2025高考數學解答題：概率與統計題型匯編含答案

解答題「輟率與統計

—°°—

題型一離散型隨機變量及其分布列......................................................1

題型二超幾何分布與二項分布..........................................................3

題型三均值與方差的實際應用..........................................................5

題型四正態分布與標準正態分布........................................................7

題型五線性回歸與非線性回歸..........................................................9

題型六獨立性檢驗及應用..............................................................12

題型七條件概率/全概率公式/貝葉斯公式..............................................14

題型八概率與統計圖表的綜合應用.....................................................16

題型九概率與其他知識的交匯應用.....................................................19

題型十利用概率解決決策類問題.......................................................22

必刷大題..............................................................................25

題型一離散型隨機變量及其分布列

o大題典例

1.（23-24高三下?廣東佛山?一模）密室逃脫是當下非常流行的解壓放松游戲，現有含甲在內的7名成員

參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.

（1）在某個游戲環節中，需隨機選擇兩名玩家進行對抗，若是同級的玩家對抗,雙方獲勝的概率均為

之；若是資深玩家與新手玩家對抗,新手玩家獲勝的概率為:，求在該游戲環節中,獲勝者為甲的概

率；

（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲:如圖，有兩間相連的密室，設兩間密室的編號分別為①和

②.密室①有2個門，密室②有3個門（每個門都可以雙向開），甲在每個密室隨機選擇1個門出去，若

走出密室則挑戰成功.若甲的初始位置為密室①，設其挑戰成功所出的密室號為X（X=1,2）,求X的

分布列.

S變式訓練

2.(24-25高三上?貴州?月考習)已知甲、乙兩人參加某檔知識競賽節目，規則如下：甲、乙兩人以搶答的

方式答題，搶到并回答正確得1分,答錯則對方得1分，甲、乙兩人初始分均為0分，答題過程中當一人

比另一人的得分多2分時，答題結束,且分高者獲勝，若甲、乙兩人總共答完5題時仍未分出勝負，則答

題直接結束，且分高者獲勝.已知甲、乙兩人每次搶到題的概率都為］,甲、乙兩人答對每道題的概率

分別為!■，卷，每道題兩人答對與否相互獨立,且每題都有人搶答.

(1)求第一題結束時甲獲得1分的概率；

(2)記X表示知識競賽結束時，甲、乙兩人總共答題的數量,求X的分布列與期望.

3.(24-25高三上?北京?月考習)某校舉辦知識競賽，已知學生甲是否做對每個題目相互獨立，做對

。三道題目的概率以及做對時獲得相應的獎金如表所示.

題目ABC

411

做對的概率T~2~4

獲得的獎金/元204080

規則如下：按照48。的順序做題，只有做對當前題目才有資格做下一題.

［注：甲最終獲得的獎金為答對的題目相對應的獎金總和.］

(1)求甲沒有獲得獎金的概率；

(2)求甲最終獲得的獎金X的分布列及期望；

(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎金期望是否相同？如果不同，你認為哪個順序最終獲得的獎

金期望最大？(不需要具體計算過程，只需給出判斷)

題型二超幾何分布與二項分布

O大題典例

4.（24-25高三上?北京?期中）某種產品按照產品質量標準分為一等品、二等品、三等品、四等品四個等

級，某采購商從采購的該種產品中隨機抽取100件,根據產品的等級分類得到如下數據：

等級一等品二等品三等品四等品

數量40301020

（1）根據產品等級,按分層抽樣的方法從這100件產品中抽取10件,再從這10件產品中隨機抽取3件,

記這3件產品中一等品的數量為X,求X的分布列及數學期望；

（2）若將頻率視為概率,從采購的產品中有放回地隨機抽取3件產品，求恰好有1件四等品的概率；

（3）生產商提供該產品的兩種銷售方案供采購商選擇，

方案一:產品不分類，售價均為21元/件.

方案二:分類賣出,分類后的產品售價如下：

等級一等品二等品三等品四等品

售價/（元/件）24221816

從采購商的角度考慮，你覺得應該選擇哪種銷售方案？請說明理由.

S變式訓練

5.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考習）哈三中文學社團舉行知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規

則如下:第一輪，參賽選手從A類6道題中任選3道進行答題，都答完后錯題個數不超過1道（否則終

止比賽）才能進行第二輪答題；第二輪答題從B類10道題中任選3道進行答題.A類題每答對一道

得10分，B類題每答對一道得30分,答錯不扣分，以兩輪總分和決定優勝.總分80分或90分為三等

獎，110分為二等獎，120分為一等獎.某班參加活動的同學人類題中只有4道能答對，B類題中，每

題答對的概率均為。，且各題答對與否互不影響.

（1）求該同學被終止比賽的概率；

（2）現該同學進入第二輪，求他在第二輪答題中得分X的分布列及期望；

（3）求該同學獲得三等獎的概率.

6.（24-25高三上?重慶?月考習）我國承諾2030年前“碳達峰”，2060年“碳中和”，“碳達峰”是指二氧化

碳的排放不再增長，達到峰值之后再慢慢減下去；“碳中和”是指針對排放的二氧化碳要采取植樹、節

能減排等各種方式全部抵消掉.做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢物造成的二氧化碳

的排放，助力“碳中和”.重慶十一中某班利用班會課時間組織了垃圾分類知識競賽活動，競賽分為初

賽、復賽和決賽，只有通過初賽和復賽,才能進入決賽.首先出戰的是第一組、第二組、第三組，已知第

一組、第二組通過初賽和復賽獲勝的概率均為|■，第三組通過初賽和復賽的概率分別為P和今-。，

其中0VpW；,三組是否通過初賽和復賽互不影響.

（1）求P取何值時，第三組進入決賽的概率最大；

（2）在（1）的條件下,求進入決賽的隊伍數X的分布列和數學期望.

題型三均值與方差的實際應用

O大題典例

7.（24-25高三上?河北?期中）隨著我國城鎮化建設的不斷推進，各種智能終端的普及和互聯互通，人工

智能在教育、醫療、金融、出行、物流等領域發揮了巨大的作用.為普及人工智能相關知識，培養青少年

對科學技術的興趣，某中學組織開展“科技興國”人工智能知識競賽.競賽試題有甲、乙、丙三類（每類

題有若干道），各類試題的每題分值及選手小李答對概率如下表所示，各小題回答正確得到相應分值,

否則得0分,競賽分三輪答題依次進行,競賽結束,各輪得分之和即為選手最終得分.

項目

每小題分值每小題答對概率

題型

2

甲類題10

T

1

乙類題

20T

1

丙類題30

其競賽規則為：

第一輪，先回答一道甲類題，若正確,進入第二輪答題;若錯誤，繼續回答另一道甲類題,該題回答正

確，同樣進入第二輪答題;否則，退出比賽.

第二輪,在丙類題中選擇一道作答,若正確,進入第三輪答題;否則，退出比賽.

第三輪，在乙類試題中選擇一道作答.

（1）求小李答題次數恰好為2次的概率;

（2）求小李最終得分的數學期望.

S變式訓練

8.(24-25高三上?四川成都?月考習)某小區有3000名居民，想通過驗血的方法篩選乙肝病毒攜帶者，假

設攜帶病毒的人占a%.為減輕工作量，隨機地按n人一組分組，然后將各組n個人的血樣混合在一起

化驗.若混合血樣呈陰性，說明這4個人全部陰性;若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈

陽性,就需要對每個人再分別化驗一次.

(1)若a=0.2,n=20,試估算該小區化驗的總次數；

(2)若a=0.9,且每人單獨化驗一次花費10元，%人混合化驗一次花費n+9元，求當n為何值時，每

個居民化驗的平均費用最少.

注:假設每位居民的化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立.當0<p<0.01時，(1—p)飛1-np.

9.(24-25高三上?遼寧丹東?期中)甲乙兩人各有n張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別

標有數字1,3,5,2窿一1,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,……,2九，兩人進行。輪比賽，在每輪比

賽中，甲按照固定順序1,3,5,……，2"-1每輪出一張卡片，乙從自己持有的卡片中隨機選一張，并

比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分,數字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片

(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).

(1)當n=4時，求甲的總得分小于2的概率.

(2)分別求甲得分的最小值和最大值的概率；

⑶已知:若隨機變量Xt服從兩點分布，且P(Xi=l)=1-P(X產0)=%，i=1，2,服…，九，則

甲的總得分為Y，乙的總得分為Z,求E

(y)和E(Z)的值，并由這兩個值來判斷隨著輪數的增加，甲乙的總得分期望之差有什么變化規律?

■上如■正態分布與標準正就布

O大題典例

10.(24-25高三上?浙江?月考習)在一次聯考中，經統計發現，甲乙兩個學校的考生人數都為1000人,數

學均分都為94,標準差都為12,并且根據統計密度曲線發現，甲學校的數學分數服從正態分布，乙學校

的數學分數不服從正態分布.

(1)甲學校為關注基礎薄弱學生的教學，準備從70分及以下的學生中抽取10人進行訪問，學生小月考

分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；

(2)根據統計發現學校乙得分不低于130分的學生有25人，得分不高于58分的有1人,試說明乙學校

教學的特點；

參考數據：若X~N(〃,a2)，則P(〃一aWXW〃+Q七0.68,P(〃一2(7WXW〃+2a)70.95,-3少

<X<〃+3(7h0.99.

S變式訓練

11.（24-25高三上?江蘇泰州?月考習）以4地生產的所有番茄為總體，總體中每個番茄的重量為隨機變

量X,X?N（M,〃），其中〃。均為正數.隨機從總體中抽取n個番茄作為一個樣本，番茄的重量分別

為Xi,X2,…,X”,其取值相互獨立.樣本均值為又.

/_n_\_n_

（1）已知對于任意的隨機變量K,K,…，匕,有=?（匕）；如果匕,冷…，匕的取值相互獨

'i=l）i=l

/n\_

立,則又有。匯匕（均.求現又）及。（又）.

'2=1'i=l

（2）若d>0,證明：〃一d<N<〃+d是又一d<〃<又+d的充要條件.

12.按照國際乒聯的規定，標準的乒乓球在直徑符合的條件下，重量為2.7克，其重量的誤差在區間［

-0.081,0.081］內就認為是合格產品，在正常情況下樣本的重量誤差必服從正態分布.現從某廠生產的

一批產品中隨機抽取10件樣本,其重量如下：

2.722.682.72.752.662.72.62.692.72.8

（1）計算上述10件產品的誤差的平均數及標準差s；

（2）①利用⑴中求的平均數,標準差s,估計這批產品的合格率能否達到96%；

②如果產品的誤差服從正態分布N（0,0.04052）,那么從這批產品中隨機抽取10件產品，則有不合格產

品的概率為多少？（附:若隨機變量re服從正態分布N（",冷,則一。V立<〃+0）q0.683,F（/z-

2ff<x<n+2（y^0.954,-3a<c<〃+3a）70.997,0.95410用0.624,O.99710用0.9704分別代

替計算）

題型五線性回歸與非線性回歸

O大題典例

13.（24-25高三上?陜西西安?模擬預測）近年來我國新能源汽車行業蓬勃發展，新能源汽車不僅對環境保

護具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發，是全球汽車發展的重要方向.“保護環

境，人人有責”,在政府和有關企業的努力下，某地區近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：

年份力20192020202120222023

新能源汽車購買數量>（萬輛）0.400.701.101.501.80

（1）計算U與t的相關系數度（保留三位小數）；

（2）求y關于工的線性回歸方程,并預測該地區2025年新能源汽車購買數量.

2（為一可（協一虧）2（電一元）（仇一列

參考公式V=/E/，b=n----------,a=y-bx.

/nFn口

J小二可寸牙納-病［伽T9

5

參考數值：U七3.6056,可（少一刃=3.6.

?M

S變式訓練

14.（24-25高三上?廣東?月考習）仙人掌別名老鴉舌,神仙掌，這一獨特的仙人掌科草本植物，以其頑強的

生命力和獨特的形態在自然界中獨樹一幟，以其形似并攏手指的手掌，且帶有刺的特征而得名.仙人

掌不僅具有極高的觀賞價值，還具有一定的藥用價值,被譽為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥

的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進行儲藏來提高生存能力，我國某農業大學植物研究所相關人

員為了解仙人掌的植株高度式單位：cm）,與其根莖長度以單位：cm）之間是否存在線性相關的關系，

通過采樣和數據記錄得到如下數據：

樣本編號i1234

根莖長度&10121416

植株高度依6286112132

_4__4_

參考數據：2⑶—下）2=20,2（%—5）2=2792,73490759.1.

i=li=l

⑴由上表數據計算相關系數r,并說明是否可用線性回歸模型擬合"與①的關系（若m>0.75,則可

用線性回歸模型擬合，計算結果精確到0.001）；

（2）求"關于力的線性回歸方程.

附:對于一組數據（如幼）,儂,紡），…，（再，如），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關

nn

2（為一可（%一萬）2（電一可（%一萬）

系數V的公式分別為b=片1n-----------,d=y-bx,r=一.

_n,。InIn

之（電-W）（±L動2（%—歹）2

〃=1Vi=lV2=1

15.（24-25高三上?福建泉州?月考習）一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度比有關，現收集了該

種藥用昆蟲的6組觀測數據如下表：

溫度//°。212324272932

產卵數”個61120275777

[616666

經計算得：ZR2為=26,虧=RX%=33,Z⑶一下）萬）=557,X出一4=84,Z（%-前=

O￡=10￡=1i=l?=1?=1

6

3930,線性回歸模型的殘差平方和￡（%一。）一=236.64,6&。6。5仁3167,其中傷,仍分別為觀測數據中的

￡=1'

溫差和產卵數，i=123,4,5,6.

（1）若用線性回歸方程，求"關于2的回歸方程5=應+&（精確到o.1）；

（2）若用非線性回歸模型求得夕關于c回歸方程為y=0.066。23。3%且相關指數4=Q.9522.

⑴試與⑴中的回歸模型相比,用不說明哪種模型的擬合效果更好.

（w）用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產卵數（結果取整數）.

附:一組數據（如91）,（狽紡），…，（X，%），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計為6=

nn

X（g一司（依一百）2（%一。）

三。----------，&=虧一位;相關指數五2=1—胃-------.

￡（◎-可,蕭

?M

題型六獨立性檢驗及應用

念大題典例

16.（24-25高三上?四川綿陽?月考習）2021年8月，義務教育階段“雙減”政策出臺，某初中在課后延時服

務開設奧數、科技、體育等特色課程.為了進一步了解學生選課的情況，隨機選取了400人進行調查問

卷，整理后獲得如下統計表：

喜歡奧數不喜歡奧數總計

已選奧數課（A組）15050200

未選奧數課（B組）90110200

總計240160400

（1）若從樣本內喜歡奧數的240人中用分層抽樣方法隨機抽取32人,則應在A組、B組各抽取多少人?

（2）依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為選報奧數延時課與喜歡奧數有關？

附：

0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式i…），其中』

S變式訓練

17.（24-25高三上?寧夏中衛?月考習）寧夏新高考改革方案已正式公布，根據改革方案,將采用“3+1+

2”的高考模式,其中，“3”為語文、數學，外語3門參加全國統一考試，選擇性考試科目為政治，歷史、地

理、物理、化學、生物6門，由考生根據報考高校以及專業要求,結合自身實際，首先在物理和歷史中選

擇1門，再從政治、地理、化學、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”.

（1）若某學生根據方案進行隨機選科，求該生恰好選到“物化生”組合的概率；

（2）由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求，隨機選取100名高一新生進

行調查,得到如下統計數據，完成下面2x2列聯表，依據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為

“選科與性別有關”？

選擇物理選擇歷史合計

男生4050

女生

合計30100

附參考公式與表m+b）（；*（？）（b+d），ua+i+d-

為2獨立性檢驗中常用的小概率值和相應的臨界值:

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

18.（24-25高三上?上海?開學考試）某地生產隊在面積相等的50000塊稻田上種植一種新型水稻，從中抽

取100塊得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）與優質頻數并部分整理成下表（最終畝產量均在900kg

到1200kg之間）

畝產量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

優質頻數51014186

普通頻數12464

（1）這50000塊稻田中，畝產量在［1050,1100）的頻數約為多少？

（2）估計這片稻田的平均畝產量（單位kg）；

（3）已知在100塊抽取稻田中畝產量在［1050,1100）的優質稻田有25塊,是否有0.95的把握認為產品

是否優質與畝產量不少于1050kg且少于1200kg有關？（參考公式：％2=

(a+b+c+d)(ad—bcf

，參考數據：P（*>3.841）Q0.05）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題型七條件概率/全概率公式/貝葉斯公式

念大題典例

19.（24-25高三上?貴州遵義?模擬預測）已知4臺車床加工的同一種零件共計1000件，其中第一臺加工

200件，次品率為5%；第二臺加工250件，次品率為6%；第三臺加工250件，次品率為8%；第四臺加工

300件，次品率為10%.現從這1000件零件中任取一個零件.

（1）求取到的零件是次品的概率；

（2）若取到的零件是次品，求它是第i（其中i=1,2,3,4）臺車床加工的零件的概率.

S變式訓練

20.（24-25高三上?廣東?月考習）甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規則如下：兩人輪流隨機抽題作答,

答對積1分，答錯不得分:然后換對方抽題作答，甲乙兩人各完成一次答題記為一輪比賽.比賽過程

中，有選手領先2分者立即晉級，比賽結束（不管該輪比賽有沒有完成）.已知甲答對題目的概率為

卷，乙答對題目的概率為p，答對與否相互獨立，抽簽決定首次答題方，已知第一輪答題后甲乙兩人各

積1分的概率為-1.記比賽結束時甲乙兩人的答題總次數為71s>2）.

0

（1）求p;

（2）求在n=4的情況下，甲晉級的概率；

（3）由于比賽時長關系，比賽答題不能超過3輪，若超過3輪沒有晉級者,則擇期再進行比賽.求甲在

3輪比賽之內成功晉級的概率.

21.（24-25高三上?四川內江?月考習）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種

涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是?，若在前一

天選擇綠豆湯的條件下,后一天繼續選擇綠豆湯的概率為!，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一

天繼續選擇銀耳羹的概率為y,如此往復.（提示:設表示第n天選擇綠豆湯）

（1）求該同學第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率

（2）求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；

（3）記該同學第幾天選擇綠豆湯的概率為2,求出2的通項公式.

題型八概率與統計圖表的綜合應用

O大題典例

22.（24-25高三上?廣東廣州?模擬預測）在某地區進行高中學生每周戶外運動調查，隨機調查了1000名

高中學生戶外運動的時間（單位:小時），得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.

木頻率

組距

0.15

S

S05

S04

03

S02

S0O1

246

1618時間（小時）

⑴求Q的值,估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間；（同一組數據用該區間的中點值作代表）

（2）為進一步了解這1000名高中學生戶外運動的時間分配，在（14,16］,（16,18］兩組內的學生中，采用

分層抽樣的方法抽取了5人,現從這5人中隨機抽取3人進行訪談，記在（14,16］內的人數為X,求X

的分布列和期望；

（3）以頻率估計概率,從該地區的高中學生中隨機抽取8名學生，用“區（協”表示這8名學生中恰有k

名學生戶外運動時間在（8,10］內的概率，當R（k）最大時，求k的值.

???

S變式訓練

23.（24-25高三上?寧夏石嘴山?月考）某校為了解該校學生“停課不停學”的網絡學習效率，隨機抽查了

高一年級100位學生的某次數學成績（單位:分），得到如下所示的頻率分布直方圖：

（I）估計這100位學生的數學成績的平均值現（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）

（2）根據整個年級的數學成績可以認為學生的數學成績X近似地服從正態分布N（〃，02）,經計算，（1）

中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數行作為〃的近似值，用樣本標準差s作為c的估計值,

現任抽取一位學生,求他的數學成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量X?N（〃，ff2）,則P（zz

+0.6827,尸（〃一2b<X<〃+2。）比0.9545,-3。WXW〃+3b）u0.9973）

（3）該年級1班的數學老師為了能每天督促學生的網絡學習，提高學生每天的作業質量及學習數學的

積極性，特意在微信上設計了一個每日作業小程序，每當學生提交的作業獲得優秀時，就有機會參與

一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據獲得積分的多少向老師領取相應的小獎

品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔

子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為9，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到

第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時,游戲結束，每天的積分自動累加,設小兔子跳到第n（lW

"W14）格的概率為阿,試證明｛2+1—2｝是等比數列，并求8式獲勝的概率）的值.

24.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考習）某汽車銷售公司為了提升公司的業績,將最近一段時間內每

日的汽車銷售情況進行了統計，如圖所示.

。50100150200250300每日汽車銷售量/輛

（1）求a的值,并求該公司這段時間內每日汽車銷售量的第60百分位數；

（2）以頻率估計概率，若在這段時間內隨機選擇4天,設每日汽車銷售量在［200,250）內的天數為X,

在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下,求X的分布列及數學期望；

（3）為增加銷售量，公司規定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動,規則如下:在三棱錐A-

BCD中，△BCD、/\ACD均是邊長為2的正三角形，AB=0,現從寫有數字1~8的八個標簽中隨機

選擇兩個分別貼在A、B兩個頂點,記頂點入、口上的數字分別為巾和九，若E為側棱AB上一個動

言=■'當"二面角E—67大于?即為中獎’求中獎的概率.

點，滿足

題型九概率與其他知識的交匯應用

念大題典例

25.（24-25高三上?廣東深圳?月考習）甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規則如下：兩人輪流隨機抽題作

答,答對積1分且對方不得分，答錯不得分且對方積1分;然后換對方抽題作答,直到有領先2分者晉

級，比賽結束.已知甲答對題目的概率為4，乙答對題目的概率為p,答對與否相互獨立,抽簽決定首

次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為-f-.記甲乙兩人的答題總次數為n（n>2）.

（1）求p;

（2）當九=2時，求甲得分X的分布列及數學期望；

（3）若答題的總次數為n時，甲晉級的概率為2（⑷，證明：餐<丹⑷+A⑷+…+2⑷<4-

ioy

???

S變式訓練

26.(24—25高三上?湖南?月考習)若無窮正項數列｛時｝同時滿足下列兩個性質：①存在河>0,使得冊<

M,nEN*；②｛冊｝為單調數列，則稱數列｛%｝具有性質P.

(1)若0n=2n—1也=(卜了,

(i)判斷數列｛冊｝,｛幻｝是否具有性質P,并說明理由；

⑹記S”=出8+a2b2+---+anbn,判斷數列｛SJ是否具有性質P,并說明理由；

(2)已知離散型隨機變量X服從二項分布B5，p),0<p<記X為奇數的概率為c”.證明:數列

｛cj具有性質P.

27.（24-25高三上?海南省?開學考試）第十五屆全國運動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦.為

了普及全運知識，某大學舉辦了一次全運知識闖關比賽，比賽分為初賽與復賽,初賽勝利后才能參加

復賽,初賽規定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次;如果一個人闖關失敗,再派下一個

人重新闖關;三人中只要有人闖關成功即視作初賽勝利，無需繼續闖關.現有甲、乙、丙三人組隊參加

初賽，他們各自闖關成功的概率分別為P1、P2、P3,假定O、P2、P3互不相等，且每人能否闖關成功相互

獨立.

（1）若計劃依次派甲、乙、丙進行初賽闖關，加=|■，2=/，求該小組初賽勝利的概率；

（2）已知1＞物＞g＞P3,若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數目的期望較小，試確定甲、

丙誰先派出；

（3）初賽勝利小組的三名成員都可以進入復賽，復賽規定:單人參賽,每個人回答三道題,全部答對獲

得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎，已知某學生進入了復

賽，他在復賽中前兩道題答對的概率均為a,第三道題答對的概率為b.若他獲得一等獎的概率為

O

設他獲得二等獎的概率為p,求P的最小值.

題型十利用概率解決決策類問題

念大題典例

28.(24-25高三上?寧夏銀川?月考習)2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛星

發射中心點火起飛，隨后成功將衛星互聯網技術實驗衛星送入預定軌道，發射任務獲得圓滿完成，此

次任務是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官.某市一調研機構為

了了解當地學生對我國航天事業發展的關注度，隨機的從本市大學生和高中生中抽取一個容量為40

的樣本進行調查,調查結果如下表：

關注度

學生群體合計

關注不關注

大學生2028

高中生

合計24

附:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n(ad-bcf

X=-----------------------------------，n=a+b+c+a.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(1)完成上述列聯表,依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為關注航天事業發展與學生群體有

關？

(2)該市為了提高本市學生對航天事業的關注，舉辦了一次航天知識闖關比賽，包含三個問題,有兩種

答題方案選擇：

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二:在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學答出三個問題的概率分別是得，-I，/小華回答三個問題正確與否相互獨立，則小華

應該選擇哪種方案晉級的可能性更大？(說明理由)

???

S變式訓練

29.（24-25高三上?貴州貴陽?月考習）某校將進行籃球定點投籃測試,規則為:每人至多投3次，在M處

投一次三分球，投進得3分，未投進不得分,在N處連續投2次兩分球，每投進一次得2分,未投進不得

分,測試者累計得分高于3分即通過測試，并終止投籃（若前兩次投籃后確定不能通過測試也終止投

籃）.甲同學為了通過測試，刻苦訓練，投中3分球的概率為■!，投中2分球的概率為J,且每次投籃結

52

果互不影響.

（1）若甲同學先投3分球,求他投籃2次就終止投籃的概率；

（2）為使通過測試的概率最大，甲同學應先投幾分球？

（3）為使投籃累計得分期望最大，甲同學應先投幾分球？

30.（24-25高三上?內蒙古赤峰?月考習）某校高三年級部組織高中生數學知識競賽，競賽分為個人賽和

團體賽,競賽規則如下:個人賽規則:每位參賽選手只有一次挑戰機會，電腦同時給出2道判斷題T?R

（判斷對錯）和4道選擇題X1,X2,X3，X4（每個選擇題的四個選項中有且僅有一個是正確的），要求參賽

者全都作答，若有4道或4道以上答對,則該選手挑戰成功.團體賽規則：以班級為單位，每班參賽人數

不少于20人，且參賽人數為偶數，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽:方式一:將班級選

派的2n個人平均分成八組，每組2人，電腦隨機分配給同組兩個人一道相同試題，兩人同時獨立答題，

若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組挑戰成功，若這八個小組都挑戰成功，則該班級挑戰成功.

方式二:將班級選派的2n個人平均分成2組，每組n個人，電腦隨機分配給同組九個人一道相同試題,

各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組挑戰成功.若這兩個小組至少有一個小組挑戰

成功則該班級挑戰成功.

（1）在個人賽中若一名參賽選手全部隨機作答，求這名選手恰好答對一道判斷題并且答對兩道選擇題

的概率；

（2）甲同學參加個人賽，他能夠答對判斷題7］并且答對選擇題Xi，其余題目只能隨機作答，求甲同學

挑戰成功的概率；

（3）在團體賽中，假設某班每位參賽同學對給出的試題回答正確的概率均為常數尸（0<P<l）,為使本

班團隊挑戰成功的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？說明理由.

［必利大題)

S刷模擬

31.(2024?全國?高考真題)某工廠進行生產線智能化升級改造,升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產

品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：

優級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

(1)填寫如下列聯表:

優級品非優級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車

間產品的優級品率存在差異？

(2)已知升級改造前該工廠產品的優級品率p=0.5,設力為升級改造后抽取的幾件產品的優級品率.

如果/>p+1.65J%歷，則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據,

能否認為生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優級品率提高了？(“W?12.247)

n(ad-bc)2

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

P(K2,k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

25

32.（2024?全國?高考真題）某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下:第

一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分;若至少投中

一次,則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得

0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設甲每次投中的概率

為P，乙每次投中的概率為g,各次投中與否相互獨立.

⑴若p=0.4,q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設0<pVq,

⑴為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（u）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

33.(2024?北京?高考真題)某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保

單中隨機抽取1000份,記錄并整理這些保單的索賠情況,獲得數據如下表：

賠償次數01234

單數800100603010

假設:一份保單的保費為0.4萬元;前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元;第四次索賠時，保險公

司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.

(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

⑴記X為一份保單的毛利潤,估計X的數學期望E(X)；

(ii)如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比較這種情況下一份保單

毛利潤的數學期望估計值與⑴中E(X)估計值的大小.(結論不要求證明)

34.（2024?上海?高考真題）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系，從該地區29000名學生

中抽取580人,得到日均體育鍛煉時長與學業成績的數據如下表所示:

時間范圍學業成績[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優秀5444231

不優秀1341471374027

（1）該地區29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數約為多少？

（2）估計該地區初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關?

（附：z2=----產）、（1~,其中n=a+b+c+d,尸（*>3.841）?0.05.）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

35.（2024.上海.高考真題）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱,二級果34箱.

（1）隨機挑選兩箱水果,求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

（2）進行分層抽樣，共抽8箱水果,求一級果和二級果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個,單果質量平均數為303.45克,方差為603.46；二級果48個,

單果質量平均數為240.41克,方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，并預估果園中單果的質

量.

解答題,,粗卓易能針

OO

題型一離故型隘機變量及其分布列.................................................1

題型二超幾何分布與二項分布.....................................................4

題型三均值與方差的實際應用.....................................................8

題型四正態分布與標準正態分布..................................................11

題型五畿性閾明與非線性閾效....................................................13

題型六注立性檢酷及應用.............................................