第05講古典概型與概率的基本性質

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：簡單的古典概型問題.....................................................2

題型二：古典概型與向量的交匯問題...............................................2

題型三：古典概型與幾何的交匯問題...............................................3

題型四：古典概型與函數的交匯問題...............................................4

題型五：古典概型與數列的交匯問題...............................................4

題型六：古典概率與統計的綜合...................................................5

題型七：有放回與無放回問題的概率...............................................5

題型八：概率的基本性質.........................................................6

02重難創新練...................................................................7

03真題實戰練..................................................................8

題型一：簡單的古典概型問題

1.下列試驗是古典概型的是()

A.在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數的所有點中任取一點

B.某射手射擊一次，可能命中。環，1環，2環，10環

C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽

2.下列有關古典概型的說法中，錯誤的是()

A.試驗的樣本空間的樣本點總數有限

B.每個事件出現的可能性相等

C.每個樣本點出現的可能性相等

D.已知樣本點總數為"，若隨機事件A包含上個樣本點，則事件A發生的概率尸(A)=2

n

3.先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，觀察朝上的點數.記事件人點數之和為3,事件股點數之和不

超過3.有下列說法：①樣本空間。=｛億加ViV6,lW/V6,ieN,jeN｝；②A=｛(1,2),(2,1)｝；③

3=｛(1,1),(1,2),(2,1)｝；@P(A)<P(B).其中正確的個數是()

A.1B.2C.3D.4

4.下列是古典概型的是()

①從6名同學中，選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性的大小；

②同時擲兩顆骰子，點數和為7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③④

題型二：古典概型與向量的交匯問題

5.(2024?浙江嘉興.二模)已知正九邊形44…4,從44,…,可中任取兩個向量，則它們的數量

積是正數的概率為()

6.（2024?上海浦東新?三模）連續投骰子兩次得到的點數分別為加，n,作向量苕=（m,n）,則茂與5=（1,

-1）的夾角成為直角三角形內角的概率是.

7.（2024?上海徐匯.二模）將兩顆質地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆骰子出現的點數是加，記第二顆骰

子出現的點數是"，向量4=。〃-2,2-〃），向量石=。,1）,則向量a1b的概率是.

8.設山，“分別為連續兩次投擲骰子得到的點數，且向量訝=（移〃），石=（1,-1）,則向量加的夾角為銳

角的概率是.

題型三：古典概型與幾何的交匯問題

9.（2024?河北唐山?一模）從正方體的8個頂點中任取3個連接構成三角形，則能構成正三角形的概率為

（）

A.-B.—C.-D.—

714735

10.（2024.內蒙古.模擬預測）如圖，這是第24屆國際數學家大會會標的大致圖案，它是以我國古代數學

家趙爽的弦圖為基礎設計的.現用紅色和藍色給這4個三角形區域涂色，每個區域只涂一種顏色，則相鄰的

區域所涂顏色不同的概率是（）

11.（2024?陜西咸陽?一模）《幾何原本》又稱《原本》，是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學巨著，

大約成書于公元前300年.漢語的最早譯本是由中國明代數學家、天文學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇

合譯，成書于1607年，該書據克拉維斯的拉丁文本《歐幾里得原本十五卷》譯出.前6卷主要包括：基本

概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章內容，幾乎包含現今平面幾何的所有內容.某

高校要求數學專業的學生從這7章里面任選3章進行選修并計人學分.則數學專業學生張某在三角形和四

邊形這兩章中至少選一章的概率為（）

,3c4r6

A.-B.—C.—D.一

7777

12.一個大正方體木塊的表面積為96cm"將大正方體木塊的表面涂上紅色顏料，并且分割成若干個棱長為

1cm的小正方體木塊.若從這些小正方體木塊中任取一個，恰好取到有一面著色的小正方體木塊的概率為（

3

AB?3D.

-18

題型四：古典概型與函數的交匯問題

13.設函數=+士（尤＞4）,若。是從1,2,3,4四個數中任取一個，匕是從4,8,12,16,20,24六個數中

任取一個，則“X）＞6恒成立的概率為.

14.（2024.高三.山東濰坊.開學考試）已知四個函數：①%七，②y=-lnx,=@y=0從中

任選2個，則事件“所選2個函數的圖象有且僅有一個公共點”的概率為.

15.（2024.高三.上海青浦?期中）已知函數y=的定義域為｛＜-3,3,4｝,值域為｛2,3｝,則函數y=

是偶函數的概率為.

16.（2024?上海閔行?模擬預測）已知函數了。）的定義域為｛T,0,4｝,值域為｛2,3｝,則函數是偶函數

的概率為

題型五：古典概型與數列的交匯問題

17.（2024?江西?一模）斐波那契數列（Fibonaccisequence）,又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐波那

契（I^onardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方式定義：

%=l,q=1,4=a0T+%_2（"22,"eN*）,A=｛%，4,…,生A且3W0中，則B中所有元素之和為奇數

的概率為—.

18.（2024?福建?模擬預測）意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1,1,2,3,5,

8,13,21,34,55,89,144,L,若從該數列的前96項中隨機地抽取一個數，則這個數是奇數的概率為.

19.（2024山東泰安.三模）已知大于3的素數只分布在｛6〃-1｝和｛6〃+1｝兩數列中（其中，為非零自然數），

數列｛6九-1｝中的合數叫陰性合數，其中的素數叫陰性素數；數列｛6〃+1｝中的合數叫陽性合數，其中的素數

叫陽性素數.則從30以內的素數中任意取出兩個，恰好是一個陰性素數，一個陽性素數的概率是.

20.裴波那契數列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數列，因為數學家列昂納多?裴波那契以兔子繁殖為

例子引入，故又稱為“兔子數列”，在數學上裴波那契數列被以下遞推方法定義：數列｛%｝滿足：《=%=1，

an+2=an+an+l,現從該數列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是

21.集合A中有4個等差數列，集合8中有5個等比數列，AcB的元素個數是1,在&UB中任取兩個數

列，這兩個數列中既有等差數列又有等比數列的概率是.

題型六：古典概率與統計的綜合

22.（2024?上海.三模）將一枚質地均勻的骰子連續拋擲6次，得到的點數分別為1,2,4,5,6,%,則這

6個點數的中位數為4的概率為.

23.（2024?江西上饒?二模）將一枚質地均勻的骰子連續拋擲6次，得到的點數分別為L2,4,5,6,x,則這6

個點數的中位數為3的概率為.

24.已知｛匕｝是公差不為0的等差數列.現從工,々，無3,尤4，％，尤6,這組數據中隨機刪除2個數，得到一組新的

數據.這兩組數據的極差相同的概率為.

25.高三年級某8位同學的體重分別為90,100,110,120,140,150,150,160（單位：kg）,現在從

中任選3位同學去參加拔河，則選中的同學中最大的體重恰好為這組數據的第70百分位數的概率

是.

26.A,B,C三個地區爆發了流感，這三個地區分別有5%,4%,2%的人患了流感.假設這三個地區的人

口比例為4：3：3.現從這三個地區中任意選取一個人，則這個人患流感的概率為.

題型七：有放回與無放回問題的概率

27.（2024.全國.模擬預測）4個產品中有3個正品，1個次品.現每次取出1個做檢查（檢查完后不再放

回），直到次品被找到為止，則經過3次檢查恰好將次品找到的概率是（）

A.—B.-C.—D.一

4324

28.杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖.現將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”

圖案的卡片（卡片的形狀、大小和質地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一

張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（）

29.（2024?廣東佛山?模擬預測）在《周易》中，長橫表示陽爻，兩個短橫表示陰爻.有放回

地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23=8種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，

四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放

回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，

得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是

（）

1595

A.-B.—C.—D.-E.均不是

716168

30.一個袋子中裝有大小和質地相同的5個球，其中有2個黃色球，3個紅色球，從袋中不放回的依次隨機

摸出2個球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）

A.-B.—C.-D.-

41032

31.在一個不透明的袋中有4個紅球和"個黑球，現從袋中有放回地隨機摸出2個球，已知取出的球中至少

Q

有一個紅球的概率為1,則〃=（）

A.1B.2C.3D.4

題型八：概率的基本性質

32.（2024.全國.模擬預測）設43是隨機事件，且P（A）=：P（3）=（,P（AU國=；,則尸（Ac月）=.

33.一次考試，小明數學超過90分的概率是0.8,物理超過90分的概率是0.7,兩門都超過90分的概率是

0.6,則他的數學和物理至少有一門超過90分的概率是.

34.（2024?浙江寧波?一模）第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動

員準備參加100米、200米兩項比賽,根據以往賽事分析，該運動員100米比賽未能站上領獎臺的概率為1，

2

31

200米比賽未能站上領獎臺的概率為歷，兩項比賽都未能站上領獎臺的概率為而，若該運動員在100米比

賽中站上領獎臺，則他在200米比賽中也站上領獎臺的概率是.

35.已知相互獨立事件48滿足P（A）=0.6,尸（AB）=0.42,則尸（4口國=.

36.甲、乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7,被甲或乙解出的概率為0.94,

則該題被乙獨立解出的概率為.

37.為實現學生高中選科和大學專業選擇的有效銜接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考試科目設

置，即考生總成績由統一高考的語文、數學、外語3個科目成績，物理或歷史中的1門成績，和生物、政

治、地理、化學中的2個科目成績組成.在選擇物理的學生中，選擇物理、化學、生物的概率是選擇其它

組合的2倍，則選擇物理、化學、生物的概率為；現有選擇物理的2名學生，他們選擇專業的組

合互不影響，則至少有1人選擇物理、化學、生物的概率為.

匐2

重難創新練

1.（2024?四川巴中?模擬預測）有4名志愿者參加社區服務，服務星期六、星期日兩天.若每天從4人中

任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

4334

2.（2024?浙江嘉興?模擬預測）將數字123,4,5,6,7,8,9隨機填入3x3的正方形格子中，則每一橫行、每一豎

列以及兩條斜對角線上的三個數字之和都相等的概率為（）

8r12_24-48

A.—B.—C.—D.—

9!9!9!9!

3.（2024?江西上饒?模擬預測）某學校組織學生開展研學旅行，準備從4個甲省景區，3個乙省景區，2個

丙省景區中任選4個景區進行研學旅行，則所選的4個景區中甲、乙、丙三個省的景區都有的概率是（）

從（?+工）的二項展開式中隨機取出不同的兩項，則這兩項的乘積為有理項的概率為（

4.)

5.（2024?高三.江蘇鎮江?開學考試）由數字2,3,4組成沒有重復數字的三位數，則這個三位數是偶數的

概率為（）

A.2B—C.3D.-L

3642

6.隨著電商的興起，物流快遞的工作越來越重要了，早在周代，我國便已出現快遞制度，據《周禮?秋官》

記載，周王朝的官職中設置了主管郵驛，物流的官員“行夫”，其職責要求是“雖道有難，而不時必達”.現某

機構對國內排名前五的5家快遞公司的某項指標進行了3輪測試（每輪測試的客觀條件視為相同），每輪測試

結束后都要根據該輪測試的成績對這5家快遞公司進行排名，那么跟測試之前的排名比較，這3輪測試中恰

好有1輪測試結果出現2家公司排名不變的概率為（）.

7.（2024?高三.山東荷澤?開學考試）某興趣小組組織四項比賽，只有甲、乙、丙、丁四人報名參加且每項比賽

四個人都參加，每項比賽冠軍只有一人，若每項比賽每個人獲得冠軍的概率均相等，則甲恰好拿到其中一

項比賽冠軍的概率為（）

B.從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為去

C.從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為3走7

1Q

D.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為共

13.從;，g,g,2,3,4,6,9中任取兩個不同的數，分別記為加，n,記A="log,“〃＜。"，則P（A）=.

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字3,5,7,9,乙的卡

片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選

一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的

卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分為3的概率為.

15.現安排甲、乙、丁、丙、戊五位老師從周一到周五的常規值班，每人一天，每天一人，則甲、乙兩人

相鄰，丙不排在周三的概率為.

16.（2024?高三?江蘇南京?開學考試）數陣圖是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖形，簡稱數陣，數

陣是由幻方演化出來的另一種數字圖，有圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合，變

幻多端，由若干個互不相同的數構成等腰直角三角形數陣，如圖，其中第一行1個數，第二行2個數，第

三行3個數……以此類推，一共10行，設Z是從上往下數第先行中的最大數，則國＜尤2＜…＜和的概率

為.

*

**

***

****

***???*

㈤3

//直皿戰絡\\

1.（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

2.（2021年全國高考甲卷數學（理）試題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

3.（2024年新課標全國H卷數學真題）在如圖的4x4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個

方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值

是______

11213140

12223342

13223343

15243444

4.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中無

放回地隨機取3次，每次取1個球.記加為前兩次取出的球上數字的平均值，,為取出的三個球上數字的平

均值，則加與〃之差的絕對值不大于《的概率為.

2

5.（2024年天津高考數學真題）4民C2E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為

已知乙選了A活動，他再選擇8活動的概率為.

6.（2024年新課標全國I卷數學真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上

分別標有數字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩

人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人

得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得

分不小于2的概率為.

7.（2023年天津高考數學真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，

三個箱子中的球數之比為5:4:6.且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個箱子中各隨機摸出一

球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率

為.

8.（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的

概率為.

9.（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、

乙都入選的概率為.

第05講古典概型與概率的基本性質

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：簡單的古典概型問題.....................................................2

題型二：古典概型與向量的交匯問題...............................................2

題型三：古典概型與幾何的交匯問題...............................................3

題型四：古典概型與函數的交匯問題...............................................4

題型五：古典概型與數列的交匯問題...............................................4

題型六：古典概率與統計的綜合...................................................5

題型七：有放回與無放回問題的概率...............................................5

題型八：概率的基本性質.........................................................6

02重難創新練...................................................................7

03真題實戰練..................................................................8

題型一：簡單的古典概型問題

1.下列試驗是古典概型的是（）

A.在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數的所有點中任取一點

B.某射手射擊一次，可能命中。環，1環，2環，10環

C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽

【答案】C

【解析】對于A,橫坐標和縱坐標都是整數的點有無限多個，不滿足有限樣本空間特征，故該選項錯誤；

對于B,命中0環，1環，2環...，10環的概率不相同，不滿足等可能性特征，故該選項錯誤；

對于C,人數有限，且任選1人與學生的性別無關，是等可能的，故該選項正確；

對于D,“發芽”與“不發芽”的概率不一定相等，不滿足等可能性特征，故該選項錯誤；

故選：C.

2.下列有關古典概型的說法中，錯誤的是（）

A.試驗的樣本空間的樣本點總數有限

B.每個事件出現的可能性相等

C.每個樣本點出現的可能性相等

D.已知樣本點總數為力若隨機事件A包含上個樣本點，則事件A發生的概率P（A）=與

n

【答案】B

【解析】由古典概型概念可知：試驗的樣本空間的樣本點總數有限；每個樣本點出現的可能性相等，故A,

C正確；

每個事件不一定是樣本點，可能包含若干個樣本點，所以B不正確；

根據古典概型的概率計算公式可知D正確，

故選:B

3.先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，觀察朝上的點數.記事件4點數之和為3,事件股點數之和不

超過3.有下列說法：①樣本空間。=｛（i,""iW6,lWjW6,ieN,jeN｝；②A=｛（1,2）,（2,1）｝；③

8={(1,1),(1,2),(2,1)}；@P(A)<P(B).其中正確的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】用(1,2)表示第一次擲出1點第二次擲出2點，其他的樣本點用類似的方法表示,

則可知所有樣本點均可表示成(，,/)的形式，其中i,/都是1,2,3,4,5,6中的數.

因此,樣本空間。={(z,J)ll<i<6,1<J<6,ieN,jeN},①判斷正確；

由&={(1,2),(2,1)}可知②判斷正確;

由B={(1,1),(1,2),(2,1))可知③判斷正確；

2131

因為尸(4)=”=^,==故尸(A)<P(3),故④判斷正確.

36183612

故選：D

4.下列是古典概型的是()

①從6名同學中，選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性的大小；

②同時擲兩顆骰子，點數和為7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】B

【解析】①②④中的基本事件都是有限個，且每個基本事件都是等可能的，

符合古典概型的定義和特點；③不是古典概型，因為不符合等可能性，

受多方面因素影響.

故選：B.

題型二：古典概型與向量的交匯問題

5.(2024?浙江嘉興?二模)已知正九邊形A4…從AW，d，…，耳不中任取兩個向量，則它們的數量

積是正數的概率為()

【答案】A

【解析】

可以和向量A4構成數量積有WA，…一共8個向量，

其中數量積為的正數的向量有：豆,AA，44,44一共4個，

41

由對稱性可知，任取兩個向量，它們的數量積是正數的概率為：2=：.

o2

故選：A

6.(2024?上海浦東新?三模)連續投骰子兩次得到的點數分別為加，〃，作向量(m,〃)，則也與5=(1,

-1)的夾角成為直角三角形內角的概率是.

【答案】看7

【解析】由題意知本題是一個古典概型,

試驗發生包含的所有事件數6x6,

Vm>0,n>0,

a=(m,n)與B=(1,-1)不可能同向

???夾角分0.

71

?.?。￡(0,-A

M?八0,

Am-n>0,

即m>n.

當m=6時，〃=6,5,4,3,2,1；

當m=5時，n=5,4,3,2,1；

當m=4時，n=4,3,2,1；

當m=3時，〃=3,2,1;

當m=2時，n=2,1；

當m=1時，n—1.

???滿足條件的事件數6+5+4+3+2+1

6+5+4+3+2+17

???概率尸=

6^612

7

故答案為五

7.（2024.上海徐匯?二模）將兩顆質地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆骰子出現的點數是加，記第二顆骰

子出現的點數是〃，向量4=（相-2,2-九），向量石則向量Q1b的概率是.

【答案】7

6

【解析】由題意知，7",〃e{l,2,3,4,5,6},則（m,九）共有36種,由4_L萬，得（加一2）+（2—“）=0,即加=",

共有6種，根據古典概型的計算公式可得，所求概率為p=1

8.設機，W分別為連續兩次投擲骰子得到的點數，且向量力=（〃*"）,石=（1,-1）,則向量z,B的夾角為銳

角的概率是.

【答案】W

【解析】向量2,B的夾角為銳角，所以7B>o,

所以加一〃>0,即加〉

5+4+3+2+1

所以所求概率尸=

3612

故答案為：

題型三：古典概型與幾何的交匯問題

9.（2024?河北唐山.一模）從正方體的8個頂點中任取3個連接構成三角形，則能構成正三角形的概率為

（）

A.-B.—C.-D.—

714735

【答案】A

【解析】從八個頂點中任選三個構成三角形的有C；=56種結果；

其中能構成正三角形的有8種結果：

】

△ACD[,ABDC],AAC3],ABDA,CXB,RA,C,zsAjCD,

O1

故概率為：—

5o7

故選：A.

10.（2024?內蒙古.模擬預測）如圖，這是第24屆國際數學家大會會標的大致圖案，它是以我國古代數學

家趙爽的弦圖為基礎設計的.現用紅色和藍色給這4個三角形區域涂色，每個區域只涂一種顏色，則相鄰的

區域所涂顏色不同的概率是（）

【答案】A

【解析】將四塊三角形區域編號如下,

由題意可得總的涂色方法有24=16種，

若相鄰的區域所涂顏色不同，即12同色，34同色，故符合條件的涂色方法有2種,

91

故所求概率尸=77=g.

Ioo

故選：A

11.（2024?陜西咸陽?一模）《幾何原本》又稱《原本》，是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學巨著,

大約成書于公元前300年.漢語的最早譯本是由中國明代數學家、天文學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇

合譯，成書于1607年，該書據克拉維斯的拉丁文本《歐幾里得原本十五卷》譯出.前6卷主要包括：基本

概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章內容，幾乎包含現今平面幾何的所有內容.某

高校要求數學專業的學生從這7章里面任選3章進行選修并計人學分.則數學專業學生張某在三角形和四

邊形這兩章中至少選一章的概率為（

D

c7-I

【答案】c

【解析】數學專業的學生從這7章里面任選3章共有C；=35種選法；

數學專業學生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章共有選法C抬+C泄=25種，

255

故張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為2=臣=,，

故選：C.

12.一個大正方體木塊的表面積為96cm"將大正方體木塊的表面涂上紅色顏料，并且分割成若干個棱長為

1cm的小正方體木塊.若從這些小正方體木塊中任取一個，恰好取到有一面著色的小正方體木塊的概率為()

A.-B.-C.-D.-

2448

【答案】D

[解析】表面積為96cm2的正方體棱長為4cm,體積為43=64cm3,

所以該大正方體可以分割成64個棱長為1cm的小正方體，

分割后在大正方體每個面上既不靠近頂點，又不靠近棱邊的位置有4個小正方體是一面著色的,

所以所求概率為三=1,

648

故選:D

題型四：古典概型與函數的交匯問題

13.設函數/(無)=依+3(%>4),若。是從1,2,3,4四個數中任取一個,6是從4,8,12,16,20,24六個數中

任取一個，則/⑺>力恒成立的概率為.

【答案】j/0.625

O

【解析】因為。>0,尤>4,可得*-4>0,

貝!Jf(x]=ax+^^=ax+l+-^—=a(x-4)+—^—+4a+l>4y[a+4a+l=(2y/a+1)2,

x-4x-4尤一4

當且僅當x=J3+4時，等號成立，故/(x)min=(26+l)2,

Va

由不等式/(X)>b恒成立轉化為(26+1)2>b恒成立,

因為。是從1,2,3,4四個數中任取一個，b是從4,8,12,16,20,24六個數中任取一個，

則構成的所有基本事件總數有24個，

又由（2a+1）2=9,（272+1K=9+4忘w（12,16）,（2百+1）2=13+473e（19,20）,（274+1）2=25,

設事件A="不等式/（%）>6恒成立”，則事件A包含事件：

（1,4）,（1,8）,（2,4）,（2,8）,（2,12）,（3,4）,（3,8）,（3,⑵,（3,16）,（4,4）,（4,8）,（4,12）,（4』6）,（4,20）,（4,25）共15

個，

因此不等式外力>力恒成立的概率為II="I.

故答案為：—.

O

14.（2024?高三?山東濰坊?開學考試）已知四個函數：①丫;七，②y==④y=?,從中

任選2個，則事件“所選2個函數的圖象有且僅有一個公共點”的概率為.

【答案】1/0.5

作出函數圖象，

由圖可得③與①有一個公共點，②和④有一個公共點，②和③有一個公共點，其余不符合題意，

所以事件“所選2個函數的圖象有且僅有一個公共點”的概率為卷=《，

故答案為：—.

15.（2024?高三?上海青浦?期中）已知函數y=/（x）的定義域為{T-3,3,4},值域為{2,3},則函數y=/（x）

是偶函數的概率為.

【答案】|

【解析】因為y=的定義域為{<-3,3,4},關于原點對稱，

當y=〃x）是偶函數時,有〃T）=〃4）,/（-3）=/（3）,

而3=〃力的值域為{2,3},

所以有〃T)=〃4)=2且3)=〃3)=3,或/(T)=/(4)=3且〃-3)=/(3)=2兩種情況，

不考慮y=/(x)為偶函數時，分兩種情況討論：

一種是將7,-3,3,4分成一組1個元素，一組3個元素的情況，

此時有C；A；=8種情況滿足題設；

一種是將T,-3,3,4分成每組各2個元素的情況，

此時有=6種情況滿足題設；

綜上，滿足y=的定義域為｛<-3,3,4｝,值域為｛2,3｝的情況共有8+6=14種，

71

所以函數y=/(x)是偶函數的概率為言=：

故答案為：—■

16.(2024.上海閔行.模擬預測)己知函數/(尤)的定義域為｛T,0,4｝,值域為｛2,3｝,則函數/(尤)是偶函數

的概率為

【答案】|

【解析】因為/(無)的定義域為｛T0,4｝,關于原點對稱，值域為｛2,3｝,

2,x=±42,x=02,%=4或0

所以有/(%)=,或f(x)=，或/(%)=

3,x=03,x=±43,x=-4

3,工=4或02,%=-4或03,尤=-4或0

或/(%)=或/(%)=或/(%)=

2,x=-43,%=42,x=4

共6種情況;

12,x=±4[2,x=0

而當小)=3,.。和/⑴=3,一4時,滿足⑴是偶函數，有2種情況，

所以/(x)是偶函數的概率尸=]

故答案為：-

題型五：古典概型與數列的交匯問題

17.(2024?江西?一模)斐波那契數列(Fibonaccisequence),又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐波那

契(珍onardoFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方式定義：

/=l,q=l,a“=a“_i+a"_2（"22,"eN*）,A={q,a2,…,%024}，8=A且3H0中，則B中所有元素之和為奇數

的概率為—.

【解析】由斐波那契數列規律可知，集合人=｛%,生，…，4期｝中的元素有675個偶數，1349個奇數，

記A中所有偶數組成的集合為C,所有奇數組成的集合為。，集合C的子集為E,集合。中含有奇數個元

素的子集為F,

則所有元素之和為奇數的集合B可看成EuF,

顯然集合E共有2675個，集合F共有C；349+C：349+<^349+…+C墨=2儂個，

所以所有元素之和為奇數的集合B共有2675x21348=22023個，

,2023

又集合A的非空子集共有22。24一1個，所以B中所有元素之和為奇數的概率為言

2—1

22023

故答案為:

22024-1

18.（2024?福建?模擬預測）意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1,1,2,3,5,

8,13,21,34,55,89,144,L,若從該數列的前96項中隨機地抽取一個數，則這個數是奇數的概率為

【答案】|

【解析】由題意可知，該數列連續三個數有兩個奇數，一個偶數,則該數列的前96項中奇數共有96-空=64,

即這個數是奇數的概率為6整4=；2.

963

故答案為：y

19.（2024?山東泰安.三模）已知大于3的素數只分布在｛6〃-1｝和｛6〃+1｝兩數列中（其中w為非零自然數），

數列｛6九-1｝中的合數叫陰性合數，其中的素數叫陰性素數；數列｛6〃+1｝中的合數叫陽性合數，其中的素數

叫陽性素數.則從30以內的素數中任意取出兩個，恰好是一個陰性素數，一個陽性素數的概率是.

【答案】|

【解析】30以內的素數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10個.其中陰性素數有5、11、17、23、

29共5個，陽性素數有7、13、19共3個.

cpi1

因此，所求概率為尸=半產=鼻.

^ioJ

故答案為：

20.裴波那契數列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數列，因為數學家列昂納多?裴波那契以兔子繁殖為

例子引入，故又稱為“兔子數列”，在數學上裴波那契數列被以下遞推方法定義：數列｛%｝滿足：%=4=1,

=%+4+—現從該數列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是

【答案】7/0.25

4

【解析】數列｛例｝的前12項依次為1」,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

它們除以3的余數分別為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,

可以發現：從第9開始，余數重復出現，故余數構成的數列周期為8,

故數列｛?｝前40項中，除以3余數為。的項的個數為當x2=10,

O

從該數列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是P=S=

404

故答案為：--

4

21.集合A中有4個等差數列，集合3中有5個等比數列，的元素個數是1,在AU5中任取兩個數

列，這兩個數列中既有等差數列又有等比數列的概率是.

【答案】弓19

2,0

【解析】由AcB的元素個數是1可知，所以AU8中共有8個數列，

其中有一個數列既是等差數列又是等比數列，

有3個數列為等差數列而不是等比數列，有4個數列為等比數列而不是等差數列.

則從中任取2個數列有C；=28種不同的取法.

從中取出的兩個數列中，全為等差數列有C；=3種不同的取法，全為等比數列有=6種不同的取法.

所以這兩個數列中既有等差數列又有等比數列有28-6-3=19種不同的取法.

19

所以這兩個數列中既有等差數列又有等比