2025高考數學專項復習圓中的最值模型之阿氏圓

模型含答案

圓中的錄值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數學中常常作為壓軸題出現，其中“阿氏圓”（又稱“阿波羅尼斯圓”）是一個重要的考點。這

類題目主要考察學生的轉化與化歸等數學思想,并且在各類考試中通常都被視為高檔題。為了幫助學生更好地

理解和掌握這一知識點，本專題將對最值模型中的阿氏圓問題進行系統的梳理，并提供對應的試題分析，以便學

生能夠熟練掌握并靈活應用。

-------------------------------------------------------------0°-------------------------------------------------------------

例題講模型...................................................................................1

模型1.阿氏圓模型............................................................................1

習題練模型...................................................................................7

例題講模型J

模型1.阿氏圓模型

動點到兩定點距離之比為定值（即:平面上兩點A、B,動點P滿足a4/PB=Mk為常數，且kRl））,那么動

點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿

氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為7,點A、B都在。。外，P為。。上一動點，已知r=（即^=k）,連接

（JJD

FA、PB,則當“B4+展PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

???

如圖2,在線段OB上截取OC使。。=%.「（即會：=k）,,:黑=k，：.工=咨

pp

?.?NPOC=ABOP,APOC-/\BOP,不君=鼠即k-PB=PC。

故本題求“P4+KPB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值。

其中與A與。為定點，P為動點，故當4P、。三點共線時,“P4+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數,轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值,難點在于如何

構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法:點在圓外：向內取點（系數小于1）;點在圓內：向外取點（系數大于1）;一內一外:提系

數;隱圓型阿氏圓等。

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型:在前面的“胡不歸”問題中，我們見識Ti（k-FA+PB”最值問題，其中P點軌

跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

1.（2024?浙江?校考一模）如圖，4B為。。的直徑，=2,點。與點。在的同側，且AD，AB,

，AB,A。=1,3,點P是。O上的一動點,則^-PD+PC的最小值為.

???

2.（2024.湖北.九年級專題練習）如圖，已知正方形4BCD的邊長為4,。口的半徑為2,點P是。B上的

一個動點，則PD-yPC的最大值為.

3.（2023?北京?九年級專題練習）如圖,邊長為4的正方形，內切圓記為。O,P是。。上一動點，則V2PA

+PB的最小值為.

4.（2023?江蘇泰州?模擬預測）如圖，。。與4軸、2軸的正半軸分別相交于點MT、N,OO半徑為6,點

/（0,3）,點口（5,0）,點。（0,12）,將線段OC繞點O順時針旋轉a（0°WaW90°）,得線段00,O。與

弧MN交于點、P,連PA,PB.則2pA+PB的最小值為.

???

y

5.（2024.山東.模擬預測）如圖，在A4BC中，ABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以口為圓心3為

半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為.

6.（2023?陜西咸陽?三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線相交于點。，點E、F分別是OD、OC

上的兩個動點，且即=4,P是即的中點，連接OP、PC、P。,若47=12,6。=16,則。。+牛尸。的

最小值為.

D

7.（2024?廣東?九年級階段練習）如圖,在平面直角坐標系中，4（2,0）,B（0,2）,。（4,0）,。（5,3）,點P是

第一象限內一動點，且NAPB=135°,則4PD+2PC的最小值為.

???

8.（2024?湖北?九年級專題練習）（1）如圖1,已知正方形4BCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B

上的一個動點，求+的最小值，gPD+4PC的最小值，PD—的最大值.

⑵如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓口的半徑為6,點P是圓B上的一個動點，求+

O

的最小值，PD—的最大值，PC+乎尸。的最小值.

OO

（3）如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,=60°,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,求PD

+—PC的最小值和PD-的最大值.PC+^-PD的最小值

???

9.（2023?重慶?模擬預測）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=--x2+bx+c與直線y=~^x+2交

（1）求拋物線的函數解析式；（2）P為直線上方拋物線上的一個動點，過點P作PQ〃"軸交直線

于點Q,求PQ+軍CQ的最大值和此時點P的坐標；

5

???

習題練模型

10.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖,拋物線y=ax2+bx+c（a<0）的圖象交T軸于點4（—3,0）、3（1,0），

交U軸于點C.以下結論：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③當以點A、8、C為頂點的三角形是等

腰三角形時，c=。；④當c=3時，在△AOC內有一動點P,若0P=2,則CP+日4P的最小值為

O

呼.其中正確結論有（）

O

C.3個D.4個

11.（2023?山西?九年級專題練習）如圖，在△ABC中，/8=90°,AB=CB=2,以點B為圓心作圓8與/。

相切，點P為圓B上任一動點，則上4+容PC的最小值是

12.（2023?成都市?九年級專題練習）如圖，已知菱形4BCD的邊長為4,ZB=60°,的半徑為2,P為。

B上一動點，則的最小值.PC+艱的最小值

2---------o---------

13.（2024?甘肅武威?一模）如圖，在扇形O4B中，乙406=90,OA=12,點。在。4上，4。=4,點。為

???

。口的中點，點E為弧AB上的動點，OE與CD的交點為F,CE+2OE的最小值為

14.（23—24九年級下.四川成者限階段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4,點。在邊AC上由。向

A運動,點E在邊上由B向。運動，且CD=BE,連接BD、AE交于點P,將邊4。繞著點。順時

針旋轉90°得到CM,在射線CM上截取線段CR,使CF=在。、E的運動過程中，求義PC+

尸尸的最小值

15.（2024.四川綿陽??？家荒＃┰凇鰽BC中，乙4cB=90°,BC=8,AC=6,以點。為圓心，4為半徑的圓

上有一動點D,連接AD,BD,CD,p1lJyBL>+AD的最小值是.

16.（2024九年級?廣東?專題練習）如圖，等邊△ABC的邊長為6,內切圓記為?O,P是?。上一動點，則

PB+2PC的最小值為

17.（2023?山東煙臺?統考中考真題）如圖，拋物線夕="—6宓+5與比軸交于48兩點，與y軸交于點C,

=4,以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為。B上一個動點，則PC+2上4的最小值為

18.（2024?江蘇鎮江,二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的動點，BE=CF,

連接AE、板交于點P,則PD+孕C的最小值為一.

19.（2024?江蘇??？级＃┤鐖D，在△4BC中，乙4cB=90°,BC=12,AC=9,以點。為圓心，6為半徑的

圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD,則2AD+3BD的最小值是.

20.（23—24九年級上.江蘇南京.期末）如圖，在電AABC中，乙4cB=90°,47=6,瓦7=8,。、E分別是

邊BC、47上的兩個動點，且OE=4,P是。E的中點，連接PA,PB,^\PA+^PB的最小值為

???

B

21.（23—24九年級下?江蘇鹽城?階段練習）如圖，在&ZVIBC中，乙4cB=90°,AC=8,BC=6,點、D為

△4BC內一動點,且滿足CD=4,則AD+春口。的最小值為

O

22.（23—24九年級上?陜西漢中?期末）（1）【問題提出】如圖1,在正方形4BCD中，點E是邊的中點,

DF=3CF,求證：△ABE?/XECF；

（2）【問題探究】如圖2,在矩形ABCD中，=5,BC=12,點E、尸分別為邊AB.上一個動點，且

EF=6,點P為即的中點，連接DP,求DP的最小值；

（3）【拓展延伸】如圖3,在菱形中，43=4,/8=60°,點后為4D邊的中點,在平面內存在點尸,

且滿足FE=1,以4F為一邊作4P（頂點F、A、P按逆時針排列）,使得AP=2AF,且AFAP=

120°,求2PD+PC的最小值.

???

23.（2024?山東威海*二模）【問題解決】（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E在邊4D上，以CE為邊在

其右側作正方形CEFG,連接DG,8E,求證：DG=BE.

【問題拓廣】（2）如圖2,四邊形ABCD是矩形，48=4,6,點E是4D邊上一動點，以CE為邊在

其右側作矩形CEFG,且CG-.CE=2:3,連接。G,BE.①寫出線段0G與BE的數量關系，并證明你

的結論；②連接BG，則BE+^BG的最小值為.（直接寫答案）

24.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）如圖1,在矩形ABCD中，="BC,點E為射線上的一

個動點，過點E作砂，AE,連接AE，使ZEAF=ABAC,連接CF.

圖1圖2

⑴求證:①△4BC?4HEF；②4ABE?/XACF；（2）如圖2,若乃=5,連接DF.

①若ZCDF=45°,求BE；②當E點在射線8C上運動時，則DF+-^-AE的最小值為

O

???

25.(23—24九年級下?湖南郴州?期中)綜合與實踐，如圖，以4B為邊向兩側作AABC和4ABD,E為AD

的中點，連接8E,CE.(1)如圖1,若CALAB,CA//BD,/C=3,AB=BD=4,求CE的長.

(2)如圖2,連接CD交4B于點EG為CP上一點，斤G=4F,AG//BD,ZBZ)F=60°,AC=AD.猜

想與BE之間存在的數量關系，并證明你的猜想.(3)如圖3,△ABC是以為斜邊的等腰直角

三角形，若48=8,8。=4,請直接寫出當CE—。AE取最大值時，A4CE的面積.

???

圓中的聿值膜型之為氏圓娥嚶

最值問題在中考數學中常常作為壓軸題出現，其中“阿氏圓”（又稱“阿波羅尼斯圓”）是一個重要的考點。這

類題目主要考察學生的轉化與化歸等數學思想,并且在各類考試中通常都被視為高檔題。為了幫助學生更好地

理解和掌握這一知識點，本專題將對最值模型中的阿氏圓問題進行系統的梳理，并提供對應的試題分析，以便學

生能夠熟練掌握并靈活應用。

-------------------------------------------------------------0(^^3)°

例題講模型...............................................................................1

模型i.w氏國模型........................................................................1

習題練模型..............................................................................12

例題講模型O

模型1.阿氏圓模型

動點到兩定點距離之比為定值（即:平面上兩點A、B,動點P滿足a4/PB=%（A;為常數，且%看1））,那么動

點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿

氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為r,點都在③。外，P為。。上一動點，己知發=七。8（即=k）,連接

UJD

_R4、PB,則當“PA+APB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

???

如圖2,在線段OB上截取OC使。。=%.「（即會：=k）,,:黑=k，：.工=咨

pp

?/NPOC=ABOP,APOC-/\BOP,不君=鼠即k-PB=PC。

故本題求“P4+KPB”的最小值可以轉化為“FA+PC”的最小值。

其中與A與。為定點，P為動點，故當4P、。三點共線時,“P4+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數,轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值,難點在于如何

構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法:點在圓外：向內取點（系數小于1）;點在圓內：向外取點（系數大于1）;一內一外:提系

數;隱圓型阿氏圓等。

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型:在前面的“胡不歸”問題中，我們見識Ti（k-FA+PB”最值問題，其中P點軌

跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

1.（2024?浙江?校考一模）如圖，4B為。。的直徑，=2,點。與點。在的同側，且AD，AB,

，AB,A。=1,3,點P是。O上的一動點,則^-PD+PC的最小值為.

???

【答案】早

【分析】連接8,先利用勾股定理求得OD=0,AAOD=45°,在OD上截取。/=空，過/作汨，

于H,IG工BC于G,求得BG=IH=[■，/G=BH=?，CG=1■，進而求得CI=乂|全，證明△PC"

△OOP求得PI=亨PD,利用兩點之間線段最短得到與PD+PC=PI+POIC,當C、P、/共線時取

等號，即可求解.

【詳解】解:連接OD,YAB為。。的直徑，AB=2,

.?.O4=OB=1,1?在AtZVlOD中，OA=AD=1,OD=VAD^OA2=V2,ZAOD=45°,

在OD上截取O/=夸，過/作汨，48于H,/G，BC于G,連接IP、IC,

：.四邊形IHBG是矩形,IH=OH=與OI=f,：.BG=IH=[,IG=BH=OH+OB=^-,

:.CG=BC-BG=3-f=卷，在RtACIG中，CI=dIG2+CG2=

???禺=嘉=W，々OD是公共角，二AF。/?ADOP,.?.黑=緇=乎，則PI=警PO,

1\_yJLyZ1jLyZ乙

.?.孚PD+PC=P/+PC，/C,當。、P、/共線時取等號，

故亨PD+PC的最小值為C/=工,故答案為：W工.

2.（2024.湖北.九年級專題練習）如圖，已知正方形4BCD的邊長為4,。口的半徑為2,點P是。B上的

一個動點，則PD-^PC的最大值為.???

D

【答案】5

【詳解】分析：由PD—^PC=PD—PGWDG,當點、P在DG的延長線上時，PD-^-PC的值最大，最大

值為。G=5.

詳解：在BC上取一點G,使得BG=1,如圖，?.?祟=,=2,普=言=2,.?.祟=髡，

±>Gr1JrID/±>GrJrID

?：APBG=ZPBC,:ZBG?ACBP,.?.聚=鬻=[,.?.PG=[p。，

niIDzL

當點P在DG的延長線上時，PD—yFC的值最大，最大值為DG=V42+32=5.故答案為5

點睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建相似三

角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題,把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中

3.（2023?北京?九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為。O,P是。。上一動點，則，

+PB的最小值為.

【答案】2瓶

【分析】+亨PB）,利用相似三角形構造字PB即可解答.???

【詳解】解:設。O半徑為r,

_

OP=r=^-BC=2,03=血7'=22，取03的中點/,連接刊,；.。/=由=四,

..小=工=回膽=3工=?.OPOB

,OIV2'OP2VO1=OP,ZO是公共角，,ABOPsAPOZ,

???哥=原=*.??/=卓也??.”+冬PB=”+H,

當4P、/在一條直線上時，AP+?PB最小，作/E_L4B于E,

?.-2ABO=45。,：.IE=BE=^BI=1,:.AE=AB-BE=3,

：.AI=V^+P=V10,：.AP+笄PB最小值=A/=舊，

?/V2PA+PB=V2（PA+*PB）,/.V2FA+PB的最小值是V2AZ=V2xVW=275.故答案是2瓜

【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形.

4.(2023?江蘇泰州?模擬預測)如圖，。O與“軸、2軸的正半軸分別相交于點M、點N,?O半徑為6,點

40,3),點B(5,0),點C(O,12),將線段OC繞點。順時針旋轉a(0°WaW90°),得線段OO,O。與

弧M2V交于點P,連PA,PB.則224+P8的最小值為.

【答案】13

【分析】連接PC,易證△QR4?△OCP,相似比為—，即可得到2PA=PC,可知當。、P、B三點在同一條直

線上的時候，2R4+PB取得最小值，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解:連接PC,???。4=3,OP=6,00=12,

V

[APOA^ACOPi

在ZXOBA和△OCT中，｛04=cp=i,.?.△OR4?△OCP,相似比為卷，故2R4=PC,

[~OP~~OC2

A當C、P、B三點在同一條直線上的時候，2a4+PB取得最小值，

在RtdOCB中，2_R4+PB=CB=gC1+CB?=，醛?+5?=13.故2Q4+PB的最小值為13.

【點睛】本題考查相似三角形中與圓結合中的動點問題，難度一般，正確作出輔助線，利用相似性，是順利解

題的關鍵.

5.（2024.山東.模擬預測）如圖，在A4BC中，N4BC=90°,AB=2BC=6,1,P在以8為圓心3為

半徑的圓上，則4P+6PD的最小值為.

【解答】解:在48上取點E,使跳；=得，?.?4B=2BC=6,=等=]

,:NPBE=AABP,XPBE?^ABP，:.售=置=三，：.PE=±PA,

iviAb//

在BD延長線上取BF=9,=則第_=^=3,

riDJDL)

PFpR

又???4PBD=/FBP,：.\PBD?\FBP,：.希=建=3,：,PF=3PD,

PA+6PD=2（^-PA+3PD）=2（PE+PF）,

：.當P為EF和圓的交點時PE+PF最小，即P4+6PD最小，且值為2EF,

?：EF=y/BE~+BF2=J（-|-）2+92=,二M+6尸。的最小值為2EF=3俯，故答案為：3，五.

6.（2023?陜西咸陽?三模）如圖，在菱形4BCD中，對角線相交于點。，點E、斤分別是O。、OC

上的兩個動點，且即=4,P是EF的中點，連接OP、PC、尸。，若47=12,BD=16,則PC+:產D的

最小值為.

［答案］呼顯

【分析】在OD上取一點G,使得0G=1，連接PG、CG.根據菱形的性質可知。。=6,OD=8,則空=

翳=5，結合2Gop=APOD,可得APOG?△DOP,利用相似三角形的性質證得PG=:PD,根據

PC+POCG可知CG的長即為PC+±PD的最小值，利用勾股定理求出CG便可解決問題.

【詳解】解:如圖，在OD上取一點G,使得OG制，連接PG、CG.

?：四邊形ABCD為菱形,AC=12,BD=16,OC=^-AC=6,OD=~BD=8,AC±BD,

?.?EF=4,P是EF的中點，.?.OP=5EF=2,.?.黑=￡=9，器=看=［,

又-.-4Gop=APOD,/.APOG?^DOP,：.黑=；,即GP=,

?：PC+PG>CG,：.當點G、P、。在同一直線上時，PC+，。取得最小值，

此時PC+十PD=PC+PG=CG=〃。。2+CG?=，故答案為：誓兄.???

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握“胡不歸”問題模型，正確

畫出輔助線，構造相似三角形，根據相似三角形的性質和勾股定理求解.

7.(2024?廣東?九年級階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，4(2,0),8(0,2),。(4,0),。(5,3),點P是

第一象限內一動點，且AAPB=135°，則4PD+2PC的最小值為.

【答案】20

【分析】取一點T(1,0),連接。P,PT,TD,首先利用四點共圓證明OP=2,再利用相似三角形的性質證明

PT=推出4PD+2PC=4(PD+*PC)=4(PD+PT),根據PD+DT,過點。作DE_LOC

交OC于點E,即可求出。T的最小值，即可得.

【詳解】解:如圖所示，取一點7(1,0),連接OP,PT,TD,

：42,0),5(0,2),C(4,0),.?.CU=OB=2,0(7=4,

以。為圓心，OA為半徑作。O,在優弧43上取一點Q,連接QB,QA,

?.?ZQ-yZAOB=45°,/APB=135°,ZQ+AAPB=45°+135°=180°,

Q四點共圓，.?.OP=OA=2,

?：OP=2,OT=1,OC=4,：.OP2=OC-OT,：.沼=粵,

PTOpii

???ZFOT=ZFOC,AAFOT?△COP,?,?*=*二卷，?二PT=*PC,

：.4PD+2PC=4(Fn+yFC,)=4(PD+PT)，過點。作DE_L。。交OC于點E,

?.?。的坐標為(5,3),.?.點E的坐標為(5,0),TE=4,：.L>T=V32+42=5

?.?PD+PT>DT,.?.4PD+2PO20,.?.4PD+2PC的最小值是20,故答案為：20.

【點睛】本題考查了四點共圓，相似三角形，勾股定理,三角形三邊關系，解題的關鍵是掌握這些知識點.

8.(2024.湖北.九年級專題練習)(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,圓口的半徑為?2,點?P是圓?B

上的一個動點，求PD+9PC的最小值，血尸。+4PC的最小值，PD—得PC的最大值.

（2）如圖2,已知正方形4BCD的邊長為9,圓6的半徑為6,點P是圓B上的一個動點，求PD+1~PC

O

的最小值，P。—OPC的最大值，PC+烏PD的最小值.

OO

（3）如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,=60°,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,求PD

+《PC的最小值和PD—《PC的最大值.PC+烏PD的最小值

226

【分析】⑴如圖1中，在BC上取一點G,使得BG=L由△FBG?△CBF,推出梁=管=/推出

1OrLJ/

PG=推出PD+3PC=DP+PG,由DP+PG>OG,當。、G、P共線時，PD+J。。的值最小,

最小值為DG=V42+32=5.由PD—：PC=PD—PG^DG,當點、P在DG的延長線上時，PD-yPC

的值最大（如圖2中），最大值為DG=5;可以把V2PD+4PC轉化為4（空PD+P。）,這樣只需求出

V2PD+4PC的最小值，問題即可解決。

（2）如圖3中，在BC上取一點G,使得BG=4.解法類似（1）;

（3）如圖4中，在上取一點G,使得BG=4,作。F_L于F.解法類似（1）;

【詳解】（1）如圖1中，在BC上取一點G,使得BG=L

..PB_2BC1.PB_BC

.樂一丁一可=9,?：APBG=ZPBC,：.APBG?△CBP,

2,2BGPB

???器=%=：.PG=^PC,：.PD+^PC=DP+PG,

■：DP+PODG,：.當。、G、P共線時，0D+的值最小，最小值為DG=V42+32=5.

?/PD-yFC=PD-PG^DG,

當點P在0G的延長線上時，——PC的值最大（如圖2中），最大值為。G=5.

如圖，連接BD,在BD上取一點F,使得BF=除，作EF工BC

?：然=祟=4,：2PBF=ZPBD,：.APBF?/XPBD,：.PF=^PD,

13P13L）44

當C、尸、P三點共線時會有FF+CP的最小值即空PD+PC,

由圖可知，ABEF為等腰直角三角形，BF=容，BE=EF=9,

：.最小值為FC-y/EF^EC2=^/（y）2+（4-y）2=-|-V2.?.，^PD+4PC的最小值為：1072.

（2）如圖3中，在BC上取一點G,使得8G=4.

..PB_6_3BC_9_3.PB_BC../—/?八「RP

F-NFF-《FlF-K，4PBG-PBC'.ZBG…BP,

???器=器=等,.?.PG=1~PC,...PD+1_PC=DP+PG,

?：DP+PODG,：.當。、G、P共線時，PD+日PC的值最小，最小值為DG=不/=V106.

■：PD-卷PC=PD-PG&DG,當熱P在DG的延長線上時，PD-得。。的值最大，最大值為DG

OO

VW6.

⑶如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=1,作_DF，BC于F.

BC

■：APBG=APBC,：.APBG?4CBP,

PB

二器=器=，.?.PG=]PC,.?.PD+^PC=nP+PG,

?.?_DP+PG>DG,.?.當。、G、P共線時，0D+〈PC的值最小，最小值為。G.

在中，ZDCF=60°,CD=4,CD-sin60°=273,CF=2,

在RtdGDF中，。G=+52=居PC=PD—PGMDG,

當點P在。G的延長線上時，PD-/PC的值最大（如圖2中），最大值為。G

【點睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知

識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題,把問題轉化為兩點之間線段

最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題.

9.（2023?重慶?模擬預測）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=一3"+bx+c與直線y=一1力+2交

（1）求拋物線的函數解析式；（2）P為直線上方拋物線上的一個動點，過點P作PQ〃"軸交直線BC

于點Q,求PQ+誓CQ的最大值和此時點尸的坐標;

5

【答案】（l）g=—力+2（2）（PQ+2^^CQ）的最大值為,此時JP（3,2）

【分析】（1）首先求出B（4,0）,。（0,2）,然后利用待定系數法求解即可；（2）首先求出3。=/032+002=

20，過點Q作QH〃c軸交y軸于點H,證明出△CHQ?△COB,得到CQ^^-HQ,PQ+軍顯CQ=

PQ+HQ.設P（t,—1■力2+~1~力+2）,—，力+2），表示出PQ+CQ——（右-3）?+得,然后利用二

次函數的性質求解即可；

【詳解】(1)直線g=—~+2當力=0時，g=2,(7(0,2)

???當g=0時，一去力+2=0解得力=4工B(4,0)將_8(4,0),C(0,2)代入g=—^-x2-\-bx-\-c,

得(-9*16+4b+c=0,解得(b=卷...拋物線的解析式為+_|_立+2；

[c=2,1c=222

(2)B(4,0),。(0,2),QB=4,OC=2,BC=VOB2+OC2=275.過點Q作QH〃加軸交夕軸于點H,

△CHQ?△。。凡???罟=黑.?.得=黑=浮.?.CQ=今HQ,

CJDUb〃用C715//

PQ+CQ=PQ+HQ.設P卜,―■力2+號1+2),Q1,—^力+2),

22

則PQ—yp—yQ——■廿+2t,HQ—xQ—t,：,PQ+2yCQ——^-t+3t=―1(t—3)+-1-.

ZJo///???

p

^/O\

—；VO,OV力V4,，當力=3時，(PQ+2^^CQ)的最大值為巧■，此時P(3,2).

⑶由⑵知，。3')，點Q平移前的對應點為點C,

.?.新拋物線是原拋物線向右平移3個單位長度，再向下平移整個單位長度后得到的.

式=一卷0—3)2+9(2-3)+2一得=一卷"+葛,一宇，

?,倒0，—耳)，對稱軸為2=設M"&m),由⑴知,B(4,0),

2222

加1E/2/9\.(.17\2I1I1857pD2Ziz?I/17\353八巾2Z(9\.2z1,

貝+\rn-\-——\=m+17mH——-—,EB=16+()=——,MB=(———44)+m=--+

zz￡4zqzq

m2.

①當E7W2=Mg2時，m2_|__J_+7n2,解得館=_陽佟，—；

2400,200/

②當EB2=MB2時,T=1+俏解得館=±2匹，.?.闖4,2回)，聞今,一2回).

綜上所述，點M的坐標為(?■,―)或或(弓，一2，豆).

zOoZZ

【點睛】本題考查了二次函數綜合問題,待定系數法求解析式，二次函數的平移，線段周長問題，特殊三角形

問題，勾股定理等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

=?習題練模型K,7'：

10.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的圖象交2軸于點4(—3,0)、8(1,0),

交“軸于點C.以下結論:①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等

腰三角形時，c=。；④當c=3時，在△49C內有一動點P,若OP=2,則CP+得4P的最小值為

O

)

???

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】。

【分析】根據拋物線圖象經過點B(l,0),可得當c=l時，y=a+b+c=0,據此可判斷①;根據對稱軸計算公

式求出b=2a,進而推出c=—3a,則a+3b+2c—a+6a—6a=a■，再根據拋物線開口向下，即可判斷②;對

稱軸為直線加=—1,則ACW8C,求出48=4,OC=c,再分當AC=4B=4時，當BC=>1B=4時，兩種

情況求出對應的c的值即可判斷③；當c=3時，。(0,3),則OC=3,取點網一去，0),連接PH,則OH=

?，可證明4Hop?△POA,由相似三角形的性質可得,_R4,則CP+日AP=CP+PH,故當點P

在線段CH上時，CP+的值最小，即此時CP+^-AP的值最小，最小值為線段CH的長，利用勾股定理

O

求出CH即可判斷④.

【詳解】解：:拋物線y—ax1+版+c(a<0)的圖象經過點B(l,0),

當力=1時，g=a+b+c=0,故①正確；

拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的圖象交力軸于點4(—3,0)、B(l,0),

拋物線對稱軸為直線田=一=—1,

b—2at

，a+2Q+c=0,即c=—3a,

a+3b+2c=a+6a—6a=a,

TaVO,

???a+3b+2cV0,故②正確；

對稱軸為直線/=—1,

???AC^BC;

vA(-3,0)>B(l,0),

OA=3,OB=1,

??.AB=4;

^y=ax2-\-bx-\-c(a<0)中，當力=0時，g=c,

AC(O,c),

OC=c,

當AC=AB=4時，則由勾股定理得AC2=OA2+OC2,

222

??.4=3+cf

c=V7或c=-V7(舍去)；

同理當BC=AB=4時，可得c=，IK;

綜上所述，當以點4反。為頂點的三角形是等腰三角形時，c=或c=6J,故③錯誤;

當c=3時，。(0,3),則00=3,

如圖所示,取點H(-y,0),連接PH,則OH^~,

4

.OH=在=2

一OP-T-T,

..OP=2

*OA3'

13

.OH=OP

"75P~~OA,

又：NHOP=/POA,

:.△HOPPOA,

.PH=OP=2

9

:?PH=亳PA,

o

9

：.CP-^^-AP=CP+PH

J9

當點