第四章一元函數積分學及其應用

不定積分的運算目錄2定積分的概念及性質3定積分的計算41不定積分的概念與性質5定積分在幾何上的應用不定積分的運算2定積分的概念及性質3定積分的計算45定積分在幾何上的應用1不定積分的概念與性質第一節

不定積分的概念與性質一、原函數的概念、、第一節不定積分的概念與性質第一節

不定積分的概念與性質第一節

不定積分的概念與性質二、不定積分的概念第一節

不定積分的概念與性質第一節

不定積分的概念與性質第一節不定積分的概念與性質、、三、不定積分的性質求不定積分和求導數（微分）互為逆運算，即當微分號與積分號放在一起時會“抵消”掉，顯然有以下兩條基本性質：例如，第一節不定積分的概念與性質、、四、不定積分的幾何意義目錄不定積分的概念與性質1定積分的概念及性質3定積分的計算45定積分在幾何上的應用2不定積分的運算第二節

不定積分的運算、、一、不定積分的基本公式

積分運算是微分運算的逆運算，基本初等函數的導數公式“反過來”就可以得到基本積分公式。第二節

不定積分的運算、、第二節

不定積分的運算、、二、不定積分的運算法則第二節

不定積分的運算、、三、不定積分的方法1．直接積分法

直接利用不定積分的運算法則和常用基本積分公式求不定積分的方法稱為直接積分法。直接積分法可用于求一些較簡單的不定積分，在積分過程中只需對被積函數做適當的變形、組合等即可求出不定積分。解注意：在分項積分后，每個不定積分的結果都應含有一個任意常數，但由于任意常數之和仍是任意常數，因此只寫一個任意常數即可。第二節

不定積分的運算、、解第二節

不定積分的運算、、MATLAB提供了求符號函數不定積分的int函數，其調用格式如下：int(expr,var)

%expr表示被積函數，var表示積分變量。例4的MATLAB求解代碼如下：>>syms

x>>f

=

x^4/(1+x^2);>>int(f,x)注意：利用MATLAB的int函數求不定積分時，只是求出被積函數的一個原函數，不會自動補充常數項。。第二節

不定積分的運算、、。解第二節

不定積分的運算、、。2．換元積分法（1）第一類換元積分法第一類換元積分法也稱湊微分法，是指將不定積分中難以直接得到原函數的被積函數，通過湊微分變成在常用基本積分公式里能夠找到的函數，進而求出原不定積分的方法。第二節

不定積分的運算、、。第二節

不定積分的運算、、。【例6】求解第二節

不定積分的運算、、。【例7】求解【例8】求解第二節

不定積分的運算、、。【例9】求解【例10】求解類似可得第二節

不定積分的運算、、。【例11】求解【例12】求解第二節

不定積分的運算、、。（2）第二類換元積分法在求不定積分時，如果被積函數中沒有合適的因子可用于湊微分。此時，可通過變量代換設法把被積函數變成能湊微分或能積分出來的形式。第二節

不定積分的運算、、。第二節

不定積分的運算、、。【例13】求解進行如下變量代換：令，即第二節

不定積分的運算、、。【例14】求解進行如下變量代換：令，即第二節

不定積分的運算、、。【例15】求解第二節

不定積分的運算、、。【例16】

求解

令，則當

時，，于是第二節

不定積分的運算、、。因為

，所以故第二節

不定積分的運算、、。第二節

不定積分的運算、、。【例17】

求解

令，則，如圖所示。利用三角公式可得所以第二節

不定積分的運算、、。因此，其中類似可得第二節

不定積分的運算、、。第二節

不定積分的運算、、。3．分部積分法直接積分法與換元積分法，雖然能夠用于求解一些不定積分，但對于某些不定積分，如等，仍然無法求解。為了解決這類不定積分問題，下面將介紹求不定積分的另外的方法—分部積分法。這個等式就稱為分部積分公式，這種積分方法就是分部積分法。第二節

不定積分的運算、。【例18】

求解令，即，由分部積分公式得于是第二節

不定積分的運算、。【例19】

求解令，則【例20】

求解移項，化簡得故第二節

不定積分的運算、。【例21】

求解被積函數含有根號，因此先利用第二類換元積分法消去根號，然后利用分部積分公式求積分。令，可得，于是由分部積分公式可得因此目錄不定積分的概念與性質1不定積分的運算2定積分的計算45定積分在幾何上的應用3定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質一、曲邊梯形的面積基本思路是：（1）把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形（2）用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積（3）求各小矩形的面積之和（4）求各小矩形面積之和的極限。第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質二、定積分的概念第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質【例22】

根據定義計算定積分第三節

定積分的概念及性質第三步：求和。積分和式為第三節

定積分的概念及性質關于定積分定義的幾點說明：第三節

定積分的概念及性質定積分的幾何意義第三節

定積分的概念及性質三、定積分的性質第三節

定積分的概念及性質第三節

定積分的概念及性質目錄不定積分的概念與性質1不定積分的運算2定積分的概念及性質35定積分在幾何上的應用4定積分的計算第四節

定積分的計算一、變上限定積分第四節

定積分的計算【例23】求

的導數。

解

因為被積函數

是連續函數，所以由定理4.4得第四節

定積分的計算【例23】求解

因為被積函數

是連續函數，且該極限的分子、分母都趨向于0，故可用洛必達法則，即第四節

定積分的計算二、牛頓—萊布尼茨公式【例25】

求第四節

定積分的計算【例26】

求解的原函數為第四節

定積分的計算三、定積分的換元積分法1．第一類換元積分法（湊微分法）當用湊微分法求定積分時，由于并不是用新的變量替換原變量，因此不需要變換積分的上限、下限。【例28】

計算解【例29】

計算解第四節

定積分的計算2．第二類換元積分法【例30】

求解設

，則，當時，，當時，第四節

定積分的計算【例31】

求解設

，則，當時，，當時，第四節

定積分的計算四、定積分的分部積分法第四節

定積分的計算【例32】

求解【例33】

求解令，則目錄不定積分的概念與性質1不定積分的運算2定積分的概念及性質34定積分的計算5定積分在幾何上的應用第五節

定積分在幾何上的應用一、微元法第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達式這種分析方法稱為微元法(或元素法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環,扇,片,殼等近似值精確值第五節

定積分在幾何上的應用二、直角坐標系中平面圖形的面積【例34】

求由

所圍成圖形的面積。第五節

定積分在幾何上的應用第三步：計算定積分，求圍成圖形的面積，有第五節

定積分在幾何上的應用三、旋轉體的體積第五節

定積分在幾何上的應用第五節

定積分在幾何上的應用第五節

定積分在幾何上的應用第五節

定積分在幾何上的應用第五節

定積分在幾何上的應用%繪制圍成的平面圖形>>clc;clear

all>>x

=

0:0.01:1;>>y1

=

sqrt(x);>>plot(x,y1,'k-','linewidth',2)>>hold

on>>plot([1,1],[0,1],'k:','linewidth',2)>>ax

=

0.3;ay

=

0;l

=

0.05;%小矩形的長和寬>>w

=

sqrt(ax);>>x

=

[ax,ax+l,ax+l,ax,ax];

>>y

=

[ay,ay,ay+w,ay+w,ay];>>fill(x,y,'k