3.6零點定理(精練)(提升版)

題組一零點的區間

1.(2022?甘肅?天水市第一中學)函數/(x)=lnx-與的零點所在的區間是()

A.(0,1)B.(2,3)C.(1,2)D.(3,5)

【答案】C

【解析】因為函數)，=lnx在(0,*o)上單調遞增，y=-g在(0,+8)上單調遞增,

所以f(x)=lnx--■在(0,”)上單調遞增.

當Ovxvl時，/(x)</(l)=lnl-l=-l<0,

/(2)=In2——>In\/c――=—>0?/(3)=In3-丞>Ine一”=I——>0,

/(5)=ln5——7>Ine—^7=I->0.

由零點存在定理可得：函數/(x)=lnx-5的零點所在的區間是(1,2).

故選：C

2(2022?江蘇揚州)函數/(x)=x-2+log2X的零點所在的區間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(23)D.(3,4)

【答案】B

【解析】函數〃x)=x—2+Iog2，x>0是單調遞增函數，

當％30+時，/(X)T-QO,/(1)=-l,/(2)=1>0,/(3)=1+log,3>0,/(4)=4>0,

故/(1)-/(2)<0故函數的零點所在的區間為(L2),故選：B

3.(2022?天津紅橋?一模)函數/1*)=廿+21-6的零點所在的區間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【解析】函數/Q)=e，+2x-6是R上的連續增函數，

v/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0,4W”1)/(2)<0,所以函數f(x)的零點所在的區間是

(1,2).

故選：C

4.(2022?廣東中山)函數/(同=曠+4-2的零點所在的區間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】f(力在R上遞增，/(0)=l+0-2=-l<0,/(l)=e+l-2=e-l>0,

/(0)/(l)<0,所以的零點在區間(0,1).故選：A

5.(2022?北京師大附中)函數/(乃=±-2,的零點所在的區間是()

x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

44

【解析】因為函數y=1,y=-2，均為(0,+e)上的單調遞減函數，所以函數=在

4

(0,+8)上單調遞減，因為〃1)=2>0,/(2)=-2<0t所以函數/*)=,-2"的零點所在的

區間是(1,2).故選：B

6.(2022?云南玉溪?高一期末)函數/。)=,一/-2的零點所在的區間為()

x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】由解析式知:在(YO,0)上/㈤<0恒成立,在(0,+8)上/(幻單調遞減，且

/(l)=l-i>0,/(2)=~<0,綜上，零點所在的區間為(1,2).故選:B

e2

7.(2022?寧夏?青銅峽市寧朔中學高二學業考試)函數/(幻=2，+'-5的零點所在的區間是

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】易知/(外=2,+1-5為增函數，又〃0)=-4<0J⑴=—2<0J(2)=l>0,

/(3)=6>0,/(4)=15>0,故零點所在的區間是(1,2).故選：B.

8.(2022.新疆維吾爾自治區喀什第二中學)函數f(x)=ln(T)-gx-2的零點所在區間為

()

A.(-4,-3)B.(-3,—e)C.(-e,-2)D.(-2,-1)

【答案】B

【解析】由題意可知，/(X)的定義域為(7,0)，

令〃=一工，則y=ln〃，由〃二一人在(70,0)上單調遞減，

y=ln〃在定義域內單調遞增，

所以y=In(―力在(』0)單調遞減.

所以函數/(可=皿(-力-夫-2在(-oo,0)上單調遞減.

1221

所以〃T)=ln[_(-4)]_：x(_4)_2=ln4_1>lneW>0

/(-3)=ln[-(-3)]-ix(-3)-2=ln3-l>lne-l=0

/(-e)=ln[-(-e)]-1x(-e)-2=1-l<0

l「1,44

/(-2)=ln[-(-2)]--x(-2)-2=ln2--<lne--<0

/(-l)=ln[-(-l)]-1x(-l)-2=-1<0

故〃-3)?/(-e)<0,根據零點的存在性定理，可得

函數f(x)=ln(r)-gx-2的零點所在區間為(-3,-e).

故選：B.

9.(2022?海南?嘉積中學高一期末)〃力=2'+4工-3零點所在的區間是()

A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(-1,0)

【答案】C

【解析】由題意知：/")在K上連續且單調遞增：

對于A,/(2)=9>0,/⑶=17>0,.?.(2,3)內不存在零點，A錯誤；

對于B,/(1)=3>0,〃2)=9〉0,.“1,2)內不存在零點，B錯誤；

對于C,/(0)=-2<0,/(1)=3>0,則/(0)/(1)<0,「.(O/)內存在零點，C止確：

1Q

對于D,/(-l)=-y<0,f(0)=-2<0,「.(TO)內不存在零點，D錯誤.故選：C.

10.(2022?四川?德陽五中)函數/(%)=/+2%-5的零點所在的區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】函數f(x)=e'+2x—5在R上單調遞增，而/(l)=e—3<0,/⑵=?2-1>0,

由零點存在性定理知，函數/(幻的唯?零點在區間(1,2)內.故選：B

11.(2022?安徽?池州市第一中學)函數f(x)=(，7-5的零點所在的一個區間是()

A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】B

17

【解析】；/(-3)=25>0,/(-2)=6>0,/(-l)=-l<0,/(0)=-4,<0,/(l)=-y<0,

且/(幻=($'-工-5是單調遞減函數，故函數=的零點所在的一個區間是

(-2,-1),故選：B

12.(2022?廣東汕尾)函數/(力=4d+x-15的零點所在區間為()

A.(OJ)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】定義域為R，且段)在R上單調遞增，

又；/(1)=一1。<0,.*2)=19>0,???兒0在(1,2)上存在唯一零點.故選：B.

題組二零點的個數

1.(2022?四川省瀘縣第二中學)函數〃x)=lnx+2x-6的零點的個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由于函數/(x)在(0,+。。)上是增函數，且f(l)=T<0J(3)=ln3>0,

故函數在(1,3)上有唯一零點，也即在(0,內)上有唯一零點.故選：B.

2.(2022?重慶)函數/(x)=lnx-gx的零點個數為()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】函數/(x)=lnx—gx,x>0,

則r(x)=L—］令，一?>0,解得(0,3),此時函數是增函數，

x3x3

xe(3,+oo)時，:(力<0,f(x)是減函數，

所以x=3時，函數取得最大值，

又/⑶=加3—1>0,/(e12)=2-1e2<0,=

所以函數f(x)=lnx-3的零點個數為2,

故選：B.

(5)則函數g(?=/(x)-g的零點個數為

3.(2022?重慶?三模)已知函數〃%)=?

|log2x|,x>0.

()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【解析】當xWO時，^(x)=(1r-l=0,/.x=l,因為xWO,所以舍去；

當x>0時，^(x)=1log2x|-^=0,/.x=>/2=,滿足x>0.所以］=75或］=乎.

函數g(x)=/(x)-;的零點個數為2個.故選：C

+2tV0

4.(2022?新疆三模(理))函數〃力=,1一八的零點個數為__________.

［x-3+e?x>0

【答案】2

【解析】當x?0時，令Y+2=0,解得x=亞五，亞五<0,此時有1個零點；當x>0時，

/(x)=x-3+e\顯然/a)單調遞增，又/(￡)=-：+l<0,/(l)=-2+e>0,由零點存在定

理知此時有1個零點；綜上共有2個零點.故答案為：2.

x+2x40

;一八的零點個數為_________

{x+e-,x>0

【答案】1

【解析】當xWO時，/U)=x+2有一個零點一2:

當x>0時，f(x)=x+e*23*>0,無零點，

Ix+2xW0

故函數〃X)=x+e；x>0的零點個數為1個故答案為：1

題組三比較零點的大小

3

1.(2022.山西.二模(理))已知。是/(6=-/一5彳2+61一5的一個零點，6是8("=。'+"+1

的一個零點，c=2Iog!5,則()

3

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.a<c<b^c<b<a

【答案】A

3

［解析］因為〃力一_=+61_5,r(x)=-3x2-3x4-6=-3(x+2)(x-l),

所以在2)上是減函數，在(-2,1)上是增函數，在(1,一)上是減函數，

因為/0)=-］<0,所以“X)僅有1個零點，

1Q

因為〃-3)=—<0,所以av—3,

因為g(x)=e，+x+l是增函數，且g(-1)=1>0,^(-2)=4-1<0,所以-2vb<T,

ee"

因為c=2嗔5=-啕25,2<log325<3,所以_3vcv-2,所以。<°<尻故選：A.

2.(2022?湖南?益陽市箴言中學)已知三個函數

f(x)=2x~l+x-\,g(x)=ei-1,〃(1)=log2*-1)+x-1的零點依次為。力,c,則8,c的大小

關系()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】???函數/(%)=2XT+X—1為增函數，乂/(0)=2"-1=<0J⑴=1>0,???。?0,1),

由g(x)=—1=。,得x=l,即b=l,

■:人(x)=log2(*T)+%T在。,內)單調遞增,

33313

XA(-)=log2(--l)4---l=--<0,/?(2)=log2(2-l)+2-l=l>0,：,-<c<2t：.c>b>a.

故選：D.

y

3.(2022?陜西長安一中模擬預測)已知函數/(x)=2*+x,g(x)=\og2x+x,h(x)=x+x

的零點分別為。、b、c,則。、b、。的大小順序為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】因為函數y=2*、y=x均為R上的增函數，故函數/(X)=2、+X為R上的增函數，

因為/(T)=g—l<0，f(0)=l>0,所以，—Ivavo,

因為函數y=iog2%、y=%在(0,3)上均為增函數，故函數g(x)=iog2i+x在(。，+8)上為

增函數，

因為g(g卜T+；＜°,g(l)=l＞。，所以，

由〃?=。卜2+1)=0可得c=0,因此，avc＜6.故選：A.

4.(2022?安徽?蚌埠二中模擬預測(文))已知王+2』=0,占+1082.=0，(5—1。82七=0,

則()

A.x1<x2<x3B.x2<xi<x3

C.xi<x3<x2D.x2<x3<x,

【答案】A

【解析】設函數f(x)=x+2‘，易知在R上單調遞增,

因為〃-1)=一;J(O)=l，所以f(T)〃0)＜。，由零點存在定理可知，

設函數g(x)=x+log2x,易知g3在(0,+8)上單調遞增,

因為g(；)=-；，g⑴=1，所以g(g)g(l)v0.由零點存在定理可知.9再＜1;

設函數A(x)=(g)-log2x,易知力(%)在(o,+8)上遞減，

因為=〃(七)二0,所以力(1)＞〃(不)，由函數單調性可知，1＜芻，

所以一1〈內＜0〈工2＜1〈工3，故選：A.

5.(2022?河南河南?三模)若實數a,b,c?滿足""力=7,lnc=",則()

3C

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】“=唳；4<1笠1=0,^=7<23,1</?<2,對于函數/(x)=ln.r-?|(x>0),

2

/(X)在(0,4-00)上遞增,/(2)=ln2-l<0,/(e)=l-->0,

e

2

所以/(X)存在唯一零點x=c，ce(2,e),使/(c)=0,所以對于lnc=}有ce(2,e),

所以a<b<c.故選：A

題組四已知零點求參數

1.(2022?湖北宜昌)函數/(%)=若函數儀同=/(力-6有兩個零點，則實數

2-l,x<0

6的取值范圍是()

A.0</?<1B.-l</?<0C.b<0D.-\<h<\

【答案】B

畫出直線y=b,可得當一1<8<0時，直線y=b和函數)，=/(用的圖象有兩個交點，

則g(x)有兩個零點.故選：B.

Y<1

2.(2022?首都師范大學附屬中學)已知函數/("二；,若尸/(力-&有三個不同

x-2,x^.1

的零點，則實數人的取值范圍為()

A.卜9]B.卜川C.卜川D.

【答案】C

【解析】當xvl時，/(x)=xe\nx)=ex(x+I),

故當xv-1時，/'(x)<0J(x)單調遞減，當-1VXV1時，/(x)>0./(x)單調遞增，

故/(此，且x<o時，/?<0，

當工22時，f(x)=x-2,

由此作出函數的大致圖象如圖:

由y=f(x)-A有三個不同的零點，即函數y=/(x)的圖象與)，=左有三個不同的交點,

結合圖象，可得上€(-Lo),故選：c

e

lnx

,若g(x)=/(x)-a有3個零點，則。

Ix2+2x,x<0.

的取值范圍為()

A.(-1,0)B.卜C.0,()D.(0,{-1}

【答案】B

【解析】TShM=—(x>0),/.h\x)=,

XX

令”(x)>0,..0<x<e,令h'(x)<0,..x>e,

所以函數4W在(0,e)單調遞增，在(e,-Ho)單調遞減.

所以

e

令g(x)=〃x)-。=0，"(幻=。有三個零點.作出函數y=f(x)和>=〃的圖象如圖所示，

所以°的取值范圍為卜1,白.

-4x2+8x+8,xe（0,2]“、、八一

4.（2022.安徽）已知函數g（x）=“（2,+8），仆）=3Z-g（小8在（0,+8）

上有3個不同的零點，則實數2的取值范圍是（）

A.（4夜-8,+8）B.（4x/2-8,l）kJ（l,+a））

C.（472-8,4）D.10-8,l）u（l,4）

【答案】D

【解析】解法一：因為函數在（0,+oo）上有3個不同的零點，

/、\-4x2+8x,xe（0,21/、??

所以g（x）=14.8,工?2+紇]和《6=麻一2|-8的圖像在（0,+oo）上有3個交點,代

入k=\,不合題意，排除A、C,又2取+co顯然不合題意，排除B；

解法二：因為函數/（"二辰-2|-屋司+8在（0,+初上有3個不同的零點，

所以和y=g（x）-8的圖像在（0,+8上有3個交點，

畫出函數g（x）的圖像，如圖.

2

），=|h-2|的圖像恒過點（0,2）,且當心。時與x軸的交點為（/0）,

當k=0時，y=2<4,y=2與g（x）的圖像在（0,+8上有3個不同的交點，如圖.

21

^0<4<-,即2之4時，

k2

），二|"-2|與g（x）的圖像在（0,+8）上僅有2個不同的交點，如圖.

[522

當￡q＜2,即1＜女＜4時，尸|"一2|與g⑴的圖像在（0,-）上有1個交點，在（工,

4人Kfv

00）上有2個交點，如圖.

當：＞2,即OvZvl時，產辰一2|與g（x）的圖像在（0,丁上有3個交點，在

上有。個交點，如圖,

當怖=2,即4=1時，y=g2|與g(x)的圖像在(0,+oo)上有2個交點，如圖.

當4<0時，y=|h-2|的左支與g(公的圖像無交點，

當直線丁=一丘+2與g(x)=TV+8Mxe(O,2］相切時，聯立方程得4/一(8+女)x+2=0,

令△=(8+W-32=0,得女=-8+4正(-8-4應舍去)，

所以-攵=8-4&<4

當-2<8-4近，即4夜-8<女<0時，y=|丘-2|與g(x)的圖像在(0,+8)上有3個交點.

綜上，可得2的取值范圍為[拒-8,1)=(1,4)

故選：D.

5.(2022?江蘇泰州?模擬預測)已知定義在R上的奇函數/⑶滿足/(1+力=/(1—力，已知

當xw[0,l]時，“力=2'-。，若恰有六個不相等的零點，則實數機的取值

范圍為()

【答案】D

【解析】因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以/(0)=2°-。=0,「.4=1.

所以當時，/(x)=2x-l.

因為/(1+力=/(1),則/㈤關于x=l對稱,

因為丁=利,一1|關于X=1對稱，/(力=同工一1|有6個不相同的根，

:./(工)二雙工-1)在“?1,+8)有三個不同的根，

y=%(x-D表示過定點(1,0)的直線系，

/(2+x)=/(-力=一/(x+4)=/[*+2)+2]=-f(x+2)=/⑶,

:,T=4.

作出/“)在[0,+8)上的圖象，如圖所示，

2J/1，l-o11-01

〃？>0時,k<m<k,）ik=—=-,kf=—=-,

ACAI）AC，一1oAB）—14

則va<L

84

〃z<0時，=-7；

6

加=0時，顯然不滿足題意.

?"的取值范圍（、撲卜訃

故選：D.

6.（2022?內蒙古?滿洲里市教研培訓中心三模（文））已知函數

/（刈=」彳+：-、/山+8刈有唯一零點，則”（）

A.-B.—C.72D.1

ee

【答案】C

nn,v-—―-xl（Tt1

【解析】令，+，'_〃（sinx+cosx）=0，則e4+^4=>/2asin^x+-J,

記=則/+/=VJasin,+5）=&〃cosr,令g（0=d+e，則

g（T）=eT+d,...g?）=g（T）,所以g（f）是偶函數，圖象關于y軸對稱，因為/（外只有唯一

的零點，所以零點只能是r=0,于是缶=2,「.〃=也

故選：C

7.（2022?全國?高三專題練習）已知“X）是以2為周期的偶函數，當工￡[0』時，，/（x）=x,

那么在區間卜1,3]內,關于x的方程g（x）=H+3+l（&eR且人工一1）有4個根，則左的取

值范圍是（）

A.（-1,0）B.f-poj

c.D.一“°

【答案】C

【解析】本題考查函數性質的綜合應用及數形結合的數學思想.由函數性質作圖如下：令

g(x)=Ax+A+l=Mx+l)+l

其圖像為通過定點(一1」)斜率為&的直線，要使〃x)=g(x)有四解，即/(力和g(x)有四個

交點，由圖知當g(x)在4與，0之間轉動時滿足題意.易得/。的斜率為0,4的斜率為一.所

以W，o).

故選：C.

8.(2022.全國.高三專題練習)已知函數/")=殍與函數g(x)=-2d-x+1的圖象有兩個

不同的交點，則實數〃?取值范圍為()

A.[0,1)B.

C.(0,2)u|-^|D.

【答案】D

【解析】由題意得：—=-2X2-X+1,則mJ--2-2,

2eT

問題轉化為y=，"nh(x)=TjE有2個交點，而力”卜22、十#2),

ee

在18,-皆和(2,+8)上”(力>0,力(力遞增，在(一/2)上力(X)遞減，

當x趨于正無窮大時，力(力無限接近于0,且力(x)<0,刈2)=-S，作出

函數人（力的圖象，如圖所示:

故選：D.

9.（2。22?天津?南開中學模擬預測）已知函數/（工）=卜2-8'+1。,；＞「若函數

g(x)=〃x)+k-l|-a恰有兩個零點則實數。的取值范圍是()

A?(譚卜(4+8)B.傳,4)C,傳,+8)D.*

【答案】A

【解析】^(x)=o=>/(x)+|x-l|-?=o=>/(x)4-|x-l|=?,

令g)=/(x)+H，

22

,,,z、x+2x+\-x+\,x<\x+x+2,x<\

則人(x)=〈，，，

'7(2X2-8X+10+X-1,X>1[2X2-7X+9,X>1

如圖產/?)與尸a的圖象有兩個交點時，。e

故選：A.

10.(2022?天津南開?二模)已知定義在R上的函數/(x)=1八若函數

—7,xvO,

lx-1

鼠力=〃1-力-如+1恰有2個零點，則實數。的取值范圍是()

【答案】B

(l-x)|x|-l,x<1(l-X)|Aj,X<l

【解析】f(1一力=?1，故〃1一力+1=，

—,x>I--+l,x>1

X.x

則函數g(x)=/(l-x)-奴+1恰有2個零點等價于f(1-力+1=公有兩個不同的解,

故y=/(i-x)+Ly=at的圖象有兩個不同的交點,

(l-x)x,0<x<1

設g(%)=/(17)+l=?r(lr)，K<0

--+1,A；>1

X

又y=g(x)，y=?的圖象如圖所示，

由圖象可得兩個函數的圖象均過原點，

若。=o,此時兩個函數的圖象有兩個不同的交點,

當awO時，

考慮直線廣◎與8(力=工-幺(O4x?l)的圖象相切，

貝U由ar=%—“2可得A=(〃-1)2-0=0即〃=1.

考慮直線廣?與g(x)=-g+l(x21)的圖象相切，

由公=一一+1可得ar2-x+l=0，貝ijA=l-4a=0即〃=!.

x4

考慮直線廣?與8("二』一忒《40)的圖象相切，

由?=X2-x可得△=(々+1)2-0=。即。=一］,

結合圖象可得當:va<l或時，兩個函數的圖象有兩個不同的交點，

4

綜上，！<。<1或"-1或4=0,

4

故選:B.

11.(2022?陜西?模擬預測(理))已知函數f(x)=sing-百cos的+1(0>0)在(0,2外上有

且只有5個零點，則實數口的范圍是()

(111\25H25n

A.12飛【6句C.12,7D.I?而

【答案】c

【解析】因為/(X)=sina)x-y/3cosa)x+\=2sin--+1,

KI,八2

令/(x)=2sinG)X--\+\=0,艮］sincox--

I32

所以，sin(ox-在(0,2句上有且只有5個零點，

因為xw(0,2;r),所以如-?e1-,

所以，如圖，由正弦函數圖像，要使sin"-?｝］在(0,2t)上有且只有5個零點,

曰1237r_乃”31左展2511

則---<2710)---<----,即一——，

636124

所以實數。的范圍是.

故選：c

10x-w,x<—

12.（2022?陜西寶雞?二模（文））已知函數，（x）={21（e是自然對數的底

xex-2mx+m,x>—

數）在定義域R上有三個零點，則實數機的取值范圍是（）

A.(e,+oo)B.(e,5]C.(e,5)D.[2,5]

【答案】B

【解析】當時，令10%-〃?=0,解得：x=~^'

當時，-2mx+m=0?解得：fn=------,

22x-\

&囤/川_(21)(%+1)-—2。(2x+l)(x-l)e，

令g(力一，則g(')-(2Z)2-(2-『，

則當xw(g,l)時，g'(x)<0；當上e(L+oo)時，g'(x)>0；

，g（x）在61）上單調遞減，在（1，丑0）上單調遞增，，鼠力疝”8⑴二。；

“X）在定義域R上有三個零點，.?.方襄為〃力一個零點且帆=上有兩個解，

102x-l

m<1

->10-2,解得：e<w<5,即實數m的取值范圍是（e,5].

m>e

故選：B.

13.（2022?全國?高三專題練習）已知函數=-gor'x在區間（；,3）上既有極大值

又有極小值，則實數〃的取值范圍是（）

A.（2,-KO）B.[2,+oo）C.

【答案】C

【解析】函數〃彳）=：/-3公2+4,導函數r（x）=v-奴+]

因為“力在（別上既有極大值又有極小值，所以ra）=o在（對內應有兩個不同的異

號實數根.

心

八3）>。5（5）

1a,，解得：2<a<],實數〃的取值范圍2,彳.

-<-<32k2）

22

.砥<。

故選：C.

14.（2022?河南?模擬預測（理））已知函數/（力二為至多有2個不同的零點，則實

數。的最大值為（）.

A.0B.1C.2D.e

【答案】C

【解析】令〃力=2優'-"=0,得到].學，

函數/（力="'-^丁至多有2個不同的零點，等價于至多有兩個不同的根，

ee

即函數），=鳥與卜=與至多有2個不同的交點

ee

令g（%）=g,

貝必'（人）=專式，

當0vxv2時，g'（x）>0,g（x）單調遞增，

當xvO或2時,g，（x）<0,g（x）單調遞減，

所以尤=0與*=2為函數g（x）的極值點，且g（0）=0,g（2）二鄉，

e

2

且g（x）=1NO在R上恒成立，

C

2

畫I出g（x）=3■的圖象如下：

設〃（。）=掾，則"（〃）=號,

VV

當0<1時，當4>1時，〃'（4）<0,

所以人（。）=得在（-00,1）上單調遞增，在（1，+8）上單調遞減,

由4之W■可得：〃（。）之?2）,所以。42,

綜上：實數。的最大值為2

故選：C

15（2022?天津市武清區楊村第一中學二模）設0WR,函數

Isinycox+—J,x>0,

/(力=g(%)=5.若/(X)在上單調遞增，且函數/（力與g（x）

—x2+4tyx+—,x<0,

22

的圖象有三個交點，則。的取值范圍是（）

【答案】B

w//Tixt"*■、"八乃）I,冗乃7tG）7t

【解析】當％e0，;時M，COX+-E

.2）o|_o2o

因為/。）在卜林）上單調遞增，

7tslt冗

--------1-----<一

26-2

所以號w12

解得三，

2sin—2—

62

又因函數/（力與g。）的圖象有三個交點,

所以在xe（T?,O）上函數）（%）與g（x）的圖象有兩個交點，

即方程+]=3在x?-oo,0）上有兩個不同的實數根,

即方程3r+6的+1=0在x?fo,0）上有兩個不同的實數根，

△二36療-12>0

—&<0,解得0>且,

所以

3、3

-xO-4-669x0+1>0

12

當詆時,

當xNO時，令/⑺-g(x)=2sin[a)x+^-a)xt

由f(x)-g(x)=l>0.

當的+9=若時,In

CDX-----,

o23

止匕時，，f(x)—g(x)=2—<0,

結合圖象，所以XNO時，函數與g。）的圖象只有一個交點,

綜上所述，30

16.(2022?江西喃昌市八一中學三模(文))己知函數/(x)=.ve，T-lnxi,若/(%)在(。⑶

存在零點，則實數。值可以是()

A.-1B.0C.-D.e

e

【答案】D

【解析】根據題意，令〃x)=0,所以〃=祀'一工—1g，

令g(x)=Ae'-x-lnx,xe(0,e),

則函數=+Inx-O在(0,e)上存在零點等價于丁=。與g(x)的圖像有交點.

^,(x)=e,+xet-l--=eA(x+l)--=(x+=(川)(猶T,

令〃(力=加”一1,xe(0,e),

貝”?x)=e”+Ae'>0.故Mx)在(0,e)卜單調遞增.

因為刈0)=-1<0,/?(l)=e-l>0,所以存在唯一的不?0,1),使得人小)=0,

即-1=0,即e"=—,x0=-lnx0,

xo

所以當0<x</時，M.)v0,g*(x)<0,g(x)單調遞減,

當與<%ve時,力⑷>0,g'(%)>0,g(x)單調遞增,

所以g(X)min=g(風)=一%一1啖,=1一%+$=1,

又x->0時，g(x)->+<?,故xeQe),g(x)w[l,+?),所以°之1.

故選：D.

題組五零點的綜合運用

1.(2022.江西師大附中三模淀義在R上的函數/(工)滿足，(T)+/a)=0J(x)=〃2r),

且當xe[O,l]時，=f則函數)，=7/(x)r+2的所有零點之和為()

A.7B.14C.21D.28

【答案】B

【解析】依題意，是奇函數.又由/(力=/(2-力知，/(力的圖像關于x=l對稱.

/(x+4)=/(l+(x+3))=/(l-(x+3))=/(-2-x)=-/(2+x)

=-/(2-(-^))==/(x)，

所以/(x)是周期為4的周期函數.

/(2+X)=/(1+(1+X))=/(1-(1+X))=/(-X)=-/(X)=-/(2-X),

所以/(X)關于點(2,0)對稱.

由于y=7/(x)一八十2=0o/(x)=三

從而函數y=7"x)r+2的所有零點之和即為函數/(力與g(x)==的圖像的交點的橫

坐標之和.

而函數g(x)=一的圖像也關于點(2,0)對稱.

畫出y=/(x)，g(x)=式的圖象如圖所示.由圖可知，共有7個交點，所以函數

丁=7/'(同一區+2所有零點和為7><2=14.

2.(2022.四川成都?三模(理)