拔高點突破01立體幾何中的截面、交線問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：截面作圖...............................................................2

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題.........................................4

題型三：截面切割幾何體的體積問題...............................................5

題型四：球與截面問題...........................................................6

題型五：截面圖形的個數(shù)問題.....................................................6

題型六：平面截圓錐問題.........................................................7

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題.............................8

題型八：截面有關(guān)的空間角問題..................................................10

題型九：交線問題..............................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

解決立體幾何截面問題的解題策略.

1、坐標法

所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，為解決立體幾何問

題增添了一種代數(shù)計算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其

理論依據(jù)是：若四點E、F、G、”共面，P為空間任意點，則有：

結(jié)論1：若EG與EH不共線,那么斯=+

結(jié)論2：PE=APF+juPG+tiPH（A+ju+T]=r）.

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面

幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而

得到過三點的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

題型一：截面作圖

【典例1-1】（2024?河南?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形,

AD=PA=2,BC=4,E,F,G分別為PA,BC,CD的中點.

在答題卡的圖中作出平面EFG截四棱錐尸-ABCD所得的截面，寫出作法（不需說明理由）;

【典例1-2］如圖所示，已知正方體ABCIR-ABCD,過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截

面所成的角皆相等，試找出滿足條件的一個截面.

【變式1-1］如圖，已知正方體ABCD-A'3'C'Z)'的棱長為1,分別是線段BB'QZX上靠近反。的三等

分點.過點AIM,N作該正方體的截面，試求截面圖形的周長和面積.

【變式1-2］如圖，正四面體ABC。中，尸是AB上一點，AP=^AB,Q&AD,AQ=^AB,R為CD中

點，截面PR。與CB交于點S.確定S的位置.

A

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

【典例2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體ABCD-A耳G，中，點E是線段B片上靠近耳的三等分

點，點尸是線段AG上靠近”的三等分點，則平面AEF截正方體ABCD-A4G2形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【典例2-2］（2024?高三?江西?開學(xué)考試）已知一正方體木塊ABC。-ABC2的棱長為4,點E在棱

AA上，且AE=3.現(xiàn)過DE,用三點作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

A.4>/26B.5A/17C.2后D.-^―

2

【變式2-1］（2024?江西?模擬預(yù)測）已知在長方體ABCD-A片GR中，AB=BBl=2BC,點P,Q,

T分別在棱8月，CG和A3上，且用尸=32尸，CQ=3C,Q,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面

形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2-2］（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，M,N分別為棱AD,

3c的中點，O為線段的中點，球O的表面與線段AO相切于點M,則球。被正四面體ABCD表面截

得的截面周長為.

A

題型三：截面切割幾何體的體積問題

【典例3-1】（2024?河北?模擬預(yù)測）過圓錐PO高的中點。作平行于底面的截面，則截面分圓錐尸。上

部分圓錐與下部分圓臺體積比為（）

A.-B.-C.-D.-

2357

【典例3-2】（2024?湖南婁底?模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱耳G中，底面A3C,

AB=BC=CA=AA，點。是棱A4上的點，AD=^-AAi,若截面BOG分這個棱柱為兩部分，則這兩部分

4

的體積比為（）

A.1:2B.4:5C.4:9D.5:7

【變式3-1]（2024?貴州貴陽?一模）在三棱柱中，底面ABC,

AB=5C=CA=gAV點p是棱AA上的點，AP=2PAl,若截面分這個棱柱為兩部分，則這兩部分

的體積比為（）

A.1:1B.1:3C.4:9D.4:5

【變式3-2]（2024?河北衡水?一模）已知正三棱柱ABC-ABC-過底邊BC的平面與上底面交于線段

MN

MN,若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則工三=（）

A.B.1一@C.D.3--

2222

題型四：球與截面問題

【典例4-1】（2024?福建漳州?一模）在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AAi=4,AC±AB,過

AG作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為一.

【典例4-2】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在

平面的距離為1,則該球的體積為一.

【變式4-1】已知球。的體積為￡兀，高為1的圓錐內(nèi)接于球。，經(jīng)過圓錐頂點的平面a截球。和圓錐所得

的截面面積分別為席邑，若岳=2/7兀，則$2=

【變式4-2］（2024?陜西西安?三模）如圖，已知球。的半徑為R,A、B在球。的表面上，AB=2,連接

球心。與A、B,沿半徑。4旋轉(zhuǎn)使得點3旋轉(zhuǎn)到球面上的點C處，若此時N54C=12O。，且球心O

D

到VA3C所在截面圓的距離為則球。的表面積為一.

題型五：截面圖形的個數(shù)問題

【典例5-1】過正四面體尸-ABC的頂點P作平面a,若。與直線A4,PB,PC所成角都相等，則這樣的

平面的個數(shù)為（）個

A.3B.4C.5D.6

【典例5-2］（2024?陜西榆林?陜西省榆林中學(xué)校考三模）過正方體ABC。-A4GA的頂點A作平面a,

使得正方體的各棱與平面a所成的角都相等，則滿足條件的平面a的個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.6

【變式5-1］設(shè)四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面a去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四

邊形,則這樣的平面a

A.有無數(shù)多個B.恰有4個C.只有1個D.不存在

【變式5-2］（2024?浙江?模擬預(yù)測）過正四面體ABCD的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面，且使

截面與底面所成的角為75。，這樣的截面有（）

A.6個B.12個C.16個D.18個

題型六：平面截圓錐問題

【典例6-1】用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個圓，用

一個不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角6不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別

是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.記圓錐軸截面半頂

角為a,截口曲線形狀與da有如下關(guān)系：當(dāng)。〉a時，截口曲線為橢圓；當(dāng)。="時，截口曲線為拋物線:

當(dāng)，＜a時，截口曲線為雙曲線.如圖1所示，其中現(xiàn)有一定線段AB,其與平面￡所成角

（P（如圖2）,8為斜足，尸上一動點尸滿足=設(shè)尸點在的運動軌跡是「，貝U（）

A.當(dāng)0=5，/=］時，r是拋物線B.當(dāng)夕時，「是雙曲線

6436

C.當(dāng)0=：,7=:時，「是圓D.當(dāng)°=時，：r是橢圓

【典例6-2］（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知圓錐SO的軸截面是邊長為2的正三角形，過其底面圓周

上一點A作平面a,若a截圓錐S。得到的截口曲線為橢圓，則該橢圓的長軸長的最小值為（）

A.走B.1C.JiD.2

2

【變式6-1］如圖1,用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度對這個問題進

行研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩

個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面切于E、F,在截口曲線上

任取一點A,過A作圓錐的母線，分別與兩個球切于C、B,由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC,

AF=AB,^-^AE+AF=AB+AC=BC,由8、C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢

圓定義可知，截口曲線是以￡、P為焦點的橢圓.如圖2,一個半徑為1的球放在桌面上，桌面上方有一點

光源尸，則球在桌面上的投影是橢圓，己知A4是橢圓的長軸，P4垂直于桌面且與球相切，尸4=3,則

橢圓的離心率為（）

【變式6-2］（2024?上海虹口?模擬預(yù)測）在圓錐尸。中，已知高產(chǎn)0=2,底面圓的半徑為4,M為母線

PB的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義,下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面

四個命題，正確的個數(shù)為（）

①圓的面積為4兀；

②橢圓的長軸長為折;

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為=3;

④拋物線的焦點到準線的距離為迪

5

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題

【典例7-1］（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）己知E,b分別是棱長為2的正四面體ABCD的對棱AD,3c的

中點.過斯的平面a與正四面體A3CD相截，得到一個截面多邊形也則正確的選項是（）

①截面多邊形。可能是三角形或四邊形.

②截面多邊形二周長的取值范圍是［4,2也+34］.

③截面多邊形T面積的取值范圍是［1,應(yīng)］.

④當(dāng)截面多邊形?是一個面積為漁的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.

2

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【典例7-2］（2024?四川?一模）設(shè)正方體ABCD-AAGR的棱長為1，與直線AC垂直的平面a截該正

方體所得的截面多邊形為M.則下列結(jié)論正確的是（）.

A.M必為三角形B.M可以是四邊形

C.M的周長沒有最大值D.M的面積存在最大值

兀

【變式7-1］若圓錐的軸截面.是一個頂角為2胃，腰長為2的等腰三角形，則過此圓錐頂點的所有截面中，

截面面積的最大值為（）

A.走B.1C.3D.2

2

【變式7-2］（多選題）（2024?福建廈門?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A與GR中，點

E,尸分別是。，和8R的中點，則（）

A.QF//AE

B.C.F

C.點尸到平面E4c的距離為邁

3

D.過E作平面a與平面ACE垂直，當(dāng)a與正方體所成截面為三角形時，其截面面積的范圍為

【變式7-3］正方體ABC。-AAGA中作一截面與AG垂直，且和正方體所有面相交，如圖所示.記截面

多邊形面積為S,周長為C,則（）

A.S為定值，C不為定值B.S不為定值，C為定值

c.S和C均為定值D.S和C均不為定值

題型八：截面有關(guān)的空間角問題

【典例8-1］（2024?四川成都?高三校聯(lián)考期末）在正方體ABC。-4464中，E為線段AD的中點，設(shè)

平面A5C,與平面CCXE的交線為m,則直線m與AC所成角的余弦值為（）

A.|B.—C.叵D.—

2255

【典例8-2］在正方體ABCD-AAGA中，E為線段的中點，設(shè)平面A3C與平面CC出的交線為/,

則直線/與BE所成角的余弦值為（）

A6RA/10?4\5p.^30

5101010

【變式8-1］（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）在正方體A3CO-4耳G。中，E為中

點，過的截面a與平面的8田的交線為/,則異面直線/與8c所成角的余弦值為（）

&回R新「Mn厲

A.-----D.C.-----L）.---

10555

題型九：交線問題

【典例9-1】（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）如圖，在正方體48CD-A瓦G2中，E是棱C6的中點，記平

面ARE與平面的交線心平面ARE與平面A的交線4,若直線AB與4所成角為a,直線A8

與4所成角為凡貝"in（2a-⑶的值是

【典例9-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正四棱柱A8C。-AgGR中，AB=2,明=4,點E為

的中點，點尸為的中點，平面詆與平面A。。A的交線為/,則異面直線/與A。所成角的余弦值

為一

【變式9-1］（2024?浙江寧波?一模）在棱長均相等的四面體ABCD中，P為棱AD（不含端點）上的動

點，過點A的平面a與平面P3C平行.若平面。與平面平面ACD的交線分別為力4〃，則根,〃所成

角的正弦值的最大值為.

【變式9-2]（2024?山東?二模）三棱錐P-ABC中，VA3C和PBC均為邊長為2的等邊三角形，D,E

分別在棱AC上，且，=/；,。￡<=平面/4尸〃平面。，若PA=6,則平面。與三棱錐P-ABC的

rDA7C

交線圍成的面積最大值為一.

【變式9-3]（2024?廣東汕頭?一模）如圖，在正方體ABCO-A4G2中，E是棱CQ的中點，記平面

ARE與平面A3C。的交線為乙，平面ARE與平面42與A的交線為），若直線AB分別與4、4所成的角為

a、/3,貝|tan（z=,tan（a+,）=.

1.已知球。是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=6,

AB=4y/3,點E為線段8。的中點.過點E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

A.9兀B.8兀C.4兀D.3兀

2.已知正三棱錐A-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱A8=26，點E在線段3。上，且

BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）

11711「Cc1「11兀,]「9兀/

A.-B.[2K,3TI1C.一1，4兀D.二~,4兀

4JL」4」L4

3.（2024?四川資陽?二模）已知球。的體積為一，點A到球心。的距離為3,則過點A的平面。被

球。所截的截面面積的最小值是（）

A.9兀B.12兀C.16TID.20兀

4.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）己知正三棱錐A-BCD的外接球是球O,正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱

A8=2打，點E在線段上，且班=1）￡,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

9兀

A.2兀B.—C.3兀D.4兀

4

5.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）在長方體ABC。-ABIGR中，AB=2AD=2AA，點M是線段GA上靠

近2的四等分點，點N是線段CG的中點，則平面截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

6.（2024?四川成都?二模）在正方體ABCD-4瓦弓2中，尸、。分別是棱A4、CQ靠近下底面的三等

分點，平面〃尸。1平面ABCD=/,則下列結(jié)論正確的是（）

A./過點B

B.IIIAC

C.過點R,P,Q的截面是三角形

D.過點R,P,。的截面是四邊形

7.（2024?安徽安慶?三模）在正方體A28-ABC2中，點及尸分別為棱AB,/⑦的中點，過點E/，G

三點作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱8片的交點是棱B片的一個三等分點

C.A。，平面C]EF

D.平面A8Q//平面C]E尸

8.（多選題）（2024?河南信陽?二模）如圖，在四棱錐Q-E尸G〃中，底面是邊長為20的正方形，M

為QG的中點.QE=QF=QG=QH=4,過。作平面￡FGH的垂線，垂足為。，連EG,EM,設(shè)EM,

。。的交點為A,在△QH尸中過A作直線3c交。尸于8,C兩點，QB=xQH,QC=yQF,過

石河作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕匕，下列說法正確的是（）

Q

C.K=2&yD.今的最小值為:

V22

9.（多選題）（2024?福建福州?模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體ABC。-中，M,N,P分別是

441,CG，G2的中點，。是線段A4上的動點（不含端點），則（）

A.存在點Q,使尸。〃平面M6N

2

B.存在點。，點。到直線B尸的距離等于1

C'過AMB，N四點的球的體積為三

D.過Q,M,N三點的平面截正方體ABCD-A4GA所得截面為六邊形

10.（2024?山西呂梁?二模）己知圓臺。02的高為3,中截面（過高的中點且垂直于軸的截面）的半徑

為3,若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺的母線長為.

11.現(xiàn)要將一邊長為101的正方體ABCD-A瓦G2,分割成兩部分，要求如下：（1）分割截面交正方體各

棱AA，BB{,CCX,DR于點p,Q,R,S（可與頂點重合）；（2）線段AP,BQ,CR,￡>S的長度均為

非負整數(shù)，且線段AP,BQ,CR,DS的每一組取值對應(yīng)一種分割方式，則有種不同的分割方式.

（用數(shù)字作答）

12.（2024?河南?模擬預(yù)測）在三棱柱ABC-AAG中，441底面MC,AB=BC=C4=；A4,,點尸

是棱AA上的點，AP=2PA，若截面8PG分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為.

13.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）過正三棱錐P-A5c的高P”的中點作平行于底面ABC的截面ABC1，

若三棱錐尸-4月￡與三棱臺ABC-44G的表面積之比為己，則直線出與底面ABC所成角的正切值

為一

14.（2024?山東臨沂?一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截

面的直徑被截得的一段叫做球冠的高?球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面

的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.

如圖1,一個球面的半徑為R,球冠的高是力,球冠的表面積公式是S=2位"與之對應(yīng)的球缺的體積公式

1JT

是V=］兀（3R-/z）.如圖2,已知CD是以A3為直徑的圓上的兩點，ZAOC=ZBOD=-,S^COD=6n,

則扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為,體積為.

圖2

15.（2024?高三?浙江寧波?期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O,球。的體積為36兀，設(shè)圓錐頂點為P,

7T

平面。為經(jīng)過圓錐頂點的平面，且與直線PO所成角為設(shè)平面a截球。和圓錐所得的截面面積分別為

0

S”貝科=____.

d2

16.（2024?河南?三模）在正四棱柱ABC。-A用Ca中，AB=1,明=3,點P為側(cè)棱DQ上一點，過

A,C兩點作垂直于B尸的截面，以此截面為底面，以8為頂點作棱錐，則該棱錐的外接球的表面積的取值

范圍是__.

17.（2024?重慶?三模）在三棱錐A-3C。中，為正三角形，△BCD為等腰直角三角形，

3CLCD且BC=1,AC=V3,則三棱錐人-BCD的外接球。的體積為—；若點E滿足葩=32E，過點

E作球。的截面，當(dāng)截面圓面積最小時，其半徑為一.

18.（2024?山東日照?一模）已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長都為2；點E在側(cè)棱SC上，過點E且

垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形X,則X的邊數(shù)至多為一，H的面積的最大值為一.

19.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測）已知正四棱錐S-A5CD的所有棱長都為2,點E在側(cè)棱SC上，過點

E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形的面積的最大值為一.

20.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2,過棱上4上點A作平行于底面的

截面A4G2,若截面邊長為1,A4,=血,則截得的四棱錐2-48。2的體積為一.

21.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知正方體ABC。-A用G2的外接球的表面積為36兀，點E,尸分別

是AB,CG的中點，過2，E,尸的截面最長邊長為〃?，最短邊長為“，則竺=—.

22.已知過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=1,AC=百，則球的

表面積是.

23.（2024?河南?模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體ABCD-中，河為A3的中點，過點M的平面

?截正方體A88-A瓦G2的外接球的截面面積的最小值為一.

24.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩

個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的頂點和軸都重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為2,側(cè)面積均為

石兀，記過兩個圓錐軸的截面為平面a,平面a與兩個圓錐側(cè)面的交線為AC、2D.已知平面夕平行于平

面a,平面夕與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分，且C的兩條漸近線分別平行于4C、BD,則該

雙曲線C的離心率為.

25.（2024?廣東湛江?模擬預(yù)測）在棱長為4的正方體ABC。-A耳G2中，瓦/分別是3C和GA的中

點，經(jīng)過點AE,F的平面把正方體ABCD-AAGR截成兩部分，則截面與BCQB1的交線段長為—.

26.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為12的正方體ABCD-A耳G2中，已知E,尸分別為棱A8,

CG的中點，若過點2,E,尸的平面截正方體ABC。-A4G2所得的截面為一個多邊形，則該多邊形的

周長為—，該多邊形與平面AODH，ABC。的交線所成角的余弦值為.

DiCi

拔高點突破01立體幾何中的截面、交線問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：截面作圖...............................................................2

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題.........................................4

題型三：截面切割幾何體的體積問題...............................................5

題型四：球與截面問題...........................................................6

題型五：截面圖形的個數(shù)問題.....................................................6

題型六：平面截圓錐問題.........................................................7

題型七：截面圖形有關(guān)面積'長度及周長范圍與最值問題.............................8

題型八：截面有關(guān)的空間角問題..................................................10

題型九：交線問題..............................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

解決立體幾何截面問題的解題策略.

1、坐標法

所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，為解決立體幾何問

題增添了一種代數(shù)計算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其

理論依據(jù)是：若四點E、F、G、”共面，P為空間任意點，則有：

結(jié)論1：若EG與EH不共線,那么斯=+

結(jié)論2：PE=APF+juPG+tiPH（A+ju+T]=r）.

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面

幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而

得到過三點的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

題型一：截面作圖

【典例1-1】（2024?河南?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形,

AD=PA=2,BC=4,E,F,G分別為PA,BC,CD的中點.

在答題卡的圖中作出平面EFG截四棱錐所得的截面，寫出作法（不需說明理由）;

【解析】所作截面如圖1所示.

作法：延長尸GAO交于點H,連接EH交PD于N,連接NG,

延長GF,AB交于點K,連接EK交尸8于連接期，

則截面是五邊形EMFGN.

【典例1-2】如圖所示，已知正方體過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截

面所成的角皆相等，試找出滿足條件的一個截面.

【解析】因為過同一頂點的三條棱所成的角相等的面即為與12條棱所成的角相等的面,

所以過直線AC、4片、的三個截面AB。、ACD..

【變式1-1］如圖，已知正方體ABCD-AB'C'D的棱長為1,分別是線段&TQD上靠近&D的三等

分點.過點作該正方體的截面，試求截面圖形的周長和面積.

【解析】在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D中，延長交直線A3于E,延長AW交AC延長線于尸,

連接EF交3。于G,交CD于H,連接MG,NH,則五邊形AMGHN是過點的該正方體的截面，

平面平面=平面AMM?平面ACC'A'=A產(chǎn)，平面〃平面ACC4,

MGEMEG_EBBM

則MG〃A尸，

A'F~A'E~EF~EA~AA'~3

NHFNFHFCCN_1o

同理NH//A￡,因此4E=AF=^,

AT-EF~FA~^A~3

GH=&EF0也AE=與,A'E=AF=JF+（］）2=乎,

MG=ME=NH=NF=-A'E,

3

所以截面周長為AM+MG+AN+N//+G”=AE+AF+G〃=Ji5+Y^；

2

等腰AA'E廠底邊跖上的高為A=卜￡2一弓斯）2=,（羋）2_（j0）2=孚，

則ZWEF的面積SA.EF=-EF-h=-x-y/2x^-=^!^-,

AEF22248

顯然AEA/Gs△E4'_F,SEMG=§SA,EF,同理SFNR=§SA￡F,

所以截面面積

S=S,A,nErF-2StELMlVUGj=—9SA,tELFr=—9xg24.

【變式1-2］如圖，正四面體42C￡＞中，尸是AB上一點，AP=^AB,QeAD,AQ=^AB,R為CD中

點，截面PRQ與C8交于點S.確定S的位置.

【解析】由題意知PQ=PA+A。，QR=QD+DR=QD+^AC-AD）,

因截面BC=S,則P。，QR共面，進而應(yīng)有PS=4PQ+4QR,

t己3S=xBC，WPS=PB+BS=PB+x^AC-AB^,

7112（1、

由止匕得=］=不久，O=-A+,

JJ乙J\uy

284

解得4=二，x=-.

41

于是BS=g5C,點S是5。邊上的五等分點，即CS=y5C.

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

【典例2-1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體ABCD-A片GR中，點E是線段B片上靠近用的三等分

點，點F是線段"6上靠近2的三等分點，則平面AEF截正方體ABCD-A耳GA形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)9=6,分別延長AE、A4交于點G,止匕時4G=3,

連接FG交4G于H,連接EH,

設(shè)平面皿與平面。CCR的交線為/,則Re/,

因為平面AB21Ai//平面。CCQ］,平面AEFc平面=AE,平面AEFc平面。CC］，=/,

所以///AE,設(shè)/DtD=I,貝IJF///AE,

此時故肛=：4,連接四，

所以五邊形4FHE為所求截面圖形，

【典例2-2］（2024?高三?江西?開學(xué)考試）已知一正方體木塊ABC。-A4GR的棱長為4,點E在棱

4A上，且AE=3.現(xiàn)過。，瓦片三點作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

5V17

A.4^/26B.5717C.2廊

2

【答案】A

【解析】

如圖，在CG上取一點尸，使得C尸=1,連接耳尸,。RAREC，M,AG，

因為AE//C尸且AE=CZ,所以四邊形AECZ為平行四邊形，

所以跖與AC】相交于。且。為AG的中點，

又。在上，所以斯與相交于0,且。平分EF,BQ,

所以四點。，瓦與，月四點共面且四邊形。7為平行四邊形，

所以過D,瓦片三點的截面是平行四邊形。防尸，

2222

DE=yjAE+AD=5,B1E=y]qF+(B,Cl)=J]7,DBt=QDB^+BB=473,

B[E?+DE?-BQ?_17+25-48___3

..cos/DEB1

2BtEDE-2x5x5/17-5717

sinZDEB,=Jl-cos，NDEB、=,

故截面面積為S=2S0EB,=2x-DExB.EsinZDEB.=5x717=4A/26.

21'5A/17

故選：A.

【變式2-1］（2024?江西?模擬預(yù)測）已知在長方體A8CD-A片GA中，AB=BB1=2BC,點P,Q,

T分別在棱8片，CG和A3上，且=CQ=3QQ,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面

形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【解析】如圖連接。P并延長交CB的延長線于點E,連接ET并延長交AD于點S,

過點S作SR//EQ交。R于點R,連接RQ,

則五邊形尸QRST即為平面PQT截該長方體所得的截面多邊形.

其中因為27=32尸，CQ=3QQ,BT=3AT,

EBBP11

所以EBPsECQ,則/=y=￡,所以匹

ziCCyD2

QAAT111

又,&4TSEBT,所以==所以&4=;仍=

EBTB336

則SO=9AD,

6

顯然SDRSECQ，則黑=笠，所以。氏=_|。。=^^6=提。2.

乜LC（791212

故選：C

【變式2-2］（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正四面體A3CO中，M,N分別為棱AD,

3C的中點，。為線段"N的中點，球。的表面與線段AD相切于點M,則球。被正四面體A3CD表面截

得的截面周長為.

在棱長為2的正四面體ABCD中，連接AN,ON,過。作OE_L￡W于E,如圖,

由分別為棱AD,3c的中點，得AN，3C,ZW，BC,

而4VDN=N,AN,DNu平面AND,

則BC_L平面A/VD,又BCu平面38,于是平面A7VDJ"平面BCD,

而平面A/VDc平面3co=￡W,

因此OE_L平面88,而AN=DN=6,DM=1,MNJ.AD,則肱V=拒，

球。半徑ON=^MN=也，sin/DNM=器=上,從而。￡=ON-sin/@W=Y^x）==

22DN273

球0被平面38截得的截面圓半徑r=4ON--OE1=^=—,

V33

所以球0被平面BCD截得的截面周長2仃=2"兀.

3

又A3CD為正四面體，所以球。被正四面體ABCD的每個面截得的截面都為圓，

且圓的半徑為且，

3

所以球。被正四面體A3CD表面截得的截面周長為4*絕無=或無.

33

故答案為：陋兀

3

題型三：截面切割幾何體的體積問題

【典例3-1】（2024?河北?模擬預(yù)測）過圓錐PO高的中點。作平行于底面的截面，則截面分圓錐PO上

部分圓錐與下部分圓臺體積比為（）

A.—B.—C.—D.一

2357

【答案】D

【解析】設(shè)截面圓半徑為一圓錐的高為h,圓錐的體積為匕,則圓臺下底面圓的半徑為2r,圓臺的高為h,

圓臺的體積為匕，

所以匕=§兀M/+2產(chǎn)+4r2）=j