PAGE1PAGE2專題02相似多邊形及相似三角形5大題型題型一相似多邊形1．（23-24九年級上·河南安陽·期末）下列說法錯誤的是（

）A．相似多邊形的對應邊成比例 B．相似多邊形的對應角相等C．相似多邊形的邊數相同 D．所有的矩形都相似【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的定義及性質，熟記相關結論是解題關鍵【詳解】解：如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個或多個多邊形叫做相似多邊形，所以相似多邊形的邊數相同、對應邊成比例、對應角相等，故A、B、C不符合題意；所有的矩形不一定對應邊成比例，故所有的矩形不一定都相似，故D符合題意，故選：D2．（23-24九年級上·河南開封·期末）如圖，平行于正多邊形一邊的直線，將正多邊形分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原多邊形相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據相似多邊形的定義逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形的對應角相等、對應邊的比相等，符合相似多邊形的定義，符合題意；B、陰影矩形與原矩形的對應角相等，但對應邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；C、陰影五邊形與原五邊形的對應角相等，但對應邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；D、陰影六邊形與原六邊形的對應角相等，但對應邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；故選：A．3．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）有下列四種說法：①兩個菱形相似；②兩個矩形相似；③兩個平行四邊形相似；④兩個正方形相似其中說法正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】D【分析】根據對應角相等，對應邊成比例的多邊形相似判斷即可．【詳解】①兩個菱形對應邊成比例，對應角不一定相等，所以兩個菱形不一定相似；②兩個矩形對應角相等，對應邊不一定成比例，所以兩個矩形不一定相似；③兩個平行四邊形對應角不一定相等，對應邊也不一定成比例，所以兩個平行四邊形不一定相似；④兩個正方形對應角相等，對應邊成比例，所以兩個正方形一定相似；只有④正確，故選D4．（23-24九年級上·河南焦作·期末）寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，給我們以協調和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點E、F，連接EF：以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【分析】先根據正方形的性質以及勾股定理，求得DF的長，再根據DF=GF求得CG的長，最后根據CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形．【詳解】解：設正方形的邊長為2，則CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，∴矩形DCGH為黃金矩形故選：D．5．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，一張矩形紙片沿它的長邊對折（EF為折痕），得到兩個全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長邊與短邊的比是．【答案】：1．【分析】設原來矩形的長為x，寬為y，先表示出對折后的矩形的長和寬，再根據相似矩形對應邊成比例列出比例式，即可得答案.【詳解】設原來矩形的長為x，寬為y，則對折后的矩形的長為y，寬為，∵得到的兩個矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y＝：1．故答案為：：1題型二相似多邊形的性質6．（23-24九年級上·河南安陽·期末）下列說法錯誤的是（

）A．相似多邊形的對應邊成比例 B．相似多邊形的對應角相等C．相似多邊形的邊數相同 D．所有的矩形都相似【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的定義及性質，熟記相關結論是解題關鍵【詳解】解：如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個或多個多邊形叫做相似多邊形，所以相似多邊形的邊數相同、對應邊成比例、對應角相等，故A、B、C不符合題意；所有的矩形不一定對應邊成比例，故所有的矩形不一定都相似，故D符合題意，故選：D7．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形；再連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此規律作下去，則邊的長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質“相似多邊形對應邊的比叫做相似比”，解此題的關鍵是能根據求出的結果得出規律．根據已知和矩形的性質可分別求得，利用相似多邊形的性質可發現規律，根據規律即可解決問題．【詳解】∵四邊形是矩形，∵按逆時針方向作矩形的相似矩形，∴矩形的邊長和矩形的相似比為，∴矩形的對角線和矩形的對角線的比，∵矩形的對角線為，∴矩形的對角線，依此類推，矩形的對角線和矩形的對角線的比為，∴矩形的對角線，∴矩形的對角線，按此規律第個矩形的對角線故選：A．8．（22-23九年級上·河南太康·期末）兩個相似多邊形的面積比是，若較小多邊形的周長為，則較大多邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面積比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周長比等于相似比進行計算即可．【詳解】∵兩相似多邊形的面積比是，∴兩相似多邊形的相似比為：，∴兩相似多邊形的周長比為：，∵較小多邊形的周長為，∴較大多邊形的周長為：．故選：C．9．（22-23九年級上·河南許昌·期末）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據折疊的性質與矩形性質，求得，設的長為x，則，再根據相似多邊形性質得出，即，求解即可．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負值不符合題意，舍去）∴，故選：C．10．（22-23九年級上·河南濟源·期末）若兩個相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【答案】B【分析】根據相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比進行求解即可．【詳解】解：∵兩個相似多邊形的面積之比為1：4，∴這兩個相似多邊形的相似之比為1：2，∴這兩個相似多邊形的周長之比為1：2，故選B．11．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）小明用放大鏡將菱形ABCD放大3倍，下面說法中，錯誤的是（

）A．放大后，邊長是原來的3倍 B．放大后，的大小是不變C．放大后，周長是原來的3倍 D．放大后，面積是原來的3倍【答案】D【分析】用放大鏡放大菱形，得到一個與原菱形形相似的菱形；根據相似圖形的性質：相似圖形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比．可知：放大后菱形的面積是原來的9倍，邊長和周長是原來的3倍，而內角的度數不會改變．【詳解】解：∵放大前后的菱形相似，∴放大后菱形的內角度數不變，面積為原來的9倍，周長和邊長均為原來的3倍，A.放大后，邊長是原來的3倍，正確，故選項A不合題意；

B.放大后，的大小是不變，正確，故選項B不合題意；C.放大后，周長是原來的3倍，正確，故選項C不合題意；

D.放大后，面積是原來的9倍，不正確，故選項D合題意；故選：D．12．（22-23九年級上·河南洛陽·期末）如圖，取一張長為、寬為的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊應滿足的條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，然后根據相似多邊形的定義，列出比例式即可求出結論．【詳解】解：由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，∵小長方形與原長方形相似，故選B．13．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）A4紙是我們常用的打印紙，把紙沿長邊中點對折，形成兩個相同的小長方形，我們發現折疊得到的小長方形與折疊前的大長方形相似，則大長方形與小長方形的相似比為．【答案】【分析】本題主要考查相似多邊形的性質，如圖，設大長方形的長為，寬為，則小長方形的長為，寬為，根據矩形矩形列出比例式，求出的值即可．【詳解】解：設大長方形的長為，寬為，如圖，則，，，∵矩形矩形，∴，∴，∴，故答案為：．14．（21-22九年級上·河南洛陽·期末）已知四邊形ABCD與四邊形A'B'C′D'相似，邊AB與邊A'B'是對應邊，S四邊形ABCD：S四邊形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，則A'B'＝．【答案】2【分析】利用相似多邊形的性質解決問題即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形A'B'C′D'相似，邊AB與邊A'B'是對應邊，S四邊形ABCD：S四邊形A'B′C′D′＝2：4，∴，∵AB＝2，∴A′B′＝2，故答案為：2．15．（20-21九年級上·河南安陽·期末）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，隨機在大正方形及其內部區域投針，若針扎到小正方形區域（陰影部分）的概率是，則大、小兩個正方形的邊長之比是．【答案】【分析】根據針扎到小正方形（陰影部分）的概率是，求出小正方形與大正方形的面積之比，再根據相似多邊形面積之比等于相似比的平方即可求出答案．【詳解】解：∵針扎到小正方形（陰影部分）的概率是，∴，∴大、小兩個正方形的邊長之比是．故答案為：．16．（19-20九年級上·河南洛陽·期末）學生會要舉辦一個校園書畫藝術展覽會，為國慶獻禮，小華和小剛準備將長AD為400cm，寬AB為130cm的矩形作品四周鑲上彩色紙邊裝飾，如圖所示，兩人在設計時要求內外兩個矩形相似，矩形作品面積是總面積的，他們一致認為上下彩色紙邊要等寬，左右彩色紙邊要等寬，這樣效果最好，請你幫助他們設計彩色紙邊寬度．【答案】上下彩色紙邊寬為13cm，左右彩色紙邊寬為40cm．【分析】由內外兩個矩形相似可得，設A′B′=13x，根據矩形作品面積是總面積的列方程可求出x的值，進而可得答案．【詳解】∵AB＝130，AD＝400，∴，∵內外兩個矩形相似，∴，∴設A′B′＝13x，則A′D′＝40x，∵矩形作品面積是總面積的，∴，解得：x＝±12，∵x＝﹣12＜0不合題意，舍去，∴x＝12，∴上下彩色紙邊寬為（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色紙邊寬為（40x﹣400）÷2＝40．答：上下彩色紙邊寬為13cm，左右彩色紙邊寬為40cm．題型三證明兩三角形相似17．（20-21九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在三角形紙片中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；③兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似；④兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似．故選：B18．（21-22九年級上·河南商丘·期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，對于各組中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（）A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似【答案】A【分析】根據相似三角形的判定去判斷兩個三角形是否相似即可．【詳解】在圖①中：第一個三角形三個角分別為：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；第二個三角形的兩個角分別為：75°，70°；故根據兩個角分別相等的兩個三角形相似，得兩個三角形相似；在圖②中：∵，，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△DOB,故都相似．故選：A19．（21-22九年級上·河南洛陽·期末）如圖，在四邊形ABDC中，不等長的兩對角線AD、BC相交于O點，且將四邊形ABDC分成甲、乙、丙、丁四個三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，則此四個三角形的關系，下列敘述正確的是（）A．甲與丙相似，乙與丁相似B．甲與丙相似，乙與丁不相似C．甲與丙不相似，乙與丁相似D．甲與丙不相似，乙與丁不相似【答案】A【分析】利用已知條件得到即，加上對頂角相等，則可判斷△AOB∽△COD；再利用比例性質得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．【詳解】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故選：A．20．（21-22九年級上·河南洛陽·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由垂線的定義得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；【詳解】解：∵AD⊥CB，∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAC＝∠ADC＝90°又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，∴△ADC∽△BAC∽△BDA，故選：B．21．（18-19九年級上·河南焦作·期末）如圖，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故本選項不符合題意；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故本選項不符合題意；C、兩三角形的對應邊不成比例，故本選項符合題意；D、兩三角形對應邊成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夾角∠B相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意．故選：C．22．（20-21九年級上·河南洛陽·期末）如圖，，，在、、、、、中寫出一對相似三角形．【答案】【分析】設AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．【詳解】解：設AP，∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AP=PB=BC=CD，∴AB=，∴，，∴，又∵∠ABC=∠DBA，∴△ABC∽△DBA，故答案為：△ABC∽△DBA．23．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在等邊三角形中，點D、E、F分別在邊、、上，且．找出圖中所有相似的三角形（不要求證明）．【答案】，【分析】本題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質，利用全等三角形的判定定理，找出是解題的關鍵．利用等邊三角形的性質，可得出，，結合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可證出，同理可得出，進而可得出，利用全等三角形的性質，可得出，進而可得出是等邊三角形，結合等邊三角形的性質，可得出．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，又∵，∴．在和中，，∴，∴．同理：，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴．24．（23-24九年級上·河南南陽·期末）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現將矩形折疊，折痕為，點對應的點記為點，若點恰好落在邊上，請判斷與是否相似？如果不相似，請說明理由；如果相似，請證明．【答案】相似，證明見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質；根據矩形的性質得出，根據折疊的性質得出，進而證明進而即可得證．【詳解】解：相似證明：四邊形是矩形，，，由折疊的性質可得：，，，，25．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，點D為邊上一點，請用尺規作圖法，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查作圖﹣相似變換，熟練掌握相似三角形的判定與性質以及作一個角等于已知角的方法是解答本題的關鍵．若，則，根據作一個角等于已知角的方法，作，交于點E即可．【詳解】解：如圖，點E即為所求．．26．（23-24九年級上·河南·期末）如圖，已知鈍角中．(1)請用無刻度直尺和圓規在上定一點P，使得．（保留痕跡，不寫作法）(2)請用數學語言簡述作圖的合理性．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖是解題的關鍵．(1)作線段的垂直平分線，交于點P，連接，點P即為所求作．(2)利用兩個角對應相等的兩個三角形相似，說明即可．【詳解】（1）如圖，作線段的垂直平分線，交于點P，連接，則點P即為所求作．（2）根據作圖，得，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故作法是合理的．題型四選擇或補充條件使兩三角形相似27．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在中，P為上一點，在下列四個條件中不能判定和相似的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟記判定定理是解題的關鍵．根據三角形相似的判定方法逐一進行判斷．【詳解】解：當時,，，當時，,當時，即,當時，即而,所以不能判定，故選：D．28．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，點D、E分別在邊上，則下列條件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E為頂點的三角形與相似的條件有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是相似三角形的判定．根據相似三角形的判定定理對各條件進行逐一判斷即可．【詳解】解：①，則，故①符合題意；②，則，故②符合題意；③，且夾角，則，故③符合題意；④由可得，此時不確定，故④不符合題意，故選：C．29．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，不能判定和相似的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，根據相似三角形的判定定理進行判定即可．【詳解】解：A.由知，且，所以可判斷和相似，故選項A不符合題意；B.∵，且，所以可判斷和相似，故選項B不符合題意；C.∵，且，所以可判斷和相似，故選項C不符合題意；D.由，缺少條件，無法判斷和相似，故選項D不符合題意；故選：D．30．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，在中，點，分別在，邊上，與不平行，那么下列條件中，不能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定條件是解題關鍵．（1）三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（2）兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（3）有兩組角對應相等的兩個三角形相似．結合選項進行判斷即可．【詳解】解：A.因為，，所以，故該選項正確，不符合題意；B.因為，，所以，故該選項正確，不符合題意；C.由條件，不能證明，故該選項不正確，符合題意；D.因為，，所以，故該選項正確，不符合題意．故選：C．31．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，不能判定和相似的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題中已知是對頂角，應用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．此題考查了相似三角形的判定：有兩個對應角相等的三角形相似；有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．【詳解】解：A、不能判定，符合題意；B、能判定，利用兩邊成比例夾角相等，不符合題意；C、能判定，兩角對應相等的兩個三角形相似，不符合題意；D、能判定，兩角對應相等的兩個三角形相似，不符合題意．故選：A．32．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，添加一個條件后，能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟記“兩個角對應相等，兩三角形相似”是解題關鍵．【詳解】解：，，．故選：C．33．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠單獨判定相似于的條件有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，此題主要考查學生對相似三角形判定定理的理解和掌握，難度不大，屬于基礎題，要求學生應熟練掌握．由圖可知與中為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應邊成比例即可解答．【詳解】解：有三個．①可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定；②，再加上為公共角，可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；③中不是已知的比例線段的夾角，不正確④，再加上為公共角，可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；故選：C．34．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，在中，為上一點，下列四個條件中：①；②；③﹔④能滿足與相似的條件是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據相似三角形的判定方法對每個條件進行分析，從而獲得答案．【詳解】解：①∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，是的最短邊，是的最長邊，和不是對應邊，不能判定與相似；③∵，，∴；④，，∴．綜上所述，能滿足與相似的條件是①③④．故選：C．35．（21-22九年級上·河南南陽·期末）如圖，點P是的邊AC上一點，如果添加一個條件后可以得到，那么以下添加的條件中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：A.當∠ABP＝∠C時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；B.當∠APB＝∠ABC時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；C.當AB2＝AP?AC，即時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；D.無法得到△ABP∽△ACB，故此選項符合題意．故選：D．36．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，在中，，點D在邊上（點D不與A，C重合）．若再增加一個條件能使，則這個條件是______；結合你所添加的條件，證明．【答案】（答案不唯一），見解析【分析】本題考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：（答案不唯一）證明：在和中，∴．（有兩角對應相等的兩個三角形相似）題型五相似三角形的證明37．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則圖中相似三角形共有()A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【詳解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三對相似三角形．故選C．38．（23-24九年級上·河南焦作·期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判斷中，錯誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正確，D不正確；即可得出結論．【詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相似；正確的判斷是A、B、C，錯誤的判斷是D；故選D．39．（23-24九年級上·河南太康·期末）如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，連接BD，若想使△ABD∽ACB，可添加的條件是.【答案】∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC【分析】根據兩角相等的三角形是相似三角形即可解題.【詳解】解：根據相似三角形的判定可知當∠ABD=∠C時,∠A=∠A,△ABD∽ACB，當∠ADB=∠ABC時,∠A=∠A,△ABD∽ACB，故答案為∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC40．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，點D從A出發以每秒個單位的速度向點B運動，同時點E從點B出發以每秒4個單位的速度向點C運動，在DE的右側作∠DEF＝∠B，交直線AC于點F，設運動的時間為t秒，則當△ADF是一個以AD為腰的等腰三角形時，t的值為．【答案】【分析】當△ADF是一個以AD為腰的等腰三角形時，如圖2，只能AD＝AF，由題意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四邊形BEFD是平行四邊形，由△ABC∽△BED，可得，延長構建方程即可解決問題；【詳解】如圖1，過A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝，∴BG＝CG＝2，由勾股定理得：AG＝＝1，由圖形可知：∠BAC是鈍角，∴當△ADF是一個以AD為腰的等腰三角形時，如圖2，只能AD＝AF，由題意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，∴△ABC∽△BED，∴，∴，∴t＝，故答案為．41．（23-24九年級上·河南商丘·期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=AB，連接DE．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉，記旋轉角為θ．（1）問題發現①當θ=0°時，=；②當θ=180°時，=．（2）拓展探究試判斷：當0°≤θ＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決①在旋轉過程中，BE的最大值為；②當△ADE旋轉至B、D、E三點共線時，線段CD的長為．【答案】（1）①；（2）無變化，證明見解析；（3）①2+2+1或﹣1.【分析】（1）①先判斷出DE∥CB，進而得出比例式，代值即可得出結論；②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性質即可得出結論；（2）先∠CAD=∠BAE，進而判斷出△ADC∽△AEB即可得出結論；（3）分點D在BE的延長線上和點D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）結論即可得出CD．【詳解】解：（1）①當θ=0°時，在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴∠A=∠B=45°，AB=2，∵AD=DE=AB=，∴∠AED=∠A=45°，∴∠ADE=90°，∴DE∥CB，∴，∴，∴，故答案為，②當θ=180°時，如圖1，∵DE∥BC，∴，∴，即：，∴，故答案為；（2）當0°≤θ＜360°時，的大小沒有變化，理由：∵∠CAB=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∵，∴△ADC∽△AEB，∴；（3）①當點E在BA的延長線時，BE最大，在Rt△ADE中，AE=AD=2，∴BE最大=AB+AE=2+2；②如圖2，當點E在BD上時，∵∠ADE=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根據勾股定理得，BD==，∴BE=BD+DE=+