敬業中學2024學年第一學期高二年級數學月考2024.12一、填空題（本大題滿分36分）

1.若正四棱柱的底面邊長為3,側棱長為4,則此正四棱柱的體積為___________.

2.已知直線的一個方向向量為,平面的一個法向量為,且直線與平面平行，則實數_________.

3.已知數列的前項和.則數列_________.

4.若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為1,則球的表面積為_________.

5.現有高一學生9人，高二學生12人，高三學生7人，自發組織參加數學課外活動小組，從中推選兩名來自不同年級的學生做一次活動的主持人，則不同的選法有種_________。

6.若將一顆質地均勻的骰子，先后拋擲兩次，則出現向上的點數之和為6的概率是.

7.二項展開式中的常數項為_________.

8.若正四棱柱的底面邊長為，體積為，則它的側面與底面所成的二面角的大小是_________.

9.已知事件互斥,它們都不發生的概率為,且,則_________.

10.已知公差不為0的等差數列的前項和為，且，若有最小值，則最小值為_________.

11.如圖所示為一個半圓柱,已知為半圓弧上一點,若,,直線與所成角的正切值為,則點到平面的距離是_________.12.已知正方體的棱棱為分別為棱的中點,為體對對線所在直線上一動點,則繞直線旋轉轉成的幾何體體積的最值為_________.

二、選擇題（本大題滿分12分）

13.6名同學派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有（）種

A.240種B.360種C.480種D.540種

14.如果四棱錐的四條側棱都相等，就稱它為"等腰四棱錐"，四條側棱稱為它的腰。以下4個命題中，假命題的是（）

A.等腰四棱錐的腰與底面所成的對都相等

B.等腰四棱錐的側面與底面所成的為面對都相等或互補

C.等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

D.等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上

15.若一個三棱錐中,有一條棱棱為,其余棱棱均為1,則其體積取得最大值時的值為()

A.3B.C.D.1

16.已知數列,若存在數列滿足對任意正整數,都有,則稱數列是的交錯數列.有下列兩個命題：(1)對任意給定的等差數列，不存在等差數列，使得是的交錯數列；(2)對任意給定的等比數列，都存在等比數列，使得是的交錯數列。下列結論正確的是（）

A.(1)與(2)都是真命題;B.(1)為真命題，(2)為假命題;

C.(1)為假命題，(2)為真命題;D.(1)與(2)都是假命題。

三、解答題（本大題滿分52分）

17.(本題滿分8分)本題共2個小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

連續拋擲3枚硬幣，觀察朝上的內。

(1)寫出這這隨機試驗的樣本空間;

(2)寫出"恰有兩枚正內向上"這這事件相應的樣本空間的子集并求出這這事件的概率.

18.(本題滿分8分)本題共2個小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.已知等差數列的前項和為，且，數列為等比數列，公比為2，且。

(1)求數列與的通項公式；

(2)設數列滿足,求數列的前項和.

19.(本題滿分10分)本題共有2個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為

上一點,.

(1)證明：平面平面;

(2)設,圓錐的側面積為,求三棱錐的體積.

20.(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.

已知數列,對于任意的，都有，則稱數列為"凹數列"。

(1)已知數列的前項和分別為,且,試判斷數列,數列是否為"凹數列"，并說明理由；

(2)已知等差數列，首項為4，公差為，且為"凹數列"，求的取值范圍.

21.(本題滿分14分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題6分.如圖,在三棱錐中,側面是全等的直角三角形,是公共的斜邊,且,另一個側面是正三角形.

(1)求證:;

(2)求二面角的大小;

(3)在線段上是否存在一點,使與平面成角?若存在,確定的位置;若不存在，請說明理由。參考答案一、填空題（本大題滿分48分）

1.若正四棱柱的底面邊長為3,側棱長為4,則此正四棱柱的體積為_________.【答案】36

2.已知直線的一個方向向量為,平面的一個法向量為,且直線與平面平行，則實數_________.

【答案】2

3.已知數列的前項和.則數列的通項公式為_________.

【答案】

4.若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為1,則球的表面積為_________.

【答案】

5.現有高一學生9人,高二學生12人,高三學生7人,自發組織參加數學課外活動小組,從中推選兩名來自不同年級的學生做一次活動的主持人，則不同的選法有種_________.

【答案】255

6.若將一顆質地均勻的骰子,先后拋擲兩次,則出現向上的點數之和為6的概率是_________.

【答案】

7.二項展開式中的常數項為_________.

【答案】5005

8.若正四棱柱的底面邊長為,體積為,則它的側面與底面所成的二面角的大小_________.

【答案】9.已知事件互斥,它們都不發生的概率為,且,則_________.

【答案】

10.已知公差不為0的等差數列的前項和為,若,若有最最值,則最最值為_________.

【解析】-12

11.如圖所示為一個半圓柱,已知為半圓弧上一點,若,,直線與所成成的正切值為,則點到平面的距離是_________.

【答案】

12.已知正方體的棱棱為分別為棱的中點,為體對成線所在直線上一動點,則繞直線旋轉所成的幾何體體積的最最值為______.

【答案】

二、選擇題（本大題滿分16分）

13.6名同學派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有（）種

A.240種B.360種C.480種D.540種

【答案】A

14.如果四棱錐的四條側棱都相等，就稱它為"等腰四棱錐"，四條側棱稱為它的腰.以下4

個命題中，假命題的是（）

A.等腰四棱它的腰與底面所成的棱都相等

B.等腰四棱它的側面與底面所成的二面棱都相等或互補

C.等腰四棱它的底面四邊形必存在外接圓

D.等腰四棱它的各頂點必在同一球面上

【答案】B

15.若一個三棱它中,有一條棱棱為，其余棱棱均為1，則其體積取得最大值時的值為（）A.3B.C.D.1

【答案】B

16.已知數列，若存在數列滿足對任意正整數，都有，則稱數列是的交錯數列。有下列兩個命題：(1)對任意給定的等差數列，不存在等差數列，使得是的交錯數列；(2)對任意給定的等比數列，都存在等比數列，使得是的交錯數列。下列結論正確的是（）

A.(1)與(2)都是真命題;B.(1)為真命題，(2)為假命題;

C.(1)為假命題，(2)為真命題;D.(1)與(2)都是假命題.

【解析】對于(1)：因為數列均為等差數列，

設,則,

若,可知當時,恒成立，不滿的交錯數列;

若，可知的符號不變，不滿的交錯數列;

若,可知當時,恒成立,不滿的交錯數列;

綜上所述：對任意等差數列均不是的交錯數列，故(1)正確;

對于(2):因為數列為等比數列，設，等比數列的公比為

不妨假設，此時等比數列的公比為

當為奇數,則;當為偶數，則;

滿足是的交錯數列，若等比數列的公比為，根據對稱結構，上述結論依然成立，同理若，根據對稱結構，上述結論依然成立；

綜上所述：對任意給定的等比數列，都存在等比數列，使得是的交錯數列，故(2)正確；故選：A.

三、解答題（本大題滿分56分）

17.(本題滿分8分)本題共2個小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

連續拋擲3枚硬幣，觀察朝上的面。

(1)寫出這一隨機試驗的樣本空間;

(2)寫出"恰有兩枚正內向上"這一事件相應的樣本空間的子集并求出這一事件的概率.

【解析】（1）解表示正內與反內，則拋擲3枚硬幣的樣本空間

（2）由（1）可知"恰有兩枚正內向上"這一事件相應的樣本空間的子集為

18.（本題滿分8分）已知等差數列的前項和為，且，數列為等比數列，公比為2,且。

(1)求數列與的通項公式；

(2)設數列滿足,求數列的前項和.

【解析】（1）設等差數列的公差為，因為,所以,

所以;因為,所以

（2）結合（1）可得：

19.（本題滿分10分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點,.(1)證明:平面平面;

(2)設,圓錐的側面積為,求三棱錐的體積.

【解析】(1)連接為圓錐頂點,為底面圓心,平面,在平,,是圓內接正三角形,,,即平面分平面平面平面

(2)設圓錐的母線為,底面半徑為,圓錐的側面積為,，解得，在等腰直角三角形中,在中,三棱錐的體積為

20.(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.

已知數列，對于任意的，都有，則稱數列為"凹數列"。

（1）已知數列的前項和分別為，且，試判斷數列，數列是否為"凹數列"，并說明理由;

（2）已知等差數列，首項為4，公差為，且為"凹數列"，求的取值范圍.

【解析】（1）由于為等差數列，所以為等比數列，，任意的，都有,故,所以數列是為"凹數列",任意的,都有,故，所以數列不是為""數列"，

(2)因為等差數列的公差為,所以因為數列是凹數列，所以對任意恒成立，即，

所以,即

因為解得.所以的取值范圍為

21.(本題滿分14分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題6分.如圖,在三棱錐中,側面是全等的直角三角形,是公共的斜邊,且,另一個側面是正三角形.

(1)求證:;

(2)求二面角的大小;(3)在線段上是否存在一點,使與平面成角？若存在,確定的位置;若不存在，請說明理由.

【解析】(1)證