與角平分線相關的輔助線模型復習講義

本節重點講解與角平分線相關的輔助線模型，由于角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸，所以

用“角平分線垂兩邊”“角平分線截兩邊”構造全等三角形本質上就是軸對稱的實際應用，而用“角平分線+平行線”構造

等腰三角形則體現了平行線的性質.

模型一角平分線+平行線一等腰三角形輔助線模型

場景：如圖，P是NMON的平分線上一點.

作輔助線方法:過點P作PQ〃ON,交OM于點Q

結論：APOQ是等腰三角形.

拓展:如圖,0C是NAOB的平分線,D是邊0A上一點.

作輔助線方法：過點D作DE//OC,交B0的延長線于點E

結論：△DOE是等腰三角形.

應用：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結論提供更多的條

件.角平分線與等腰三角形之間的密切關系，在平行四邊形中折疊類的題目中經常有所體現.

模型二角平分線垂兩邊

場景：如圖，P是NMON的平分線上一點，PALOM于點A.

作輔助線方法:過點P作PBLON于點B.

結論：PB=PA.

BN

應用：利用角平分線的性質，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構造模型，為邊相等、角相等、三角形

全等創造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口.

精選例題

例如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E是CD的中點,AF平分NBAE交BC于點F.^AADE繞點A順時針

旋轉90。得4ABG,則CF的長為.

解析

根據AF平分/BAE、△ABG由△ADE旋轉90。得至!J,可知/GAB=NEAD,/BAF=NEAF,進而NGAF=NDA

F,即AF是/GAD的角平分線.通過“角平分線垂兩邊”模型，可以求出△AGF的邊AG上的高通過面積法求出GF,

最后通過線段關系即可求出CF.

解如圖，作FMXAD于點M,FN，AG于點N,易得四邊形CFMD為矩形，則FM=4.

:正方形ABCD的邊長為4,點E是CD的中點

；.DE=2.

AE=V42+22=2V5.

???AADE繞點A順時針旋轉90。得仆ABG,"B

；.AG=AE=2V5,BG=DE=2,Z3=Z4,ZGAE=90°,ZABG=ZD=90°.

而/ABC=90。，

.?.點G在CB的延長線上.

VAF平分/BAE交BC于點F,N1=N2.

/.Z2+Z4=Zl+Z3,gPFA平分NGAD.

.\FN=FM=4.

-AB-GF=-FN-AG,GF==275.

224

.\CF=CG-GF=4+2-2代=6-2強

故答案為6-2V5.

精選練習

1.如圖，已知在四邊形ABCD43,ZBCD=9O°,BDTOZABC,AB=6,BC=9,CD=4,!0l|E]iJfMBCD的面積是（）.

2.如圖.在正方形ABCD中,連接AC,以點A為圓心、適當長為半徑畫弧.交AB,AC于點M,N,分別以M,N

為圓心、大于MN長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點H,連接AH并延長交BC于點E,再分別以A,E為圓心、

以大于AE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點P,Q,作直線PQ,分別交CD,AC,AB于點F,G,L,交CB的延長線

于點K,連接GE,下歹U結論:①/LKB=22.5。，

②GE〃AB,③tan/CGF=KE，④SACGE:SACAB=1:4.其中正確的是（）.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

模型三角平分線截兩邊構造對稱全等三角形

場景：如圖，點P是/MON的平分線上一點，點A是射線ON上任意一點.

作輔助線方法:在0M上截取OB=OA,連接PB.

結論:△OPB^AOPA.

應用：利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等.利用對稱

性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧，經常和截長補短法相結合使用.

精選例題

例如圖,/B=/C=90。,點M是BC的中點,DM平分/ADC,且/ADC=110。,則/MAB=(

A.300B.35°

C.45°D.60°

解析

由DM平分/ADC,可截取ND=CD,通過證明全等彳導到乙MAB=^DAB.

解法一如答圖1,在DA上截取ND=CD.

/CDM=/NDM,DM=DM,

/.ANDM^ACDM.

/.NM=CM,ZDNM=ZDCM=ZANM=90°.

是BC的中點，

答圖1

/.BM=CM=NM,

又：AM=AM,

RtANAM絲R3BAM.

i

Z-MAB=4MAN=-/-DAB.

2

???AB〃CD.

???ZDAB=180°-ZADC=70°,

乙MAB=-^DAB=35°,

故選B.

解法二DM平分NADC,CM±CD,滿足角平分線垂兩邊模型，可作MNLAD于點N,根據平行

線的性質求出乙DAB,,根據角平分線的判定定理得到/-MAB=//MB,計算即可，其圖八〃

形與解法一完全相同，只是證明過程不同罷了./\

解法三題目中M是BC的中點,DM平分乙4DC,4B||CD,如答圖2,可分別延長AB,/X\\

DM交于點E,得到△4DE是等腰三角形，應用“AAS”證明.△CDM=ABEM,從而證明MA8…%

答圖2

也是DE的中點,再應用等腰三角形“三線合一”性質，得NM48計算即可.

解法四題目中M是BC的中點,可以考慮應用倍長中線法，延長DM至點E,使。M=ME,,連接BE,圖形

和解法三是一樣的，只是證明過程不同，此處略.

精選練習

如圖,在△2BC中,AD平分./-BAC,乙B=2".求證：AB+BD=AC.

精選練習

模型一、二

1.解析:如圖，過點D作DELBA于點D.

又?/BD平分ZABC,ZBCD=90°,

；.DC=DE=4.

VAB=6,BC=9,

1111

",四邊形ABCD~S2+^ABD=-AB-DE+-BC.DC=-x6x4+-x9x4=12+18=30.

2222

故選B.

2.解:①四邊形ABCD是正方形,

1

???/LBAC=-^BAD=45°.

2

由作圖可知,AE平分NBAC,

ZBAE=ZCAE=22.5°.

???PQ是AE的中垂線,???AE，PQ.

JZAOL=90°.

,/ZAOL=ZLBK=90°,ZALO=ZKLB,

/.NLKB=NBAE=22.5。.故①正確；

@VOG是AE的中垂線,；.AG=EG.

乙AEG=Z.EAG=22.5°="IE,；.EG||AB.故②正確；

@VZLAO=ZGAO,ZAOL=ZAOG=90°,

ZALO=ZAGO.

ZCGF=ZAGO,ZBLK=ZALO,

ZCGF=ZBLK.

在RtABKL中，tanzCGF=tan/BLK=些.故③正確；

④如圖，連接EL.

AL=AG=EG,EG//AB,

四邊形ALEG是菱形.

??.AL=EL=EG>B