專題06有理數的計算閱讀與思考在小學我們已經學會根據四則運算法則對整數和分數進行計算，當引進負數概念后，數集擴大到了有理數范圍，我們又學習了有理數的計算，有理數的計算與算術數的計算有很大的不同：首先，有理數計算每一步要確定符號；其次，代數與算術不同的是“字母代數”，所以有理數的計算很多是字母運算，也就是通常說的符號演算．數學競賽中的計算通常與推理相結合，這不但要求我們能正確地算出結果，而且要善于觀察問題的結構特點，將推理與計算相結合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速度．有理數的計算常用的技巧與方法有：1．利用運算律．2．以符代數．3．裂項相消．4．分解相約．5．巧用公式等．例題與求解【例1】已知m，n互為相反數，a，b互為負倒數，x的絕對值等于3，則的值等于______________．（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：利用互為相反數、互為倒數的兩個有理數的特征計算．【例2】已知整數滿足，且，那么等于（ ）A．0B．10C．2D．12（江蘇省競賽試題）解題思路：解題的關鍵是把25表示成4個不同的整數的積的形式．【例3】計算：（1）（“祖沖之杯”邀請賽試題）（2）；（江蘇省泰州市奧校競賽試題）（3）．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對于（1），若先計算每個分母值，則掩蓋問題的實質，不妨先從考察一般情形入手；對于（2），由于相鄰的后一項與前一項的比都是7，考慮用字母表示和式；（3）中裂項相消，簡化計算．【例4】都是正整數，并且，．(1)證明：，；(2)若，求和的值．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）解題思路：（1）對題中已知式子進行變形．（2）把（1）中證明得到的式子代入，再具體分析求解．【例5】在數學活動中，小明為了求的值（結果用表示），設計了如圖①，所示的幾何圖形．（1）請你用這個幾何圖形求的值．（2）請你用圖②，在設計一個能求的值的幾何圖形．（遼寧省大連市中考試題）解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構造圖形的關鍵．【例6】記，令稱為這列數的“理想數”，已知的“理想數”為2004．求的“理想數”．（安徽省中考試題）解題思路：根據題意可以理解為為各項和，為各項和的和乘以．能力訓練A級1．若互為相反數，互為倒數．，的值為____________．（湖北省武漢市調考試題）2．若，則=___________．（“希望杯”邀請賽試題）3．計算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，，依次類推，直至最后減去余下的，最后的答案是_______________．（“祖沖之杯”邀請賽試題）5．右圖是一個由六個正方體組合而成的幾何體，每個小正方體的六個面上都分別寫著－1，2，3，－4，5，6六個數字，那么圖中所有看不見的面上的數字和是___________．（湖北省仙桃市中考試題）6．如果有理數滿足關系式，那么代數式的值（ ）A．必為正數B．必為負數C．可正可負D．可能為0（江蘇省競賽試題）7．已知有理數兩兩不相等，則，，中負數的個數是（ ）A．1個B．2個C．3個D．0個或2個（重慶市競賽試題）8．若與互為相反數，則＝（ ）A．0B．1C．－1D．1997（重慶市競賽試題）9．如果，，則的值是（ ）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀請賽試題）10．若是互為不相等的整數，且，則等于（ ）A．0B．4C．8D．無法確定11．把，3.7，，2.9，4.6分別填在圖中五個Ο內，再在每個□中填上和它相連的三個Ο中的數的平均數，再把三個□中的平均數填在△中．找出一種填法，使△中的數盡可能小，并求這個數．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）12．已知都不等于零，且的最大值為，最小值為，求的值．B級1．計算：＝________________．（“五羊杯”競賽試題）2．計算：＝________________．（“希望杯”邀請賽試題）3．計算：＝____________________．4．據美國詹姆斯·馬丁的測算，在近十年，人類的知識總量已達到每三年翻一翻，到2020年甚至要達每73翻番空前速度，因此，基礎教育任務已不是“教會一切人一切知識，而是讓一切人學會學習”．已知2000年底，人類知識總量，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人類知識總量是：__________________；（2）2019年底人類知識總量是：__________________；（3）2020年按365天計算，2020年底類知識總量會是____________________．（北京市順義區中考試題）5．你能比較和的大小嗎？為了解決這個問題，我們首先寫出它的一般形式，即比較與的大?。╪是自然數），然后我們從分析n=1，n=2，n=3…中發現規律，經歸納、猜想得出結論（1）通過計算，比較下列各組中兩數的大?。海ㄔ跈M線上填寫“＞”“=”“＜”）①，②；③；④；⑤（2）從第（1）題的結果中，經過歸納，可以猜想出與的大小關系是_____________________________________________________________________________；（3）根據以上歸納．猜想得到的一般結論，試比較下列兩數的大小_____：．（福建省龍巖市中考試題）6．有2009個數排成一列，其中任意相鄰的三個數中，中間的數總等于前后兩數的和．若第一個數是1，第二個數是－1，則這個2009個數的和是（ ）A．－2B．－1C．0D．2（全國初中數學競賽海南省試題）7．如果，那么的值為（ ）A．－1B．1C．D．不確定（河北省競賽試題）8．三進位制數201可用十進制數表示為；二進制數1011可用十進制法表示為．前者按3的冪降冪排列，后者按2的冪降冪排列，現有三進位制數，二進位制數，則與的大小關系為（）．A．B．C．D．不能確定（重慶市競賽試題）9．如果有理數滿足，則（）A．B．C．D．（“希望杯”邀請賽試題）10．有1998個互不相等的有理數，每1997個的和都是分母為3998的既約真分數，則這個1998個有理數的和為（ ）A．B．C．D．（《學習報》公開賽試題）11．觀測下列各式：，