專題18函數(shù)的概念及其表示

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的概念

1、函數(shù)的定義

設(shè)4、8是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合8

中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱了:AfB為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù).

記作：y=f(^)>x&A.

其中，尤叫做自變量，尤的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值

的集合｛〃尤)|xe4｝叫做函數(shù)的值域.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)4、B集合的非空性；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；(3)4中元素的無(wú)剩余性；(4)2中元素

的可剩余性。

2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如

果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))；

②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān).

3、區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

(2)無(wú)窮區(qū)間；

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

區(qū)間表示：

[x\a<x<b}={a,b)；{x\a<x<b]-[a,b]

[x\a<x<b}=^a,b\；{x\a<x<b]-[a,b^

[x\x<b}=(-oo,Z?]；{x\a<x]=.

定義*名稱一符號(hào)數(shù)軸表示〃

閉區(qū)間~

ab

{x\a<x<b}^開區(qū)間2(應(yīng)ab

半閉半開p

[^)

區(qū)間~ab

半開半閉〃

｛世

區(qū)間~ai,

知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法:

解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值.

圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì).

列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值.

2、分段函數(shù)：

分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并

分別注明各部分的自變量的取值情況.

知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)定義域的求法

(1)確定函數(shù)定義域的原則

①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地

講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次基的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)

習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件.

②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義.

③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合。

(2)抽象函數(shù)定義域的確定

所謂抽象函數(shù)是指用了(尤)表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)

鍵是注意對(duì)應(yīng)法則。在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一

致的，都在同一取值范圍內(nèi)。

(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須

用集合或區(qū)間來(lái)表示.

知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)值域的求法

實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確

定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：

觀察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和

“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；

配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函

數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；

判別式法:將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程,利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；

此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；

換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)

的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域.

求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，

求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.

【題型歸納目錄】

題型一：函數(shù)的概念

題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域

題型三：抽象函數(shù)求定義域

題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍

題型五：同一函數(shù)的判斷

題型六：給出自變量求函數(shù)值

題型七：求函數(shù)的值域

題型八：求函數(shù)的解析式

題型九：分段函數(shù)求值、不等式問(wèn)題

題型十：區(qū)間的表示與定義

【典例例題】

題型一：函數(shù)的概念

例1.（2023?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期中）下列對(duì)應(yīng)是集合A到集合B的函數(shù)的是（）

A.A=B=R?/：%—>=1

B.A=Z>B=Q,f；xy=—

x

C.A=8=N*,-y=|x-3|

D.A=[0,-H?）,B=R,/：x-?y=±4x

【答案】A

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，滿足函數(shù)的定義，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，集合A中取x=0,在集合2中沒有對(duì)應(yīng)元素，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，集合A中取x=3,在集合2中沒有對(duì)應(yīng)元素，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中當(dāng)x>0時(shí)，在集合8中都有兩個(gè)元素與無(wú)對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故D選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

故選：A.

例2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值是常量

B.任意凸四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量

C.發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時(shí)間之間是函數(shù)關(guān)系

D.某商品的廣告費(fèi)用與銷售量之間是函數(shù)關(guān)系

【答案】D

C

【解析】對(duì)A,根據(jù)圓周長(zhǎng)公式C=7Td,其中c為圓周長(zhǎng)，d為圓直徑，故三=萬(wàn)，為常量，故A正確；

對(duì)B,根據(jù)任意凸四邊形內(nèi)角和為360,故B正確;

對(duì)C,受重力因素影響可知發(fā)射升空后火箭的高度與發(fā)射的時(shí)間之間是函數(shù)關(guān)系，故c正確;

對(duì)D,某商品的廣告費(fèi)用與銷售量之間的關(guān)系不確定，不是函數(shù)關(guān)系，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

例3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是（）

A.勻速行駛的客車在2小時(shí)內(nèi)行駛的路程

B.某地蔬菜的價(jià)格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系

C.一只60瓦的白熾燈在7小時(shí)內(nèi)的耗電量與時(shí)間f的關(guān)系

D.生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系

【答案】C

【解析】對(duì)選項(xiàng)A：勻速行駛的客車在2小時(shí)內(nèi)行駛的路程是常量，不滿足；

對(duì)選項(xiàng)B；某地蔬菜的價(jià)格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足；

對(duì)選項(xiàng)C：耗電量與時(shí)間f的關(guān)系是y=60/,04/47,是確定的函數(shù)關(guān)系；

對(duì)選項(xiàng)D：生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足.

故選：C

變式1.（2023?湖南林B州?高一校考階段練習(xí)）下列各函數(shù)圖象中，不可能是函數(shù)y=/（x）的圖象的是（）

【解析】對(duì)于ABD選項(xiàng)，對(duì)于每個(gè)x都有唯一對(duì)應(yīng)的y與之對(duì)應(yīng)，ABD選項(xiàng)中的圖象均為函數(shù)的圖象;

對(duì)于C選項(xiàng)，存在尤eR,使得這個(gè)尤有兩個(gè),與之對(duì)應(yīng)，C選項(xiàng)中的圖象不是函數(shù)的圖象.

故選：C.

變式2.（2023?河南?高一校考階段練習(xí)）下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系＞=/（元）的是（）

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)尤有唯一的,對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)D的圖象滿足.

故選：D.

變式3.（2023.廣西玉林.高一校考期末）設(shè)集合”={尤|0＜尤＜2},N={y|0"V2}.下列四個(gè)圖象中能表示

從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】C

【解析】①中：因?yàn)樵诩?中當(dāng)1＜%W2時(shí)，

在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，所以①不是；

②中：對(duì)于集合”中的任意一個(gè)數(shù)x,

在N中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以②是；

③中：x=2對(duì)應(yīng)元素y=3eN,所以③不是；

④中：當(dāng)x=l時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，

所以④不是；

因此只有②滿足題意，

故選：C.

變式4.（2023?上海?高一專題練習(xí)）下列等量關(guān)系中，，是x的函數(shù)的是（）

A.x2+y2=lB.\y\=x2C.2y=xD.y2=2x

【答案】C

【解析】對(duì)于A,當(dāng)尤=0時(shí)，y=±l,不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)x=l時(shí)，＞=±1,不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,當(dāng)x=2時(shí)，y=±2,不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域

Y—1

例4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)/（X）=—；的定義域是（）

x+1

A.{XGR|x^-1}B.{xcRlxwl}

C.{xeR|x^±l}D.{XERIXW-1或xwl}

【答案】A

【解析】〃X)==的自變量需滿足X+1W0,所以定義域?yàn)閧xeRlxH-1},

故選：A

例5.(2023?廣東佛山?高一佛山市榮山中學(xué)校考期中)函數(shù)7'(x)=[裊++的定義域?yàn)?)

A.(—°°,2)U(2,+co)B.(—co,—2))(—2,2)

C.(-℃,-2)D.(一*2)

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)形式可知，函數(shù)的定義需滿足

(2-x>0_,

《,解得：*<2且**-2,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?3,-2)」(-2,2).

故選：B

例6.(2023?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)/(x)=Jx-3-的定義域?yàn)?)

A.[3,7]B.[3,7)C.(-oo,3]D.(7,內(nèi))

【答案】B

{x—320

【解析】由題意得7_乂>0，解得3Vx<7,故定義域?yàn)閇3,7).

故選：B

變式5.(2023?江西九江?高一校考階段練習(xí))若代數(shù)式府工有意義，則實(shí)數(shù)xe()

A.[2,+oo)B.(-oo,-2]

C.(—°°,—2](J[2,+oo)D.(—8,+8)

【答案】C

【解析】因?yàn)楦⒂幸饬x，所以W-220,所以卜|22,

所以xV-2或x?2,即實(shí)數(shù)xe(-8,-2][2,+?).

故選：C.

變式6.(2023?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末)若函數(shù)〃》)=斤=7?,則的定義

域?yàn)?)

A.[2,4]B.(-co,2M4,+oo)

C.(2,4)D.(73,2)54,+°°)

【答案】B

【解析】要使函數(shù)"X)=-6x+8有意義,則尤2-6尤+820,

則（x—2）（了-4）上0,解得：尤V2或X",

所以函數(shù)〃x）=J/-6X+8的定義域?yàn)椋?,2卜[4,+司,

故選：B

變式7.（2023?福建泉州?高一福建省安溪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40,設(shè)其底邊長(zhǎng)

為ycm,腰長(zhǎng)為xcm.則函數(shù)y=/（元）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（10,20）B.（5,10）C.[5,10）D.（0,20）

【答案】A

【解析】由題知：2x+y=40,y=-2x+40,

f?JQ>40__Y

根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到；cnl0<x<20,

[40-2x>0

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?0,20）.

故選：A

變式8.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知等腰三角形A8C的周長(zhǎng)為10,且底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)龍的函數(shù)關(guān)系為y=10-

2x,則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{x|xGR}B.{x|x>0}

C.{x|0<x<5}D.

【答案】D

x>0,

【解析】由題意知T0-2x>0,解得|■<尤<5

2x>10-2x,

即定義域?yàn)椋琯cx”[.

故選：D.

題型三：抽象函數(shù)求定義域

例7.（2023?高一單元測(cè)試）已知函數(shù)y=/（x+l）的定義域是[-2,3],則y=/（x-1）的定義域是（）

A.[-2,3]B.[-1,4]C.[0,5]D.[-4,1]

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〉=/（%+1）的定義域是[-2,3],

所以xe[-2,3],所以x+1w[T,4],即〃x）的定義域?yàn)閇T,4],

所以尤一解得xe[0,5],即y=1）的定義域是[0,5].

故選:C.

i3

例8.（2023.高一單元測(cè)試）若函數(shù)y=〃2x-l）的定義域?yàn)?--,則函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-1,1]B.[-L2]C.[0,1]D.[0,2]

【答案】D

-13-1

【解析】由題意得",故2x-le[0,2],故函數(shù)y=/⑺的定義域?yàn)閇0,2].

故選：D

例9.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=〃x+l）的定義域?yàn)閇L2],則函數(shù)y=〃2x-l）的定義域?yàn)?/p>

（）

一]1「31

A.—,1B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

【答案】B

【解析】?..函數(shù)y=〃x+l）的定義域?yàn)閇1.2],即1<X<2,可得2VX+1V3,

二函數(shù)〉=/（"的定義域?yàn)閇2,3],

3

42<2X-1<3,解得

故函數(shù)y=f（2x—1）的定義域?yàn)?,2.

故選：B.

變式9.（2023?湖南衡陽(yáng)?高一衡陽(yáng)市一中校考期中）已知函數(shù)/（x+1）的定義域?yàn)閇1,7],則函數(shù)

1（力=/（2彳）+，9一丁的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[4,16]B.C.[1.3]D.[3,4]

【答案】C

【解析】函數(shù)/（x+1）的定義域?yàn)榭?7],則2WX+1V8,因此在〃2x）中，2<2^<8,

函數(shù)/?（尤）=」（2x）+49-，有意義,必有[一~；二，解得1W3,

所以函數(shù)以X）的定義域?yàn)閇1,3].

故選:C

變式10.（2023.吉林?高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)/（x）的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)

g（x）=〃x+2）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤）的定義域?yàn)閇。，4],

所以O(shè)Vx+244,解得一2VxV2,

所以函數(shù)g(x)=/(x+2)的定義域?yàn)閇-2,2].

故選：A.

變式11.(2023?重慶九龍坡?高一重慶市鐵路中學(xué)校校考期末)已知函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)

>=工區(qū)的定義域?yàn)?)

X+1

A.{x|-l<x<2}B.{A]-1<X<5}

C.卜|—IC：1D.{x|-l<x<5}

【答案】B

【解析】〃2x+l)的定義域?yàn)閇-1,2],所以％w[-1,2],.,.2%+閆-1,5],

因此/'(X)的定義域?yàn)閇-1,5],所以y=的定義域滿足—14x45,尤+17。，gp-l<x<5,

x+1

故選：B

變式12.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x-2)的定義域?yàn)?-1,3),則函數(shù)g(x)=J詈的定義域?yàn)?/p>

()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,舟)D.(3,7)

【答案】A

【解析】函數(shù)析％-2)的定義域?yàn)?-1,3),BP-l<x<3,則—3<x—2<1,

所以對(duì)于“T),有-3<-解得-l<x<3,即/(T)的定義域?yàn)?-1,3)；

由x—l>0解得x>l,

所以g(x)=；號(hào)的定義域?yàn)?L3).

故選：A

題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍

1

例10.(2023.湖南常德.高一漢壽縣第一中學(xué)校考期中)若函數(shù)y=/2的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的

yjax-ax+3

取值范圍是.

【答案】[0。2)

【解析】由題意，

1

在中，定義域?yàn)镽,

\ax-ax+3

當(dāng)〃=o時(shí)，y=忑,符合題意；

當(dāng)〃w0時(shí)，

a>0

(-tz)2-4x3-6z<0，

解得：0<a<12,

綜上，a￡［0,12).

故答案為：［。,12).

例11.(2023?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)>巨三的定義域?yàn)槿?e加，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

Vx+a

【答案】?<-3

3

【解析】若則4之0,即〃>—3,

故當(dāng)3金A/時(shí)，a<-3.

故答案為：a<-3

例12.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若函數(shù)y=一=+2的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】［-20,20］.

【解析】y=J析-"+2的定義域?yàn)榉矂tV一依+220恒成立，所以公=/一8<0,所以實(shí)數(shù)。的取值范

圍為［一2后,2&］.

ax+1

變式13.(2023?天津和平?高一校考期中)若函數(shù)丁=I2'的定義域?yàn)镠，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

7ax一4奴+3

【答案】

cuc+1

【解析】y=/2的定義域?yàn)镽是使^2一4"+3>0在實(shí)數(shù)集R上恒成立.

7ax-Aax+3

3

若時(shí),要使以2一4辦+3>0恒成立，則有〃>0且△<(),即，=(-4〃9)一4x3a<0,解得

若a=0時(shí)，ar?一4奴+3>0化為3〉0,恒成立，所以a=0滿足題意，

3

所以04〃〈一

4

3

綜上，即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［0,$.

4

故填:吟.

變式14.(2023?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)=——^的定義域?yàn)槌撸瑒t實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

mx-4mx+3

【答案】0,累

【解析】??.函數(shù)”X)的定義域?yàn)镽,

**?mx1-4mx+3>0在A上怛成立.

①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，3>。恒成立，滿足條件.

_fm>03

②當(dāng)機(jī)W0時(shí)，若函數(shù)的定義域?yàn)镽,貝IJ人M2一八，解得。<加

［A=16m-12<04

3

綜上可得實(shí)數(shù)加的取值范圍是［0,一).

答案：［0，)

題型五：同一函數(shù)的判斷

例13.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下列各函數(shù)中，與函數(shù)gCOuJT表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=|x|B.f(x)=±\x\

x2

C./(x)=-D.f(x)=x0-\x\

|尤|

【答案】A

【解析】g(x)=V?=W，故g(x)的定義域?yàn)镽,

對(duì)于A,的定義域?yàn)镽,且解析式與g(x)相同，故為同一個(gè)函數(shù)，

對(duì)于Bj(x)wg(x),故不是同一個(gè)函數(shù)，

對(duì)于C,〃x)的定義域?yàn)楹斡绕?},而g(x)對(duì)定義域?yàn)镽,定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，

對(duì)于D"(x)的定義域?yàn)槔裏o(wú)*0},而g(x)對(duì)定義域?yàn)镽,定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，

故選:A

例14.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是()

①=-2x-1與g(s)=--2s-l；

③7與g(x)=7?.

A.①②B.①C.②D.③

【答案】B

【解析】對(duì)①：/(*)與g(s)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)；

對(duì)②:由而g(—l)=-1.對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；

對(duì)③：f(x)=x,g(尤)=值=國(guó)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù).

故選:B

例15.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()

A.=g(x)=xB./(x)=—,g(x)=x

C.f^x)=>lx2-4,g(x)=\[x-2-y/x+2D./(x)=V?,g(x)=x

【答案】D

【解析】對(duì)于A,因?yàn)椤暗蕉《桥cg(x)對(duì)應(yīng)法則不一致，不是同一函數(shù)；

對(duì)于B,因?yàn)椤癤)定義域?yàn)?f,0)(0,+s),而g(x)的定義域?yàn)镽,

所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；

對(duì)于C,因?yàn)?(制定義域?yàn)?f-2]U[2,+8),而8(”的定義域?yàn)閇2,+8),

所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；

對(duì)于D,/(x)=0F=x,g(x)=x的定義域均為R,對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，值域也相同,

故能表示同一函數(shù).

故選：D.

變式15.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=gg(x)=W

B.〃x)=J(無(wú)+2>與g(x)=(Jx+2)2

C.f(x)=8馬g(x)=泉

D./(司=尤與8(彳)=正

【答案】D

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)?(力=彳定義域?yàn)镽,g(x)=|x|定義域?yàn)镽,定義域相同,

但/(x)wg(x),所以“X),g(x)不是同一函數(shù),故A錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)椤ㄓ?=J(x+2)2定義域?yàn)镽,8口)=(?71『定義域?yàn)閧刈行_2},

定義域不同，所以“X),g(x)不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)??定義域?yàn)閧乂尤20},g(x)=已定義域?yàn)閧x|x>0},

定義域不同，所以〃x),g(x)不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)椤?%定義域?yàn)镽,g(尤)="定義域?yàn)镽,

又g⑺=而=尤=〃尤)，所以〃x),g(x)是同一函數(shù)，故D正確.

故選：D

變式16.(2023?上海青浦?高一統(tǒng)考開學(xué)考試)下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是().

A./(x)=-Jl+x-y/1-x,g(無(wú))=J1-尤②B.=g(x)=(《)

2

C.y(x)=尤一1,g(x)=x+lD.f(x)=4x+17x-l,g(x)=V%-1

x—\

【答案】A

【解析】對(duì)于A,/(力與8(”定義域均為［-1』，所以g(x)=S=/=和二雙匚4=

\/(X)與g(x)為相等函數(shù),A正確；

對(duì)于B,“X)定義域?yàn)镽,8(可定義域?yàn)椋?,+8),\/(x)與g(x)不是相等函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,〃X)定義域?yàn)閧乂"1},g(x)定義域?yàn)镽,\"勾與g(x)不是相等函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,7⑺定義域?yàn)椋?,內(nèi))，g(x)定義域?yàn)閈/⑴與g(x)不是相等函數(shù),D錯(cuò)

誤.

故選：A.

變式17.(2023?湖南郴州?高一校考階段練習(xí))下列函數(shù)與y=T是同一函數(shù)的是()

A.丫=一舊B.y=x(x1)c.y=-y/^D.y=-4x-4x

x-i"

【答案】A

【解析】丁=-％的定義域?yàn)榭冢?/p>

對(duì)選項(xiàng)A：y=_^=_x,定義域?yàn)镽,且解析式相同，正確；

對(duì)選項(xiàng)B：y=r(xT)的定義域?yàn)?―再(1,"),錯(cuò)誤；

x-1

對(duì)選項(xiàng)C：y=-7?=-|x|,解析式不同，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：、=-6-?的定義域?yàn)椋邸?+8),錯(cuò)誤.

故選：A

題型六：給出自變量求函數(shù)值

例16.(2023?高一單元測(cè)試)若f(2x+l)=2尤+3,則/⑶=.

【答案】5

【解析】〃2X+1)=2X+3,

/X3)=f(2xl+l)=2xl+3=5.

故答案為：5

例17.(2023?河北邯鄲高一校考期末)已知函數(shù)〃x)滿足〃x+l)=f,則/⑵=.

【答案】1

【解析】因?yàn)椤▁+l)=f,

令x=l,可得/⑵=/(I+I)=F=L

故答案為：L

?

例18.(2023?重慶璧山?高一重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)〃1-2司=1-—，則〃2)=

X

【答案】5

【解析】由l—2x=2解得無(wú)=一],

2

所以"2)=1-j=l+4=5

一2

故答案為：5

變式18.(2023?甘肅慶陽(yáng)?高一校考期末)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x)=2x-3,g(x)=3x,則/(g(-l))=

【答案】-9

【解析】依題意，g(f=-3,所以〃g(_l))=/(_3)=2x(-3)-3=-9.

故答案為：-9

變式19.(2023?海南僧州?高一校考期末)已知〃x)=上，那么

川)+/(2)+/l|j+”3)+嗎卜/(4)+/W=

7

【答案】-/3.5

^/(l)+/(2)+/f1j+/(3)+/W+/(4)+/W=|+l+l+l=1.

7

故答案為：—.

變式20.(2023?重慶北倍?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)“X),g(x)分別由下表給出，則g"(2)]=

X123

〃x)131

g(x)321

【答案】1

【解析】由表可得g[〃2)]=g⑶=1,

故答案為：1

1-V-2

變式2L(2023?河南南陽(yáng)?高一鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)校考期末)已知121+1)=」7,則大1)=.

1+x

【答案】1

1_Y2

【解析】根據(jù)題意，令2x+l=l,解得x=0,代入/(2x+l)=LA可得〃D=l,

l+x~

故答案為：1.

變式22.(2023?上海普陀?高一曹楊二中校考期末)已知函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)無(wú)，均有

/[x+：)='+，,則/⑶=-----------

【答案】7

【解析】/1+￡|=必+，，取尤+:=3,則/+[=[+￡]-2=7,即"3)=7.

故答案為：7

變式23.(2023?廣西賀州?高一校考期末)已知函數(shù)〃尤+1)=/-1,則〃-2)=.

【答案】8

【解析】令x+l=r,貝=/(?)=(z-l)2-1=?2-2Z,

所以〃力=犬-2立

所以，/(-2)=(-2)2-2X(-2)=8

故答案為：8.

題型七：求函數(shù)的值域

例19.(2023?浙江杭州?高一校考階段練習(xí))求下列函數(shù)的值域.

=2x+4jl-x;

5x+4

⑵小)=

x—2

(3)/(x)=x2-2x-3,xe(-1,4].

【解析】(1)設(shè)[=^^”20),貝ljx=l—產(chǎn),

所以8。)=2(1_產(chǎn))+4/=_2產(chǎn)+4/+2=_2(，_1)2+4,

根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，函數(shù)g⑺的值域?yàn)?-力,4].

(2)函數(shù)的定義域?yàn)?3,2)(2,y),

5x+45(x-2)+145114

〃x)=

x—2x—2x—2

所以函數(shù)“X)的值域?yàn)?F,5)1(5,心).

⑶因?yàn)楹瘮?shù)〃力=爐-23-3的對(duì)稱軸為％=1,

所以函數(shù)“X)在(T1)單調(diào)遞減,(1,4)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)“X)的值域?yàn)閇T,5].

例20.(2023?高一課時(shí)練習(xí))試求下列函數(shù)的定義域與值域

(l)/(x)=(x—1)2+1,xe{-1,012,3}

(2)/(^)=x2-2x+2

c、\5x+4

⑶仆)=F

(4)y=x-Jx+1

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧T，0，l，2,3},則==

同理可得〃0)=2,"1)=1,f(2)=2,〃3)=5,所以函數(shù)的值域?yàn)閧L2,5}.

(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)?'(司=/一2》+2=(》-1),121,所以函數(shù)的值域?yàn)閇1,+8).

(3)函數(shù)的定義域?yàn)閧xlxwl},因?yàn)?="＞了=5+3,

所以函數(shù)的值域?yàn)?3,5)U(5,+S).

(4)要使函數(shù)有意義，需滿足x+120,即xN-1,故函數(shù)的定義域是{x|xNT}.

設(shè)t=貝Ux=/_1(90),于是y—

又t，0,所以yZ-g,所以函數(shù)的值域?yàn)?

4L4)

例21.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))求下列函數(shù)的值域：

(l)/(x)=x2+2X+1(XG{-2,-1,0,1,21)；

2x+l

⑵/(力=

x-3

(3)/(x)=y/-2x2+x+3；

(4)/(x)=x-Vl-2x.

【解析】⑴因?yàn)?(-2)=1,/(-1)=0,/(0)=1,41)=4,/(2)=9,所以函數(shù)“X)的值域?yàn)?/p>

(0,1,4,9}.

⑵因?yàn)樯?=2(A=31+7=2+工,且工W0,所以〃X)H2,所以函數(shù)〃x)的值域?yàn)?/p>

X—Jx~3x~3x~3

(-00,2)U(2,+00).

⑶因?yàn)椤?'一2;5+3=卜［一小胃,所以。W/(x)w乎，所以函數(shù)/'(X)的值域?yàn)椋?

(4)設(shè)￡=J1_2%(換元),則￡20且％=+；,令y=一；/—.+；=_；?+1)2+1.

因?yàn)榇?,所以yW；,即函數(shù)“X)的值域?yàn)?-鞏；,

變式24.(2023.高一課時(shí)練習(xí))求y=|2x-l|+|x-［的最小值.

3x-4,x>3

【解析】因?yàn)槎?|2%-1|+卜-3］=<x+c2,一1<x<3c.

2

—3Cx+4/,xW—1

2

當(dāng)％23時(shí)，y=3x-4>5,

當(dāng)gvx<3時(shí)，y=x+2ef-1,5

當(dāng)時(shí)，y=-3x+4>^,

故函數(shù)的最小值為!■.

2

變式25.(2023.上海徐匯.高一上海中學(xué)校考期末)(1)求函數(shù)的值域;

X

(2)求函數(shù)y=x+2廳^的值域.

【解析】⑴丫=1+苫+1=無(wú)+1+1,xw0,

XX

當(dāng)x>0時(shí)，y=x+—+l>2.x+—+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)等號(hào)成立;

xVx

當(dāng)了<0時(shí)，y=+l<-2j+1=-1,當(dāng)且僅當(dāng)x二—l時(shí)等號(hào)成立.

故函數(shù)值域?yàn)椋?,y)；

(2)函數(shù)定義域?yàn)橛菿2,令才=7^工,％?0,則y=2-/+2y-?-l『+3?3,故函數(shù)值域?yàn)?一叫3］.

變式26.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(%)=":皿"的值域?yàn)閇1,3],求〃/的值

x+1

【解析】由題意y="X)=2*：辦+°定義域?yàn)镽,則仃一2)尤2-依+y-6=0在R上有解，當(dāng)y=2符合題

X+1

2

意，當(dāng),中2,公="一4仃一2)。一切20,即(y_2)(y")-?40的解集為[1,3],故1和3為關(guān)于y的

一2

3=

二次方程(y-2)(y-6)-幺/=0的兩個(gè)根所以-。一亍,

4"一上？

解得。=±2,b=2

變式27.(2023?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)/(%)="2的最大值為。，最小值為人，則。+匕=()

x+1

A.4B.6

C.7D.8

【答案】B

【解析】設(shè)y=':'+3,沖2+,=3/+X+3,(j-3)x2-x+y-3=0,

x+1

%=0時(shí)，y=3,

5757

yw3時(shí)，因?yàn)樵猠H,所以A=l—4(y—3)220,解得豆工丁工石，即且yw3,

綜上5最7大值是7:，最小值是；5，和為6.

故選：B.

變式28.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知名6￡〃，且儲(chǔ)+〃+而=1,則b的取值范圍是.

a~2432疔

【答案】一亍，〒

【解析】因?yàn)?+廿+"=1,所以/+ab+〃2—1=0

又因?yàn)閍,bRR,

所以AMU-d,2-1)20,解得一手46工乎.

2^/32^/3

故答案為:

題型八：求函數(shù)的解析式

例22.(2023?江西南昌?高一進(jìn)賢縣第二中學(xué)校考階段練習(xí))根據(jù)下列條件，求/(元)的解析式.

(1)已知f(yfx+2)=2.x+S\[x+5

(2)已知/(x)+2/(-X)=3x2-2x

(3)已知〃x)是二次函數(shù)，且滿足〃0)=lJ(x+l)-/(x)=2x

【解析】⑴令七人+2(d2),則?=/-2,尤=(-2)2,

所以由，(y+2)=2x+8百+5,

得/⑺=2?-2)2+8"-2)+5=2戶一3,

所以/(耳=2/一3。22)；

⑵由/(x)+2/(-%)=3%2-2%,

得/(―x)+2/(x)=3(-x)2-2(—x)=3/+2x,

所以〃-力=3/+2了-2仆)，

所以/(%)+2^3x2+2x-2〃x)]=3/-lx,

解得〃x)=f+2x；

⑶由題意設(shè)=加+次+c(。工。)，

因?yàn)?0)=1,所以c=l,

因?yàn)?(x+l)-〃x)=2x,

所以a(尤+1>+b{x+Y)+c-(a)c+bx+cj=2x,

所以2ar+a+A=2x,

2a=2

所以。+6=。'得fr

所以『(尤)=X?T+1.

例23.(2023?云南昆明.高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))⑴已知/(五+l)=x+2?,求“力的

解析式；

(2)已知〃x)是一次函數(shù)，且滿足3〃x+l)—2/(x—l)=2x+17,求〃x)的解析式.

【解析】⑴令t=4+l,則框1,尤=(1-1)2,

因?yàn)?(石+1)=x+2y[x,

所以/。)=(/_1)2+2?_1)=產(chǎn)_1,

所以/"(X)=Y-1(x21);

(2)由題可設(shè)〃功=區(qū)+6伏二0),則

/(x+l)=^(x+l)+Z?,—1)=左

所以3/(x+l)_2/(x_l)=3左(x+l)+3b_2A(x-l)_26

=kx+5k+b=2x+Vl,

所以k=2,b=7,

所以『(無(wú))=2尤+7.

例24.(2023?湖南株洲?高一校考期中)回答下面兩題

(1)已知f(x+l)=f—3x+2,求〃x)；

(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若/(〃x))=4x+8,求〃x).

【解析】(1)方法一(配湊法)：???〃%+1)=/一3x+2

=(x+l)~-5x+l=(x+l)2-5(x+l)+6,

/(x)=x2-5x+6.

方法二(換元法)：令公尤+1,則尤=/-1,

.?./⑺=(-1)2_3?T+2=/-5?+6,

即/(x)=x2-5x+6.

(2)設(shè)/(x)=◎+/?(〃wO),

貝ij/(/(x))=/(ov+Z?)+6z(or+Z?)+Z?=4Z2X+?Z?+Z?.

又/(/(%))=4%+8,.，.〃2%+〃》+》=4%+8,

a=2

a2=4

解得l8,或

ab+b=8b=一

13

Q

/(x)=2x+-/(x)=-2x-8.

變式29.(2023?湖南郴州?高一校考階段練習(xí))求下列函數(shù)的解析式

(1)若/[%+：[=元2+5,求/(x)的表達(dá)式.

(2)已知3/(x)+2/(-x)=x+3,求的表達(dá)式.

【解析】(1)令，=%+!，當(dāng)%>0時(shí)，貝！k=x+=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào),

xxVx

當(dāng)x<0時(shí)，t=x+—=-|^(-x)+—j<-2^(-%)--=-2,當(dāng)且僅當(dāng)％=—1時(shí)取等號(hào)，

所以，芯-2或年2,

且無(wú)2+4=（尤+!］一2=〃一2,所以，f（t）=t2-2,其中/W-2或722,

XIX）

因此，/（X）=x2-2（x<-2^x>2）.

13/3+2〃—x）=x+33

⑵由已知條件可得（丁T+3,解得〃x）

變式30.（2023?湖北十堰?高一郵陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）（x、-2）的圖象如圖示，在直線

x=l的左側(cè)是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（-2,0）,30,3）的線段（包括兩個(gè)端點(diǎn)），在直線x=l的右側(cè)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2,3）且解析

⑴求函數(shù)丁=/（"（記—2）的解析式；

⑵求/（/⑺）的值；

⑶求方程/（力=1的解.

【解析】（1）當(dāng)一2<x<l時(shí)，設(shè)/?（力=區(qū)+6,優(yōu)中0）,

??"（X）的圖象過(guò)4（-2,0）,磯1,3）兩點(diǎn),

—2左+/>=0.目.％+6=3,解得左=1,萬(wàn)=2,y（x）=x+2,（—2<x<1）；

當(dāng)X>1時(shí)，f(x)=——>

x-1

?."⑺的圖象過(guò)點(diǎn)C(2,3),.?.二一3,解得。=3,"(x)=3，(x>l),

2—1x-l

白,(m)

綜上，/?=

x+2,(-2<x<1)

⑵〃〃7))=嗎)j

(3)當(dāng)—2WxWl時(shí)，/(x)=x+2,由/(x)=l,得尤+2=1,解得％=1；

當(dāng)x>l時(shí)，〃x)=3，由/(x)=l,得號(hào)=1,解得x=4,

X~1X~1

綜上，方程〃x）=l的解為：-1,4.

1-x

變式31.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若函數(shù)/=尤，則/（%）=

1+x

1—x

【答案】二""

1-X2

【解析】令'

22l-t

5=77rL故阿=77r1=幣，

???仆)=宗,("-1).

1—Y

故答案為：一"一D.

變式32.