PAGEPAGE11．1．4投影與直觀圖1．了解中心投影、平行投影的概念．2．理解直觀圖的斜二測畫法規(guī)則．3．會畫常見幾何體的直觀圖．1．平行投影(1)有關(guān)概念①點(diǎn)的平行投影如圖，已知圖形F、直線l與平面α相交，過F上隨意一點(diǎn)M作直線MM′平行于l，交平面α于點(diǎn)M′，則點(diǎn)M′叫做點(diǎn)M在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影(或象)．②圖形的平行投影假如圖形F上的全部點(diǎn)在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F′，則F′叫做圖形F在α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影．平面α叫做投射面，直線l叫做投射線．(2)當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影都具有下列性質(zhì)：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；⑤在同始終線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．2．直觀圖(1)空間圖形的直觀圖：用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖．(2)斜二測畫法：一種畫直觀圖的方法，其規(guī)則是：①在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，它們分別對應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于O′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)．(3)正等測畫法正等測畫法的依據(jù)還是平行投影，不過這時(shí)投射線和人的視線平行，并且投射線與投射面垂直，它一般用于畫圓、圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉(zhuǎn)體．3．中心投影中心投影：一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)圖形照耀到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在這個(gè)平面上的中心投影．中心投影和平行投影的區(qū)分在于：平行投影的投射線都相互平行，中心投影的投射線交于同一點(diǎn)．畫實(shí)際效果圖時(shí)，一般用中心投影法；畫立體幾何中的圖形時(shí)一般用平行投影法．1．假如圖形所在的平面不平行于投射線，那么下列說法正確的是()A．矩形的平行投影肯定是矩形B．梯形的平行投影肯定是梯形C．正方形的平行投影肯定是矩形D．正方形的平行投影肯定是菱形解析：選B．梯形兩底的平行投影肯定平行，所以選B．2．下列關(guān)于直觀圖畫法的說法中，不正確的是()A．原圖中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段仍平行于x′軸，長度不變B．原圖中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段仍平行于y′軸，長度不變C．畫與坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′可以等于135°D．畫直觀圖時(shí)，由于選軸不同，所畫的直觀圖可能不同解析：選B．平行于y軸的線段其長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)．3．平行投影與中心投影有什么區(qū)分？解：平行投影的投射線都相互平行，中心投影的投射線是由同一點(diǎn)動身的．中心投影與平行投影下列說法：①平行投影的投射線相互平行，中心投影的投射線相交于一點(diǎn)；②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線．其中，正確的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】題號推斷緣由分析①√由平行投影和中心投影的定義可知②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個(gè)點(diǎn)，如當(dāng)投影中心在直線上時(shí)，投影為點(diǎn)；平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)，物體之間的距離越來越近，最終相交于一點(diǎn)③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線【答案】Beq\a\vs4\al()(1)考慮一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，要分清晰是平行投影還是中心投影，投射面的位置如何．(2)空間圖形在平行投影和中心投影下，大多狀況下得到的圖形是不同的，但是也有相同的狀況，如直線經(jīng)過兩種投影，都有可能變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)．下列說法正確的是________．①直線或線段的平行投影仍為直線或線段；②與投射面平行的平面圖形，其投影與這個(gè)圖形肯定全等；③平行四邊形的平行投影可能是矩形；④兩平行直線的平行投影肯定平行；⑤假如一條長為2米的線段，其平行投影為1米，則長為10米的線段，其平行投影的長為5米．解析：因?yàn)楫?dāng)直線或線段與投射線平行時(shí)，其平行投影為一個(gè)點(diǎn)，故①不正確；②正確；因?yàn)榻?jīng)平行投影后的角度可以變更，平行性不變，故平行四邊形的平行投影可能是矩形，故③正確；因?yàn)閮善叫兄本€的平行投影可能是一條直線或兩個(gè)點(diǎn)，故④不正確；因?yàn)棰葜械膬删€段不肯定平行，故⑤不正確．答案：②③直觀圖的畫法畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC．連接B′C′，如圖②．(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③．eq\a\vs4\al()畫水平放置的圖形的直觀圖的關(guān)鍵及留意事項(xiàng)(1)在畫水平放置的圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．(2)畫圖時(shí)要留意原圖和直觀圖中線段的長度的關(guān)系是否發(fā)生變更．畫出底面是正方形且側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖．解：(1)畫軸．畫Ox軸、Oy軸、Oz軸，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖(1)．(2)畫底面．以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形ABCD的直觀圖．(3)畫頂點(diǎn)．在Oz軸上任取一點(diǎn)P．(4)成圖．順次連接PA、PB、PC、PD，并擦去協(xié)助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖(如圖(2))．直觀圖的還原與計(jì)算如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是()A．14B．10eq\r(2)C．28D．14eq\r(2)【解析】因?yàn)锳′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，所以原圖形是一個(gè)直角梯形．又A′D′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分別是2，5，8，故其面積為S＝eq\f(1,2)×(2＋5)×8＝28．【答案】Ceq\a\vs4\al()直觀圖還原為平面圖形的方法及面積的求法(1)還原圖形的過程是畫直觀圖的逆過程，關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段．平行于x′軸的線段長度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)長度變?yōu)樵瓉淼?倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．(2)求圖形的面積，關(guān)鍵是能正確畫出圖形，然后求出相應(yīng)邊的長度，利用公式求解．[留意]原圖的面積S與直觀圖的面積S′之間的關(guān)系為S＝2eq\r(2)S′．已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：選D．如圖①②所示為實(shí)際圖形和直觀圖．由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作A′D′⊥B′C′于點(diǎn)D′，則A′D′＝eq\f(\r(2),2)O′A′＝eq\f(\r(6),8)a．所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)B′C′·A′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2．1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟為：畫軸(讓盡量多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上)；取點(diǎn)；成圖．在圖形中，平行于x軸的線段，在直觀圖中保持其長度不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中長度減半．畫平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定各頂點(diǎn)(或其它有代表性的點(diǎn))的位置；而確定頂點(diǎn)的位置，須要選取有關(guān)的兩個(gè)坐標(biāo)系，并在兩個(gè)坐標(biāo)系之間，建立肯定的對應(yīng)關(guān)系，其中以平行投影的性質(zhì)為主要依據(jù)．2．畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時(shí)，要多畫一條與x′O′y′平面垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段，在直觀圖中的長度不變，其他與平面圖形直觀圖的畫法一樣．既能畫水平放置的平面圖形的直觀圖，又能畫空間圖形的直觀圖，這就要求駕馭好斜二測畫法的規(guī)則．若對斜二測畫法的規(guī)則不清晰，則簡單出錯(cuò)．同時(shí)，又要能由直觀圖還原到原圖形，養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣．1．在燈光下，圓形窗框在與窗框平行的墻面上的影子的形態(tài)是()A．平行四邊形 B．橢圓形C．圓形 D．菱形解析：選C．由點(diǎn)光源的中心投影的性質(zhì)可知影子應(yīng)為圓形．2．如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是()解析：選C．依據(jù)斜二測畫法的規(guī)則：平行于x軸或在x軸上的線段的長度在新坐標(biāo)系中不變，在y軸上或平行于y軸的線段的長度在新坐標(biāo)中變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，并留意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直觀圖還原成原圖形為選項(xiàng)C．3．已知有一個(gè)長為5cm，寬為4cm的矩形，則其斜二測直觀圖的面積為________．解析：由于該矩形的面積為S＝5×4＝20(cm2)．所以其斜二測直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm24．長度相等的兩條平行線段的直觀圖的長度________．答案：相等[學(xué)生用書P83(單獨(dú)成冊)])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是()①正方形的平行投影肯定是菱形；②平行四邊形的平行投影肯定是平行四邊形；③三角形的平行投影肯定是三角形．A．0 B．1C．2 D．3解析：選A．若平面圖形所在平面與投射線平行，則上述三個(gè)命題中的平面圖形的平行投影都是線段，可知三個(gè)命題都不成立．故選A．2．下列說法正確的是()A．相等的線段在直觀圖中仍舊相等B．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍舊平行C．兩個(gè)全等三角形的直觀圖肯定也全等D．兩個(gè)圖形的直觀圖是全等的三角形，則這兩個(gè)圖形肯定是全等三角形解析：選B．直角坐標(biāo)系的選取不同時(shí)，圖形的直觀圖也會不同，所以選項(xiàng)A，C，D錯(cuò)誤，但平行關(guān)系不會發(fā)生變更．3．圖中斜二測直觀圖所示的平面圖形是(A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′)()A．直角梯形B．等腰梯形C．不行能是梯形D．平行四邊形解析：選A．因?yàn)锳′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，所以∠B′＝45°，所以在平面圖形中∠B為直角．又依據(jù)平行于x′軸的線段長度在原坐標(biāo)中不變，故在平面圖形中AD∥BC，且AD≠BC，故為直角梯形．4．正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()A．6cm B．8cmC．(2＋3eq\r(2))cm D．(2＋2eq\r(3))cm解析：選B．如圖，OA＝1cm，在Rt△OAB中，OB＝2eq\r(2)cm，所以AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝3cm．所以四邊形OABC的周長為8cm．5．已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)究竟面的距離為2cm，另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)究竟面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為()A．2cm B．3cmC．2．5cm D．5cm解析：選D．圓錐頂點(diǎn)究竟面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為2＋3＝5(cm)，在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為5cm，故選D．6．若線段AB平行于投影面，O是AB上一點(diǎn)，且AO∶OB＝m∶n，則點(diǎn)O的平行投影點(diǎn)O′分線段AB的平行投影線段A′B′的長度之比是________．解析：由平行投影的性質(zhì)知A′O′∶O′B′＝AO∶OB．答案：m∶n7．如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為________．解析：由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長為2×(3＋2)＝10．答案：108．如圖所示的是一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為________．解析：在直觀圖中四邊形A′B′C′O′是有一個(gè)角為45°且長邊為2，短邊為1的平行四邊形，所以頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為eq\f(\r(2),2)．答案：eq\f(\r(2),2)9．畫如圖放置的直角三角形的直觀圖．解：畫法：(1)畫x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°(如圖(2))．(2)在原圖中作BD⊥x軸，垂足為D(如圖(1))．(3)截取O′A′＝OA，O′C′＝eq\f(1,2)OC，O′D′＝OD，D′B′＝eq\f(1,2)BD，且B′D′∥y′軸．(4)連線成圖．(擦去協(xié)助線)(如圖(3))10．如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點(diǎn)，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積．解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8)．法二：梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)(DC＋AB)×OD＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)．所以梯形ABCD直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),8)．[B實(shí)力提升]11．已知一水平放置的三角形的平面直觀圖是邊長為1的正三角形，那么原三角形的面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(6),16)解析：選B．如圖，找到三角形ABC的高是關(guān)鍵．△A′B′C′的高A′D′＝eq\f(\r(3),2)，所以O(shè)′A′＝eq\r(2)A′D′＝eq\f(\r(6),2)，所以O(shè)A＝2O′A′＝eq\r(6)．所以S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·OA＝eq\f(\r(6),2)．12．給出下列說法：①正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其相鄰兩邊長的比為1∶2，有一內(nèi)角為45°；②水平放置的正三角形的直觀圖是一個(gè)底邊長不變，高為原三角形高