高一數學上學期·期末復習大串講專題03指數運算與指數函數北師大版（2019）010203目

錄押題預測題型剖析考點透視10大常考點：知識梳理

14個題型典例剖析+技巧點撥精選10道期末真題對應考點練考點透視01考點透視考點1.

根式的定義(1)a的n次方根的定義：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示①當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數．a的n次方根用符號_______表示；②當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數．正數a的正的n次方根用符號_______表示，負的n次方根用符號______表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成____________；a的n次方根考點透視考點2.根式的性質沒有0根指數被開方數aa|a|考點透視考點3.分數指數冪的意義0沒有意義提示考點透視考點4.有理數指數冪的運算性質ar＋sarsarbr考點透視考點5.指數函數的定義知識點

一般地，____________________________________________________________________．[想一想]指數函數中為什么要規定a>0，且a≠1?函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R提示考點透視考點6.指數增長模型知識點

在實際問題中，經常會遇到指數增長模型：設原有量為N，每次的增長率為p，經過x次增長，該量增長到y，則y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函數是刻畫指數增長或指數衰減變化規律的非常有用的函數模型．N(1＋p)x(x∈N)考點透視考點7.指數函數的圖像與性質a>10<a<1圖象性質定義域____值域_____________過定點過定點________，即x＝___時，y＝___函數值的變化當x>0時，____；當x<0時，________當x>0時，________；當x<0時，____單調性是R上的增函數是R上的減函數對稱性y＝ax與y＝a－x的圖象關于y軸對稱R(0，＋∞)(0，1)01y>10<y<10<y<1y>1考點透視考點8.不同底指數函數圖象的相對位置

[點撥]

(1)函數圖象只出現在x軸上方．(2)當a>1時，x→－∞，y→0；當0<a<1時，x→＋∞，y→0.(3)任意底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱．知識點

指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.考點透視考點9.指數型復合函數的單調性

(1)關于指數型函數y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調性．它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數y＝f(g(x))的單調性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增減減減增減減減增題型剖析題型10.無理數指數冪

實數指數冪的運算性質知識點

(1)對于無理數指數冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數；②它是有理數指數冪無限逼近的結果．(2)定義了無理數指數冪之后，冪的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍．知識點

(1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝____(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝____(a>0，b>0，r∈R)．[拓展]

＝ar－s(a>0，r，s∈R)．[提醒]

實數指數冪中一定要有a>0.ar＋sarsarbr題型剖析02題型剖析題型1n次方根與根式答案解析題型剖析題型2.根式化簡與求值解題型剖析題型3.根式與分數指數冪的互化解題型剖析題型4.有理數指數冪的運算題型剖析題型4.有理數指數冪的運算解題型剖析題型5.實際問題中的指數運算答案解析【例題5【某種細菌在培養過程中，每15分鐘分裂1次(由1個分裂成2個)，則這種細菌由1個分裂成4096個需經過_____小時．解析：設細菌由1個分裂成4096個分裂了x次，則2x＝4096＝212，則x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分鐘)，即3小時．3題型剖析題型6.指數冪運算中的條件求值解題型剖析題型7.指數函數的概念

【例題7】下列函數中，指數函數的個數是(

)①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2×3x.A．1 B．2C．3 D．0解析①中底數－8<0，所以不是指數函數；②中指數不是自變量x，而是x的函數，所以不是指數函數；③中底數a，只有規定a>0，且a≠1時，才是指數函數；④中3x前的系數是2，而不是1，所以不是指數函數．故選D.答案解析題型剖析題型8.指數函數的解析式及應用答案解析題型剖析題型9.指數型函數的實際應用

【例題9】目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(1)寫出y關于x的函數解析式；(2)計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)．題型剖析題型9.指數型函數的實際應用

解

(1)當x＝1時，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；當x＝2時，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；當x＝3時，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y關于x的函數解析式為y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)．(2)當x＝10時，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后該縣約有112.7萬人．解題型剖析題型10.指數函數的圖象【例題10】如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為(

)A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c答案題型剖析題型10.指數函數的圖象解析解法一：由圖象可知③④的底數必大于1，①②的底數必小于1.作直線x＝1，在第一象限內直線x＝1與各曲線的交點的縱坐標即各指數函數的底數，則1<d<c，b<a<1，從而可知a，b，c，d與1的大小關系為b<a<1<d<c.解法二：根據圖象可以先分兩類：③④的底數大于1，①②的底數小于1，再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大小．當指數函數的底數大于1時，圖象上升，且底數越大時圖象向上越靠近y軸；當底數大于0且小于1時，圖象下降，底數越小，圖象向右越靠近x軸．所以a，b，c，d與1的大小關系為b<a<1<d<c.解析題型剖析【例題11】函數y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點(

)A．(0，1) B．(3，3)C．(3，4) D．(4，3)解析：解法一：因為指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0，1)，所以在函數y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函數的圖象過定點(3，4)．解法二：將原函數變形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指數函數，所以當x－3＝0時，y－3＝1，即x＝3時，y＝4，所以原函數的圖象過定點(3，4)．答案解析題型11.指數函數圖象的應用題型剖析題型12.利用指數函數的單調性比較大小答案解析題型剖析題型13.利用指數函數的單調性解不等式解題型剖析題型14.指數函數性質的綜合應用題型剖析題型14.指數函數性質的綜合應用解題型剖析題型14.指數函數性質的綜合應用解押題預測031．(2024·寧夏吳忠秦寧中學高一上月考(二))給出下列函數，其中為指數函數的是(

)A．y＝x4 B．y＝xxC．y＝πx D．y＝－4x解析：因為指數函數的形式為y＝ax(a>0，且a≠1)，所以y＝πx是指數函數．故選C.答案解析答案解析3．按復利計算利率的儲蓄，存入銀行2萬元，如果年息3%，5年后支取，本利和應為(

)A．2×(1＋0.3)5萬元

B．2×(1＋0.03)5萬元C．2×(1＋0.3)4萬元

D．2×(1＋0.03)4萬元解析：由題意可得，存入銀行2萬元后，一年后本利和為2×(1＋0.03)萬元，兩年后本利之和為2×(1＋0.03)2萬元，…，故5年后支取，本利和應為2×(1＋0.03)5萬元．答案解析4.(2024·河南南陽一中高一上月考)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(

)A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：由函數f(x)＝ax－b的圖象可知，函數f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，∴0<a<1，排除A，B；函數f(x)＝ax－b的圖象是由y＝ax的圖象向左平移所得，∴－b>0，∴b<0.故選D.答案解析答案解析答案解析答案解析9．若2x＋1<1，則x的取值范圍是(

)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函數，∴x＋1<0，∴x<－1.答案解析10．(2024·河北正定中學高一上月考)如果a>1，