第26講二元一次不定方程一、第26講二元=次不定方程（練習題部分）1.判斷下列二元一次方程有無整數解，并說明理由．（1）2x+6y=5；（2）4x+6y=8；（3）3x+5=6y+11；（4）．2.求下列二元一次方程的解．（1）2x+6y=7；（2）-3x-3=4y+6．3.求下列二元一次方程的整數解．（1）5x+10y=20；（2）3x-4y=7；（3）4x+7y=8；（4）13x+30y=4．4.求下列方程的正整數解．（1）11x+15y=20：（2）2x+5y=21；（3）5x-2y=3：（4）5x+8y=32．5.試將100分成兩個正整數之和，其中一個為11的倍數，另一個為17的倍數．6.小明在甲公司打工．幾個月后同時又在乙公司打工．甲公司每月付給他薪金470元，乙公司每月付給他薪金350元．年終小明從這兩家公司共獲得薪金7620元．問他在甲、乙兩公司分別打工幾個月?

答案解析部分一、第26講二元=次不定方程（練習題部分）1.【答案】（1）解：∵2和6的最大公約數為2，25，

∴原方程無整數解.

（2）解：∵2和6的最大公約數為2，而2|8，

∴原方程有整數解.

（3）解：∵3x+5=6y+11；

∴3x-6y=6；

∵3和6的最大公約數為3，而3|6，

∴原方程有整數解.

（4）解：變形為：3x+2y=11，

∵3和2的最大公約數為1，而1|11，

∴原方程有整數解.【解析】【分析】對于整系數方程ax+by=c，a與b的最大公約數為d，由定理1可知：若d|c，則原方程有整數解；若dc,則原方程沒有整數解．2.【答案】（1）解：∵2x+6y=7，

∴x=，

∴原方程的解為：，（k為任意數）.

（2）解：∵-3x-3=4y+6得3x+4y=-9，

∴x=-=-3-，

∴原方程的解為：，（k為任意數）.【解析】【分析】將其中的一個未知數看作常數，解出另一個未知數，看作常數的未知數取為任意數，從而可得原方程的解.3.【答案】（1）解：由5x+10y=20得x+2y=4，

∴x=4-2y，

∴x=0，y=2是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數）.

（2）解：∵3x-4y=7，

∴x==2+y+，

∵x為整數，

∴3|1+y，

∴y=2，x=5，

∴x=5，y=2是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數）.

（3）解：∵4x+7y=8，

∴x==2-，

∵x為整數，

∴4|7y，

∴y=4，x=-5，

∴x=-5，y=4是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數）.

（4）解：∵13x+30y=4，

∴x==1-2y-，

∵x為整數，

∴13|9+4y，

∴y=1，x=-2，

∴x=-2，y=1是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數）.【解析】【分析】由定理1整系數方程ax+by=c有整數解的充分且必要條件是a與b的最大公約數d能整除c，我們知道，若ax+by=c有解，則a與b的最大公約數d|c．這時，我們可以在原方程的兩邊同時約去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一個同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．這時a1與b1的最大公約數為1．因此，只要討論d=1的情況即可．我們有如下的定理：

定理2若a與b的最大公約數為1(即a與b互質)，x0、y0為二元一次整系數不定方程ax+by=c的一組整數解(也稱為特解)，則ax+by=c的所有整數解(也稱通解)為(k為任意整數)．因此，當d=1時，ax+by=c有解，并且解這個二元一次方程的關鍵在于找它的一組特解x0、y0.4.【答案】（1）解：∵11x+15y=20，

∴x==2-y-，

∵x是整數，

∴11|2+4y，

∴y=5，x=-5，

∴x=-5，y=5是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：＜k＜，

∴不存在整數k，

∴原方程無正整數解.

（2）解：∵2x+5y=21，

∴x==10-3y+，

∵x是整數，

∴2|1+y，

∴y=1，x=8，

∴x=8，y=1是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

∴k=-1，或k=0，

∴原方程正整數解為：或.

（3）解：解：∵5x-2y=3，

∴x=，

∵x是整數，

∴5|3+2y，

∴y=1，x=1，

∴x=1，y=1是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：k＜，

∴原方程正整數解為：（k=0，1，2，3……）.

（4）解：∵5x+8y=32，

∴x==6-2y+（1+y），

∵x是整數，

∴1+y是5的倍數，

∴y=4，x=0，

∴x=0，y=4是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：，（k為任意整數），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：0＜k＜，

∴不存在整數k，

∴原方程無正整數解.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整數解時，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式組．由不等式組解得k的范圍．在這范圍內取k的整數值，代人通解，即得這個不定方程的所有正整數解．5.【答案】解：依題可設：

100=11x+17y，

原題轉換成求這個方程的正整數解，

∴x==9-2y+，

∵x是整數，

∴11|1+5y，

∴y=2，x=6，

∴x=6，y=2是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：（k為任意整數），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

∴k=0，

∴原方程正整數解為：.

∴100=66+34.

【解析】【分析】根據題意可得：100=11x+17y，從而將原題轉換成求這個方程的正整數解；求二元一次不定方程的正整數解時，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式組．由不等式組解得k的范圍．在這范圍內取k的整數值，代人通解，即得這個不定方程的所有正整數解．6.【答案】解：設他在甲公司打工x個月，在乙公司打工y個月，依題可得：

470x+350y=7620，

化簡為：47x+35y=762，

∴x==16-y+，

∵x是整數，

∴47|10+12y，

∴y=7，x=11，

∴x=11，y=7是原方程的一組解，

∴原方程的整數解為：（k為任意整數），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

k=0，

∴原方程正整數解為：.

答：他在甲公司打工11個月，在乙公司打工7個月.

【解析】【分析】設他在甲公司打工x個月，在乙公司打