專題08反比例函數的五類模型

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、定值矩形與三角形........................................................2

類型二、平行線之間的定值三角形.................................................6

類型三、重疊型定值矩形、定值三角形.............................................9

類型四、喇叭三角形.............................................................14

類型五、中點模型...............................................................19

壓軸能力測評...................................................................26

X解題知識必備2

1.定值矩形與三角形

條件：P.Q為反比例函數y=：圖像兩點，PN_LY軸，QM_LX軸

結論：SANOP=SAOQM=||k|

2.平行線之間的定值三角形

條件.H是）圖象上一點，8是尸

合圖象上一點，軸.

X

結論：SA,AB（）=S/\ABP=^（1七|一隹|）.

3.重疊型定值矩形、定值三角形

條件：

4是y=5圖象上一點，。是y=

?XJ

孑圖象上一點，AB-Lx^i,AM±y^.

結論：niABCL>=IfciI—Ifc21.

4.喇叭三角形

條件：

,4,4分別為y=色圖象卜一不同兩

/X

點，且ZC_LjdHl,5￡>±x$|t|.

結論：①％0.=5408產：1團；

②SAAOE=S四邊形EBZ>C；

③Sz\ox5=S梯形"（4C+4Q）?CD.

5.中點模型

條件：46分別為圖象上不同兩

點，延長力8交x軸于點尸，8為力尸的中點，力C_Lx軸,

4￡)J_x軸.

??壓軸題型講練??

類型一、定值矩形與三角形

k

例.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=—的圖像經過43上的兩點A,P,其中尸為力B的中點，△。鉆

x

的面積為8,則k的值為

【答案】T

【分析】由題意直接根據反比例函數k值的幾何意義解答即可，即求出三角形OPD面積即可.

【詳解】解：如圖，連接。尸，作AELx軸，垂足為E,PDLx軸，垂足為D,

國BD=DE,PD=^AE,

團反比例函數的圖象經過點4P,

=

回SAOESpOD_2^1

^-OEAE=-ODPD

22

^OD=2OE

回BD=DE=OE,

國SPOD=個POB=§SAOB=§X8=§

團反比例函數的圖象在第二象限，

回人,二----1---6--

3

故答案為：-g.

【點睛】本題考查了反比例函數k值的幾何意義，熟練掌握反比例函數k值的幾何意義是解題的關鍵.

【變式訓練1工如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BALx軸于點A,反比例函數y=￡(x>0)的

X

圖象與線段AB相交于點C,且C是線段A3的中點，若AOLS的面積為3,則上的值為.

13

【分析】連接oc如圖，利用三角形面積公式得到SAG=5SOAB=］，再根據反比例函數系數上的幾何意

義得到］1網=：Q，然后利用反比例函數的性質確定攵的值.

團軸于點A,。是線段A3的中點,

13

回SAOC=5S0A5=5,

而SAOC_2^1,

1

回―網=1,

2

而左＞0，

回左=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了反比例函數系數％的幾何意義，在反比例函數＞=8圖象中任取一點，過這一個點向x

X

軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值陶.

k

【變式訓練2】.如圖，點尸在反比例函數y=—x＜0）的圖像上，過點尸作尸河，x軸于點M,PNLy軸于

x

點N,若矩形尸MON的面積為3,則該反比例函數的解析式（解析式也稱表達式）為

3

【答案】y=--

X

【分析】因為P點在反比例函數y=￡(x<0)的圖像上，故點P的橫、縱坐標之積是公而點P的橫、縱坐

標的絕對值又對應矩形PMON的長OM、寬ON,由已知條件"矩形PMON的面積為3",即0M-0N=3,從

而建立人的方程，求出k的值即可得到該反比例函數的解析式.

【詳解】解：設P的坐標是(％”),

k

回尸在y=—(%<0)上，^\m-n=k,

又矩形PMON的面積為3,回。M.QN=3,即|詞?網=3,

由于點尸在第二象限，故根<0,n>0,

0—m-n=3,艮—左=3,

回左二—3,

3

回該反比例函數的解析式是y=--.

X

3

故答案為：y=--.

X

【點睛】本題考查了反比例函數解析式中比例系數k的幾何意義.要求反比例函數解析式，關鍵是確定比

例系數上一般而言，只須把函數圖像上的一個已知點的坐標代入所設函數解析式>=；(左片0)中，即可求

出生但有時候只需知道該點橫、縱坐標之積即可.因為由函數解析式y=；(左片0)變形可知：xy=k.本

題借助"矩形PMON的面積為3〃這一條件間接給出了點尸的橫、縱坐標之積，這是解題的關鍵.通過本題

我們可以總結得出反比例函數比例系數的幾何意義：一般地，對于反比例函數>=：(左NO)上的任意一點,

它與坐標軸圍成的矩形面積就等于可.

3

【變式訓練3].如圖，A,8兩點在雙曲線,=巳上，分別經過A,8兩點向軸作垂線段，已知陰影小矩

x

形的面積為1,則空白兩小矩形面積的和Si+S2=.

【分析】欲求S1+S2,只要求出過A、B兩點向X軸、y軸作垂線段求出與坐標軸所形成的矩形的面積即可,

3

而矩形面積為雙曲線y二一的系數k,由此即可求出Si+S2.

x

3

【詳解】解：回點A、B是雙曲線上的點，分別經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，

x

則根據反比例函數的圖象的性質得兩個矩形的面積都等于|k|=3,

0SI+S2=3+3-1X2=4.

故答案為4.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質及任一點坐標的意義，有一定的難度.

類型二、平行線之間的定值三角形

k

例.如圖，直線>=優尤與雙曲線y=—交于點A,B,過點A,8分別作AMBx軸，軸，垂足分別為

x

N,連接BM,AN.若S四邊彩AMBN=\,則左的值是.

【分析】先證明四邊形是平行四邊形，AWBN的面積實際上就是，面積的2倍，則

結合圖象可知A=1.

【詳解】解：BOA=OB,ON=OM,

團四邊形AA/3N是平行四邊形，

團S四邊形AMBN=1,

回—,

2

設點A的坐標為（1,y）,

團3的坐標為（-x,-伊），

11

0—x2xxy=—,

1

的=5，

Sk—xy—；.

故答案是：—?

2

【點睛】本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題，平行四邊形的判定和性質，掌握反比例函數的

比例系數等于在它上面的點的橫縱坐標的積，是解題的關鍵.

k

【變式訓練1】?點A，8分別是雙曲線，=乙（左>0）上的點，ACLy軸正半軸于點C,軸于點。，

聯結A。，BC,若四邊形ACB。是面積為12的平行四邊形，貝iU=.

【答案】6

【分析】首先根據平行四邊形的性質得出OA=O8,OC=。。，從而有S四邊形ABCD=4SM"=12,然后根據k

的幾何意義求解即可.

【詳解】如圖，

團點A,8分別是雙曲線y='（4>0）上的點，軸正半軸于點C,軸于點D

??.AC//BD.

團四邊形AC8O是面積為12的平行四邊形，

AC=BD,

回A,B關于原點對稱，

OA=OB,OC=OD,

??§四邊形A5CD=4s=12,

??SAAOC=3,

k=2x3=6,

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質以及k的幾何意義，掌握平行四邊形的性質以及k的幾何意義是解

題的關鍵.

【變式訓練21.如圖，過y軸正半軸上的任意一點P,作X軸的平行線，分別與反比例函數y=-9和y=§

XX

的圖象交于點A和點2.若C是％軸上的任意一點，連接AC,BC,則VA3C的面積為.

【答案】7

【分析】根據兩平行直線之間共底三角形的面積相等可知，當C點位于。點時，0Age的面積與EA20的面

積相等，再根據反比例函數網的幾何意義，即可求解.

連接。4、OB,

軸，VA5c和sABO同底邊AB，

??0ABC一UABO，

'.s=8PBO+SAPO=-OPAP+-OPBP,

反比例函數丁=-9和丁二0的圖象交于點A和點3,

xx

.?.6>PAP=|-6|=6,OPBP=|8|=8,

ABO=—x6+—x8=7=S45c,

故答案為：7.

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數上一點向坐標軸作垂線，與原點構成

的矩形的面積為限這個結論是解題的關鍵.

n?n

【變式訓練3】.如圖，點A和點3分別是反比例的數y=—（x>0）和y=—（九>0）,A3取軸，點C為y

xx

軸上一點S.=2,則m-〃的值為

【分析】連接AO,BO,將她8C面積轉化為財3。的面積，再通過?+回=2求解.

22

MB//y軸,

SSAABC=S^ABO=2,

ImlIni

回口+U=2.

22

桃〉0,〃V0,

即根-〃=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查的是反比例函數的系數左的幾何意義，掌握圖形面積與人的關系是解題的關鍵.

類型三、重疊型定值矩形、定值三角形

——k

例.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，菱形AO8C的頂點A（后,0）在反比例函數y=—的圖

象上，點B在無軸正半軸上，將該菱形向上平移，使點2的對應點。落在反比例函數y=±的圖象上，則圖

X

中兩菱形重疊部分（陰影部分）的面積為.

【答案】V2-1/-1+72

2

【分析】本題主要考查反比例函數與幾何綜合，由點A坐標求出AB=2,y=*,求得

X

EO=EQ=QD=l.PH=EO=l,AP=y/2-l,從而可求出陰影部分的面積

【詳解】解：如圖，過點A作于點H,

回A（0,血），

@AH=OH=6,

回48=yjAH2+BH2=2,

回A（0,0）在yJ上，

X

團左=拒乂后=2,

2

回y=一；

X

回四邊形ABC。是菱形，

回OB=AO=2,

由平移得，ED=2,

一2

回。點橫坐標為2,縱坐標為＞=]=1,

回EO=EQ=PH=1,

0￡>Q=2-1=1,AP=AH-PH=V2-1,

回陰影部分的面積為：DQXAP=42-1,

故答案為：72-1

【變式訓練1工已知點A（L2）、分別在反比例函數y='和）=色的圖像上，四邊形A3CO為平行

四邊形.將ABCO沿y軸向上平移，使點C落在反比例函數>='的圖像上的。點，則兩個平行四邊形重

X

疊部分的面積為.

【答案】I

【分析】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，平行四邊形的性質，直線與雙曲線的交點的

求法.先將點A（1,2）,2佶,21代入>='和y求出反比例函數解析式,利用平行四邊形性質求出足,0）,

設C點往上平移后為。4，。，。4，力代入〉='，求出。（：；），根據平移的性質求出點E坐標，由此可

22x23

求出兩個平行四邊形重疊部分的平行四邊形的面積.

【詳解】解：把點4。,2）代入>=：,得帆=2,

y='即為y=2,

XX

把B1|，2）代入y=W，得〃=5,

y即為y=—,

XX

.「點A（l,2）、

??.AB=--1=-,

22

3

OC=AB=-,

設。點往上平移后為。（方3。,

32

￡>（7/）在y=_上，

2x

24

t=-=-

「?33，

2

回D(T，g)，

4

平行四邊形ABCO沿y軸向上平移］個單位,

設直線辦的解析式為、=丘，代入A(1,2),

得k=2,即直線的解析式為y=2x,

如圖，

42

A到DE距離為d=2--=—,

33

??重疊的陰影部分的面積為DEW=(|-

故答案為：.

【變式訓練2】.在平面直角坐標系中，有反比例函數>=［與丁=-，的圖象和正方形ABCD,原點。與對

角線AC,8。的交點重疊，且如圖所示的陰影部分面積為8,則AB=

【答案】4

【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象，正方形的性質，將不規則圖形的面積轉化為正方形的面積的

一半，再求出解即可.

【詳解】由圖象可知反比例函數丫」與＞=-‘的圖象和正方形AB。具有中心對稱性，

xx

可知圖中y軸左側正方形內部非陰影等于右側正方形內陰影部分的面積，

所以正方形ABC。的面積=A3?=2x陰影部分面積=2x8,

解得A3=4.

故答案為：4.

【變式訓練31.如圖，點A,8在反比例函數y=~（無＜0）的圖象上，過A,B兩點分別作x軸的垂線，垂

x

足分別為C,D,連接。4,02,若H+邑=2（工通分別為.和ACO中空白部分的面積），S陰影=\,

則上的值為.

【分析】本題考查的是反比例函數系數上的幾何意義，熟練掌握反比例函數系數％的幾何意義是解題的關鍵;

利用SCSB一1，根據題意百+$2=SAC。+5如。-2s陰影，即可求解

【詳解】解：由題意，知△ACO和△8DO都是直角三角形，

+S2=SAC0+SBD0-2s陰影,

二.岡=4,

由圖，可知化＜0,

/.k=—4

故答案為：—4

類型四、喇叭三角形

例.如圖，點A、8是反比例函數>=人代*0）圖象上的兩點，延長線段交V軸于點C,且點8為線段AC

的中點，過點A作AD1.X軸于點。，點E為線段OD的三等分點，SLOE<DE.連接AE、BE,若以詼=7,

【分析】本題考查了反比例函數與幾何綜合，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考填空題中的

壓軸題.設A［九BL,^\,其中m<0,n<0,則由2是中點可求得C點坐標，由點C在y軸上，得m

與〃的關系，從而得。、E的坐標；連接（MOC,則得%4EC=14,根據廉權=S梯砌ooc-S△但-SAEOC=14,

則可求得左的值.

【詳解】解：設A］",'}B1”，：），其中m<0,n<0,

由于點3是AC的中點，

皿/2kky

貝!JC2n—m,------；

InmJ

因點。在y軸上，則2〃-川=0,

回機=2〃；

即ckdA（2〃，m；

團軸于點O,點E為線段OD的三等分點，B.OE<DE

回。點的坐標為（2&0）,E點坐標為［g,。），

k3左12〃4〃

團AD=——，OC=——,OD=-2n,OE=-OD=——，DE=OD-OE=——；

2n2n333

如圖，連接。4,CE,

團點區為線段AC的中點，

團S△麗=2s=14；

團^AAEC~^^,^ADOC~S/\ADE-^AEOC=14,

0^(A￡)+OC)?OD；DE?AD；OE?OC14,

整理得：-2L+；左+gk=14,

【變式訓練1】.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-;X與直線y=-；x+4分別與函數y=q（x<0）的圖

33x

象交點A、8兩點，連接A3、OB,若VAOB的面積為12,則左的值為.

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用兩直線k值相等兩直線平行得到

S.AOB=SA℃=12,代入數據求出點A的橫坐標，繼而求出A點的縱坐標，最后得到上值即可.

.?.C（0,4）,

.兩條直線的左值相等,

:.AO//BC,

SAOB=SAoc=12,

?gx4x|“=12

??=-6,

29

將尤A=-6代入正比例函數y=-§x得，=--x（-6）=4

/.A（-6,4）,

A（-6,4）在反比例函數圖象上，

「"=—24.

故答案為：-24.

【變式訓練2】.如圖，矩形。4BC的頂點A,C分別在y軸、x軸的正半軸上，點。在上，且=

k

反比例函數）=—（左＞0）的圖象經過點D及矩形ORC的對稱中心跖連接若△OQ暇的面

X

【分析】由題意知延長則經過點2,設B（a,b）,則確定點然后結合圖形及反比

例函數的左的幾何意義，得出右。.=5△皿-S△碎=6,再代入求解即可.

本題考查了矩形的性質，反比例函數人的幾何意義，割補法處理三角形面積，數形結合的思想以及方程思想

是解決本題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

回四邊形A5CD是矩形,

SAB=OC,OA=BC,

設點

回矩形。山C的對稱中心為M,

團延長則經過點2,Mpl-

^\AD=-AB,

4

團

3

團BD=—a,

4

過點M作于點N,

11313

回=-BD-MN=—x—ax—b=—ab,

Z2421O

團反比例函數y=4左＞°）的圖象經過點0，

X

717

回化=—ab,

4

——

團S/\ODM=S^OAB—-/\DBM———~~

22lo

171737/

^\—ab——ab-----ab=b,

2816

解得：ab=32,

^\k=—ab=—x32=8.

44

故答案為：8.

【變式訓練3】.如圖，點4（。⑼，8，。,34為反比例函數、=勺470）的圖象第一象限上的兩點，連結4。,

30并延長，分別交反比例函數的圖象于點C,D,連結A3,BC,CD,DA.若四邊形ABC。的面積為

16,則左的值為.

【答案】3

【分析】如圖，過2作軸于G,過A作AHLx軸于證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得

S.AOB=；X16=4,證明S四邊形AHGB=S.A.B=4,再建立方程求解即可;

【詳解】解：如圖，過8作軸于G,過A作AHLx軸于“，

回點A（a,b）,3b）為反比例函數y=f（左wO）的圖象第一象限上的兩點，連結49,8。并延長，分別

交反比例函數的圖象于點C,D,

0OA=OC,OB=OD,

回四邊形ABCQ是平行四邊形,

12四邊形A5C￡＞的面積為16,

回s3二/16=4，

團SBOG=SAOH=3k，

團S四邊形AHGB=SAOB=4,

團A（a,b）,

回;0+3/?）x

=4,

解得：ab=3,

回左=ab=3；

故答案為：3

【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質，反比例函數的圖象與性質，人的幾何意義，熟練的利用上

的幾何意義解題是關鍵.

類型五、中點模型

例.如圖，正方形O4BC的邊長為4,點。是。4邊的中點，連接C。，將08沿C。折疊得到,ECD,CE

與0B交于點F.若反比例函數y=%的圖像經過點人則根的值為

X

【答案】^Q蔣

【分析】先根據正方形的性質和折疊性質得到DE=8=2,CE=OC=4,設E（a,b）,再利用兩點坐標距

離公式解方程求得E1|，￡J，進而利用待定系數法求得直線CE的表達式為y=+4和直線0B的表達

式為y=x,聯立方程組求得尸［1，一）然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征求得加值即可.

【詳解】解：國正方形O4BC的邊長為4,點。是Q4邊的中點，

000=2,OC=OA=4,則。（0,2）,C（4,0）,B（4,4）,

0OCT）沿CD折疊得到ECD,

0DE=OD=2,CE=OC=4，

設E（a,b）,則￡＞必=〃+（6-2）2=22,CE2=（a-4）2+Z?2=42,

解得。=g,6弋，則心燈，

DD1JJ，

設直線CE的表達式為y=px+q,

4

4p+q=0p=一一

3

則816，解得'

16

［丁+"二q=一

3

416

團直線CE的表達式為y=-jx+y,

團3（4,4）,

團直線OB的表達式為y=尤，

16

y=xx=一

7

聯立方程組416,角翠得＜

y=——x-\---16

33

團反比彳列函數〉二竺的圖象經過點尸,

X

1616256

團"：=—x——=

77語

故答案為：——.

49

【點睛】本題考查反比例函數與幾何圖形的綜合，涉及反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題、待定

系數法求函數解析式、坐標與圖形、折疊性質、兩點坐標距離公式、解方程等知識，利用數形結合思想建

立各知識的聯系是解答的關鍵.

【變式訓練1】.如圖，⑸，44與，△44不，……是分別以4，4，4，……為直角頂點，一條

4

直角邊在無軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點c-G,G，......，均在反比例函數y=-（尤＞0）

X

【答案】4087506

【分析】此題主要考查了反比例函數圖象上的點，等腰直角三角形的判定和性質.分別過點C-C2,

…作x軸的垂線，垂足分別為R,D2,D},設。2=。，則G，=a,點G（a,a）,則點A的橫坐標為

4

2a,再根據點G在反比例函數y=—（龍＞0）的圖象上可求出a=2,進而得點A的橫坐標為4,設A3=匕，

X

同理G2=。，則點G（4+。向，點4的橫坐標為4+2b,然后可求出》=20-2,進而得點4的橫坐標為40,

設兒2=c，則CSAK,點G（4A歷+C,C），點4的橫坐標為4&+2C,然后求出C=2A/5-2逝，進而得點4

的橫坐標為4不，同理：點4的橫坐標為44=8,點A的橫坐標為4石，…，以此類推即可點&儂的橫坐

標.

【詳解】解：分別過點G，Q,C3,…作x軸的垂線，垂足分別為2,2，2，…，如下圖所示:

是以。為直角頂點的等腰直角三角形，

ODX=C[D[,

丁點a為。旦的中點,

是片的中位線，

O\=20D1,

設OR=a,則CR=a,

???點G的坐標為（。，。），則點A的橫坐標為2Q,

4

,點G在反比例函數>=—（%>0）的圖象上，

x

a2=4,

:.a=2（舍去負值），

，點4的橫坐標為4,

設A3=6，同理

則點G（4+4份，點4的橫坐標為4+2萬，

4

點G在反比例函數y=—（尤>0）的圖象上，

X

b（b+4）=4,

即S+2>=8,

b—2^/2-2,

.--4+2^=4+2（2A/2-2）=4A/2,

.?.點&的橫坐標為4點，

設42=。，則GAx,點C3,應+c,c）,點&的橫坐標為4a+2c,

4

點C3在反比例函數y=—（x>0）的圖象上，

X

二?c（4后+c）=4,

即（c+2&『=12,

c=2^/^—2\/2，

.?.點4的橫坐標為4-，

同理：點4的橫坐標為4a=8,點&的橫坐標為4班，

…，以此類推，點42024的橫坐標為47^5五=865^.

點A的橫坐標為4形，點4024的橫坐標為8、/5布.

故答案為：4點；8&布.

【變式訓練2】.以平行四邊形Q4BC的頂點。為原點，Q4所在直線為X軸建立平面直角坐標系，D為AB

k

邊上一點，ZCOA=60,已知反比例函數＞左＞。戶＞。)的圖象經過CQ兩點.

4D

(2)當。為A5的〃等分點，黑=上1時，則O=C值____.(用含〃的代數式表示)

ABnOA

【答案】(4,73)工

n-1

【分析】本題考查反比例函數與平行四邊形性質的綜合題，涉及含30度角的直角三角形的性質、平行四邊

形的性質、坐標與圖形等知識，

(1)過點。作x軸的垂線交于點E,利用含30度角的直角三角形的性質求得點C的坐標，進而得到點8

的縱坐標，利用中點坐標公式可得點。的縱坐標，進而利用反比例函數圖象上點的坐標特征求解即可；

(2)過點。作x軸的垂線交于點/，AD=x,AB=nx,則OC=AB=〃Z,利用30度角的直角三角形的性

質得到匕坐小則％=旦2「在Rt一的中，利用30度角的直角三角形的性質得到求得點。

I22)4

的縱坐標為且x,進而。的橫坐標為x,則O尸=求得OA即可求解.

222

【詳解】解：(1)過點C作x軸的垂線交于點E,

210c=4,"04=60°,

0OE=|OC=2,CE=,必—OE=￡OE=2超，

回C(2,2月,

k

團點。在反比例函數y=—（左>o,X>o）的圖象上,

X

回k=2乂26=46,則y=^^；

X

回四邊形。4BC是平行四邊形，

^BC//OA,即CB尤軸，

回點2的縱坐標為2JL

回點。為為A8的中點，

回點D的縱坐標為代，

將y=有代入y=生叵中，則x==4,

回點D坐標為（4,若），

故答案為：（4,若卜

(2)過點。作無軸的垂線交于點下，

AD1

ABn'

設AD=x,AB=nx,貝!JOC=AB=nx,

ZCOA=60,

/.OE=—nx,CE=^~nx,則C^-rvc,^-nx,

22122J

.,.7k=——n2x2,

4

ZZMF=ZCft4=60°,

=x

?，.~,FD=-^-x,

22

r-,

回點。的縱坐標為空x,代入反比例函數y=§中，得點。的橫坐標為4

2x2

—x

2

1

/.OF=—n912x

2

11

:.OA=OF-AF=-n29x——x,

22

OC_nx_2n

~1一“2_1.

—YlX---X

22

2〃

故答案為：

n-1

k

【變式訓練3].如圖，正方形ABC。放置在直角坐標系中，反比例函數y=—(左wO)經過A點和邊CO的中

x

點、E,已知5(0,2),則左的值為.

【答案】7+歷/歷+7

【分析】設0。=，，貝!J，＞0,C(r,O),過點A作A尸~Ly軸于人過點。作軸于H,證明

ABF=^BCO(^AAS^,得FB=OC=，,AF=BO=2,從而得點A(2,2+，)，貝ijk=2(2+，)，證明

DCH=CBO(AAS),得CH=OB=2,DH=CO=t,得點+進而求出點石，+1,萬］,則

fc=(?+l)-=1r(r+l),可得2(2+r)=；(r+l),解出t即可得解.

【詳解】解：回點3(0,2),

回。5=2,

設OC=/,貝卜＞0,c?,o),

如圖，過點A作Ay軸于尸，過點。作DHLx軸于

0ZAFB=ZDHC=9O°,

團四邊形ABC。為正方形，

@AB=BC=CD,ZABC=ZBCD=90°,

ZABF+ZOBC=90°,

^ZAFB=ZBOC=90°,

0ZBCO+ZOBC=9O°,

國NABF=NBCO,

在"BF和5co中，

NABF=ZBCO

<ZAFB=ZCOB,

AB=BC

SBCO(AAS),

0FB=OC=t,AF=BO=2,

^OF=OB+BF=2+t,

13A(2,2+r),

k

團點A在反比例函數y=：(左wO)的圖像上，

回左=2(2+，)，

SZ.BOC=ZCHD=/BCD=90°,

0ZBCO+ZDC7/=9O°,ZCDH+ZDCH=90°,

自/CDH=/BCO,

在工OCH和二CBO中，

ZCHD=ZBOC

<ZCDH=ZBCO,

CD=BC

0DCH^.CBO(AAS),

?CH=OB=2,DH=CO=t,

^\OH=OC+CH=2+t,

回0(2+//),

團C?,0),點E為。。的中點，

回+《),

回點E在反比例函數〉=勺％#0)的圖像上，

Efe=(r+l)-1=|f(/+l),

團2(2+.)=5/(/+1),

整理得：/-3-8=0,

解得：f=也應，或/=主巫(不合題意，舍去),

22

當,=3+『時,左=2(2+。=7+歷.

故答案為：7+回.

【點睛】本題考查坐標與圖形，反比例函數的圖像，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角

形兩銳角互余等知識點.解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質、全等三角形的判定和性質，理解函數圖像

上的點的坐標滿足函數的解析式，滿足函數解析式的點都在函數的圖像上.

??壓軸能力測評X

1.如圖，在平面直角坐標系中，點A在函數y=￡(x>0)的圖像上，過點A作ACJ_y軸于點C,點8在x軸

X

上，連接CB、AB.若VABC的面積為3,則上的值為.

【分析】本題主要考查反比例函數與三角形的綜合，掌握反比例函數圖像的性質，三角形的面積計算方法

是解題的關鍵.點A在函數y=4x>0)的圖像上，設過點A作軸于點C,可求出AC的

x\mJ

長，點8在x軸上，可知，點8到線段A8的長，根據三角形的面積即可求解.

【詳解】解：回點A在函數y=￡(x>0)的圖像上，

X

團設A［孫一)，

團過點A作軸于點C,點3在1軸上，

回AC=m，點3到線段A3的長為X,

m

回VABC的面積為3,

「1k。

05AABC=~'M一=3，

2m

團女=6,

故答案為：6.

k_

2.如圖，A,8是雙曲線y=-（x>0）上的兩點，連接Q4,O區過點A作ACLx軸于點C,交0B于點D.若

X

。為AC的中點，△AOD的面積為3,點8的坐標為（％2）,則％的值為.

【分析】本題考查了反比例函數中左的幾何意義，關鍵是利用△AOD的面積轉化為AAOC的面積，然后即

可得出％的值，然后再把8（加,2）代入反比例函數上，即可得出根的值.

【詳解】解：,?,。為AC的中點，△AOD的面積為3,

??.△AOC的面積為6,

.?"=12.

12

???y=一,

X

???點3（利2）在反比例函數上，

12「

：.m=——=o

2

故答案為：6.

3.如圖，點A（〃z,1）,*2,〃）在雙曲線y=勺心0）上，連接OA,08,AB.若S%。=8,則上的值是.

【答案】-6

【分析】本題考查了反比例函數的比例系數上的幾何意義.過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，兩

垂線交于點C,連接OC,依據SABC-S,AC°-SB℃=8,即可得到人的值.

【詳解】解：如圖，過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，兩垂線交于點C,連接0C.

回點A（〃?,l）,3（2,〃）在雙曲線〉=/信/0）上，

01=—,n=—,即〃z=左，

m2

回點A（Z,1）,?2,\,

則AC=2—匕5。=1—

2

回SAABO=8,

回SABC—SAC0—SBOC=8,

即；（2_1）（1_外_；（2_少1_小_4卜2=8,

解得：左=一6或6,

回雙曲線位于第二，四象限內，

0^<0,

回左=—6.

故答案為：-6

4.如圖，A,8是雙曲線>=幺上的兩點，過點A作ACLx軸于點C,交03于點￡>,且。為AC的中點,

X

若△A0D的面積為5,點、B的坐標為（m,2）,則m的值為.

【分析】本題考查了反比例函數的性質的應用，幾何意義的應用是解題關鍵.由三角形等底同高面積相等,

得出5。陋=S=5,SA0AC=10,再由幾何意義求出院即可求出

【詳解】解：回且。為AC的中點，

0AD=CD，

0SOAD=sOCD=5,

回SgAc=1°，

由幾何意義得，兇=10,

2

回女＞0,

回左=20,

on

團點5（帆,2）是雙曲線＞二一上的點,

x

團2m=20,

即m=10.

故答案為：10.

13

5.如圖，點A在雙曲線＞=一上，點5在雙曲線丁=一上，且AB〃x軸，過點A、3分別向x軸作垂線，垂

xx

足分別為點。、C,那么四邊形A5CD的面積是.

【分析】本題主要考查了反比例函數關系上的幾何意義，根據反比例函數系數人的幾何意義得出矩形EOD4

的面積為1,矩形BCOE的面積是3,則矩形ABC。的面積為3-1=2.

【詳解】解：過點A作AELy軸于點￡,A31x軸，

13

團點A在雙曲線＞=一上，點B在雙曲線》=—上,

XX

團矩形EOD4的面積為1,矩形BCOE的面積是3,

團矩形ABCD的面積為3-1=2,

故答案為：2.

6.如圖，點8是反比例函數y=—(尤＞0)圖象上的一點，作軸于點A,3C_Ly軸于點C,點、D、E

x

分別是A3、3c上的點，且△OCE的面積為2,△OAD的面積為4,貝UBED的面積為

【答案】3

【分析】設點3的坐標為(a/),利用面積將線段CE和AD用含有。、8的代數式表示出來，進而將線段EB

和BD也用而的代數式表示出，利用面積公式即可求出.

本題考查了反比例函數中左值的幾何意義，k=xy,圖象上點的坐標之積等于底

【詳解】解：設點8的坐標為6),則OC=b,Q4=?,

:.ab=k=16,

S.「C2F=_xZ?XCE-2,

:.CE=~,

b

BE=a—

b

SAOD=gxQxAD=4,

/.AD=-

a

Q

BD=b——，

a

SBREFDn=—?BE?BD

1

=-x

2

」1%-8-4+必

2ab

1

=-|16-12+—

216

=3.

故答案為：3.

7.如圖，。是坐標原點，RtQ4B的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB=2,ZAOB=30°,反比例函數

k

y=—（左＞0）的圖象經過斜邊的中點C.。為該反比例函數圖象上的一點，若D3〃AC,則OB?一比J?的

X

【分析】本題考查了直角三角形的性質，待定系數法求函數解析式，勾股定理的應用，根據直角三角形