第4講函數的零點問題

方法總結：

1.零點問題的處理步驟：

(1)作圖：可將零點問題轉化成方程，進而通過構造函數將方程轉化為兩個圖像交點問題，

并作出函數圖像

(2)確定變量范圍：通過圖像與交點位置確定參數和零點的取值范圍

(3)觀察交點的特點(比如對稱性等)并選擇合適的方法處理表達式的值

2.零點問題常見處理方法：

(1)代換法：將相等的函數值設為從而用，可表示出玉,馬，…，將關于王,馬，…的表達

式轉化為關于1的一元表達式，進而可求出范圍或最值

(2)利用對稱性解決對稱點求和：如果西,42關于元=4軸對稱，則王+工2=2。；同理,

若關于(。，0)中心對稱，則也有玉+“2=2?。將對稱的點歸為一組，在求和時可與

對稱軸(或對稱中心)找到聯系

3.求解復合函數y=g[/(x)]零點問題的技巧：

(1)此類問題與函數圖象結合較為緊密，在處理問題的開始要作出了(x),g(x)的圖像

(2)若已知零點個數求參數的范圍，則先估計關于的方程g[f(x)]=O中〃力解

的個數，再根據個數與〃尢)的圖像特點，分配每個函數值工(力被幾個x所對應，從而確

定￡(x)的取值范圍，進而決定參數的范圍

典型例題：

,、[lnx.x>0,

例I.(2022?青海西寧?高三期末)已知函數,八若函數

-x-4x-3,x<0

y=[/(x)]-(x)+l有6個零點，則機的取值范圍是()

【答案】D

【解析】

【分析】

利用數形結合可得/+皿+1=0在[-3,1)上有兩個不同的實數根，然后利用二次函數的性質

即得.

【詳解】

設，=/(力，則y=g(f)=〃+m+i,作出函數八外的大致圖象，如圖所示，

則函數y=[/(x)卜時(力+1有6個零點等價于g(f)=O在卜3,1)上有兩個不同的實數根,

/M2-4>0

g(-3)=9-3m+lN0,1()

則"g⑴=1+加+1>0,解得2<加45.

C"I,

-3<——<1,

2

故選：D.

【點睛】

關犍點點睛：本題的關鍵是利用數形結合，把問題轉化為方程產+而+1=0在卜3,1)上有兩

個不同的實數根，即二次方程根的分布問題，利用二次函數的性質即解.

例2.(2022?全國?高三專題練習(理))若函數f(k)=ex-x恒有2個零點，

則。的取值范圍是()

A.(-i,+oo)B.(-00,1)

e

C.(0,-)D.(-oo,--)

ee

【答案】A

【解析】

【分析】

先由導數得出g(%)=之單調性并畫出其簡圖，再結合y=/-2x+l-〃的圖象，根據函數

e

/。)=《*2一2工+1-4)一工恒有兩個零點等價于函數丫=/-2.1+1-4及丁二83)的圖象有

兩個交點，得出。的取值范圍.

【詳解】

令，(x)=0,得x2-2彳+1-。=4?.令g(x)V，g'(x)=二，當g，(x)>0時,x<l,當，(x)<0

eee

時，X>\,所以g(X)在(-8,1)上單調遞增，ga)在(1，內)上單調遞減.g(X)的最大值是

g(I)=-,作出函數y=d-2x+l-a=(x-l)2-a及y=g(x)的圖象，如圖所示，函數

e

/5)=爐*2一2"+1-々)-4恒有兩個零點等價于函數)，=%2-2工+1-〃及y=83)的圖象有

兩個交點，所以-。<1,解得

ee

故選：A.

r+3x>0

例3.(2022?山東萊西?高三期末)已知函數/(%)="+4XCOS(2乃-；x)x<0'^W=^+1*

若函數〉=/(耳-8(力在工?-2,3］內有3個不同的零點，則實數2的取值范圍為()

A.2>/2<-yB.k=2&或g<k<4

C.-4<k<2V2D,A=-4或4

【答案】B

【解析】

【分析】

先考慮x=0的情況，再考慮xwOR勺情況，把函數有3個零點轉化為方程有3個實根，化簡,

構造兩個新函數，圖像有3個交點，畫圖得答案.

【詳解】

、X2+3,X>0

=<，

l+4xcos^x,x<0

當x=0時，顯然有〃x)wg(x),即x=0不是)，=/(力一g(x)的零點；

當4工0時，函數y=/(x)-g(x)在2,3］內的零點個數即為方程/(力二8(同在

2,3］上的實根個數

2

當Ovx《3時，有Ay；+1=J+3，即Z-x+—；

x

當一2<x<0時,有AX+1=1+4X8SG,即攵=4cos;rx.

所以函數y=/(x)-g(x)在x?-2,3］內有3個不同的零點等價于y=上與

2

y=\x+x,0<x-3,的圖像有3個不同的交點，作出圖像如圖：

4cos^x,-2<x<0

故選：B.

例4.(2022?全國?高三專題練習)設函數〃力=-+〃(1-1)+6在區間［0,1］上存在零點，則

/+〃的最小值為()

A.eB.—C.7D.3e

2

【答案】B

【解析】

【分析】

設，為/⑶在［0,1］上的零點，可得/+。(-1)+人=0,轉化為點3萬)在直線(-l)x+y+d=0

上，根據/+從的幾何意義，可得標+從之令g")=利用導數求得函

(/-1)2+1(/r-1:/；+1

數的單調性和最值，即可得答案.

【詳解】

設，為/(X)在［0,1］上的零點，則d+4(7—l)+b=0,所以(-l)a+b+/=0,即點9力)在直

線"l)x+y+e'=0,

._____Ld

又/+〃表示點(小打到原點距離的平方貝lj+/>11

J(I)2+1

即a2+b2>—J—,

d)2+1

2^(產+2-21)-/(21-2)2/'(/—3/+3)

令g(，)=可得g'⑺

(f+l“2+2—21)2(/2+2-2/)2

因為小>0/-5+3>0,所以g'1)>0,得g。)在［0』］上為單調遞增函數,

所以當r=°是，ga)min=g(0)=T，

所以^+從的最小值為Y2.

2

故選：B.

【點睛】

解題的關鍵是根據/+從的幾何意義，將方程問題轉化為求距離問題,再構造新函數，利用

導數求解，分析、計算難度大，屬難題.

,、［x2+2x-a(x^1)

例5.(2022?安徽蚌埠?高三期末(文A已知函數/⑴=|豌2(>>〃(二1)有四個不同的

零點占，X”x3,5,若王<七<1,芻，^e(l,+QO),則%一/+%―七十七』的值為()

A.0B.2C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】

X2+2X(X<1)

將問題轉化為gW=,)，=。的交點問題,再根據數形結合思想可求解.

|log2(x-l)|u>I)

【詳解】

函數/(力有四個不同的零點，即方程/(切=0有四個不同的解,

人(、_卜2+21紅?1)

*gX一力1%(%-1)|(%>1)'即函數g(x)的圖象與y=a有四個不同的交點,

兩函數圖象在同一個直角坐標系下的圖象如下圖所示:

所以Fj=-l=>x)+x2=-2,

不妨設1V%3〈玉，

則一log2(&-1)=Iog2(x4-1)=>(x3-l)(x4-l)=1=>-X3-X4+^X4=0,

所以菁一七十七一z+w，％=xi+x2-Xy-x4+x3x4=-2.

故選：D

例6.(2022?陜西?高三期末(理))已知函數/(力=,+3%+]卜。國恰有4個零點，則〃的

取值范圍是().

A.(5收)B.(1,5)

C.(1,+co)D.(0,1)O(5,-H?)

【答案】D

【解析】

【分析】

把/(力的零點個數等價于直線與函數y=x+§+3圖象的交點個數即可解決.

【詳解】

當x=0時，/(0)=1*0,所以==0不是/(x)的零點;

當XH0時，由/(x)=o,BP|X2+3X+1|-?H=O,得a=x+[+3,

則/(x)的零點個數等價于直線y=a與函數y=X+—+3圖象的交點個數.

作出函數y=x+,+3的大致圖象(如圖所示)，

由圖可知ae(0,l)u(5,+co).

故選：D

過關練習：

1.(2022?全國?高三階段練習(文))若函數y=/(x)滿足對WXGR都有/(為+/(2-x)=0,

且y=/(x)為R上的奇函數，當xw(T,D時，/(x)=4sin(^x),則〃幻=log,%的零點個數

為()

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

分析函數/(冷的性質，在同一坐標系內作出函數y=/*)與y=iog3”的部分圖象，再借助

圖象求解作答.

【詳解】

依題意,依X)=-f(2-x),y=f(x)為R上的奇函數，即f(x)=,則/(2-x)=

因此，f(x)是周期為2的周期函數，

當xc(Tl)時，/(x)=4sinCx)是遞增的，令x=l,有/⑴+/⑴=0,即/⑴=0,

在同一坐標系內作出函數y=f(力與y=iog/的部分圖象，如圖，

觀察圖象得函數y=f(x)與y=log3x的圖象有4個公共點,

所以fahlog/的零點個數為4.

故選：C

2.(2022?河南?模擬預測(文))己知/(x)=2sin(or+￡]-6,。＞0,若f(x)在區間(0,2乃)

上恰有4個零點，則實數。的取值范圍是()

【答案】C

【解析】

【分析】

送(0,2乃)，數形結合確定如看的范圍使得g(x)=sin"￡|圖像和),=爭合好有四個

交點.

【詳解】

/(x)=2sin(ar+?)-V5=O=sin(ar+?)=當，

/⑺在區間(0,24)上恰有4個零點，等價g(x)=sin(ai+?)與),=當圖象恰好有4個交

點，因為K￡(0,2;T),所以公+工七|2,24。+工

ln(-x),x<0

3.(2022?全國?高三階段練習(文))已知/5)=?,則函數尸3尸(x)-2〃力

2\x>0

的零點個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由〃助解析式及指對數的性質分析分段函數的性質，求函數y=o時對應/(X)值，應用數形

結合法判斷零點個數.

【詳解】

由題設，當1<0時/(x)eR且遞減，當X20時/(x)e(0,l)且遞減，

2

令，=/*),則y=3〃-2/=0,可得，=0或1=5，如下圖示：

2

由圖知：f=0時有一個零點，/=§時有兩個零點，故共有3個零點.

故選：C

4.(2022?吉林?長春十一高高三階段練習(理))用符號舊表示不超過”的最大整數，例如:

[0.6]=0,[2.3]=2,[5]=5.設函數/("=?_21!?(21)+(2—/)皿2幻有三個零點

%,馬，“3，%<占<花，且[內]+[玉]+[曰]=3,則。的取值范圍是()

A.—21n2<?<—ln2B.—In2?av―21n6

9

44

C.—<?<-21n2D.—<6t<-ln2

ee

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可知/(力=(1-1112”(加+21112*=0,得-0=竿^令83二竿二可知8(力單

調遞增區間為(o,亨g(x)單調遞減為當T，作出g(6的草圖，由圖可知

G(0,1),X2=|s(l,2),,\［^］=0,［x,］=l,而［內］+［毛］+［七］=3,,\［司=2,即玉w［2,

-4,g⑵

3),可得由此即可求出結果.

-a>g⑶'

【詳解】

22

/(x)=cue-axln2x+21n2x-21n2x=or?(［一1rl2x)+21n2x(l-InZx)

=(l-ln2x)(av2+21n2x)=0,x>0.

1—In2x=0?Weax2+21n2x=0②.

由①得、=；,由②得一。=3華.

2x~

人/、21n2x.I，/\2(l-21n2x),瑪

令g(H=^~，則g")=-^~~j~~-=o，??1=手.

人Z

g'（K）＞0,g（N）單調遞增,

（手，*°）時，g'（、）＜0,g（X）單調遞減.

XG

芭<Xj<W,:.芭，則㈤=0,

又?嗚］=1,且［百］+民］+［9］=3,故%=］，［引=2,^e［2,3),

21n4

?…⑵即一知丁.?_21n6

⑶，即…逆解得一In］,一一—

9

故選：B.

【點睹】

本題主要考查了導函數在函數零點中的應用，關鍵是因式分解求出已知的零點，然后參變分

離構造新函數，將零點問題轉化為函數圖像交點問題求解.

5.(2022?廣東高州?二模)已知函數g(x),人(“分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且

g(x)+Mx)=e'+x,若函數/(￡|=產”+川(工-1)-2分有唯一零點，則正實數義的值為

()

A.|B.C.ID.2

【答案】B

【解析】

【分析】

首先利用方程組法求函數g(x)的解析式，由解析式判斷人力的對稱性，利用導數分析/*)的

單調性及極值點，根據函數有唯一的零點知極小值/⑴=。，即可求正實數義值.

【詳解】

由題設，1g(r)+Mr)=e--=g(x)i(x)'可樣履小1-，

由/(x)=JT+4g(x—1)-2萬，易知：f(x)關于工=1對稱.

當xN1時，/(x)=ex-'+弓(ex-'+)-222,則/'(x)=e㈠+弓(U㈢一寸*)＞0,

所以單調遞增，故xvl時/(M單調遞減，且當x趨向于正負無窮大時八外都趨向于正無

窮大，

所以〃外僅有一個極小值點1,則要使函數只有一個零點，即/⑴=0,解得％=

故選：B

【點睛】

關鍵點點睛：奇偶性求函數解析式，導數分析函數的單調性、極值，根據零點的個數及對稱

性、單調性求參數值.

V3V210

6.(2022?江西?高三階段練習(文))已知函數/(%)=、—1+"+與mR,下列說法正確

的是()

A.當方＜1時，函數/(外有兩個極值點

B.當。＜0時，函數/(x)在(0,+8)上沒有最小值

C.當〃=-2,函數f(幻有兩個零點

D.當b>T,函數f(x)在(-8,0)上單調遞增

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出函數的導數，再結合各選項中b的范圍判斷導數的符號并得到相應的單調性，從而可

判斷各項的正誤.

【詳解】

r(x)=f-X+。,

當b<1時，A=1—4Z?,如取b=g,則△=—1<(),此時用x)>0恒成立，

故/(X)為R上的增函數，故/(力無極值點，故A錯誤.

當6<0時，△=1-46>0,而f'(0)=b<0,故附x)在(0,內)上有且只有一個實數根%,

且：

當0<xv/時，<0；當時，/^x)>0,

故f(x)在(0,%)上為減函數，在(如+co)上為增函數，

故在(0,口)上,外取=〃飛),故B錯誤.

當6=—2時,/,(x)=x2-X-2=(A+1)(X-2),

當一lvxv2或時，盟x)<0；當xv-1或％>2時,用勾>0,

故"X)在(-1,2)上為減函數，在(-8,-1),(2,y)上為增函數，

而/(—3)<0,/(—1)=2/(2)=0,故了(力有兩個零點，故C正確.

當力>一1時，取人=-g，

則廣⑺”…：，

令/?工)>0,則也或x>￥，

令/K%)<0,則y<x<噌，

「\

(1.J?,+oo,減區間為1+0

故/(%)的增區間為一巴二-:2

2'2

X

而上史<0,故D錯誤.

2

故選：C.

7.(2022?四川?成都七中高三開學考試(文))已知函數/("=優2'+.-2戶-%有兩個零

點，則。的取值范圍為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,旬D.(㈤

【答案】B

【解析】

【分析】

顯然需要參數分離，將原題改造成為。=第±￡,求y=a與8(力=空工有兩個交點。

e+ee+e

【詳解】

由/(9=優標+(〃一2戶一工=0得到：〃=冬二；

e+e

令g")=畢由題意可以看做是，=a與g(x)有兩個交點；

e+e

ex(2ex+l)(-eA-x+1)

貝ijg'(x)=-----丁、------------,其中e、>0，2e*+l>0,

(e"+e)

—e'—x+l是單調遞減的，并且x=0時，一e，—x+l=0；

eA(2er+l)(-er-x+l)

因此函數g'(x)=二"——:存在唯一零點，x=0：

(e+e*)

當彳>0時，g(x)<0；X<0時，g(x)>0；g(0)=l；

得如下函數圖像：

顯然當Ovavl時，y=〃與g(x)有兩個交點；

故答案為：B.

8.(2022?江西?高三階段練習(理))已知函數/(X)=23+2足2，-3+1)疣、+/有三個不同

的零點石,工2，/，且百<0<%2<七，則(2-友)(2-￡)(2-宗)的值為()

A.3B.6C.9D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

依題意可得/(?Me?、2(。+2)-(°+1)；+(，即可2(〃+2)-(〃+1),+(三)=0有三個

不同的零點1,與，七，令g(x)=「，利用導數研究函數的單調性與最值，令",

則2(a+2)—(a+l)/+『=O必有兩個根工、q,且令乙<0、0<￡,<1，則￡=三必有一解內<0,

ee

Y

有兩解*2、/，且0<%2<1<七，再利用韋達定理代入計算可得；

e

【詳解】

解：因為/(%)=23+2把2*-3+1)次工+%2,所以/(x)=e2*2(a+2)Ta+l)，+(p),因

為e?*〉。，所以2(a+2)—(4+1)三+(2)=0有二個不同的零點%，々、W，令g(x)=~~?則

g'(x)==，所以當XV1時g'(￡l>。，當X>1時g'(x)<。，即g(x)在(3,1)上單調遞增，

"00

在(1,+°0)上單調遞減，所以g(x)1rax=8⑴=：，當x>0時/>0，令"'e1，：，則

2(q+2)_(a+l)r+r=0必有兩個根.、t,不妨令4<0、0<z<-,￡.z+r=a+\,

22'eI2

t[t2=2(a+2),即公三必有一解芭<0,4=2有兩解々、*3，且0<七<1<X3，故

ee

(2-丹①尚(2創=(2-小(2-力

2

=[4-2(/,+/2)+^2]

=[4-2(?+l)+2(a+2)]2=36

故選：D

x2+x-l,X<0

9.(2022?安徽馬鞍山?一模(文))己知函數/(幻=Inx八，若函數g(x)=xf(x)-m有

——，x>0

,x

三個零點，則實數小的取值范圍是()

A.[OJ]B.[0,1)C.[工川D.(-之，0)

【答案】B

【解析】

【分析】

函數=有三個零點轉化為y=相與y=4\x)有三個交點，畫出圖像即可求出機

的取值范圍.

【詳解】

函數g(x)=W)-m有三個零點轉化為y=加與y=V(x)有三個交點.

-4"—vrVC

y=V(x)={-，一，當4<0?=3/+21=(31)(1+1)

Inx,x>0

4'⑶在(-8,-1)單調遞增，(-1,0)單調遞減，x=T時取到最大值1.作出圖像如下圖，由圖

像可知

故選：B.

10.(2022?安徽六安?一模(理))已知函數/(x)=sin狽x-Gcos必吠0>0)在(0,1)內恰有

3個極值點和4個零點，則實數外的取值范圍是()

【答案】A

【解析】

【分析】

由第4個正零點小于1,第4個正極值點大于等于1可解.

【詳解】

/(x)=sin^tyx--73cos^<yx=2sin^(yx-y^,因為xe(0,l),

九(兀

所以加以一§61_彳,。乃一不卜

又因為函數/(x)=sin3x-VJcos砌r?>0)在(0,1)內恰有3個極值點和4個零點,

由圖像得：3乃<而-解得：34:，所以實數。的取值范圍是停，烏

3236130

故選：A.

11.（2022.吉林.雙遼市第一中學高三期末（文））定義在R上的偶函數f（x）滿足

上的所有零點的和是（）

A.10B.8C.6D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

數形結合，函數小）與尸卜in（2啕在區間一,|上的交點橫坐標即為g（.T）的零點，根據

對稱性即可求零點之和.

【詳解】

12.（2022?吉林?雙遼市第一中學高三期末（理））已知函數

/（x）=2cos2^-+>/3sintyx-l（<y>0,XGR）,若〃力在區間（江,2兀）內沒有零點，則外的最

大值是（）.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角恒等變換化簡,。），結合正弦函數零點性質，即可求解.

【詳解】

/(x)=2cos2—+\/3sintyx-l=sina)x+coscox=2sinIcox-\--

令/(x)=0,=€Z),x=—一一—(A:€Z).

co6(y

k兀乃,

--------<冗

又函數在區間（兀,2兀）內沒有零點，所以，兀

-------22萬

co6co

解得&-?-<CD<———..-(A：GZ),3>0,

6212''

所以々=0,0<eo<^-,k=\,人小匕所以口的最大值是g

1261212

故選：C.

x2+2x,x<0

13.（2022?河南?溫縣第一高級中學高三開學考試（文））已知函數/（1）=<hl；，則

函數g（%）=〃lT）T的零點個數為（

【答案】C

【解析】

【分析】

通過解法方程g（力=0來求得g（力的零點個數.

【詳解】

由g（x）=o可得f（17）=I.

當x<0時,X2+2x=\=>x=-\-\f2?或工=一1+夜（舍去）,

當％>0時，|lgx|=l=>x=10n￡x=-^.

故l-x=-l-&=>x=2+&是g（x）的零點，

1一工=10=%=一9是8（工）的零點，

1Q

1-“=而=>”=而是8（%）的零點.

綜上所述，g（x）共有3個零點.

故選：c

14.(2022.全國?高三專題練習)已知函數〃“)=.]n(xL)x>^則函數8(")=f

的零點個數為()

A.3B.4C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

令〃=/"),令g(x)=0,得出/〃)-2=0,求出關于〃的方程/(〃)一2=0的根〃=一1或

Z/=e2+l,然后再考查直線〃=-1或〃=e?+l與函數〃=/0)的圖象的交點個數，即可得

出答案.

【詳解】

令〃=/(x).令g(x)=0.貝-2=0.

2

當時，則/(M=ln(〃-1),所以In(〃-1)-2=0,A=e+1,

當4,1時，/(〃)=一〃+1—2=0,貝=,

作出函數〃=/*)的圖象如下圖所示，

直線〃=-1與函數〃=/(%)的圖象只有1個交點，

線〃=e?+l,與函數〃=/(x)的圖象只有2個交點，

因此，函數g(x)只有3個零點，

故選：A.

5(2022?浙江?高三專題練習)已知a”,若函數f(x)=_L+_!_一1恰有兩個零點西、

x-ax-b

x2（為<占），那么一定有（)

A.b<xx<a<x2B.x}<b<a<x2

C.b<xt<x2<aD.xt<b<X2<a

【答案】A

【解析】

【分析】

構造兩個函數,=」一和y=1--)，根據兩個函數的圖象恰有兩個交點，在同一坐標系

x-ax-b

內作出函數的圖象，結合圖象，即可求解.

【詳解】

根據題意，構造兩個函數y=—匚和兇=1-一二，

x-ax-b

則兩個函數的圖象恰有兩個交點，在同一坐標系內作出函數的圖象，

如圖所示，結合圖象可得人<不<“<X2.

x2-4ar+4,x<0.

16.(2022?天津市寶詆區大口屯高級中學高三期末)已知函數/(%)=?……0恰lA有

兩個零點，則實數。的取值范圍是()

1B.(-oo,-l)u[-pO

A.-00,------

24"

C.(F-I)J總0)

D.-5。J(g

【答案】C

【解析】

【分析】

分類討論，當。之0時利用函數的單調性可得函數〃力至多有一個零點；當"0時，分別討

論函數/(X)=lnx+2or,xe(0,+oo),/(x)=f-4*+4,XW(Y),0],的零點情況，進而

1if1八

可得，2e,或一一三，或]2e,即求.

a<-l(a=_l|-1<?<0

I

【詳解】

當aNO時，f（x）=Y-4or+4在（-8,0］上單調遞減，又f（0）=4,

所以函數〃彳）在（YO,0］上沒有零點，

/（力=卜》+2公在（0,+8）上單調遞增，

所以函數/（力在（0,"。）上至多有一個零點，

故當。之0時，函數“X）在R上至多有一個零點，不合題意；

當a<0時，f（x）=lnx+2ax,xe（0,+<?）

r（H=L+2a=型型，令r（?=0,得一；，

xx2a

???xe（0,-：）時，/（x）>0,函數單調遞增；xe（-二㈤時，/（“<0,函數/（x）

2a2a

單調遞減，

???x=W時，函數“X）有最大值，卜n［吃卜，

'當，（一/）=由卜即"一?時，函數/（力在（0,+8）上沒有零點，

當，—5）=ln（-5）—1=0,即《時，函數”X）在（0,+00）上有一個零點，

當/卜點）=ln卜1>0,即一.<〃<0時，函數”力在（0,+oo）上有兩個零點；

對于=f-4OV+4,X€（YO,0］,對稱軸為X=2?,函數/（x）=W-4公+4在（YO,0］上

最小值為f（2a）=（勿f一心.20+4=4—4/,又/（0）=4,

，當〃2。）>0,即一1<4<0,函數/（X）在（70,0］上沒有零點，

當/（2〃）=0,即a=T,函數，（力在（YO,0］上有一個零點，

當f（勿）<0,即"-1,函數f（x）在（-8,0］上有兩個零點；

1tI八

所以要使函數/（X）恰有兩個零點則2e,或0=一5或2e

a<-\（°=-1-l<a<0

解得a<-1或-丁<a<0；

2e

綜上，實數。的取值范圍是或-工<a<0.

2e

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛:本題的關鍵是分別研究函數/（力=1g+2公，X6（0,*0）與〃力=/-4^+4,

X€（YO,0］的零點情況，通過分類討論即可解決.

17.（2022?廣東?模擬預測）讓?巴普蒂斯?約瑟夫?傅里葉，法國歐塞爾人，著名數學家、物理

學家.他發現任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示，如定義在

R上的偶函數/（力=江+4￡上口3內滿足/（2兀一力=〃力，且當x?0,可時，有

3“Tn~

/（X）=X2,已知函數g（X）=/（X）-4X+7C）有且僅有三個零點，則4的取值范圍是（）.

【答案】A

【解析】

【分析】

令Mx）=a（x+7i）,則〃（力的圖象是過點（-兀，。），斜率為°的直線；

由函數的對稱性可得/（X）的圖象關于直線”=冗對稱，畫出/（X）和〃（x）a>0在同一坐標系

下的圖象，根據函數g（x）的零點個數，利用數形結合與分類討論的數學思想

即可得出結果.

【詳解】

令人（"）=。（"+完）,則妝x）的圖象是過點（-兀⑼，斜率為a的直線.

由〃2冗-x）=f（x）可知/（力的圖象關于直線X=冗對稱，

又/（X）為偶函數，可畫出f（力和力（%）在同?坐標系下的圖象（下圖為a>0時的情況）

g（x）有且僅有三個零點，則“力和人（同的圖象有且僅有三個交點.

當a=0時，顯然不成立，

兀)=2a冗<7C2nn

當。>0時，由上圖可得四3兀)=4麗”解得:—<a<—

42

當。<0時，由對稱性知一二<"」.

24

所以〃的取值范圍是卜宗司唔微｝

故選：A.

18.(2022?安徽宣城?高三期末(文))已知函數/(X)=『-2E-%]nx+or?有兩個不同的零

點，則實數。的取值范圍是()

A.(―B.(—00,—Ve)C.(―<^,0)D.(―e)

【答案】D

【解析】

【分析】

q/-2111K

將問題轉化為函數)HF與)，=-?------圖象有兩個不同的交點，根據換元法將函數

x2-21nx

?-21nx

y=-......轉化為g(t)=Jt利用導數討論函數的單調性求出函數的值域，進而得出參數

x-2\nxc

的取值范圍.

【詳解】

函數〃力的定義域為(。，+8)，

x22[nx22

f(x)=e--2a\nx+ax=e八爪+a(x-21nx),

設h(x)=x2-2\nx(x>0),則以工)=2x-2=2(x+l)(D,

XX

令h\x)>0=>x>1,令h\x)<0=>0<x<1,

所以函數力(x)在(0,I)上單調遞減，在(L+8)上單調遞增，且力⑴=1,

所以力*北加二人。)>0,所以〃*)>0

函數有