第6章控制系統的狀態空間綜合內容提要：

控制系統的分析和綜合是控制系統研究的兩大課題。系統分析包括：狀態方程式的求解；能控性和能觀測性分析；能控性和能觀測性分解；穩定性分析；化成各種標準型等。系統綜合包括：設計控制器，尋求改善系統性能的各種控制規律，以保證系統的各種性能指標要求都得到滿足。知識要點：

串聯解耦和反饋解耦的可解耦性條件，解耦控制的設計方法步驟；理解分離定理，分別獨立設計矩陣K

和L

，以構成狀態反饋的閉環控制系統。

利用狀態反饋任意配置系統的極點;

利用輸出反饋任意配置觀測器的極點；目錄6.1反饋控制系統的基本結構與特點6.2反饋控制與極點配置6.3系統鎮定問題6.4狀態觀測器及設計6.5狀態反饋和狀態觀測器的應用6.6多變量解耦控制系統的綜合6.7利用MATLAB實現系統的狀態反饋和狀態觀測器

小結習題

6.1反饋控制系統的基本結構與特點

無論是在經典控制理論中，還是在現代控制理論中，反饋都是系統設計的主要方式。經典控制理論是用傳遞函數來描述系統的，因此，只能從輸出引出信號作為反饋量。現代控制理論使用系統內部的狀態來描述系統，所以除了可以從輸出引進反饋信號外，還可以從系統的狀態引出信號作為反饋量以實現狀態反饋。

采用狀態反饋不但可以實現閉環系統的極點任意配置，而且它也是實現系統解耦和構成線性最優調節器的主要手段。

6.1.1狀態反饋和輸出反饋的結構形式

狀態反饋就是將系統的狀態向量通過線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進行比較，然后產生控制作用，形成閉環控制系統。

狀態反饋系統框圖如圖6-1所示。圖6-1多輸入多輸出系統的狀態反饋結圖

1狀態反饋圖6-1中被控系統的狀態空間表達式為

（6-1）

式中，—n維狀態向量，—r維輸入向量，

—m維輸出向量，—n

n矩陣，

—nr矩陣，—mn矩陣，

—mr矩陣。

狀態反饋控制律為

（6-2）

式中,—r維參考輸入向量，—r

n狀態反饋矩陣。對于單輸入系統，—1n行矩陣。

把式（6-2）代入式（6-1）中整理后，可得狀態反饋閉環系統的狀態空間表達式為

（6-3）

若，則

（6-4）

簡記為。

經過狀態反饋后，系統的傳遞函數陣為

由此可見，經過狀態反饋后:

輸入矩陣B和輸出矩陣沒有變化，僅僅是系統矩陣發生了變化，變成了；狀態反饋陣的引入，沒有引入新的狀態變量，也不增加系統的維數，但通過的選擇可以有條件自由改變系統的特征值，從而使系統獲得所要求的性能。

圖6-2多輸入多輸出系統的輸出反饋結構圖

2輸出反饋

輸出反饋就是將系統的輸出向量通過線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進行比較，然后產生控制作用，形成閉環控制系統。

圖5-2中被控系統的狀態空間表達式為（6-5）

式中，—n維狀態向量，—r維輸入向量，

—m維輸出向量，—n

n矩陣，

—nr矩陣，—mn矩陣，

—mr矩陣。

輸出反饋控制律為

（6-6）

式中,—r維參考輸入向量，—r

m輸出反饋矩陣。把式（6-5）的輸出方程代入式（6-6）中整理后，得

再將上式代入（6-5），可得輸出反饋閉環系統的狀態空間表達式為

（6-7）

若，則

（6-8）

簡記為

。

經過輸出反饋后，系統的傳遞函數為

若原被控系統的傳遞函數陣為

則和有如下關系

由此可見，經過輸出反饋后:

輸入矩陣B和輸出矩陣C沒有變化，僅僅是系統矩陣變成了；閉環系統同樣沒有引入新的狀態變量，也不增加系統的維數。由于系統輸出所包含的信息不是系統的全部信息，即m<n，所以輸出反饋只能看成是一種部分狀態反饋。

6.1.2反饋控制的特點

定理6-1狀態反饋不改變被控系統的能控性，但卻不一定能保持系統的能觀測性。

證明因為原被控系統和狀態反饋系統的能控性判別陣分別為

和

由于，這表明的列向量可以由的列向量的線性組合來表示。同理，的列向量可以由的列向量的線性組合來表示。依次類推，于是就有的列向量可以由的列向量的線性組合表示。因此，可看作是由經初等變換得到的，而矩陣做初等變換并不改變矩陣的秩。所以與的秩相同，能控性不變，得證。

關于狀態反饋不保持系統的能觀測性可做如下解釋：

例如，對單輸入單輸出系統，狀態反饋會改變系統的極點，但不影響系統的零點。這樣就可能會出現把閉環系統的極點配置在原系統的零點處，使傳遞函數出現零極點對消現象，因而破壞了系統的能觀測性。

定理6-2輸出反饋不改變原被控系統的能控性和能觀測性。

證明因為輸出反饋中的等效于狀態反饋中的，那么輸出反饋也保持了被控系統的能控性不變。

關于能觀測性不變，可由能觀測性判別矩陣

和

仿照定理5-1的證明方法，同樣可以把看作是經初等變換的結果，而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀測性不變。

例6-1設系統的狀態空間表達式為

試分析系統引入狀態反饋后的能控性與能觀測性。

解

容易驗證原系統是能控且能觀測的。引入后，閉環系統的狀態空間表達式根據式（6-4）可得

不難判斷，系統是能控的，但不是能觀測的。可見引入狀態反饋后，閉環系統保持能控性不變，而不能保持能觀測性。實際上這反映在傳遞函數上出現了零極點對消的現象。

6.2反饋控制與極點配置

所謂極點配置：就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環系統的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所期望的動態性能。

本節重點討論單輸入單輸出系統在已知期望極點的情況下，如何設計反饋增益矩陣。

6.2.1極點配置定理

單輸入單輸出線性定常系統通過狀態反饋，得閉環系統的狀態空間表達式為

（6-13）

式中，反饋矩陣為的矩陣。

定理6-4通過狀態的線性反饋，可實現閉環系統極點任意配置的充分必要條件是被控系統的狀態是完全能控的。

證明：（1）充分性：若被控系統的狀態是完全能控的，那么閉環系統必能任意配置極點。

利用線性變換，將其化成能控標準型

（6-14）

式中

被控系統的傳遞函數為

（6-15）

（6-16）

在能控標準型的基礎上，引入狀態反饋

式中

將上式代入式（6-14）中，可求得對的閉環系統的狀態空間式為

因為線性變換不改變系統的特征值，故系統的特征多項式為

和陣不變。陣不變表明增加狀態反饋后，而不能改變傳遞函數的零點。

其對應的特征多項式為

（6-17）

式中

假如任意提出的n個期望閉環極點為，期望的閉環系統特征多項式為

（6-18）

令的同次冪的系數相等，則有

閉環系統的傳遞函數為

于是得

（5-19）

該結果表明是存在的。和

可得到原系統的狀態反饋陣的表達式為

由于為非奇異變換陣，所以陣是存在的（2）必要性：如果被控系統通過狀態的線性反饋可實現極點的任意配置，需證明被控系統的狀態是完全能控的。采用反證法，假設被控系統可實現極點的任意配置，但被控系統的狀態不完全能控。將系統分解為能控和不能控兩部分，即

引入狀態反饋

式中

系統變為

由此可見，利用狀態的線性反饋只能改變系統能控部分的極點，而不能改變系統不能控部分的極點，也就是說，在這種情況下不可能任意配置系統的全部極點，這與假設相矛盾，于是系統是完全能控的。必要性得證。

相應的特征多項式為

使兩個多項式s對應項的系數相等，得到n個代數方程，即可求出

方法二：：在充分性的證明過程中，已得

根據

方法一：

求取狀態反饋陣的方法

其中，為將系統化成能控標準型的非奇異變換陣，即

代入上式，得

即

（6-20）

式中

例6-2已知系統的狀態空間表達式為

試求取狀態反饋陣,使閉環系統的極點配置在-1和-2上。

解因

rankrankrank

所以，被控系統的狀態完全能控，通過狀態的線性反饋可以實現閉環系統極點的任意配置。方法一設

則

而期望的特征多項式為

比較以上兩式的s同次冪系數，可求得

方法二

由

得

根據式（6-20）有

加狀態反饋后閉環系統的結構圖，如圖6-4所示。

圖6-4閉環系統的結構圖

需要指出：

（1）對于狀態能控的單輸入單輸出系統，線性狀態反饋只能配置系統的極點，不能配置系統的零點。

（2）當系統不完全能控時，狀態反饋陣只能改變系統能控部分的極點，而不能影響不能控部分的極點。

設n階線性定常系統的狀態空間表達式為

（6-24）

如果n維線性定常系統狀態完全能控，采用狀態反饋可以任意配置的n個極點。這也說明，對于完全能控的不穩定系統，總可以求得線性狀態反饋陣，使系統變為漸近穩定，即的特征值均具有負實部，這就是系統的鎮定問題。

6.3系統的鎮定問題

當系統（6-24）狀態不完全能控時，其能控性矩陣的秩，可以對其狀態方程進行能控性分解.

（6-25）

方陣的個特征值為能控因子，而方陣的個特征值為不能控因子。

其中的維能控子系統采用狀態反饋，可以配置的個特征值。而維不能控子系統的個特征值是不能控的，顯然不能采用狀態反饋配置其特征值。

定理6-9假如不穩定的線性系統（6-24）是狀態完全能控的，則一定存在線性狀態反饋陣，實現系統的鎮定。假如線性系統（6-24）的狀態是不完全能控的，則存在線性狀態反饋陣，實現系統

鎮定的充分必要條件是，系統的不能控部分為漸近穩定的。

例6-5被控系統的狀態方程為

（6-27）

被控系統的狀態方程為對角型，中第三行的元素為0，可直接得出的狀態是不完全能控.被控系統中的2維能控子系統的狀態方程為

（6-28）

由于不穩定的特征值，是2維能控子系統的特征值，而不能控子系統的特征值是穩定的，因此，被控系統（5-27）是可鎮定的。

設指定的期望特征值為，則2維能控子系統的期望特征多項式為

（6-29）

引入狀態反饋

狀態反饋矩陣為

（6-30）

兩特征多項式的同次冪項系數相等，得到

求解得到

于是，狀態反饋矩陣為

本例中的能控子系統是直接從原狀態方程分解得來的，因此所得就是。如果能控子系統是經過線性變換后分解得來的，對能控子系統加狀態反饋實現極點配置和鎮定后，再把不能控子系統和鎮定后的能控子系統合起來，進行線性反變換，求得從原狀態變量反饋的和閉環系統的狀態方程。

定理6-10假如不穩定的線性系統（6-24）是狀態完全能觀測的，則一定存在從輸出到狀態向量線性反饋，實現系統的鎮定。假如線性系統（6-24）的狀態是不完全能觀測的，則從輸出到狀態向量線性反饋，實現系統鎮定的充分必要條件是，系統的不能觀測部分為漸近穩定的。

應用輸出至輸入的線性反饋，不一定能實現極點的任意配置，同樣，也只能在一定條件下對某些系統實現鎮定.下面舉例說明。

例6-6有單輸入雙輸出系統

其特征多項式為

系統顯然是不穩定的。

但系統是完全能控的，因為能控性矩陣

其秩為3，同時，能觀測性陣

其為秩為3，系統的狀態完全能控和完全能觀測。

加入輸出至輸入的反饋，，反饋陣，系統矩陣為

閉環系統的特征多項式為

它缺項，所以無論怎么選擇，均不能使系統穩定，更談不上極點的任意配置。

6.4狀態觀測器及其設計

當系統的狀態完全能控時，可以通過狀態的線性反饋實現極點的任意配置.

系統狀態變量的物理意義有時很不明確，不是都能用物理方法量測得到的，有些根本無法量測，給狀態反饋的物理實現造成了困難。提出所謂狀態觀測或狀態重構問題，就是想辦法構造出一個系統來，這個系統是以原系統的輸入和輸出為輸入，輸出就是對原系統狀態的估計。用來估計原系統狀態的系統就稱作狀態估計器或狀態觀測器。

6.4.1狀態重構的方法設線性定常系統的狀態空間表達式為

（6-57）

將輸出方程對逐次求導，代入狀態方程并整理可得

即

若系統完全能觀測，上式中的才能有惟一解。即只有當系統是狀態完全能觀測時，其狀態向量可以由它的輸入，輸出以及輸入、輸出的各階導數的線性組合構造出來。

從理論上看，這種狀態重構思想是合理的，而且是可行的，但是從工程實際觀點出發，這種重構狀態的辦法是不可取的，因為它將用到輸入、輸出信號的微分，而當其輸入、輸出信號中包含有噪聲時，將會使狀態向量的計算值產生很大的誤差，這是不允許的。

為了避免使用微分器，一個直觀的想法就是人為地構造一個結構和參數與原系統相同的系統，將原系統的狀態估計出來，如圖6-10所示。

設估計系統的狀態空間表達式為

（6-58）

式中變量上的符號“Λ”表示估計值。

圖6-10開環觀測器結構圖

分析估計偏差

其解為

討論：（1）理想情況，新構造出系統的A、B和原系統的A、B完全一樣，且設置時，觀測器的輸出才能嚴格等于系統的實際狀態。這一點是很難作到的，尤其是將和設置完全一致，實際上是不可能的。

（2）當時，和的變化就取決于的情況：如果的特征值都具有負實部時，的每一項都是衰減的，當過渡過程結束后；如果的特征值只要有一個是正實部時，就是發散的，和什么時候都不會相等。

利用輸出對狀態誤差進行校正，便可構成漸近狀態觀測器，其原理結構如圖5-11所示。

圖5-11多變量系統的狀態觀測器

觀測器的方程就變為

(6-59)

這個觀測器通過對原系統的輸入和輸出的檢測，估計出原系統的狀態，這就是狀態觀測器。

下面分析觀測器存在的條件。兩式相減，得

（6-60）

齊次方程式的解

（6-61）

要選擇觀測器的系數矩陣的特征值都具有負實部，觀測器就是穩定的，估計誤差就會逐漸衰減到零，即所謂的漸近狀態觀測器。現在觀測器的反饋就是到的反饋，這種反饋實現極點任意配置的條件是原系統的狀態必須是完全能觀測的。

定理如果系統的狀態不完全能觀測，狀態觀測器存在的充要條件是不能觀測子系統是漸近穩定的。因為通過結構分解之后，能觀子系統的極點可以通過陣的選擇實現極點的任意配置。不能觀子系統不能實現極點的任意配置，最低要求它是漸近定的。這種情況下只能保證觀測器存在，但不能保證觀測器極點的任意配置。觀測器逼近的速度將受到不能觀子系統的限制。6.4.2狀態觀測器存在的條件

根據前面的分析，可得構造觀測器的原則是：6.4.3全維觀測器設計

根據前面的分析，可得構造觀測器的原則是：（1）觀測器應以的輸入和輸出為其輸入量。

（2）為滿足，或為完全能觀測，或其不能觀測子系統是漸近穩定的。（3）的輸出應以足夠快的速度漸近于，即應有足夠寬的頻帶。全維觀測器的狀態方程式

（6-62）

觀測器狀態的維數和原系統狀態的維數相同，因此稱全維觀測器。

其特征多項式為

觀測器的設計：當觀測器的極點給定之后，依據到的反饋配置極點的方法，即可確定陣。

在選擇觀測器的極點時，人們總是希望越快地逼近越好，即希望觀測器的極點配置在s平面的很負的地方。但是，逼近太快了，也是不恰當的。因為誤差衰減的太快了，觀測器的頻帶加寬，抗高頻干擾的能力會下降，也會造成陣實現上的困難。所以陣的選擇使觀測器比被估計系統稍快一些就可以了。

下面利用對偶原理根據求單輸入單輸出系統狀態反饋陣的設計方法，介紹確定單輸入單輸出系統全維觀測器的反饋陣的設計方法。

若系統

是完全能觀測的，那么它的對偶系統

便是完全能控的，這時采用狀態反饋陣，有

閉環后的狀態方程是

根據式(6-20)，可得反饋陣的解為

由上面類比，可得觀測器的反饋陣為(6-63)

式中，——將期望的特征多項式中的換成后的矩陣多項式。

另一種比較實用的求陣的方法是根據觀測器的特征多項式

和期望的特征多項式

使其多項式對應項的系數相等，得到個代數方程，即可求出反饋陣

例6-9已知系統的狀態空間表達式為

試設計一個狀態觀測器，使其極點為-10,-10。

解(1)判斷系統的能觀測性。因

rankrank

系統是完全能觀測的，可構造能任意配置極點的全維狀態觀測器。

(2)觀測器的期望特征多項式為

(3)計算。

(4)求觀測器的反饋陣。根據式(6-63)，可得(5)帶觀測器的狀態變量圖如圖5-12所示。

圖6-12帶觀測器的系統結構圖

6.4.4降維觀測器的設計實際上，系統的輸出量總是能夠量測的。因此，可以利用系統的輸出量來直接產生部分狀態變量，從而降低觀測器的維數。只要系統是能夠觀測的，若輸出為維，待觀測的狀態為維，當時，則觀測器狀態的維數就可以減少為維。定理6-5

已知線性定常系統

（6-64）式中，—n維狀態向量，—r維輸入向量，—m維輸出向量，

假設系統狀態完全能觀測，且，則存在維降維觀測器為此時，狀態的漸近估計為其中，

為且保證前提下任選。

證明對原系統，為了構造維狀態觀測器，首先將和個輸出量相當的狀態變量分離出來。令其中，和分別為和矩陣，和分別為和矩陣。令非奇異線性變換矩陣具有和相同分塊形式，即為則：取線性變換則式(6-64)可變換為(6-65)

式中

或(6-66)

狀態能夠直接由輸出量獲得；將維狀態變量由觀測器進行重構。如令（6-67）則有

（6-68）

式(6-68)是維系統(6-66)的維子系統，其中為輸入量，為輸出量。根據全維觀測器的方程，可寫出子系統的觀測器的方程為將式(6-67)代入上式，得（6-69）為了消去等式右邊的導數項，作變換

則式（6-69）可寫成

(6-70)

即有

以上兩式為在下，降維觀測器的計算公式。首先對狀態變量進行估計，在得到之后，就可根據得到，即狀態變量的估計值。

經變換后系統狀態變量的估計值可表示成而原系統的狀態變量估計值為討論狀態變量的估計值趨向的速度。

令

則：

因為子系統是能觀測的，便可以用觀測器的反饋陣任意配置特征值，例6-10

已知系統的狀態空間表達式為試求降維觀測器，并使它的極點位于-5處。

解

因系統完全能觀測和，且，所以只要設計一個一維觀測器即可。(1)系統的輸出矩陣為(2)求線性變換陣。由

得(3)求和陣。

將和分塊得

(4)求降維觀測器的反饋陣。降維觀測器的特征多項式為

期望特征多項式為比較以上兩式，而可以任意選，

如取，則有(5)求降維觀測器方程。(6)求狀態變量估計值。因變換后系統狀態變量的估計值為則原系統的狀態變量估計值為(7)系統結構圖

圖5-13帶降維觀測器的系統結構圖

6.5狀態反饋與狀態觀測器的應用

狀態觀測器解決了被控系統的狀態重構問題，為那些狀態變量不能直接量測的系統實現狀態反饋創造了條件。

6.5.1采用狀態觀測器的狀態反饋系統

帶觀測器的狀態反饋系統，由三部分組成，即被控系統、觀測器和控制器。1系統結構

圖6-14帶狀態觀測器的狀態反饋系統設能控能觀測的被控系統為狀態反饋控制規律為

狀態觀測器方程為

由以上三式可得整個閉環系統的狀態空間表達式為

將它寫成分塊矩陣的形式

(6-71)或

(6-72)

2帶狀態觀測器的閉環系統的特性

1）分離特性

由于式(6-71)和式(6-72)的狀態變量之間的關系為

將式(6-71)作非奇異線性變換，就能得到式(6-72)，而非奇異線性變換并不改變系統的特征值。因此根據式(6-72)便可得到組合系統式(6-71)的特征多項式為

以上結果表明，由觀測器構成狀態反饋的閉環系統，其特征多項式等于狀態反饋部分的特征多項式和觀測器部分的特征多項式的乘積，而且兩者相互獨立。因此，只要系統能控能觀測，則系統的狀態反饋陣和觀測器反饋陣可分別根據各自的要求，獨立進行配置。這種性質被稱為分離特性。

2）傳遞函數矩陣的不變性

因非奇異線性變換同樣不改變系統的輸入和輸出之間的關系，所以根據分塊矩陣的求逆公式

有

上式表明，帶觀測器的狀態反饋閉環系統的傳遞函數陣等于直接狀態反饋閉環系統的傳遞函數陣。3．觀測器反饋與直接狀態反饋的等效性

由式(6-61)可看出，通過選擇陣，可使的特征值均具有負實部，所以必有，因此，當時，必有成立。這表明，帶觀測器的狀態反饋系統，只有當，進入穩定時，才會與直接狀態反饋系統完全等價。

例6-11被受控系統的傳遞函數為用狀態反饋將閉環系統極點配置為，并設計實現這個反饋的全維及降維觀測器。

解(1)由傳遞函數可知，此系統能控又能觀測，因而存在狀態反饋及狀態觀測器。(2)求狀態反饋陣。用能控標準型實現，即令

將閉環特征多項式與期望特征多項式比較的同次冪系數，得即(3)求全維觀測器。一般取觀測器的極點離虛軸的距離比閉環系統期望極點的位置大2~3倍為宜。本例取觀測器的極點位于-10處。則觀測器的特征多項式為

與期望特征多項式

比較的同次冪系數，得全維觀測器方程為

即閉環系統的結構圖。

圖6-15全維觀測器結構圖

(4)求降維觀測器。，

設降維觀測器的極點。因為

降維觀測器的特征多項式為

與期望特征多項式比較得即降維觀測器方程為閉環系統結構圖

圖6-16降維觀測器結構圖6.6多變量解耦控制系統的綜合

對于一個多輸入多輸出的系統

（6-31）

假設輸入向量和輸出向量的維相同（即r=m），且。則輸出和輸入之間的傳遞關系為

（6-32）

將其展開后有

（6-33）

上式可見，每一個輸出都受著每一個輸入的控制，每一個輸入都對每一個輸出會產生控制作用。我們把這種輸入和輸出之間存在相互耦合關系的系統稱作耦合系統。

耦合系統要想確定一個輸入去調整一個輸出，而不影響其它輸出，幾乎是不可能的。設法消除這種交叉耦合，以實現分離控制。即；實現每一個輸出僅受相應的一個輸入的控制，每一個輸入也僅能控制相應的一個輸出，這樣的問題就稱為解耦控制。

系統達到解耦后，其傳遞函數矩陣就化為對角矩陣，即

（6-34）

在對角矩陣中，系統只有相同序號的輸入輸出之間才存在傳遞關系.

多輸入多輸出系統達到解耦后，就可以認為是由多個獨立的單輸入單輸出子系統組成.

圖5-6解耦系統

要完全解決上述解耦問題，必須

解決兩個基本點方面的問題，一是確定系統能解耦的充要條件；二是確定解耦控制規律和系統的結構。這兩個問題因解耦方法不同而不同。

線性系統解耦常用的方法有兩種。一種方法是在被解耦系統中串聯一個解耦器，稱為串聯解耦，這種方法會增加系統的維數。另一種方法是狀態反饋解耦，這種方法不增加系統的維數。

對于具有耦合關系的多輸入多輸出系統，其輸入和輸出的維數相同。串聯解耦就是采用輸出反饋加補償器的方法來使其得到解耦，其結構如圖5-7所示。

6-7串聯解耦系統的結構圖

圖中，被控對象的傳遞函數矩陣，串聯解耦器的傳遞函數矩陣。

6.6.1串聯解耦

，，

（6-35）

為控制系統的開環傳遞函數矩陣。當系統達到解耦以后，就是一個非奇異的對角陣，求解出系統的開環傳遞函數矩陣為

（6-36）

閉環系統有下列關系

為對角陣，則也是對角陣，是兩個對角陣的乘積，它必然是對角陣。

開環傳遞函數矩陣

當存在時，則通過

（6-37）

即可解出串聯解耦器的傳遞函數矩陣。

例6-7已知雙輸入雙輸出系統被控對象的傳遞函數矩陣為。根據題意，要求閉環傳遞函數陣為。

，

試求解耦器的傳遞函數矩陣．

解由式（5-36）可得系統開環傳遞函數為

由式（6-37）可得解耦器的傳遞函數矩陣為

上式所求出的解耦器的傳遞函數矩陣中，和是比例積分（PI）控制器，是

是比例積分微分（PID）控制器．串聯解耦系統的結構圖如圖6-8所示．

圖6-8串聯解耦系統的結構圖6.6.2反饋解耦

對于輸入和輸出維數相同的具有相互耦合的多輸入多輸出系統，采用狀態反饋結合輸入變換也可以實現其解耦。

設多輸入多輸出系統，如果采用輸入變換的線性狀態反饋控制，則

（6-38）

式中，－的實常數反饋陣，－的實常數非奇異變換陣，－維的輸入向量。其結構圖如圖6-9所示

6-9狀態反饋解耦系統的結構圖

圖中，虛線框內待為解耦的系統。

帶輸入變換狀態反饋閉環控制系統的狀態空間表達式為

（6-39）

則閉環系統的傳遞函數矩陣為

（6-40）

如果能找到某個陣和陣，使變為對角陣，就可實現系統的解耦。問題是如何求陣和陣，以及在什么條件下通過狀態反饋可以實現解耦。

（1）傳遞函數矩陣的兩個特征量

定義5-4若已知待解耦系統狀態空間表達式，則是0到之間使下列不等式

（6-41）

成立的最小的整數。式中，是矩陣的行向量。當下式

，（6-42）

成立時，則取

（6-43）

若已知待解耦系統的傳遞函數矩陣，為的第行傳遞函數向量，即

（6-44）

再設為的分母多項式的次數和的分子多項式的次數之差，則定義為

，（6-45）

定義6-5若已知待解耦系統狀態空間表達式，則為

若已知待解耦系統的傳遞函數矩陣，則為

，（6-46）

，（6-47）

（2）能解耦性判據

定理5-11待解耦系統，采用狀態反饋和輸入變換進行解耦的充分必要條件，是如下矩陣為非奇異(6-48)

（3）積分型解耦

定理5-12若系統是滿足狀態解耦的條件，則閉環系統是一個積分型解耦系統。狀態反饋陣和輸入變換陣分別為

，

（6-49）

其中，維的矩陣定義如下

(6-50)

閉環系統的傳遞函數矩陣為

(6-51)

利用式（6-38）的控制規律可以使系統解耦。得到的只是積分型解耦。由于積分解耦的極點都在s平面的原點，所以它是不穩定系統，無法在實際中使用。在積分解耦的基礎上，對每一個子系統按單輸入單輸出系統的極點配置方法，用狀態反饋把位于原點的極點配置到期望的位置上。（4）解耦控制的綜合設計

對于滿足可解耦條件的多數入多輸出系統，應用和的輸入變換和狀態反饋，已實現了積分解耦。

系統積分解耦后狀態空間表達式為

（6-52）

式中，，。

當為完全能控時，仍保持完全能控性。但要判別系統的能觀測性，當為完全能觀測時，一定可以通過線性非奇異變換將化為解耦標準型，即

其中,,

線性變換陣用下列公式計算

，（6-53）

，

，

設狀態反饋矩陣為

（6-54）

其中

，

對應于每一個獨立的單輸入單輸出系統的狀態反饋陣。

閉環系統的傳遞函數矩陣為

仍然是解耦系統，其中

則

當依據性能指標確定每一個子系統期望的極點，即已知時，各子系統期望的特征方程為

（6-55）

讓和對應系數相等，即可求出以及。

對原系統，滿足動態解耦和期望極點配置的輸入變換陣和狀態反饋陣分別為

當為不完全能觀測時，先進行能觀測性結構分解，將能控能觀測子系統化為解耦標準型，再進行極點配置。

，（6-56）

例6-8已知系統

,,求使系統解耦并將極點配置在-1，-1，-1，-1上。

解:（1）計算和

，，則:，

，，則:，

（2）判斷可解耦性

由于

是非奇異陣，該系統可以采用狀態反饋實現解耦。

（3）積分型解耦系統

狀態反饋陣輸入變換陣為

積分型解耦系統的系數矩陣為

（4）判別的能觀測性

由上式可知是完全能觀測的。且已經是解耦標準型，則（5）確定狀態反饋陣

基于上述的計算結果，設反饋陣為兩個分塊對角陣，其結構形式為

，和，

兩個期望的特征多項式為

，

加上狀態反饋后，系統矩陣為

按照設計狀態反饋矩陣的計算方法可求得

，，，

（6）計算原系統的輸入變換陣和狀態反饋

解耦系統的傳遞函數矩陣為

6.7利用MATLAB實現系統的狀態反饋和狀態觀測器6.7.1系統的極點配置

當系統是完全能控時，通過狀態反饋可實現閉環系統極點的任意配置。關鍵是求解狀態反饋陣，當系統的階數大于3以后，或為多輸入多輸出系統時，具體設計要困難得多。如果采用MATLAB的輔助設計問題就簡單多了。

例6-12

已知系統的狀態方程為采用狀態反饋，將系統的極點配置到-1,-2,-3，求狀態反饋陣K。解MATLAB程序為%Example5_12.mA=[-2–11;101;-101];b=[1;1;1];Uc=ctrb(A,b);rc=rank(Uc);f=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));K=[zeros(1,length(A)-1)1]*inv(Uc)*polyvalm(f,A)執行后得K=-124

其實，在MATLAB的控制系統工具箱中就提供了單變量系統極點配置函數acker()，該函數的調用格式為K=acker(A,b,P)式中，P為給定的極點，K為狀態反饋陣。對例5-12，采用下面命令可得同樣結果>>A=[-2-11;101;-101];b=[1;1;1];>>rc=rank(ctrb(A,b));>>p=[-1,-2,-3];>>K=acker(A,b,p)結果顯示K=-1246.7.2狀態觀測器的設計1.全維狀態觀測器的設計對于系統(6-73)

若系統完全能觀測，則可構造狀態觀測器。式(5-59)為狀態觀測器的方程，式(5-63)為反饋陣L的計算公式。

在MATLAB設計中，利用對偶原理，可使設計問題大為簡化，求解過程如下：首先構造系統式(5-73)的對偶系統(6-74)

然后，對偶系統按極點配置求狀態反饋陣K

K=acker(AT,CT,P)或

K=place(AT,CT,P)原系統的狀態觀測器的反饋陣L，為其對偶系統的狀態反饋陣K的轉置。即

其中，P為給定的極點，L為狀態觀測器的反饋陣。例6-13

已知開環系統其中

設計全維狀態觀測器，使觀測器的閉環極點為，，-5。解為求出狀態觀測器的反饋陣L，先為原系統構造一對偶系統。

采用極點配置方法對對偶系統進行閉環極點的配置，得到反饋陣K，再由對偶原理得到原系統的狀態觀測器的反饋陣L。MATLAB程序為%Example5_13.mA=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];disp('TheRankofObstrabilatyMatrix')r0=rank(obsv(A,C))A1=A';b1=C';C1=b';P=[-2+2*sqrt(3)*j-2-2*sqrt(3)*j-5];K=acker(A1,b1,P);L=K'

執行后得TheRankofObstrabilatyMatrixr0=3L=3.00007.0000-1.0000

由于rankr0=3，所以系統能觀測，因此可設計全維狀態觀測器。2.降維觀測器的設計已知線性定常系統(6-75)

完全能觀測，則可將狀態分為可量測和不可量測兩部分，通過特定線性非奇異變換可導出相應的系統方程為分塊矩陣的形式

由上可看出，狀態能夠直接由輸出量y獲得，不必再通過觀測器觀測，所以只要求對n-m

維狀態變量由觀測器進行重構。由上式可得關于的狀態方程它與全維狀態觀測器方程進行對比，可得到兩者之間的對應關系，如表5-1所示。

表6-1全維與降維狀態觀測器的對比關系

由此可得降維狀態觀測器的等效方程(6-76)

其中

然后，使用MATLAB的函數place()或acker()，根據全維狀態觀測器的設計方法求解反饋陣L。降維觀測器的方程為(6-77)

例6-14

設開環系統其中設計降維狀態觀測器，使閉環極點為。

解由于x1可量測，因此只需設計x2和x3的狀態觀測器，故根據原系統可得不可量測部分的狀態空間表達式為其中

(6-78)

等效系統為

(6-79)

其中

MATLAB程序為%Example5_14.mA=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];A11=[A(1,1)];A12=[A(1,2:3)];A21=[A(2:3,1)];A22=[A(2:3,2:3)];B1=b(1,1);B2=b(2:3,1);Ac=A22;Cc=A12;r0=rank(obsv(Ac,Cc))P=[-2+2*sqrt(3)*j-2-2*sqrt(3)*j];K=ac