換中最難的一個，一方面在于圖形構造較為復雜，另一方面旋轉本

身的故事就很多.本節從性質開始，介紹旋轉經典模型之一：手拉手模型.

知識導航

對應邊相等

旋轉：如圖，將仆ABC繞點A旋轉一定角度得到△ADE.

結論：AB=AD,AC=AE,BC=DE.

引例1：如圖，在△ABC中，AB=2,BC=3.6,NB=60。，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE,當點B的對應

點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為（）

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

解析：由題意得：AABC^AADE,

/.AB=AD,

又/B=60。，「.△ABD是等邊三角形,

；.BD=AB=2,

XBC=3.6,->.CD=1.6.

.,.選A.

對應角相等

結論：ZB=ZD,ZC=ZE,ZBAC=ZDAE.

A

引例2:如圖，在△ABC中，ZCAB=55°,ZABC=25°,在同一平面內，將△ABC繞A點逆時針旋轉70。得到△

ADE,連接EC,貝（JtanNDEC的值是_

解析：由題意得：ZEAC=70°,

JZAEC=ZACE=55°,

又NEAD=NCAB=55。，

???NCAD=15。，

■:ZACE+ZCAD=ZADE+ZDEC,

JZDEC=45°,

tanZDEC=l.

旋轉角相等

結論：ZBAD=ZCAE=ZBFD.（尤其關注BC與DE夾角）

證明：由題意得：ZBAD=ZCAE,

VZBAD+ZB=ZBFD+ZD,且/B=/D,

.\ZBAD=ZBFD.

引例3:如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角開么ZBAC=ZDAE=90°.

E

D

AA

圖1

⑴如圖1,連接BE、CD,BE的延長線交AC于點F,交CD于點P,求證：BP±CD;

（2）如圖2,把△ADE繞點A順時針旋轉，當點D落在AB上時，連接BE、CD,CD的延長線交BE于點P,若B

C=6V2,AD=3,求4PDE的面積.

解析：(1)如下左圖,AAEB^AADC,.,.ZABE=ZACD,$nTS§],由“8字”模型可得：ZFPC=ZFAB=90°.

(2)由(1)可知NBPC=90。,

VAD=3,AC=6,；.CD=3V5

VZBPC=ZADC=90°,AACAD^ACPE,

..?=￡￡=*可得：PE=迪,CP=鯉,

CPCEPE55

cc3V5c19V53V527

???PD=—,???SPDE=-x—X—=—.

5PDE25510

...△PDE的面積為養

手拉手模型

條件：如圖，OA=OB,OC=OD（四線共點兩兩相等）,NAOB=/COD（夾角相等）

結論：△OACg^OBD(SAS)

引例4:如圖,正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b,正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論:①B

E=DG;②BE_LDG;(③。盾+BG2=2a2+2〃,其中正確結論是.（填序號）

解析：由手拉手模型可得①②正確，下分析③：

、

連接BD、EG,2a2+2bz=BD2+痔,記BEDG交點為H點,

BD2=BH2+DH2,EG2=EH2+GH2,

DE2=DH2+EH2,BG2=BH2+GH2,

：.DE2+BG2=BD2+EG2,DE2+BG2=2a2+2b2.

模型拓展

手拉手模型中的相似：

已知△ABCdADE外，則4ABD和4ACE均為等腰三角形，且有ABDACE,^=*祟一般地.若小AB

C^AADE,貝必ABD^AACE.

引例5:如圖，在矩形ABCD中，將/ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊BC交CD邊

于點G.連接BB\CC.若AD=7,CG=4,AB，=BG,則三=（結果保留根號）.

DD

解析：連接AC、AC,則4BB'?4%，鋁=靜，連接AG,解=久,,則BG=x,DG=x-4,

AG2=AB,2+BrG2=AD2+DG2,

代入得:%2+%2=72+（%—4產

解得:=5,x2=-13（舍）,

.CC^__AC_V74

?'BB'~AB~5

模型構造

所謂構造手拉手模型，實則構造旋轉，結合已知條件，添加輔助線構造旋轉型全等，得角或線段間的數量關系.

引例6:如圖,在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊

三角形DEF,連接CF.

【問題解決】

如圖1,若點D在邊BC±,求證：CE+CF=CD;

【類比探究】

如圖2,若點D在邊BC的延長線上，請探究線段CE、CF與CD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由.

解析:⑴如圖，過點E作EG〃AB交BC于點G,則ACEG是等邊三角形，

可彳導：△EGD0ZXECF,；.DG=CF,CG=CE,CD=CG+GD=CE+DF,即CE+CF=CD.

(2)如圖.過點E作EG〃AB交BC于點6貝必CEG是等邊三角形，

可得：△EGDdECF,；.DG=CF,CG=CE,CD=DG-CG=CF-CE,

即CD=CF-CE.

真題演練

1.如圖在RtAABC中./B=9(r,AB=5,BC=12,將^ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE,使得點D落在AC

上，則tan/ECD的值為.

2.如圖，在4ABC中，ZACB=90°,將4ABC繞點C順時針旋轉得到小DEC,使點B的對應點E恰好落

在邊AC上，點A的對應點為D,延長DE交AB于點F,則下列結論一定正確的是（）

A.AC=DEB.BC=EF

C.ZAEF=ZDD.AB±DF

3.如圖，在4ABC中，AC=BC,將4ABC繞點A逆時針旋轉60。得到△ADE.若AB=2,NACB=30。,則線段CD

的長度為.

4.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉一定角度得到矩形ABCD.若點B的

對應點B落在邊CD上，則BC的長為

C

AB

5.如圖，在菱形ABCD中,AB=2,/BAD=60。,將菱形ABCD繞點A逆時針方向旋轉，對應得到菱形AEFG，點E

在AC±,EF與CD交于點P,則DP的長是.

6.如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉90。到4ABF的位置，若四邊

形AECF的面積為25,DE=2,貝1]AE的長為（）

D.V29

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是CD的中點，AF平分NBAE交BC于點F,將4ADE繞點A順時針

旋轉90。得仆ABG,貝UCF的長為.

8如圖，AABC中，ZBAC>90°,BC=5,WAABC繞點C按順時針方向旋轉90°，點B對應點B落在BA的延

長線上.若sinzBMC=巳貝UAC=.

9.如圖，在RtAABC中"AB=2,ZC=30°,將RtAABC繞點A旋轉得到RtAABC,使點B的對應點B落在AC

上，在BC上取點D,使B,D=2,那么點D到BC的距離等于（）

A2（R+1）B.—+1

3

C.V3-1D.V3+1

10.如圖,在△ABC中，/BAC=9（T,AB=AC=10cm,點D為△ABC內一點,/BAD=15>AD=6cm,連接BD,將4

ABD繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AC重合，點D的對應點為點E,連接DE,DE交AC于點F,則CF的長

為cm.

11.如圖,△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，BD=”C=2,以點D為頂點作正方形DEFG,且DE

=BC,連接AE、AG.若將正方形DEFG繞點D旋轉一周，當AE取最小值時，AG的長為.

12.如圖.將^ABC繞點C順時針旋轉得到4DEC，使點A的對應點D恰好落在邊AB上，點B的對應點為

E,連接BE,下列結論一定正確的是（）

A.AC=ADB.AB±EB

C.BC=DED.ZA=ZEBC

13.如圖在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉得到矩形GBEF，點A落在

矩形ABCD的邊CD上，連接CE,則CE的長是一

14.如圖,在四邊形ABCD中,AD/7BC,乙4BC=90°,AB=2小,BB，=2,AD=2?將小ABC繞點C順時針

方向旋轉后得△A'B'C,當AB恰好經過點D時，△B'CD為等腰三角形，則AA'=()

A.VT1B.2V3C.V13D.714

15.如圖1,AABDDCE都是等邊三角形.

探究發現

(DABCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等,請說明理由.

拓展運用

(2)若B、C、E三點不在一條直線上，ZADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長.

(3)若B、C、E三點在一條直線上(如圖2),且4ABC和4DCE的邊長分別為1和2,求4ACD的面積及AD

的長.

16.背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放(點E、A、D在同一條直線上)，

發現BE=DG且BEXDG.

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

(1)將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(如圖1),還能得到BE=DG嗎？若能，請給出證明；若不能,

請說明理由；

(2)把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(如圖2),

試問當NEAG與/BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立？請說明理由；

(3)把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且爺=*=|,4E=4,28=8,將矩形AEFG繞

點A按順時針方向旋轉(如圖3),連接DE、BG.小組發現：在旋轉過程中，DE2+BG?的值是定值，請求出這個定

值.

17.如圖1,在小ABC中，ZA=90°,AB=AC=V2+1,點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=1,連接DE.

現將△ADE繞點A順時針方向旋轉，旋轉角為(a(0。<a<360。),，如圖2,連接CE、BD、CD.

⑴當0°<a<180。時，求證：CE=BD;

(2)如圖3,當a=90。時，延長CE交BD于點F,求證:CF垂直平分BD;

(3)在旋轉過程中，求4BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉角a的度數.

18.AABC為等邊三角形，AB=8,ADXBC于點D,E為線段AD上一點，AE=2%.以AE為邊在直線AD

右側構造等邊三角形AEF,連接CE,N為CE的中點.

⑴如圖1,EF與AC交于點G,連接NG,求線段NG的長；

⑵如圖2,將AAEF繞點A逆時針旋轉，旋轉角為a,M為線段EF的中點，連接DN、MN.當：30。<a<120。時,

猜想/DNM的大小是否為定值，并證明你的結論；

⑶連接BN,在4AEF繞點A逆時針旋轉過程中，當線段BN最大時，請直接寫出△ADN的面積.

A

解析：對應邊相等求線段長，即可得所求角的正切值.

由題意得：AD=AB=5,EN=CB=12,

,-.CD=AC-AD=13-5=8,,-.tanZECD=-=-

2.D.

解析：根據旋轉的性質，可得AB_LDF,.?.選D.

3.2.

解析：連接EC,由題意可得△ACE是等邊三角形,

.,.EC=AC=BC=ED,.,.△ECD^AEAD,

；.CD=AD=AB=2,；.CD的長為2.

B

4.1.

解析：無論圖形是什么，抓住旋轉的重點來分析.

過點B作BH_LAB交AB于H點，貝！|AH=4,BH=1,；.B'C=L

5.V3-1.

解析：特殊的菱形旋轉特殊的角度必然得到其他特殊的圖形.連接DE,可得APDE是等腰直角三角形，：AB=2,

:.AC=2V3,VAE=AB=2,.*.CE=2存2,

PE=V3-1,PO=V3-1.

6.D.

解析：由題意得：得^ADE經△ABF,

正方形ABCD面積為25,所以邊長AD=5,又DE=2,

AE=V52+22=回故選D.

7.6-2V5.

解析：設/EAF=NBAF=a,NDAE=/BAG=[3,貝！J/GAF=a+p=/GFA,；.GF=GA=EA=2V5CF=CG-GF=6-

2曲，，CF的長為（6-2V5.

25V2

解析：題目給出/BAC的正切值，故構造包含/BAC的直角三角形.過點C作CHLBB交BB，于點H,

則以=加=裊5=哈

根據sin/BNC,即羽

可得："=與==等,

9.D.

解析：延長CE交BC于點M,連接AM,

貝！］B'M=BM=竽，DM=2+手，

M/V=l+y,DW=V3+1,故選D.

10.(10-276).

解析：：/BAD=15。，；./CAE=15。，；./AFH=60。過點A作AH_LDE交DE于H點,?.?AD=6cm,；.AH=3V2cm,

HF=46cm,AF=246cm,CF=(10-2V6)cm,S^CF的長為(10-2呵cm.

11.8.

解析：如圖，當D、A、E三點共線時，AE最小，過點A作AMLBC交BC于M點,

???DM=1,AM=3V3,AD="+27=2近，此時AG=128+36=8,故AG的長為8.

12.D.

根據△ACB^ADCE,可得△CAD和4CBE是等腰三角形，目4CAD^ACBE,AZA=ZEBC,故選D.

13、|V10,

解析：：BG=AG=5,BC=3,；.CG=4,DG=1,

連接AG,AG=V32+l2=V10,

由題意得：△BEC^ABGA,CE=-BCA,

代入解得：CE=|VTU,故CE的長為|VTo.

14.A.

解析：過點c作CEXAD交AD延長線于點E，則四邊形ABCE是矩形，設BC=x,貝U.B'D=B'C=BC=居又A

D=2,/.DE=x-2,勾股定理得：

2

22

x+x=(x-2)2+(2V7),解得：Xi=4,x2=-8

(舍)，,AB=2VT1,由題意得：ACBB'^ACAA',

..用=生=2=叵=舊故選A.

BBrCB42

15.解析：(1)全等，證明略.

⑵若NADC=30°,貝!|/ADE=90°,：CD=2,；.DE=2,；.AE=V32+22=BD=AE=V13.

⑶過點A作AH±CD交CD于點H,則CH=1,AH=V52

SACD=|x2xy=當又DH=I，

AD=+：=V3.

故小ACD的面積是AD的長為V3

16.解析:(1)成立.由題意得:△AEB