2024中考數學模擬試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：120分

選擇題（每題3分，共10小題，共30分）

1.（3分）下列計算正確的是（）

A.o64-a3=a2B.-a1伊）2=a4b9

C.3b3?2b26b5D.2心-a=2

【分析】分別根據同底數累的除法法則，幕的乘方與積的乘方法則，單項式乘單項式法則和合并同類項

法則判斷即可.

【解答】解：4、應為故本選項不符合題意；

B、（-/必）2=。％6,故本選項不符合題意；

C、3b3-2b2=6b5,故本選項符合題意；

D、2a2-a2=a2,故本選項不符合題意.

故選：C.

2.（3分）如圖是某種柳卯構件的示意圖，其中梯的主視圖為（）

【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.

【解答】解：從正面看，可得選項8的圖形，

故選：B.

3.（3分）空氣，無色無味，無形無質，卻承載著生命的呼吸，它的密度約為0.00129g/。/,將0.00129

用科學記數法表示應為（）

A.12.9X10-4B.1.29X10-3

C.1.29X104D.0.129*10「2

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為。義10一〃，與較大數的科學記數

法不同的是其所使用的是負整數指數幕，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

【解答】解：0.00129=1.29X10-3.

故選:B.

4.（3分）已知x、y、z滿足等式三注三，則下列結論不正確的是（）

5204

A.若工=>，則x=zB.若z=4x,貝！］y=4z

C.若x<z,貝！］y<zD.若x<y,則x<z

【分析】先將等式變形為4x+y=5z,然后根據每個選項給出的已知條件即可推出結論進行判斷即可.

【解答】解:xyz

可刨■方

4x+y=5z,

A、若工=y，則4x+x=5z,.\5x=5z,.\X=Z,故此選項不符合題意；

B、若z=4x,則％=三，；.4X三+y=5z,.,.y=4z,故此選項不符合題意；

44

C、?/4x+y=5z,?，.x=5zy,若x<z,則"-丫<工,.,.y>z,故此選項符合題意；

44

D、,.*4x+y=5z,?'?y=5z-4x,若xVy,貝!J%<5z-4x,故此選項不符合題意;

故選：C.

5.（3分）估計）的值應在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【分析】先根據二次根式的乘法法則進行計算，然后估算短的大小，在根據不等式的基本性質，判斷

V24-1的大小即可.

【解答】解：V3X)

=V24

=V24-1>

??,V16<V24<V25，即4<揚<5,

/.4-l<V24-l<5-l,

3<V24-1<4

?*?5/3X（^/年的值應在：3和4之間，

故選：B.

6.（3分）關于x的不等式組恰好有3個整數解，則。滿足（）

12x4a

A.。=10B.10Wa<12C.10<a^l2D.10WaW12

【分析】先分別求出每一個不等式的解集，然后根據口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小找不到”并結合不等式組有3個整數解，得出關于。的不等式求解即可.

【解答】解：由6-3元<0得：x>2,

由2尤Wa得：x《旦，

??.不等式組恰好有3個整數解，

???不等式組的整數解為3、4、5,

-5<|<6,解得10WaV12,

故選：B.

7.（3分）如圖1,“矩”在古代指兩條邊成直角的曲尺，它的兩邊長分別為a,b.中國古老的天文和數

學著作《周髀算經》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放

可測物體的高度.如圖2,從“矩”AFE的一端A望向樹頂端的點C,使視線通過“矩”的另一端E,

測得AB=1.5〃z,BD=6.2m.若“矩"的邊EP=a=30c〃z,邊AP=b=60cm,則樹高CD為（）

【分析】根據相似三角形的判定與性質得出比例式求出C8的長即可求解.

【解答】解：由題意知，EF//CH,

：./\AFE^AAHC,

???E-F二AF,

CHAH

??3?-0-----6--0--，

CH620

CH—310cm—3.1m,

CD=CH+DH=3.1+1.5=4.6（m）,

故選：B.

8.（3分）如圖，ZAOB=6Qa,在射線OA上取一點C,使0c=6,以點。為圓心，OC的長為半徑作誦,

交射線0B于點D,連接CD,以點D為圓心，CD的長為半徑作弧，交誦于點E（不與點C重合），

連接CE,OE.以下結論錯誤的是（）

A.ZDCE=30°B.ODLCE

C.贏的長為itD.扇形COE的面積為12n

【分析】根據題意得出△OCO是等邊三角形，即是等邊三角形，利用圓周角定理即可得出NOCE

="l/EOr>=30°,選項A正確；根據說一聲就行三線合一的性質即可得出OOLCE,選項8正確；利

2

用弧長公式求得贏的長為：6°兀2￡6=2元,選項C錯誤；利用扇形面積公式求得扇形COE的面積為：

180

2

12QHX6=12TT）選項。正確.

360

【解答】解：連接ED,由題意可知OE=OD=OC,

VZAOB^60°,

是等邊三角形，

：.ZOCD^60°,

:以點。為圓心，8的長為半徑作弧，交誦于點E,

：.ED=OD,

：.OE=OD=ED,

...△OED是等邊三角形,

：.ZEOD=60°,

：.ZDCE=1ZEOD=30°,故A正確，不合題意；

2

/.ZOCE=30°=ZDCE,

：.OD±CE,故B正確，不合題意；

,/ZEOD=60°,00=6,

...血的長為：60KX6=2IT)故c錯誤，符合題意；

180

VZ￡OC=120°,OC=6,

扇形COE的面積為：120兀X[2=1271,故。正確，不合題意.

360

故選：C.

9.(3分)如果三個連續整數"、〃+1、”+2的和等于它們的積，那么我們把這三個整數稱為“和諧數組”，

下列n的值不滿足“和諧數組”條件的是()

A.-1B.-3C.1D.3

【分析】根據題意，逐個判斷出所給〃的值，是否滿足三個連續整數小”+1、〃+2的和等于它們的積,

進而判斷出哪個〃的值不滿足“和諧數組”條件即可.

【解答】解：".'n=-1時，-1+(-1+1)+(-1+2)=0,-IX(-1+1)X(-1+2)=0,0=0,

??.〃=-1滿足“和諧數組”條件,

選項A不符合題意；

?.,〃=-3時，-3+(-3+1)+(-3+2)=-6,-3X(-3+1)X(-3+2)=-6,-6=-6,

.??“=-3滿足“和諧數組”條件,

選項2不符合題意;

時，1+(1+1)+(1+2)=6,IX(1+1)X(1+2)=6,6=6,

???“=1滿足"和諧數組”條件，

選項C不符合題意；

?；w=3時，3+(3+1)+(3+2)=12,3X(3+1)X(3+2)=60,12W60,

；."=3不滿足“和諧數組”條件，

.?.選項D符合題意.

故選：D.

10.(3分)如圖，四邊形A8CD是邊長為4的菱形，/A=60°,將△A3。沿著對角線8。平移到AA'B'

D',在移動過程中，A'B'與AD交于點E,連接。'E、CE、CD'.則下列結論：

?A'E=BB'；

②當。，E_LCE時，乙ND'E-ZCEB'=30°；

③當C=60°時，BB'的長為遙；

④△CE。'的面積最大值為

其中正確的為()

A.①③B.②③C.①②③D.①②④

【分析】證明四邊形ABB'A'是平行四邊形，XNAE都是等邊三角形，即可判斷①；利用三角形內

角和定理，通過計算即可判斷②；設88'=無，證明8匕ND'E,得到關于x的一元二次方

程，解方程即可判斷③；設=X，禾ll用SACED=5梯形ABDA，+SABCZ>-SAAA'E-SAA'ED'-S^ABCE,

得到關于X的二次函數，利用二次函數的性質即可判斷④.

【解答】解：連接AA',

:四邊形ABCQ是邊長為4的菱形，ZA=60°,

AABD和△CBD都是等邊三角形，

AZDAB=ZABD=60°,

由平移的性質得，四邊形AB"是平行四邊形，

,r

AA4=BB',AAA'B'=ZABB'=60°,AB'//AB,NA，E'A=ZDABf

**?AA'AE都是等邊三角形，

AAA,=AE,

??.A'E=BB'，①正確；

?:D'ELCE,

：.ZDfEC=90°,

AZA'ED'=90°-ZCEB',

VZArD'E+ND'ArE+ZArED'=180°,即NA，DrE+60°+90°-ZCEBf=180°,

???NA，D'E-ZCEBr=30°,②正確；

設=羽則A'E=x,BD'=4+x,

■:/EDC=ZA'D'B'=60°,

:,NBD'C=ZA'DrE,

???/?BC=ND'Ar￡=60°,

：.ABD'Cs〉ND'E,

?BD'_BCPn4+x4

ND'A7E4x

整理得X2+4X-16=0,解得x=±2V5-2,

=2遙-2,③錯誤；

作AP_L8。于點尸，AG±A'B'于點G,

設8夕=x,則4E=x,BD'=4+x,

?,?舒=2如，AGN|^，

等邊△ABD、ACBD、匕NB'D'的高都是

5梯形ABD，Az=y（x+4+x）X2V3=273x+4V3'

SABCD/=y(4+x)X2V3=V3X+W3-

O1VV3x一遮2

SAAA^E=7X-2-X~X'

^AAZEDZ=-Q-X273x=V3X)

S梯形ABCE=f(x+4)X=V§x+4?，

^ACEDZ=5梯形ABD，A，+^ABCD/-^AAAyE-^AA?EDZ一$梯形詆E;邛乂?/x+如+4禽,

"與＜0，

4

???當x=1---------=2時，SACED有最大值，最大值為軌巧，

與X2

4

④正確.

綜上，①②④正確,

故選：D.

二.填空題（每題4分，共6小題，共24分）

11.（4分）函數丫二硬之的自變量x的取值范圍是工且xW3.

丫x-32

【分析】根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為零列出不等式組，解不等式組得到答案.

【解答】解：由題意得：4x+220且x-3W0,

解得：X》-工且尤W3,

2

故答案為：尤》-1■且xW3.

2

12.（4分）已知，非零實數a,b滿足：a=-3b-2ab,則（N-----1）+———="2.

a-ba+b'a2_b2

【分析】先根據分式的減法法則進行計算，再根據分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出a+3b

=-lab,再代入求出答案即可.

2(a+b)-(a-b)(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)ab

a+3b.(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)ab

a+3b

ab

,?*a=-3b-Zab,

a+3b=-lab,

...原式=-2ab=-2.

ab

故答案為：-2.

13.(4分)若一個圓錐的側面積是底面積的3倍，則這個圓錐側面展開圖的圓心角等于120°.

【分析】根據圓錐側面積是底面積的2倍得到圓錐底面半徑和母線長的關系，進而根據圓錐的弧長等于

底面周長得到圓錐的側面展開圖的圓心角.

【解答】解：設母線長為見底面半徑為廣，則底面周長=2可，底面面積=",，側面面積

:側面積是底面積的3倍，

.\R=3r.

設圓心角為n.

n兀R=2nr=2TrR,

1803

."=120°,

故答案為：120.

14.(4分)如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=-3x向上平移3個單位，與y軸、x軸分別交于點A、

B,以線段為斜邊在第一象限內作等腰直角三角形A8C.若反比例函數丫上.(％>0)的圖象經過點C,

【分析】過點C作CELx軸于點作CfUy軸于點R根據等腰直角三角形的性質可證出AAC尸也△

BCE(AAS),從而得出S矩形OECF=S四邊形OBCA=S^AOB+S^ABC,根據直線AB的表達式利用一次函數圖

象上點的坐標特征可得出點A、8的坐標，結合勾股定理可得出42的長度，再根據三角形的面積結合反

比例函數系數人的幾何意義，即可求出左值，此題得解.

【解答】解：過點C作CELx軸于點E,作C軸于點R如圖所示.

：CE_Lx軸，CP_Ly軸，

/EC尸=90°.

AABC為等腰直角三角形,

ZACF+ZFCB=ZFCB+ZBCE=9Q°,AC=BC,

：.ZACF=ZBCE.

rZAFC=ZBEC=90°

在△ACT和ABCE中，，NACF=/BCE，

AC=BC

.?.△ACF且ABCE(AAS),

■"?SAACF=SABCE,

?"'S矩形。ECF=S四邊形OBCA=SAAO8+SAABC.

?.?將直線y=-3x向上平移3個單位可得出直線AB,

直線AB的表達式為y=-3x+3,

...點A(0,3),點2(1,0),

?'?AB=VOA2OB2=，

???△ABC為等腰直角三角形，

.,.AC=BC=V5＞

S矩形OECF—S^AOB+S^ABC=-X1X3+工X疾X娓=4.

22

?反比例函數＞=區(尤＞0)的圖象經過點C,

x

??女=4,

故答案為：4.

15.(4分)在平面直角坐標系中，G(xi,yi)為拋物線y=/+4x+2上一點，H(-3xi+l,戶)為平面上

一點，且位于點G右側.

(1)此拋物線的對稱軸為直線尤=-2；

(2)若線段GH與拋物線y=f+4尤+2(-6W尤<1)有兩個交點，則的xi取值范圍是-5<xi<-2.

【分析】(1)利用對稱軸公式即可求解；

(2)畫出函數y=/+4x+2(-6Wx<l)的圖象，由圖象知當-2Wxi<l或-6WxiW-5時，線段G8

與拋物線y=f+4尤+2(-6Wx<l)只有1個交點；當-5<xi<-2時，求得9VGHW21,則GH>MN,

此時線段GH與拋物線y=/+4x+2(-6Wx<l)有2個交點.

【解答】解：(1)?；y=/+4x+2,

.?.此拋物線的對稱軸為直線》=-」_=-2,

2X1

故答案為：x=-2.

當x=l時，y=/+4x+2=7,即M(l,7),

:對稱軸為直線》=-2,

：.M(1,7)關于直線工=-2的對稱點為N(-5,7),

：.MN=]-(-5)=6,

由圖象知當-2^xi<1或-6WxiW-5時，線段G”與拋物線y=x2+4x+2(-6?1)只有1個交點；

當-5<xi<-2時，GH=-3xi+l-xi=-4xi+L

；.9<GHW21,

Z.GH>MN,此時線段GH與拋物線y=x2+4x+2(-6^x<l)有2個交點.

綜上所述，xi的取值范圍是-5<xi<-2,

故答案為：-5<xi<-2.

16.(4分)如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,tanA=2,AC=?，以BC為直徑作圓，圓心為。，過圓

上一點。作直線A8的垂線，垂足為E,則AE+OE的最大值是_4+行5_.

B

【分析】通過創造出特殊的幾何圖形，利用特殊角度45度角的正切值為切入點，創造出一個特殊的45

度角將所需求的AE+AD兩個線段的最大值轉化為一條線段GF,此時E點與。點重合，進而求出所需要

的最大值.

【解答】解：

如圖，作/B4M=45°,過點。作OALL4M于點M

延長NO交OO于點G,過點G作“KLGN,垂足為點G,

過點G作GQLA8于點。，延長GQ交AM于點孔

當點。與點G重合，點E在點。處時，4E+DE取得最大值.

理由：連接OA,

VZACB=90°,

?'?tanZCAB=7F=2,

AC

AC=V5.

，BC=2遙，

,OC-|BC=V5'

OC=AC,

.oc

,,tanZOAC=-T；r=l,

：.ZOAC=45°,

：.ZOAC+ZOAB=45°+ZOAB,

VZOAN=ZBAN+ZOAB=45°+ZOAB,

：./OAN=/CAB,

tanZ0AN^7^-=2'

AN

：.0N=2AN,

2222

VOA=VOC+AC=7(V5)+(V5)=V10，AM+ON2=OR2,

AN2+(2AN)2=(VIO)2-

...求得：AwS或AN=-&(舍去)，

?■-0N=2V2,

???G0=0C=V5-

?,?GN=G0-t€iN=V5+2V2.

在00上取不同于點G的一點尸，過點尸作py_LAM于點y,

過點P作PJ±AB所在的直線于點J,并延長PJ交AM于點R,

??/QF/TR

,tanNBAN^777=1'tanZBAN^rr=P

AQAT

QF=AQ,JR=AJ,

則AE+DE=AQ+GQ=FQ+GQ=GF,

或AE+DE=AJ+PJ=JR+PJ=PR,

VZQM=90°-ZEAF=45°,ZJRA=90°-ZEAF=45°,

???sin/QFA噂等，sin/JRA嗡=^，

，GF=&GN，PR=V2PY)

由圖可知：PY<GN,

：.PR<GF,

二當點。在點G處時，AE+OE取得最大值，最大值為GF的長，

：GF=V2GN=V2(V5+272)=4W10.

：.AE+DE取得最大值4+71&

故答案為：4+Vl0.

三.解答題（共8小題，共66分）

17.（6分）計算：（①一2）°+弓）44cos30°-亞卜

【分析】本題涉及零指數嘉、負指數幕、二次根式化簡、絕對值和特殊角的三角函數5個考點.在計算

時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.

【解答】解：原式=l+3+4X（3V3-V3）

2

=1+3+2?-273

=4.

18.（6分）（1）解方程：3，_=o；

xx-2

（2）解不等式組：儼-24+2?.

.x-5<2x-6②

【分析】（1）利用去分母將原方程化為整式方程，解得X的值后進行檢驗即可；

（2）解各不等式后即可求得原不等式組的解集.

【解答】解：（1）解：原方程去分母得：3x-6-2x—0,

解得：x=6,

檢驗：當x=6時，x（x-2）#0,

故原方程的解為尤=6；

（2）由①得xW2,

由②得x>l,

故原不等式組的解集為l<x<2.

19.（6分）在如圖的網格中使用無刻度直尺按要求畫圖.（畫圖時保留畫圖痕跡）

A

nr-n

QIII

LJJ

L-

圖①圖②

（1）在圖（1）中，N是邊BC的中點，連接A7V,在邊AN上畫一點G,使得AG=2GN.

⑵在圖⑵中,在AC上找一點根使S垓CM^SaABC.

【分析】（1）將BC向左平移1個單位至。E處，借助網格和楨，找到DE的中點X,找到點/,連接

AI,將I向左平移1個單位至J,連接JH、IN,JH與AN的交點即為G.

(2)如圖，A。〃/E可得△CME?△C4。即出馬小，兩個三角形同高可得S.BCM

ACCD33

【解答】解：(1)將BC向左平移1個單位至。￡處，借助網格和*0,找到DE的中點X,找到點/,

連接4,將/向左平移1個單位至J,連接JH、IN,JH與AN的交點即為G,如圖①，則有JH〃/N,

AAG_=AJ^=2>AG=2GN；

GNII1

A

圖①

(2)如圖②，AD//ME,

：./XCME-/XCAD,

■CM_CE_1

'?而F7，

20.(8分)如圖，在平行四邊形ABC。中，NACr>=90°,點E是BC的中點，連接AE,過點C作。e

//AE,交于點?

(1)求證：四邊形AECF是菱形;

(2)若平行四邊形ABC。的周長為36,AC=6,求菱形AEC尸的面積.

【分析】(1)根據平行四邊形的性質得到AD//BC,AD=BC,得到N8AC=/AC￡>=90°,根據平行

四邊形的判定定理得到四邊形AEb是平行四邊形，根據菱形的判定定理即可得到結論；

(2)根據勾股定理得到AB=8,由點E是BC的中點，得到8E=CE,根據三角形的面積公式即可得到

結論.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

：.ZBAC=ZACD=90°,

\'CF//AE,

...四邊形AECF是平行四邊形，

?.,點E是的中點，

；.AE=CE=nC,

2

四邊形AEC尸是菱形；

(2)解：?.?平行四邊形ABCD的周長為36,

：.AB+BC=\S,

VZBAC=90°,

：.AB2+AC2=BC2,

：.AB2+62=(18-AB)2,

解得AB=8,

:點E是BC的中點，

：.BE=CE,

??SAACE=—5AABC>

2

菱形AECF的面積=2SMCE,

六菱形AECP的面積=SAABC=1?g.AC=/x8X6=24.

21.(8分)某校為掌握九年級學生每周的自主學習情況，學生會隨機抽取九年級的部分學生，調查他們每

周自主學習的時間，并把自主學習的時間(/)分為四種類別：A(OhWt<3h),B(3hWt<6h),C(6/z

W/V9/0,D09〃)，將分類結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖：

(1)求出本次抽樣調查的樣本容量為60A；

(2)補全頻數分布直方圖，并計算扇形統計圖中C所在扇形的圓心角的度數為144

(3)根據調查結果可知，自主學習時間的中位數落在C組;

(4)若該校九年級有1200名學生，請估計一周自主學習的時間不少于6h的人數.

【分析】(1)由A組人數及其所占百分比可得本次抽樣調查的樣本容量；

(2)分別求出3、。組人數即可補全圖形；用360。乘以C組人數所占比例即可；

(3)根據中位數的定義求解即可；

(4)用總人數乘以樣本中C、。組人數和所占比例即可.

【解答】解：(1)本次抽樣調查的樣本容量為6?10%=60(人)，

故答案為：60人；

(2)B組人數為60義30%=18(人)，

。組人數為60X20%=12(人)，

扇形統計圖中C所在扇形的圓心角的度數為360°X24=144°；

故答案為：144；

（3）自主學習時間的中位數是第30、31個數據的平均數，而這兩個數均落在C組,

所以這組數據的中位數落在C組；

故答案為：C；

（4）估計一周自主學習的時間不少于6/i的人數為1200義跑口2=720（人）.

60

22.（10分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭,

若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米.

d01234

（米）

h0.51.251.51.250.5

（米）

根據上述信息，解決以下問題：

（1）在如下網格中建立適當的平面直角坐標系，并根據表中所給數據畫出表示/，與d函數關系的圖象;

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為根米，則片1.5；

（3）現公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調節水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下

方通過，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離

均不小于0.5米，已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應將水管露出湖面的

圖1圖2

【分析】（1）依據題意，建立坐標系，描點.用平滑的曲線連接即可；

（2）依據題意，觀察圖象即可得出結論；

（3）依據題意，根據二次函數圖象的性質求出最高點的高度，設二次函數的頂點式，求解原拋物線的解

析式；設出二次函數圖象平移后的解析式，根據題意求解即可.

【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點為原點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系，如圖1

所示：

(2)根據題意可知，該拋物線的對稱軸為x=2,此時最高，

即根=1.5,

故答案為：1.5；

(3)根據圖象可設二次函數的解析式為：h=a(d-2)2+1.5,

將(0,0.5)代入/z=a(d-2)2+1.5,得a=-工，

4

拋物線的解析式為：-X/2+6?+0.5,

4

設調節后的水管噴出的拋物線的解析式為：-ld2+d+0.5+n,

4

由題意可知，當橫坐標為2+旦=工時，縱坐標的值大于1.5+0.5=2,

22

-Ax(工)2+1+0.5+心2,

422

解得“，工L,

16

水管高度至少向上調節」工米，

16

.?.0.5+衛=空(米)，

1616

公園應將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計)至少調節到里■米才能符合要求.

16

23.(10分)如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點S(-l,0),T(1,0)(0°<a^l80°),將一個

圖形先繞點S順時針旋轉a,再繞點T逆時針旋轉a.

(1)點R在線段ST上，則在點A(1,-1),8(3,-2),C(2,-2),。(0,-2)中，有可能

是由點R經過一次“90°對稱旋轉”后得到的點是B,C;

(2)x軸上的一點尸經過一次“a對稱旋轉”得到點Q.

①當a=60°時，PQ=2；

②當a=30°時，若。T_Lx軸，求點尸的坐標；

(3)以點。為圓心作半徑為1的圓.若在。。上存在點使得點M經過一次“a對稱旋轉”后得到

的點在x軸上，直接寫出a的取值范圍.

4

33

22

11

TST

?,—>----->—?—>—>

-3-2-10123力-3-2-10123工

-1-1

-2-2

-3-3

備用圖

【分析】(1)根據“a對稱旋轉”新定義即可判斷；

(2)①由旋轉可得△SPP和△TQP均為等邊三角形，進而推出ST之PQ(SAS)即可證得

結論；②根據“a對稱旋轉”新定義得點。的坐標為。(1,-1),P'T=QT=1,ZP'TQ=30°,

進而得出/SP'T=180°-ZSTP'-ZTSP'=90°,再利用勾股定理即可求得答案；

(3)點M在OO上，則/繞S順時針旋轉a度以后的的軌跡為。繞S順時針旋轉a度以后的0(7

上，M'關于T逆時針旋轉a度以后得到點N,則N在0'關于T逆時針旋轉a度以后的。。〃上，只

需。。'與x軸有交點O"在粉弧上，且O'T=。"T,則與x軸相切，再證得TR沿叢TO'S

(SSS),即可求得答案.

【解答】解：(1)由一次“對稱旋轉”定義，將A(1,-1)先繞點T順時針旋轉90°得A',再繞點

S逆時針旋轉90°得，如圖所示：

AA(1,-1)不是由點火經過一次“90°對稱旋轉”后得到的點；

同理可得8(3,-2)是由點R(l,0)經過一次“90°對稱旋轉”后得到的點；C(2,-2)是由點R

(0,0)經過一次“90°對稱旋轉”后得到的點；D(0,-2)不是由點R經過一次“90°對稱旋轉”

后得到的點；

故答案為：B,C；

(2)①當a=60°時，如圖,

軸上的一點尸經過一次“a對稱旋轉”得到點Q,

：.^SPP'和△T0P均為等邊三角形，

：.SP'=PP',TP"=QP',

AASP'T+ZTP'P=ZTP'P+ZPP'Q,

：.ASP'T=ZPP"Q,

ST^/\P'PQ(SAS),

：.PQ=ST=2,

故答案為：2；

②當a=30°時，設點尸繞點S順時針旋轉30°得到點P',貝IJ,

如圖，將x軸作一次“a對稱旋轉”后得到直線y=-1,SP=SP

軸,點尸經過一次“a對稱旋轉”得到點。,

.?.點。的坐標為。(1,-1),

;點P'繞點T逆時針旋轉30°得到點Q,

：.P'T=QT=1,ZP'70=30°,

Z