第2章極限與連續2在微積分中,微積分中其他的一些重要概念如微分、積分、級數等等都是建立在極限概念的基礎上的.因此,有關極限的概念、理論與方法,自然成為微積分學的理論基石,本章將討論數列極限與函數極限的定義、性質及基本計算方法,并在此基礎上討論函數的連續性.極限是一個重要的概念,3數列的概念收斂數列的性質小結思考題作業數列極限的概念極限概念的引入2.1數列的極限第2章極限與連續5劉徽(公元3世紀)利用圓內接正多邊形來推意思是:設給定半徑為1尺的圓,從圓內接正6邊形開始,每次把邊數加倍,屢次用勾股定理.求出正12邊形、……等等正多邊形的正24邊形.邊數越多,圓內接正多邊形越與圓接近,最后與圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤差了.

“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”算圓面積的方法---就是極限思想在幾何學上的應用.割圓術,邊長,2.1數列的極限6正六邊形的面積正十二邊形的面積正邊形的面積An2.1數列的極限7如按照自然數的順序排列的一列數簡記為通項(generalterm),或者一般項.二、數列(sequenceofnumber)

的概念或記為其中xn稱為數列{xn}的2.1數列的極限8可看作一動點在數軸上依次取數列的幾何表示法:數列可看作自變量為正整數n的函數:整標函數或下標函數

數列對應著數軸上一個點列.2.1數列的極限9三、數列極限的概念即問題當n無限增大時,如果是,當n無限增大時,xn無限接近于1.如何確定?定性的描述xn是否無限接近于某一確定的數值?2.1數列的極限10

如何用精確的、定量化的數學語言刻畫它.可以要多么小就多么小,則要看?“無限接近”意味著什么?只要n充分大,小到什么要求.當n無限增大時,xn無限接近于1.定量的描述2.1數列的極限11

用希臘字母來刻畫xn與1的接近程度.2.1數列的極限12定義2.1如果對于任意給定的正數總存在正整數N,

使得對于時的一切不等式成立.或稱數列{xn}收斂于a(convergetoa).記為或那末就稱常數a是數列{xn}的極限(limit),如果數列{xn}沒有極限,就說數列{xn}發散(diverge).么小),(不論它多2.1數列的極限13注{xn}有沒有極限,一般地說,但是一旦給出之后,它就是確定了;主要看“后面”的無窮多項.定義

采用邏輯符號將的定義可縮寫為:(1)(2)(3)(4)“前面”的有限項不起作用,2.1數列的極限2.1數列的極限14數列極限的幾何意義數列極限的定義通常是用來進行推理注預先知道極限值是多少.和證明極限,因為這里需要即而不是用來求極限,只有有限個(至多只有N個)落在其外.定義15例所以,證

解不等式定義2.1數列的極限16例證為了使只需使定義2.1數列的極限17證所以,

常數列的極限等于同一常數.成立,

例定義對于一切自然數n,2.1數列的極限18例證明數列證要使由于有

為了簡化解不等式的運算,常常把作適當地放大.以0為極限.用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.定義2.1數列的極限19證驗證由練習定義2.1數列的極限2.1數列的極限201.唯一性定理2.1證由定義,故收斂數列極限唯一.每個收斂的數列只有一個極限.使得(否則得這不可能)所以a–b=0四、收斂數列的性質212.有界性若存在正數M,否則,稱為使得一切自然數n,數列{xn}是有界數列,全落在區間在幾何上即為存在使得點對數列{xn},則稱數列{xn}有界;2.1數列的極限無界.22有界.例判定以下數列的有界性.解(1)因為故{xn}(2)因為有界.故{xn}(3)對任給正數M,只要便有這說明不可能找到使對每個都成立,即{xn}無上界,從而無界.對數列{xn},若存在正數M,無界.使得一切自然數n,

則稱數列{xn}有界;2.1數列的極限否則,稱為2.1數列的極限23定理2.2證由定義,有界性是數列收斂的必要條件,推論注收斂的數列必定有界.無界數列必定發散.但不是充分條件.則對一切自然數n,此定理及其推論的逆命題不成立.即有界數列不一定收斂,發散數列不一定無界.(后面將給出例子).故{xn}有界.定義243.保號性定理2.3如果且證由定義,對有

從而定理2.3表明:若數列的極限為正(或負),則該數列從某項開始以后所有項也為正(或負).定義2.1數列的極限253.保號性定理2.3如果且推論2.1如果數列{xn}從某項起有且那么用反證法證設數列{xn}從第N1項起,則由定理3知,按假定有按定理3有這引起所以必有矛盾.2.1數列的極限26在數列{xn}中依次任意抽出無窮多項:所構成的新數列這里是原數列中的第項,在子數列中是第k項.子數列.叫做數列{xn}的4.收斂數列與其子數列(subsequence)間的關系2.1數列的極限27定理2.4數列收斂的充要條件為其任一子列由此定理可知,但若已知一個子列發散,或有兩個子列收斂于不同的極限值,可斷定原數列是發散的.能斷定原數列的收斂性;數列的子列收斂于1,而子列收斂于因此數列是發散的.該例說明了一個發散的數列可能有收斂子列,同時也說明有界數列不一定收斂.例如僅從某一個子列的收斂一般不2.1數列的極限均收斂.28斂于a.還可以證明:數列{xn}的奇子數列和偶子數列均收斂于同一常數a時,則數列{xn}也收試證數列證因為不收斂.收斂于而偶子數列所以數列

收斂于的奇子數列不收斂.例2.1數列的極限29數列數列極限收斂數列的性質收斂數列與其子數列間的關系.五、小結研究其變化規律;極限思想,精確定義,幾何意義;有界性,唯一性,保號性,2.1