專題規律探究

](2015安徽中考第13題)按一定規律排列的一列數：2]，22,23,25,28,213,若尤，y,z表示這列

數中的連續三個數，猜想x,y,z滿足的關系式是.

2.(2024安徽中考第18題)數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為x2—丁(居y均為

自然數)”的問題.

(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下(〃為正整數)：

N奇數4的倍數

1=12-024=22-02

3=22—1?8=32—y

5=32-2212=42-22

表示結果

7=42—3216=52—32

9=52—4220=62-42

一般結論2n~1=n2—(n—I)24n=________

按上表規律，完成下列問題：

(i)24=()2-(＞；

(ii)4〃=；

(2)興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4〃一2(”為正整數)的正整數N不能表示為y

均為自然數).師生一起研討，分析過程如下：

假設4a—2=f—y2,其中無，y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若x,y均為偶數，設尤=2左，y—2m,其中左，機均為自然數，

則V—yZu(2左＞一(2%＞=火爐一根2)為4的倍數.

而4〃一2不是4的倍數，矛盾.故x,y不可能均為偶數.

②若無，y均為奇數,設尤=2左+1,y—2m+l,其中左，機均為自然數，

則x2~y2—(2k+l)2—(2m+l)2—為4的倍數.

而4"一2不是4的倍數，矛盾.故x,y不可能均為奇數.

③若無，y一個是奇數一個是偶數，則x2—y2為奇數，

而4〃一2是偶數，矛盾.故無，y不可能一'個是奇數一■個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

3.(2023安徽中考第18題)

【觀察思考】

◎

◎

◎?*?◎**◎

◎◎**◎◎***◎

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【規律發現】

請用含n的式子填空：

⑴第ri個圖案中“◎”的個數為；

⑵第1個圖案中“★”的個數可表示為詈，第2個圖案中“★”的個數可表示為等，第3個圖案中“★”的個數可

表示為等,第4個圖案中“★”的個數可表示為等，……，第九個圖案中“★”的個數可表示為.

【規律應用】

（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數加使得連續的正整數之和1+2+3+…+n等于第兀個

圖案中“◎，，的個數的2倍.

4.（2022安徽中考第18題）觀察以下等式：

第1個等式：（2x1+1）2=（2x2+1）2-（2x2）2,

第2個等式：（2x2+=（3x4+1尸—（3x4）2,

第3個等式：（2X3+I7=（4x6+一（4X6尸，

第4個等式：（2x4+=（5x8+一（5x8）2,

按照以上規律.解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：；

（2）寫出你猜想的第w個等式（用含〃的式子表示），并證明.

5.（2021安徽中考第18題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列

而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續排列.

［觀察思考］

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當正方形地放有2塊時，等腰直角三角

形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

［規律總結］

（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加

(2)若一條這樣的人行道一共有w(〃為正整數)塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為(用

含w的代數式表示).

［問題解決］

(3)現有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地豉剩余最少，

則需要正方形地磚多少塊？

6.(2020安徽中考第17題)觀察以下等式：

第1個等式：jx(l+|)=2-i

第2個等式：］x(l+|)=2—

第3個等式：|x(1+|)=2-|

第4個等式：：x(l+：)=2—；

第5個等式：|X(1+|)=2-1

按照以上規律.解決下列問題：

(1)寫出第6個等式；

(2)寫出你猜想的第n個等式：(用含n的等式表示)，并證明.

7.(2019安徽中考第18題)觀察以下等式:

第1個等式：|=：+%

第2個等式:|=：+g

第3個等式4號

第4個等式六；+或，

第5個等式總

……按照以上規律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

8.(2018安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個等式：：+T+：x；l，

第2個等式：l+l+lXi=1,

2323

第3個等式：+

3434

第4個等式：-+l+-xl=l,

4545

第5個等式：|+i+lxi=i,

5656

按照以上規律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

9.(2017安徽中考第19題)

【閱讀理解】

我們知道,1+2+3+…+”=也羅,那么產+22+32+…+/結果等于多少呢？

在圖1所示的三角形數陣中，第1行圓圈中的數為1,即H第2行兩個圓圈中數的和為2+2,即

22；……；第〃行〃個圓圈中數的和為TI+71+…+71,即/.這樣，該三角形數陣中共有中個圓圈,

所有圓圈中數的和為l2+22+32+-+n2.

【規律探究】

將三角形數陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣，觀察這三個三角形數陣各行同一位置

圓圈中的數（如第n-1行的第一個圓圈中的數分別為止1,2,〃）,發現每個位置上三個圓圈中數的和

均為,由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和

^/:3（12+22+32HFn2）=,因此,12+2?+32H1-/?2=.

第19題圖2

【解決問題】

根據以上發現，計算，|察言符的結果為

10.（2016安徽中考第18題）（1）觀察下列圖形與等式的關系，并填空

?o

??

?01+3=22

??

?*

?1+3+5=32；

oo

??o

??o

???

1+3+5+7=

?0O

??o-O

??O

??od-O

-

1+3+5+7+?一+(2〃-1)

OOOO????第九行

（2）觀察下圖，根據（1）中結論,計算圖中黑球的個數，用含有〃的代數式填空:

第〃行

第〃+1行

????第〃+2行

???????

1+3+5+…+(2〃-1)+()+(2九-1)+…+5+3+1

參考答案與解析

1.(2015安徽中考第13題)按一定規律排列的一列數：2、22,23,25,28,213,...?若尤，y,z表示這列

數中的連續三個數，猜想尤，》z滿足的關系式是.

【答案】xy=z

【詳解】解：觀察數列可發現：21x22=23,22x23=25,23x25=28……，

前兩個數的積等于第三個數，

?.”、y、z表示這列數中的連續三個數，

...X、y、z滿足的關系式是xy=z.

故答案為：xy=z.

2.(2024安徽中考第18題)數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為一一產(尤，丁均為

自然數)”的問題.

(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下("為正整數)：

N奇數4的倍數

1=12-024=22-02

3=22—128=32—12

5=32—2212=42—22

表示結果

7=42—3216=52—32

9=52—4220=62-42

一般結論2n-1=n2—(n—I)24n=________

按上表規律，完成下列問題：

(i)24=()2-(

(ii)4〃=；

(2)興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4〃一2("為正整數)的正整數N不能表示為y2。，y

均為自然數).師生一起研討，分析過程如下：

假設4a—2=f—j2,其中無，y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若尤，y均為偶數，設尤=2匕y=2m,其中左，機均為自然數，

則％2—產=(2左)2—(2根)2=4(產一源)為4的倍數.

而4”一2不是4的倍數，矛盾.故無，y不可能均為偶數.

②若無，y均為奇數,設尤=24+1,y—2m+l,其中左，機均為自然數，

則x2-/=(2)t+l)2-(2m+l)2=為4的倍數.

而4〃一2不是4的倍數，矛盾.故x,y不可能均為奇數.

③若x,y一'個是奇數一個是偶數，則x2—;/為奇數，

而4〃一2是偶數，矛盾.故無，y不可能一'個是奇數一■個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

【答案】(1)(i)7,5；(ii)(n+l)2-(n-l)2；

(2)4(左2—+左—相)

【小問1詳解】

(i)由規律可得，24=72—52，

故答案為：7,5；

(ii)由規律可得，4n=(n+l)2-(n-l)2,

故答案為：("+1)2—(“—Ip；

【小問2詳解】

解：假設4〃—2=爐—V，其中％y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若X，丁均為偶數，設x=2左，y=2m,其中％,加均為自然數，

則f—y2=Q左了—Q咐2=4(左2一療)為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故劉V不可能均為偶數.

②若劉y均為奇數，設％=2Z+1,y=2根+1,其中后加均為自然數,

則無2一,2=(2左+行—(2m+行=4(/—療+女一同為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故劉V不可能均為奇數.

③若X，丁一個是奇數一個是偶數，則必―/為奇數.

而4〃-2是偶數，矛盾.故X,，不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

故答案為：4(左2-加+左-祖).

3.(2023安徽中考第18題)【觀察思考】

◎

◎

◎?*?◎**◎

◎◎*◎◎**??***◎

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【規律發現】

請用含n的式子填空：

⑴第ri個圖案中“◎”的個數為；

⑵第1個圖案中“★”的個數可表示為詈，第2個圖案中“★”的個數可表示為等，第3個圖案中“★”的個數可

表示為等,第4個圖案中“★”的個數可表示為等，……，第九個圖案中“★”的個數可表示為.

【規律應用】

(3)結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數加使得連續的正整數之和1+2+3+…+n等于第九個

圖案中“◎，，的個數的2倍.

【答案】(1)3九⑵*f(3加=11

【詳解】(1)解：第1個圖案中有3個◎,

第2個圖案中有3+3=6個@,

第3個圖案中有3+2x3=9個@,

第4個圖案中有3+3x3=12個?,

...第九個圖案中有3幾個?,

故答案為：3n.

(2)第1個圖案中“★”的個數可表示為容，

第2個圖案中“★”的個數可表示為等，

第3個圖案中“★”的個數可表示為辭，

第4個圖案中“★”的個數可表示為等，……,

第w個圖案中“★”的個數可表示為外券，

(3)解：依題意，1+2+3+……+n=也產,

第九個圖案中有3九個◎,

An(n+1)=3n><2；

2

解得：n-0(舍去)或=11.

4.(2022安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個等式：(2x1+1)2=(2x2+1)2-(2x2)2,

第2個等式：（2x2+=（3x4+1尸一（3x4）2,

第3個等式：（2X3+1尸=（4x6+一（4X6尸,

第4個等式：（2x4+=（5x8+一（5x8）2,

按照以上規律.解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：；

⑵寫出你猜想的第"個等式(用含力的式子表示)，并證明.

【答案】(1)(2x5+I)2=(6x10+I)2-(6x10)2

(2)(2n+I)2=[(n+1)-2n+I]2—[(n+1)-2n]2,證明見解析

【詳解】(1)解：觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規律，可知第5個等式為：(2X5+17=

(6x10+I)2-(6x10)2,故答案為：(2X5+I)2=(6X10+I)2-(6x10)2；

(2)解:第〃個等式為(2n+1尸=[(n+1)?2n+1產—[5+1)?2n]2,

證明如下：

等式左邊：(2n+I)2=4n2+4n+1,

等式右邊：[(九+1)-2n+I]2—[(n+1)-2n]2

=[(n+1)-2n+1+(n+1)-2n]?[(n+1)-2n+1—(n+1)-2n]

=[(n+1)-4n+1]X1

=4n2+4n+1,

故等式(2n+l)2=[(n+1)-2n+l]2-[(n+1)-2n]2成立.

5.(2021安徽中考第18題)某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列

而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續排列.

[觀察思考]

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖2)；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角

形地磚有8塊(如圖3)；以此類推，

KXXJ

圖1圖2圖圖33

[規律總結]

(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；

(2)若一條這樣的人行道一共有nCn為正整數)塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為(用

含〃的代數式表示).

［問題解決］

(3)現有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，

則需要正方形地磚多少塊？

【答案】(1)2；(2)2n+4；(3)1008塊

【詳解】解：(1)由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；故答案為：2；

(2)由(1)可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；

所以當地磚有"塊時，等腰直角三角形地質有(2n+4)塊；

故答案為：2n+4；

(3)令2n+4=2021則n=1008.5

當71=1008時，2n+4-2020

此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚

.?.需要正方形地磚1008塊.

6.(2020安徽中考第17題)觀察以下等式：

第1個等式：ix(l+|)=2-i

第2個等式：jX(l+|)=2-|

第3個等式：|x(l+|)=2-j

第4個等式：:x(l+3=2—；

第5個等式：1x(1+1)=2-1

按照以上規律.解決下列問題：

(1)寫出第6個等式___________；

(2)寫出你猜想的第n個等式：_(用含幾的等式表示)，并證明.

【答案】⑴芍X(1+5=2-&(2)^x(l+-)=2-i,證明見解析.

8'6，6n+2'71，n

【詳解】(1)由前五個式子可推出第6個等式為：^x(l+|)=2-i；

ooo

(2)-x(1+-)=2-

n+2'7/n

、-r□口??2n~l.2、2n—1n+22n—l1

證明：?左邊=_x(l+0=k7XH=k=n2-廣右邊,

，等式成立.

7.(2019安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個等式：|=；+：,

第2個等式:|=J+g

5zo

第3個等式:|=抖專，

第4個等式六

第5個等式V+福，

……按照以上規律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：；

(2)寫出你猜想的第w個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

【答案】⑴?=；+(；(2)-=-+思F見解析

11ooo2n-ln

2

【詳解】解：(1)第6個等式:蕓+三

11666

1

(2)—=-+

2n-lnn(2n-l)

12n-l+l

證明：：右邊=2+=7^7=左邊?

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

J等式成立.

8.(2018安徽中考第18題)觀察以下等式:

第1個等式:]+

第2個等式：i+|+|xi=l,

第3個等式：|+j+ixj=l,

3434

第4個等式:；+|+；x|=l,

4545

第5個等式：l+i+ixi=l,

5o56

按照以上規律，解決下列問題：

（1）寫出第6個等式：；

（2）寫出你猜想的第〃個等式：（用含〃的等式表示），并證明.

【答案】（1）|+|+|x|=1；（2）-+^—^+--^—^—1,證明見解析.

6767nn+1nn+1

【詳解】⑴觀察可知第6個等式為:*1，故答案為：

1,n-l,1n-1

（2）猜想:—I-----1—X—=1,

nn+1nn+1

n-l_n+l+n(n-l)+n-l_n(n+l)

證明：左邊=工+1+~X---=一1■'=1,

nn+1nn+1n(n+l)n(n+l)

右邊=1,

...左邊=右邊,

原等式成立,

1.n-l,1n-l

.?.第〃個等式為:—I-----1—X1,

nn+1nn+1

故答案為工+V+三x-=l.

nn+1nn+1

9.（2017安徽中考第19題）

【閱讀理解】

我們知道,1+2+3+…+冏=普2那么-+22+32+…+/結果等于多少呢？

在圖1所示的三角形數陣中，第1行圓圈中的數為1,即上第2行兩個圓圈中數的和為2+2,即

22；……；第”行〃個圓圈中數的和為71+TI+…+72,即〃2.這樣，該三角形數陣中共有中個圓圈,

所有圓圈中數的和為12+22+32+-+H2.

【規律探究】

將三角形數陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣，觀察這三個三角形數陣各行同一位置

圓圈中的數（如第n-l行的第一個圓圈中的數分別為〃-1,2,總發現每個位置上三個圓圈中數的和

均為.由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和

為:3（1?+2?+32H-----.因此,1_2+22+32_|------------------------\-rr-.

第19題圖2

【解決問題】

根據以上發現，計算個黑：:若2的結果為

n(n4-l)(2n+l)n(n+l)(2n+l)

【答案】2"+1,1345.

26

【詳解】由題意知,每個位置上三個圓圈中數的和均為"-1+2+幾=2孔+1,

由此可得,這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和為

3(l2+22+32+---+H2)=(2n+l)x(l+2+3+---M=(2n+l)x^l)=n(n+1^2n+1\

因止匕,12+22+32+..?+川二小+1）（2九+1）；

6

-x2017x(2017+l)x(2x2