2024年一般高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試

（全國(guó)卷I新課標(biāo)）

留意事項(xiàng)：

1.'%試題分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至3頁(yè)，第II卷3至

5頁(yè).

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置.

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將本試逑和答題卡一并交回.

第I卷

一'選擇即：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

I.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理1）已知集合4={x*-2x>0},8={x\-yf5<x<45},則（）.

A.AQB=0B.AU8=R

C.BqAD.八qB

答案：B

解析：2）>0,，iV0或x>2.

...集合4與8可用圖象表示為：

--1------?

-J5oJ5

由圖象可以看出AU8=R,故選B.

2.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理2）若復(fù)數(shù)z滿意（3-4i）z=|4+3i|,則z的虛部為（）.

44

A.-4B.一一C.4D.-

55

答案：D

解析：???(3-4i)z=|4+3i|,

55(3+4i)34.

Z=-------=-------------------=—H--1.

3-4i(3-4i)(3+4i)55

4

故z的虛部為不，選D.

3.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理3）為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生

中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力狀況

有較大差異，而男女生視力狀況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是

（）.

A.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣

C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣

答案：C

解析：因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣.

4.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理4）已知雙曲線C：=一斗=13>0,〃>0）的離心率為且，則C

a~b~2

的漸近線力程為（).

A.y=±—xB.v=+-X

43

C.y=±-xD.)：=±x

答案：C'

解析：.??*￥,c2a2+b25

P"——=------------=—

a2a14

，/=4%—=±—.

a2

工漸近線方程為y=±—x±-x.

a2

5.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理5）執(zhí)行下而的程序框圖，假如輸入的[一1,3],則輸出的s屬于

().

A.[-3,4)B.[-5,2]

C.[-4,3]D.[-2,5]

答案：A

解析：若/￡[一1,1）,則執(zhí)行s=3r,故$￡[—3,3）.

若￡[1,3],則執(zhí)行$=4/一尸，其對(duì)稱軸為，=2.

故當(dāng)1=2時(shí)，s取得最大值4.當(dāng)/=1或3時(shí)，s取得最小值3,則s￡[3,4].

綜上可知，輸出的$￡[—3,4].故選A.

6.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理6）如圖，有一個(gè)水平放置的透亮無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm,

將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,假如不

C.g2048兀

D.--------cm

33

答案：A

解析：設(shè)球半徑為R,由題可知R,R—2,正方體枝長(zhǎng)一半可構(gòu)成直角三角形，即4

OBA為直角三角形，如圖.

c

BC—2,BA-4,OB-R-2,OA~R,

由R2=(R-2/+42,得R=5,

所以球的體積為士兀5,="&兀(cm〉故選A.

33

7.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理7)設(shè)等差數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和為S”，若S”-i=-2,S?t=0,Sfn+]

=3,則m=().

A.3B.4C.5D.6

答案：C

解析：,??S〃rT=—2,Sm=0,5m+i=3,

a”i=Sm—Sm-\=0—(—2)=2,(tin+1=S”+1—Sm=3—0=3.

d—cim+1-4”=3-2=1.

,—m-\

VS”=〃70+—--------xi=o,a.=----------.

22

m—1

又(int+1=a[+〃]X1=3,-----------F/n=3.

2

???/〃=5.故選C.

8.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理8）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體枳為（）.

A.164-8n

C.16+16兀D.8+16兀

答案：A

解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個(gè)長(zhǎng)方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑

r=2,長(zhǎng)為4,在長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)為4,寬為2,高為2,所以幾何體的體積為7rrX4X-+4X2X2

2

=8兀+16.故選A.

9.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理9）設(shè)，〃為正整數(shù)，（x+y）.綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為小（x

十)，產(chǎn)“綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為紅若13。=78則m=().

A.5B.6C.7D.8

答案：B

解析：由題意可知，〃=C?m，〃=C￡M，

....._7/?門RM、］（2機(jī)+1）!

nilml加。〃+1）!

即—=2'”+1.解得,〃=5.故選B.

7m+\

x22

W(2024課標(biāo)全國(guó)I,理⑼已知橢圓氏靛+0v1(…的右焦點(diǎn)為尸(3,0),過(guò)點(diǎn)F

的直線交E于A,8兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為().

A,工+￡=1

B.

45363627

C.匚普x-y-

D.---1----1

2718189

答案：D

解析：設(shè)A（M,yi）,B（M,》)，V4,A在橢圓上,

M+和,①

.a-b~

M+咚=1，②

a-b~

①一②，得

（與+3）（內(nèi)一式）?（力+K）（X—）’2）0

a2b2

印—一（」+%）（）'|一。2）,

片（.1]+9）（玉一工2）'

???八8的中點(diǎn)為（1,-1）,???），1+卜=-2,X1+X2=2,

而一一3.￡=1

x,-x,3-12a~2

又???/一〃=%.??/=18,P=9.

X2y2

??.橢圓E的方根為—+—=1.故選D.

189

T?I2XY-<（）

11.（2024課標(biāo)全國(guó)I,理11）已知函數(shù).火幻=「‘一'若|"）|23則。的取值范

ln（X+l）,X>（）.

圍是（）.

A.（-8,0]B.（一8,j]

C.[-2,1]D.[-2,0]

答案：D

解析：由y=|/（x）|的圖象知：

①當(dāng)￡>0時(shí)，)，=以只有“W0時(shí)，才能滿意欣幻|2",可解除B,C.

②當(dāng)xWO時(shí)，y=|/(.r)|=|—x2+2.t|=^—2x.

故由[/(x)]2ar得『一2x2ar.

當(dāng)x=O時(shí)，不等式為02()成立.

當(dāng)x〈0時(shí)，不等式等價(jià)于x—2Wa.

*.*A—2<—2,—2.

綜上可知：aG[-2,0J.

12.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理12)設(shè)△4&C的三邊長(zhǎng)分別為小,bn,g,△A“&C”的面積為

(11

Sn,w=1.2.3,….若">C|,"+ci=2ai，an+\=an,b?+\=,q+尸"",則().

22

A.｛SJ為遞減數(shù)列

B.(S,J為遞增數(shù)列

C.｛S2i｝為遞增數(shù)列，[S涮為遞減數(shù)列

D.⑸“—｝為遞減數(shù)列，，”｝為遞增數(shù)列

答案：B

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題?第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必需

做答.第(22)題?第(24)題為選考題，考生依據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理13)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60。,c=/a+(l—。力.若樂(lè)c

=0,則t=.

答案：2

解析：,.?0=/￡[+(

：.bc=tab+(\~t)\b\2.

又???同=制=1,且a與力夾角為60。,b±c,

.*.0=z|a||Z?|cos60。+(1—‘，

()=—/+1—/.

2

t=2.

21

14.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理14)若數(shù)列｛m｝的前n項(xiàng)和S“=—。“+—，則｛a〃｝的通項(xiàng)公式是

33

%=.

答案：(一2尸

91

解析：?.?5“二'+記①

?1

???當(dāng)〃22時(shí)，Sn_｝=-an_]+§?②

22

①一②，得

即里!_=_2.

ln-l

工41=1.

???{%}是以1為首項(xiàng),一2為公比的等比數(shù)列，%=(-2)門.

15.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理15)設(shè)當(dāng)*=0時(shí)，函數(shù)/(x)=sinx—2cosx取得最大值，則cos0

“26

答案：一——

解析：fi.x)=sinx—2cosx

2)

sinx——7=cosx,

x/5)

,1.2

令cosa=,sina=r

則火x)=逐sin(a+x),

當(dāng)x=2kn+y—a(A￡Z)時(shí)，sin(a+x)有最大值1,,/(x)有最大值百,

即〃=2E+4-a(k￡Z),

2

所以cos〃=cosl2kn+--a=cos22亞

)(l-a=sina=---==------

I2加5

16.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理16)若函數(shù)?x)=(l—『)(爐+?+〃)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,

則?v)的最大值為.

答案：16

解析：:函數(shù)凡r)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，

??./U)滿意/(0)=人一4),<-1)=/(-3),

b=-\5(\6-4a+b),

即.

0=-8(9-3?+Z?),

4=8,

解得4

b=\5.

=—x4—8.?—14*4-8x4-15.

由/(A)=-4/一24『一2阮+8=0,

得xi=-2一石，上2=—2,X3=-2+6.

易知，“r)在(一8,一2—石)上為增函數(shù)，在(一2一6,—2)上為減函數(shù)，在(一2,

-2+逐)上為增函數(shù)，在(-2+逐，+8)上為成函數(shù).

.,.八一2—舊)=[l-(-2-V5)2][(-2-45>+8(—2—厲)+15]

=(一8-46)(8-4石)

=80-64=16.

/(-2)=[l-(-2)2][(-2)2+8X(-2)+l5J

=—3(4—16+15)

=一9.

7(-2+6)=[1-(-2+75月[(-2+V5尸+8(-2+6)+15]

=(-8+46)(8+46)

=80-64=16.

故大此的最大值為16.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理17)(本小題滿分12分)如圖,在△48C中，ZABC=900,AB=6,

BC=\,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，Z5PC=90°.

c

(1)若〃/?=■!■.求限：

2

(2)若N4P8=150°,求lan/PBA.

解：(I)由已知得/PBC=60°,所以/P8A=30°.

在△PH4中，由余弦定理得附2=3+'-2XGX』COS30°=—.

424

故PA=—.

2

(2)設(shè)NP8A=a,由已知得P8=sina.

sina

在△P84中，由正弦定理得

sin150°sin(30°-tz)

化簡(jiǎn)得JIcosa=4sina.

x/3V3

所以tana=---,即tan乙PBA=----.

44

18.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理18)(本小題滿分12分)如圖,三棱柱A3C—431cl中,CA=CB,

AB=AAi，N844=60°.

(1)證明：AB_L4C：

(2)若平面ABC!平面4A4由，AB=CB,求直線AC與平面ASGC所成角的正弦值.

(1)證明：取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)OC,OAi,AiB.

因?yàn)镃A=CB,所以。C_LA8.

由于A8=AA,Z5AXi=60o,

故△AAiB為等邊三角形，

所以O(shè)A]_LAB.

因?yàn)椤nO4=。，所以44,平面OAC.

又4Cu平面Q4C,故A8_LA|C.

(2)解：由(I)知OC?LA3,OAi±Afi.

又平面ABCJ■平面AAiB山，交線為AB,

所以O(shè)C_1?平面A48山，

故OA,04,OC兩兩相互垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)榇筝S的正方向，|OA|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系O—xyz.

4y

由題設(shè)知4(100),4(0,60),C(0,0,6),3(-1,0,0).

則8c=(1,0,y/3),=AA[=(-1,石，0),冠=(0,-石，石).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面BBiGC的法向量，

n-BC=0,[x+\j3z=0,r

則(即〈_可取〃=(J3,1,-1).

n-BB、=0,[-X+=0.

n\C_x/10

故cos〈〃，A^C〉=

所以AiC與平面BBiGC所成角的正弦值為《一.

19.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理19)(本小題滿分12分)一批產(chǎn)品須要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：

先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為幾假如〃=3,再?gòu)倪@批

產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)：假如〃=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品

中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)：其他狀況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)

檢驗(yàn).

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,，且各件

2

產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.

(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率：

(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都須要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作

質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)Ai,第一次取出的4件產(chǎn)品

全是優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)A2,其次次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)Bi,其次次取出的1件產(chǎn)

品是優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)員,這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事務(wù)A,依題意有4=(43I)U(42%),且48]

與小助互斥，所以

P(A)=P(4S)+P(A2&)

=P(4I)P(BI|AI)4-P(42)P(B2|A2)

41113

=—X-------1--------X—=——.

161616264

(2)X可能的取值為400,5(0,800,并且

P(X=400)=l--—--=—,P(X=500)=—,P(X=800)=-.

161616164

所以x的分布列為

11

16

EX=400x—+500x—+800x-=506.25.

20.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理20)(本小題滿分12分)已知圓M：。十十＞2=],圓N：。一1產(chǎn)

+,2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程：

(2)/是與圓P,圓M都相切的一條直線，/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓尸的半徑最

長(zhǎng)時(shí)，求忸身.

解：由已知得圓M的圓心為M(—1,0),半徑外=1;圓N的圓心為N(l，0),半徑力=3.

設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.

⑴因?yàn)閳AP與圓M外方并且與圓N內(nèi)切，

所以|PM+|PM=(R+ri)+g-R)=〃+n=4.

由橢圓的定義可知，曲線,C是以M,N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為

XV

的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為一十二二1(xW—2).

43

(2)對(duì)于曲線。上隨意一點(diǎn)P(x,y),由于伊M|一|PN|=2R—2W2,

所以RW2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R=2.

所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(工一2)2+)，2=4.

若/的傾斜角為90°,則i與)，軸重合，可得|4用=2、6.

若/的傾斜角不為90。，由知/不平行于x軸，設(shè)/與工軸的交點(diǎn)為。，則口￡￡=￡

可求得。(-4,0),所以可設(shè)/:y=Jx+4).

由/與圓M相切得產(chǎn)'=],

V1+A2

解得女=±正.

4

當(dāng)&時(shí)，將丁=+&代入匹一+?—二1

4-443

并整理得7『+8%-8=(),

-4+6夜

解得用.2=-7.

______1O

所以[A8|=Jl+標(biāo)|工2—菁|=亍.

當(dāng)攵=一立?時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|A8|=竺.

47

18

綜上，|人用=2\/^或|八陰=—.

7

21.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)40=/+0￥+方，g(x)=eYcx+d).若

曲線產(chǎn)依)和曲線產(chǎn)飄幻都過(guò)點(diǎn)尸(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求小b,c,d的值;

(2)若在一2時(shí)，段底依(.0,求上的取值范圍.

解：(1)由已知得＜0)=2,5(0)=2,/(0)=4,g'(0)=4.

而/(x)=2t+a,&'(幻=仃5+"+，).

故b=2,d=2,a=4,d+c=4.

從而a=4,b=2,c=2,d=2.

(2)由(1)知，兒t)=.d+4x+2,^(x)=2c'(x4-1).

設(shè)函數(shù)F(x)=依(x)—fi,x)=2ke\x+1)—r2—4.v—2,

則尸'Q)=2Ae'(x+2)—2A-4=2(x+2)(依i-I).

由題設(shè)可得尸(0)20,即

令尸(處=0得Xi=-lnk,M=-2.

①若iWAVe?,則一2VxW0.從而當(dāng)x￡(-2,即)時(shí)，尸(x)VO;當(dāng)工￡(由，+g)時(shí)，尸(x)

>0.即尸(x)在(一2,X。單調(diào)遞減，在(即，+8)單調(diào)遞增.故改)在[-2,+8)的最小值為

F(xi).

而F(XI)=2VI+2—Xj2—4x]—2=—XI(M+2)20.

故當(dāng)xN—2時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即：x)WAg(x)恒成立.

②若〃=。2,則F/(x)=2e2(A+2)(e'—c-2).

從而當(dāng)入>一2時(shí)，r(A)>0,即F(x)在(-2,+8)單調(diào)遞增.

而回(-2)=0,故當(dāng)42—2時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即J(x)WAg(x)恒成立.

③若〃>e2,則F(-2)=-2kc~2+2=-2e-2(^-e2)<0.

從而當(dāng)xN-2時(shí)，Ax)WQ(x)不行能恒成立.

綜上，女的取值范圍是[1,e2].

請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答.留意：只能做所選定的題目.假如多

做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.

22.(2024課標(biāo)全國(guó)I,理22)(本小題滿分10分)選修4—1：匚何證明選講

如圖，直線A8為圓的切線，切點(diǎn)為8,點(diǎn)。在圓上，N48C的角平分線8E交圓于點(diǎn)

E,。8垂直BE交圓于點(diǎn)。.

⑴證明：DB=DC；

(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=6延長(zhǎng)CE交A8于點(diǎn)尸，求aBC尸外接圓的半徑.

(1)證明:連結(jié)DE,交3c于點(diǎn)G.

由弦切角定理得，NABE=NBCE.

而NABE=NCBE,故NCBE=NBCE,BE=CE.

又因?yàn)镈B.LBE,

所以。E為直徑，NDCE=9()。,

由勾股定理可得。8=OC.

(2)解：由(1)知，NCDE=NBDE,DB=DC,

故OG是3C的中垂線，所以BG=立.

2

設(shè)。E的中點(diǎn)為。，連結(jié)80,則N8OG=6()°.

從而ZABE=ZBCE=ZCBE=3>Q°f

所以CF_