5.3垂徑定理③AM=BM,做一做AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O下圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?小明發(fā)現圖中有:ABCDM└

由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM⊥AB，∴AM=BM.∴點A和點B關于CD對稱.∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂徑定理三種語言定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.條件CD為直徑CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB結論②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.

你能發(fā)現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.過點M作直徑CD.●O下圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?

小明發(fā)現圖中有:CD

由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.討論（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧命題（1）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（2）：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，

AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（3）：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）求證：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OAEBDC垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論（1）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧垂徑定理記憶你可以寫出相應的命題嗎?相信自己是最棒的!垂徑定理的逆定理

如圖,根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.注意●OABCDM└條件結論定理及逆定理①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.垂徑定理及逆定理判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧…………..()（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧………()（5）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√挑戰(zhàn)自我（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧（）（7）平分弦的直線，必定過圓心（）（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦（）

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)（9）弦的垂直平分線一定是圓的直徑（）（10）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦（）（11）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分（）

ABC

O(4)ABCD

O(5)ABCD

O(6)E挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論2

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示:這兩條弦在圓中位置有兩種情況:●OABCD1.兩條弦在圓心的同側●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側垂徑定理的推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等.例題解析例1：如圖，已知在圓O中，弦AB的長為8㎝，圓心O到AB的距離為3㎝，求圓O的半徑。練習1:在半徑為50㎜的圓O中，有長50㎜的弦AB，計算：⑴點O與AB的距離；⑵∠AOB的度數。E反思：在⊙O中，若⊙O的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長a中，任意知道兩個量，可根據

定理求出第三個量.練習2:在圓O中，直徑CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圓O的半徑。

例2：如圖，圓O的弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直徑CE⊥AB于D，求半徑OC的長。垂徑例3：如圖，已知圓O的直徑AB與弦CD相交于G，AE⊥CD于E，

BF⊥CD于F，且圓O的半徑為

10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的長。練習3:如圖，CD為圓O的直徑，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長。例4已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。求證：AC＝BD。證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE。

AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO挑戰(zhàn)自我畫一畫1.如圖,M為⊙O內的一點,利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點M.并且AM=BM.●O●M挑戰(zhàn)自我找一找2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等的線段有:

.圖中相等的劣弧有:

.挑戰(zhàn)自我算一算3、已知：如圖，⊙O中，AB為弦，C為AB的中點，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半徑OA.⌒挑戰(zhàn)自我試一試4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.·ABCD0EFGH1.本節(jié)課我們主要學習了垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

2.垂徑定理的證明，是通過“實驗—觀察—猜想—證明”實現的，體現了實踐的觀點、運動變化的觀點和先猜想后證明的觀點，定理的引入還應用了從特殊到一般的思想方法．

3.有關弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線．圓心到弦的距離、半徑、弦長構成直角三角形