高中數學精選資源2/2 第二章圓與方程單元測試 學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知圓：與圓：交于、兩點，則線段的垂直平分線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先寫出兩圓的圓心的坐標，再求出兩圓的連心線所在直線的方程即得解.【詳解】圓：的圓心坐標為，圓：的圓心為，由題得線段的垂直平分線就是兩圓的連心線，所以,所以線段的垂直平分線為.所以線段的垂直平分線為.故選：C【點睛】方法點睛：求直線的方程常用的方法是：待定系數法，先定式，后定量.要根據已知條件靈活選擇方法求解.2．已知圓的圓心到直線的距離為，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點到直線的距離公式求出整數的值，然后將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】圓的圓心坐標為，由已知條件可得，整理可得，，解得，因為，且，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.3．在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式建立不等式，解之可得選項.【詳解】圓的標準方程為，半徑，當圓心到直線的距離時，滿足題意，圓心在直線上的射影點即滿足題意，故有，解得，即的最大值為，故選：C.4．為上一點，為直線上一點，則線段長度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓的方程化為標準方程，求出圓心到直線的距離，減去半徑可得出的最小值.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線上的點的最小距離，故選：A．【點睛】結論點睛：若直線與圓相離，點是半徑為的圓上的一點，圓心到直線的距離為，則點到直線的距離的取值范圍是.5．已知，，圓：（），若圓上存在點，使，則圓的半徑的范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由得，即可知的軌跡為，要使圓上存在點，即圓與有交點，進而可得半徑的范圍.【詳解】設，則，，∵，即，∴，即在以原點為圓心，半徑為1的圓上，而圓的圓心為，半徑為R，∴圓上存在點，即圓與有交點，∴.故選：A【點睛】關鍵點點睛：由及向量垂直的數量積公式即可確定的軌跡，要使圓上存在點，只需保證圓與的軌跡有交點即可.6．若圓x2+y2+ax-by=0的圓心在第二象限，則直線x+ay-b=0一定不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由圓心位置確定，的正負，再結合一次函數圖像即可判斷出結果.【詳解】因為圓的圓心坐標為，由圓心在第二象限可得，所以直線的斜率，軸上的截距為，所以直線不過第三象限.故選：C7．圓關于直線對稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據圓的方程可得已知圓的圓心坐標和半徑；求得圓心關于直線的對稱點坐標，即為所求圓的圓心，又半徑不變，從而可得圓的方程.【詳解】由圓的方程可知圓心坐標為：，半徑為：設圓心關于直線的對稱點為則：，解得：，即所求圓圓心為：所求圓的方程為：本題正確選項：【點睛】本題考查求解圓關于直線對稱的圓的方程的求解，關鍵是明確兩圓半徑相同，且圓心關于直線對稱.8．已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由點的坐標滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關系轉化為斜率關系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.9．已知，圓：（），若圓上存在點，使，則圓的半徑的范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，得到點在以為直徑的圓上，求得以為直徑的圓的方程，把要使得圓上存在點，滿足，轉化為圓與圓由公共點，結合圓與圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題意，點，因為，所以點在以為直徑的圓上，設的中點為的坐標為，，所以圓的方程為，又由圓的圓心為，半徑為，則，要使得圓上存在點，滿足，則圓與圓由公共點，可得，解得,即圓的半徑的范圍是.故選：A.【點睛】圓與圓的位置關系問題的解題策略：1、判斷兩圓的位置關系時常采用幾何法，即利用兩圓的圓心之間的距離與兩圓的半徑間的關系進行判斷，一般不采用代數法；2、若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去項得到.10．已知曲線與x軸交于M，N兩點，與y軸交于P點，則外接圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設外接圓的方程為，分別令，結合韋達定理求得D,E,F,代入即可求得圓的方程.【詳解】設外接圓的方程為，點Q是的外接圓與y軸的另一個交點，分別令，則，．設，則，又曲線與x軸交于M，N兩點，則，，，，，所以，，故外接圓的方程．故選：C.二、多選題11．設有一組圓，下列命題正確的是（）．A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上 B．所有圓均不經過點C．經過點的圓有且只有一個 D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】求出圓心坐標和半徑后可判斷A、D的正誤，將B、C選項中的點代入圓的方程得到關于的方程，通過方程的有解與否可判斷B、C的正誤，【詳解】圓心坐標為，在直線上，A正確；令，化簡得，∵，∴，無實數根，∴B正確；由，化簡得，∵，有兩不等實根，∴經過點的圓有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為，D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查動圓的性質，注意動圓中隱含的確定關系，另外判斷動圓是否過確定的點，可轉化為方程是否有解來討論.12．若圓與圓相切，則m的值可以是A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據題意，求出圓的圓心與半徑，分兩圓內切和外切兩種情況，求出的值即可.【詳解】由題意，圓可化簡為，所以，圓的圓心坐標，半徑，圓的圓心坐標，半徑，所以，，所以，或，解得或.故選：AC.【點睛】考查兩圓的位置關系的13．在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓相交，則值可能為（）A．0 B． C．1 D．【答案】BCD【分析】寫出已知圓的圓心，再由給定條件探求出圓心到直線距離必小于2方可得解.【詳解】圓的方程為，圓心為，由題意可知到的距離應小于2，即，解得，顯然，1，均符合要求.故選：BCD三、填空題14．已知圓C過點（8，1），且與兩坐標軸都相切，則面積較小的圓C的方程為________.【答案】【分析】設圓的方程為，代入點，求得或，進而得到圓的方程.【詳解】由題意，圓過點，且與兩坐標軸都相切，設圓的方程為，將點代入圓的方程，可得，整理得，解得或，當時，圓的面積較小，所以圓的方程為.故答案為：.【點睛】求解圓的方程的兩種方法：1、幾何法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程；2、待定系數法：①根據題意，選擇標準方程與一般方程；②根據條件列出關于或的方程組；③解出或的值，代入標準方程或一般方程.15．已知直線：與直線：相交于點，點是圓上的動點，則的最大值為___________.【答案】【分析】由直線：恒過定點，直線：恒過定點，且，可知在以為直徑的圓上，要求的最大值，轉化為在上找上一點，使最大，結合圓的性質即可求解【詳解】解：因為直線：恒過定點，直線：恒過定點，且，所以兩直線的交點在以為直徑的圓上，且圓的方程為，要求的最大值，轉化為在上找上一點，在上找一點，使最大，根據題意可知兩圓的圓心距為，所以的最大值為，故答案為：16．已知動點滿足，為坐標原點，則的最大值為__.【答案】.【分析】由曲線的方程可得曲線關于軸、軸、原點都是對稱的，故只需考慮第一象限內的情況即可，數形結合求得的最大值.【詳解】由曲線的方程，可得曲線關于軸、軸、原點都是對稱的，故只需考慮第一象限內的情況即可，如圖：在第一象限內（含坐標軸），曲線方程為，轉化為：，滿足方程，表示以為圓心，半徑為的圓的一部分.所以的最大值為圓的直徑.故答案為：.【點睛】考查圓的標準方程，四、解答題17．已知曲線C：表示圓，圓心為C.（1）求圓C的面積的取值范圍；（2）若曲線C與直線交于M?N兩點，且，求實數m的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據方程表示圓求出的范圍，求出圓的半徑的取值范圍，由圓的面積公式可得結果；（2）將轉化為圓心到直線的距離可解得結果.【詳解】（1）因為曲線C：表示圓，所以，解得，所以圓的半徑，所以圓C的面積.（2）因為圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，因為，所以，所以，解得，滿足.【點睛】關鍵點點睛：將轉化為圓心到直線的距離是解題關鍵.18．已知圓過三個點，，．（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的、兩點，求線段的中點的軌跡．【答案】（1）；（2）的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（點在圓內，不與邊界重合）．【分析】（1）設出圓的一般方程，代入三點坐標后可求解；（2）根據圓的弦中點性質求出的軌跡方程后可得軌跡．【詳解】（1）設圓方程為，則，解得，所以圓方程為，即；（2）由（1），設，則由得，，即，，．又在圓內部，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（點在圓內部）．【點睛】考查求圓的方程，考查動點軌跡．已知圓過三點時一般可設出圓的一般方程，代入三點坐標求出圓的方程，再化為標準方程即可．平面解析幾何中的軌跡問題，可通過求出動點軌跡方程，由方程判斷軌跡．當然也可由幾何性質判斷軌跡．19．已知直線，的方程為.（1）求證：與相交；（2）若與的交點為、兩點，求的面積最大值.（為坐標原點）【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由題知直線過定點，且為的圓心，故與相交；（2）由題知，當直線與直線垂直時，到直線的距離最大，最大值為，進而得答案.【詳解】解：（1）由題知直線，的標準方程為，所以直線過定點，為圓的圓心，所以直線過的圓心，故與相交；（2）由（1）知直線過圓的圓心，的半徑為，所以，所以當到直線的距離最大時，的面積取最大值，故當直線與直線垂直時，到直線的距離最大，最大值為，所以的面積最大值為20．設圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點．（1）若圓過原點，求圓的方程；（2）已知點，若圓上存在點，使，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯立兩直線方程，