第四章指數函數與對數函數單元綜合測試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知則等于（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】根據題意，得，所以.故選：.2．已知函數，在下列區間中，一定包含零點的區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，又函數在上單調遞增，所以，所以函數在12,1存在零點.故選：B.3．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.4．你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩，已知某種煙花距地面的高度h（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關系式為，則煙花爆裂的高度是（

）A．56.6米 B．57.6米C．58.6米 D．59.6米【答案】B【解析】依題意，，當且僅當時取等號，所以煙花爆裂的高度是57.6米.故選：B5．已知，若，則（

）A．-2 B． C． D．【答案】B【解析】由題可得：，即，所以，解得：.所以.故選：B.6．若關于的方程，有一個正實數根和一個負實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，設關于的方程有一個正實數根和一個負實數根，故有兩個根，其中，，令，則，解得，故實數的取值范圍是.故選：A7．若二次函數在區間上存在一個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由題意可得方程在上存在一個根，，由函數，則其對稱軸為直線，當時，，可得，解得；當時，，可得，顯然無解.綜上所述，.故選：A.8．已知函數（且）在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【解析】令，則，令；當時，因為，所以，且在定義域上單調遞減，要使在上單調遞增，則在上單調遞減，則，解得；當時，因為，所以，且在定義域上單調遞增，要使在上單調遞增，則在上單調遞增，則，；綜上可得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列各式正確的是（

）A．設，則B．已知，則C．若D．，則【答案】BD【解析】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由，兩邊平方得，兩邊再平方可得，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數的定義域為B．函數的值域為C．D．函數為減函數【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以恒成立，則函數的定義域為，故A正確；對于B，，由，得，則，所以，則，所以函數的值域為，故B正確；對于C，函數定義域為，且，所以，故C正確；對于D，由B知，，函數是增函數，且，所以函數是減函數，則函數是增函數，故是增函數，故D錯誤．故選：ABC.11．定義域和值域均為-a,a的函數y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個解 B．方程有且僅有3個解C．方程有且僅有5個解 D．方程有且僅有1個解【答案】ABD【解析】對于選項A：由數形結合可知：令,或或;令,,因為，所以，由數形結合可知：,都有一個根，故方程有且僅有3個解，故選項A正確;對于選項B：由數形結合可知：令gx=0,;令，因為，由數形結合可知：都有3個根，方程有且僅有3個解，故選項B正確;對于選項C:由數形結合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數形結合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個解,故選項C錯誤；對于選項D：由數形結合可知：令gx=0,;令，因為，所以只有1解，故方程有且僅有1個解,故選項D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．函數的圖像恒過定點.【答案】【解析】由函數解析式可得當且僅當時，函數值與無關且為，故函數圖象恒過定點，故答案為：13．甲、乙兩人同時解關于的方程：.甲寫錯了常數，得兩根為及；乙寫錯了常數，得兩根及，則這個方程的真正的根為【答案】或【解析】原方程可變形為：甲寫錯了，得到根為及，；又乙寫錯了常數，得到根為及，；原方程為，即，或，或.故答案為：或.14．函數，定義使為整數的數叫做“企盼數”，則在區間上這樣的“企盼數”共有個．【答案】9【解析】令，利用對數的換底公式可得,得到．要使成為“企盼數”，則，．由于，即，因為，，，可取．因此在區間上這樣的“企盼數”共有9個．故答案為：9四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）計算:(1)(2)(3).【解析】（1）；（2）；（3）.16．（15分）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系如下表所示：時間月123浮萍的面積359其函數解析式為，其中，，，均為常數，且.(1)求出關于的函數解析式；(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到，，所經過的時間分別為，，，計算+-的值.【解析】（1）由表中數據知，時間每增加1個月，浮萍的面積增加量逐漸變大，，當依次取1，2，3得，解得，即；（2）由（1）知，，則有，理出如下：依題意，得，，，即，，，于是，則，所以，則+-=117．（15分）已知函數，記集合為的定義域．(1)求集合；(2)判斷函數的奇偶性；(3)當時，求函數的值域．【解析】（1）由真數大于0可知，，.（2）可知定義域關于原點對稱，，故為奇函數．（3）令，對稱軸，在上，，又在上遞減，故的值域是：．18．（17分）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，(1)求的表達式；(2)若函數的圖象與直線有四個不同的交點，求實數的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設四個交點的橫坐標分別為，，，，若恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）時，，，為奇函數，則，所以；（2）作出的大致圖象，如圖，要滿足題意，則，解得，所以實數的取值范圍是；（3）由得，，同理，因為，所以，所以，恒成立，則．19．（17分）對于函數，若其定義域內存在非零實數滿足，則稱為“偽奇函數”．若其定義域內存在非零實數滿足，則稱為“偽偶函數”(1)已知函數，判斷是否為“偽奇函數”；是否為“偽偶函數”，并說明理由；(2)若冪函數使得在上是“偽奇函數”，是“偽偶函數”，求實數m的取值范圍；(3)若整數使得是定義在上的“偽奇函數”，求m的取值集合．【解析】（1）因為，其定義域為，則，，因為恒成立，從而，故在函數定義域內不存在使得，即不存在使得f-x=-fx，所以不是“偽奇函數”．若，則，則，且，解得，故在函數定義域內不存在非零實數滿足，所以不是“偽偶函數”．（2）因是冪函數，則，所以，，所以，，因為在上是“偽奇函數”，所以在上存在非零實數解，所以在上存在非零實數解，則，且，令，則，且，令，且，，當且時，，則，當且時，，則，可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以，當且時，，即，故，因為是“偽偶函數