第二十八章圓一、選擇題(本大題有16個(gè)小題,1~10小題,各3分,11~16小題,各2分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.有下列四個(gè)說法:①半徑確定了,圓就確定了;②直徑是弦;③弦是直徑;④半圓是弧,但弧不一定是半圓.其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.如圖1,點(diǎn)A,B,C在☉O上,若∠BOC=72°,則∠BAC的度數(shù)是()A.72° B.54° C.36° D.18°圖1圖23.九個(gè)相同的等邊三角形如圖2所示,已知點(diǎn)O是一個(gè)三角形的外心,則這個(gè)三角形是()A.△ABC B.△ABE C.△ABD D.△ACE4.如圖3,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為P.若CD=AP=8,則☉O的直徑為()圖3A.10 B.8 C.5 D.35.如圖4,AB為☉O的直徑,已知∠DCB=20°,則∠DBA的度數(shù)為()圖4A.50° B.20° C.60° D.70°6.如圖5,已知△ABC內(nèi)接于☉O,點(diǎn)P在☉O內(nèi),點(diǎn)O在△PAB內(nèi).若∠C=50°,則∠P的度數(shù)可以為()圖5A.20° B.50° C.110° D.80°7.如圖6,☉O過點(diǎn)B,C,圓心O在等腰直角三角形ABC內(nèi)部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,則☉O的半徑為()A.10 B.23 C.13 D.32圖6圖78.如圖7,在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中,BC=DC,∠BOC=130°,則∠BAD的度數(shù)是()A.120° B.130° C.140° D.150°9.如圖8,△ABC內(nèi)接于☉O,AB=BC,∠ABC=120°,☉O的直徑AD=6,則BD的長為()A.2 B.3 C.23 D.33圖8圖910.如圖9,□ABCD的頂點(diǎn)A,B,D在☉O上,頂點(diǎn)C在☉O的直徑BE上,∠ADC=53°,連接AE,則∠AEB的度數(shù)為()A.37° B.46° C.27° D.63°11.已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別為8,6,則它的外接圓的半徑是()A.5 B.4 C.5或7 D.4或512.如圖10,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個(gè)角中,一定與∠ACD互余的角是()A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD圖10圖1113.如圖11,四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形,AB是直徑,DC=CB.若∠C=110°,則∠ABC的度數(shù)等于(A.55°B.60°C.65°D.70°14.如圖12,在扇形AOB中,∠AOB=100°,OA=12,C是OA的中點(diǎn),CD⊥OA交AB于點(diǎn)D,以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑的CE交OB于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積是 ()A.12π+183 B.12π+363C.6π+183 D.6π+363圖12圖1315.如圖13,A,B,C是☉O上的三點(diǎn),且四邊形ABCO是平行四邊形,OF⊥OC交☉O于點(diǎn)F,則∠BAF等于 ()A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°16.如圖14,以點(diǎn)O為圓心,4為半徑作扇形AOB,已知AO⊥BO,點(diǎn)E在OA上,且OE=23,CD垂直平分OB,動(dòng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合).設(shè)△ODP的外心為I,則EI的最小值為()圖14A.1 B.2C.23-1D.3+1二、填空題(本大題有3個(gè)小題,共11分.17小題3分,18~19小題各有2個(gè)空,每空2分,把答案寫在題中橫線上)17.如圖15,點(diǎn)A,B,C在☉O上,CO的延長線交AB于點(diǎn)D,∠A=50°,∠B=30°,則∠ADC的度數(shù)為.

圖15圖1618.如圖16,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,4),(5,4),(1,-2),則以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形外接圓的圓心坐標(biāo)是,這個(gè)圓的半徑是.

19.如圖17,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,邊CD在直線l上,將矩形ABCD沿直線l作無滑動(dòng)翻滾,當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1的位置時(shí),點(diǎn)A,A1之間的距離為,點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為.

圖17三、解答題(本大題有7個(gè)小題,共67分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)20.(本小題滿分8分)如圖18所示,殘破的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.已知AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)求(1)中所作圓的半徑.圖1821.(本小題滿分9分)如圖19,在☉O中,直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P,∠CAB=40°,∠APD=65°.(1)求∠B的大小;(2)已知AD=6,求圓心O到BD的距離.圖1922.(本小題滿分9分)如圖20,已知AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點(diǎn),OC∥BD,交AD于點(diǎn)E,連接BC.(1)求證:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AC的長及扇形AOC的面積.圖2023.(本小題滿分9分)如圖21,☉C經(jīng)過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),D為☉C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且∠ODB=60°.(1)求線段AB的長及☉C的半徑;(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).圖2124.(本小題滿分10分)如圖22,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∠ABC=2∠D,連接OA,OB,OC,AC,OB與AC相交于點(diǎn)E.(1)求∠OCA的度數(shù);(2)若∠COB=3∠AOB,OC=23,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號(hào)).圖2225.(本小題滿分10分)如圖23,☉O是△ABC的外接圓,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上,AE∥BC,AE(1)求證:AD=CE;(2)如果點(diǎn)G在線段DC上(點(diǎn)G不與點(diǎn)D重合),且AG=AD.求證:四邊形AGCE是平行四邊形.圖2326.(本小題滿分12分)如圖24,在△ABC中,AB=BC=2,以AB為直徑的☉O分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,且D為BC的中點(diǎn).(1)求證:△ABC為等邊三角形.(2)求DE的長.(3)連接AD,在線段AB的延長線上是否存在一點(diǎn)P,使△PBD≌△AED?若存在,請(qǐng)求出BP的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.圖24答案1.B[解析]①確定圓的條件是圓心與半徑,故此說法錯(cuò)誤;②直徑是弦,且直徑是圓內(nèi)最長的弦,故此說法正確;③只有過圓心的弦才是直徑,故此說法錯(cuò)誤;④半圓是弧,但弧不一定是半圓,圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧,每一條弧都叫半圓,所以半圓是弧.比半圓大的弧是優(yōu)弧,比半圓小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圓,故此說法正確.其中錯(cuò)誤的說法是①③.2.C[解析]∠BAC=12∠BOC=123.C[解析]三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn).通過作圖可知,點(diǎn)O是△ABD的外心.4.A[解析]連接OC.∵CD⊥AB,CD=8,∴PC=12CD=12在Rt△OCP中,設(shè)OC=x,則OA=x,∴OP=AP-OA=8-x,在Rt△OCP中,由勾股定理,得OC2=PC2+OP2,∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,∴☉O的直徑為10.5.D[解析]∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,則∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°,∴∠DBA=∠ACD=70°.6.D[解析]延長AP交☉O于點(diǎn)D,連接BD,則∠ADB=∠C=50°.∵∠APB是△BDP的一個(gè)外角,∴∠APB>∠ADB=50°.∵點(diǎn)O在△PAB內(nèi),∴∠APB<100°,∴∠P的度數(shù)可以為80°.7.C[解析]如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D.由題意可知AD必過點(diǎn)O,連接OB.∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3,∴OD=AD-OA=2.在Rt△OBD中,根據(jù)勾股定理,得OB=BD8.B[解析]如圖,連接OD.∵BC=DC,∴BC=∴∠BOC=∠COD=130°,則∠BOD=360°-2×130°=100°,∴∠BCD=12∠BOD則∠BAD=180°-∠BCD=180°-50°=130°.故選B.9.D[解析]∵AB=BC,∠ABC=120°,∴∠BAC=∠ACB=30°,∴∠ADB=30°.∵AD為☉O的直徑,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,BD=AD·cos30°=6×32=3310.A[解析]∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠B=∠ADC=53°.∵BE為☉O的直徑,∴∠BAE=90°,∴∠AEB=90°-53°=37°.11.D[解析]當(dāng)這個(gè)直角三角形的兩直角邊長分別為6,8時(shí),則該直角三角形的斜邊長為62+82=10,∴它的外接圓的半徑是5;當(dāng)這個(gè)直角三角形的一條直角邊長為6,斜邊長為8時(shí)12.D13.A[解析]如圖,連接AC.∵四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形,∴∠DAB=180°-∠BCD=70°.∵DC=CB,∴∠CAB=12∠DAB=35°.∵AB是半圓∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=55°.故選A.14.C[解析]如圖,連接OD,AD.∵C為OA的中點(diǎn),∴OC=12OA=12OD∵CD⊥OA,∴∠CDO=30°,∴∠DOC=60°.在Rt△OCD中,OC=6,OD=12,∴CD=63,∴S扇形AOD=60×π×122360=24π,∴S陰影=S扇形AOB-S(S扇形AOD-S△COD)=100×π×122360-100×π×62360-(24π-1215.B[解析]如圖,連接OB.∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴OC∥AB,OC=AB.又OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB為等邊三角形,∴∠AOB=60°.∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°.由圓周角定理得∠BAF=12∠BOF=15°故選B.16.B[解析]如圖,連接DE,OC,CE.在Rt△COD中,CD=OC2-OD2=23,∴OE=CD.又∵CD∥OE,AO⊥BO,∴四邊形EODC為矩形,∴DE=OC∴△ODP的外心I是OP的中點(diǎn),∴DI=12OP.在△EID中,EI+ID≥DE,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),EI+ID=DE=4,DI=12OP=2,∴EI的最小值為4-17.110°[解析]∵∠A=50°,∴∠BOC=2∠A=100°.∵∠B=30°,∠BOC=∠B+∠BDC,∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°,∴∠ADC=180°-∠BDC=110°.18.(3,1)13[解析]如圖,作弦AB,AC的垂直平分線,交點(diǎn)O1即為圓心,坐標(biāo)是(3,1).連接O1A,根據(jù)勾股定理,得O1A=13,即該圓的半徑是13.19.146π[解析]AA1=2AB+2BC=8+6=14;矩形ABCD的對(duì)角線AC=BD=BC2+AB2當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A'的位置時(shí),經(jīng)過的路線長為90π×3180當(dāng)點(diǎn)A'第一次翻滾到點(diǎn)A″的位置時(shí),點(diǎn)A'經(jīng)過的路線長為90π×4180當(dāng)點(diǎn)A″第一次翻滾到點(diǎn)A1的位置時(shí),點(diǎn)A″經(jīng)過的路線長為90π×5180=∴當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1的位置時(shí),點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為32π+2π+5220.解:(1)如圖,☉O即為所求.(2)連接OA.由題意易知點(diǎn)O在CD上,設(shè)OA=xcm,則OD=(x-8)cm.∵OC⊥AB,∴AD=BD=12AB=12cm在Rt△AOD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,∴x2=122+(x-8)2,解得x=13.答:圓的半徑為13cm.21.解:(1)∵∠APD是△ACP的外角,∴∠C=∠APD-∠CAB=65°-40°=25°.根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”得∠B=∠C=25°.(2)過點(diǎn)O作OE⊥BD,垂足為E,則BE=DE.∵OA=OB,BE=DE,∴OE為△ABD的中位線,∴OE=12AD=322.解:(1)證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴AC=CD,∴∠ABC=∠∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴AC的長=72π×5180S扇形AOC=72π×5223.解:(1)如圖,連接AB.∵∠ODB=∠OAB,∠ODB=60°,∴∠OAB=60°.∵∠AOB是直角,∴AB是☉C的直徑,∠OBA=30°,∴AB=2OA=4,∴☉C的半徑為2.(2)在Rt△OAB中,由勾股定理,得OB2+OA2=AB2,∴OB=23,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(23,0).24.解:(1)∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠ABC+∠D=180°.∵∠ABC=2∠D,∴∠D+2∠D=180°,∴∠D=60°,則∠AOC=2∠D=120°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=12(180°-∠AOC)=30°(2)∵∠COB=3∠AOB,∴∠AOC=