模型21拉格朗日點、黑洞、潮汐、張角及星球瓦解點問題學校：_________班級：___________姓名：_____________01模型概述01模型概述1．拉格朗日點：拉格朗日點指在兩大物體引力作用下，能使小物體穩定的點.①日地間的拉格朗日點：②地月間的拉格朗日點2．黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規律間接研究黑洞。當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的倍)超過光速時，該天體就是黑洞。3．潮汐 潮汐：海面在外力作用下產生的周期性的升降現象。白天的海面上升為潮，晚上的海面上升為汐。 3.星球的瓦解問題當星球自轉越來越快時，星球對“赤道”上的物體的引力不足以提供向心力時，物體將會“飄起來”，進一步導致星球瓦解，瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即，得。當時，星球瓦解，當時，星球穩定運行。02典題攻破02典題攻破1.拉格朗日點相關問題【典型題1】（2024·寧夏銀川·模擬預測）2023年10月9日，先進天基太陽天文臺，即“夸父一號”科學衛星迎來一周歲生日?！翱涓敢惶枴币哑椒€在軌運行365天。已知“夸父一號”位于日地連線、距地球約150萬公里的日地系統的拉格朗日點，在該點幾乎不消耗燃料就可以和地球一起以相同角速度繞太陽做勻速圓周運動，如圖所示。關于“夸父一號”和地球一起運行過程中，下列說法正確的是（）A．“夸父一號”受力平衡B．“夸父一號”繞太陽運行的周期是24小時C．“夸父一號”繞太陽運行的加速度小于地球繞太陽運行的加速度D．“夸父一號”繞太陽做圓周運動的向心力僅由太陽的引力提供【答案】C【詳解】A．“夸父一號”做勻速圓周運動，受力不平衡，故A錯誤；B．“夸父一號”繞太陽運行的周期等于地球的公轉周期，不是24小時，故B錯誤；C．“夸父一號”繞太陽運行的角速度等于地球繞太陽運行的角速度，根據由于“夸父一號”的軌道半徑小于地球的軌道半徑，則“夸父一號”繞太陽運行的加速度小于地球繞太陽運行的加速度，故C正確；D．“夸父一號”繞太陽做圓周運動的向心力由太陽引力和地球引力的合力提供，故D錯誤。故選C。2.黑洞問題【典型題2】（2024·安徽安慶·二模）史瓦西半徑是任何具有質量的物質都存在的一個臨界半徑特征值。該值的含義是：如果特定質量的物質被壓縮到此臨界半徑時，該物質就被壓縮成一個黑洞，即此時它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度為其第一宇宙速度的倍，該星球半徑，表面重力加速度g取，不考慮星球的自轉，則該星球的史瓦西半徑約為（）A．9納米 B．9毫米 C．9厘米 D．9米【答案】B【詳解】地球表面附近有臨界狀態光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示為根據萬有引力提供向心力可得聯立解得故選B。3.潮汐問題【典型題3】（2021·北京西城·一模）地球剛誕生時自轉周期約是8小時，因為受到月球潮汐的影響，自轉在持續減速，現在地球自轉周期是24小時。與此同時，在數年、數十年的時間內，由于地球板塊的運動、地殼的收縮、海洋、大氣等一些復雜因素以及人類活動的影響，地球的自轉周期會發生毫秒級別的微小波動。科學研究指出，若不考慮月球的影響，在地球的總質量不變的情況下，地球上的所有物質滿足m1ωr12+m2ωr22+….+miωri2=常量，其中m1、m2、……mi表示地球各部分的質量，r1、r2、……ri為地球各部分到地軸的距離，ω為地球自轉的角速度，如圖所示。根據以上信息，結合所學，判斷下列說法正確的是（）A．月球潮汐的影響使地球自轉的角速度變大B．若地球自轉變慢，地球赤道處的重力加速度會變小C．若僅考慮A處的冰川融化，質心下降，會使地球自轉周期變小D．若僅考慮B處板塊向赤道漂移，會使地球自轉周期變小【答案】C【詳解】A．地球自轉周期與角速度的關系為由題意知T變大，則自轉的角速度變小，選項A錯誤；B．在赤道處萬有引力提供向心力和重力有若地球自轉變慢，即角速度變小，則重力加速度會變大，選項B錯誤；C．由m1ωr12+m2ωr22+….+miωri2=常量知，質心下降，會使變大，T變小，選項C正確；D．若B處板塊向赤道漂移，相當于地球一部分半徑變大，角速度變小，則周期變大，選項D錯誤。故選C。4.星球瓦解問題【典型題4】（2019·四川遂寧·模擬預測）假設某宇航員在地球上可以舉起m1=50kg的物體，他在某星球表面上可以舉起m2=100kg的物體，若該星球半徑為地球半徑的4倍，則（）A．地球和該星球質量之比為B．地球和該星球第一宇宙速度之比為C．地球和該星球瓦解的角速度之比為D．地球和該星球近地衛星的向心加速度之比為【答案】C【詳解】AD．人的作用力是固定的，則由：F=m1g地=m2g星而近地衛星的向心加速度和重力加速度近似相等；根據：則：AD錯誤；B．第一宇宙速度解得：則：B錯誤；C．星球的自轉角速度足夠快，地表的重力為0時星球瓦解，根據：得：C正確。故選C。03針對訓練03針對訓練一、單選題(本題共8小題。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1．（2024·山東淄博·模擬預測）為順利完成月球背面的“嫦娥六號”探測器與地球間的通信，需在地月拉格朗日L2點處定位某一衛星，該衛星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動。已知地球、月球球心間的距離約為L2點與月球球心距離的6倍，如圖所示。則地球與月球質量的比值約為（）A．36 B．49 C．83 D．216【答案】C【詳解】設地月距離為L，則對月球對衛星聯立解得故選C。2．（2024·黑龍江吉林·模擬預測）如圖所示，“鵲橋”中繼星處于地月拉格朗日點上時，可以和月球保持同步繞地球做勻速圓周運動。地球、月球和“鵲橋”中繼星均可視為質點，忽略地球、月球以外的天體對”鵲橋”中繼星的引力，忽略“鵲橋”中繼星對月球的影響，則當“鵲橋”中繼星處于拉格朗日點上時，下列選項正確的是（）A．中繼星繞地球做圓周運動所需的向心力僅來源于地球對它的引力B．中繼星繞地球做圓周運動的周期大于月球繞地球做圓周運動的周期C．中繼星繞地球做圓周運動的向心加速度小于月球繞地球做圓周運動的向心加速度D．中繼星繞地球做圓周運動的線速度大于月球繞地球做圓周運動的線速度【答案】D【詳解】A．中繼星繞地球做圓周運動所需的向心力來源于地球和月球對它的引力的合力，故A錯誤；B．由于中繼衛星與月球具有相同的角速度，所以中繼星繞地球做圓周運動的周期等于月球繞地球做圓周運動的周期，故B錯誤；C．由于中繼衛星與月球具有相同的角速度，根據可知，中繼星繞地球做圓周運動的向心加速度大于月球繞地球做圓周運動的向心加速度，故C錯誤；D．由于中繼衛星與月球具有相同的角速度，根據可知，中繼星繞地球做圓周運動的線速度大于月球繞地球做圓周運動的線速度，故D正確。故選D。3．（2024·北京大興·三模）2024年，我國探月計劃第六個探測器嫦娥六號將于上半年出征月球，并且飛往月球背面采集土壤并返回地球。如圖所示，為地球的球心、為月球的球心，圖中的P點為地—月系統的一個拉格朗日點，在該點的物體能夠保持和地球、月球相對位置關系不變，以和月球相同的角速度繞地球勻速圓周運動。地球上的人總是只能看到月球的正面，嫦娥六號將要達到的卻是月球背面的M點，為了保持和地球的聯系，我國于4月12日成功發射鵲橋二號中繼通信衛星，讓其在以P點為圓心、垂直于地月連線的圓軌道上運動。下列說法正確的是（）A．我們無法看到月球的背面，是因為月球的自轉周期和公轉周期相同B．發射嫦娥六號時，發射速度要超過第二宇宙速度，讓其擺脫地球引力的束縛C．以地球球心為參考系，鵲橋二號中繼衛星做勻速圓周運動D．若“鵲橋二號”和月球的公轉軌道半徑之比為n，那么它們的公轉周期之比為【答案】A【詳解】A．看不到月球的背面，就是因為月球的自轉周期和公轉周期相同，故A正確；B．嫦娥六號并沒擺脫地球引力的束縛，因此發射速度不會超過第二宇宙速度，故B錯誤；C．以地球為參考系，鵲橋二號一方面繞地月系統共同的圓心做勻速圓周運動，另一方面繞P點做勻速圓周運動，因此以地心為參考系，它是兩個勻速圓周運動的合運動，故C錯誤；D．鵲橋二號中繼衛星受地球和月球共同引力的作用，月球只受地球的引力作用，則周期關系不滿足開普勒第三定律，故D錯誤。故選A。4．（2024·北京海淀·模擬預測）為簡單計，把地-月系統看成地球靜止不動而月球繞地球做勻速圓周運動，如圖所示，虛線為月球軌道。在地月連線上存在一些所謂“拉格朗日點”的特殊點。在這些點，質量極小的物體（如人造衛星）僅在地球和月球引力共同作用下可以始終和地球、月球在同一條線上。則圖中四個點可能是“拉格朗日點”的是（

）A．A、B、C點 B．A、B、D點 C．A、C、D點 D．B、C、D點【答案】C【詳解】B點處的物體受到地球與月球的萬有引力的方向相同，而B到地球的之間小于月球到地球的距離，根據萬有引力提供向心力可知，B處物體的向心加速度要大于月球的向心加速度，不能與月球具有相等的角速度，故B點不可能是“拉格朗日點”，同理分析，A、C、D點可能是“拉格朗日點”。故選C。5．（2024·江蘇南通·模擬預測）2024年3月20日，“鵲橋二號”中繼星在文昌航天發射場成功發射升空，為嫦娥六號提供地月間中繼通信，將月球背面信息直接傳回地球。如圖所示，“鵲橋二號”定位于圖中拉格朗日L2點附近運動，在幾乎不消耗燃料的情況下與月球以相同的周期繞地球做圓周運動。下列說法正確的是（

）A．該衛星受到地球與月球的引力的合力為零B．該衛星繞地球運動的角速度大于月球繞地球運動的角速度C．該衛星繞地球運動的線速度大于月球繞地球運動的線速度D．該衛星繞地球運動的向心加速度小于月球繞地球運動向心加速度【答案】C【詳解】A．該衛星受到地球與月球的引力的合力提供該衛星做圓周運動的向心力，不為零，故A錯誤；B．該衛星與月球以相同的周期繞地球做圓周運動，根據可知該衛星繞地球運動的角速度等于月球繞地球運動的角速度，故B錯誤；C．根據該衛星繞地球運動半徑大于月球繞地球運動半徑，故該衛星繞地球運動的線速度大于月球繞地球運動的線速度，故C正確；D．根據該衛星繞地球運動半徑大于月球繞地球運動半徑，故該衛星繞地球運動的向心加速度大于月球繞地球運動向心加速度，故D錯誤。故選C。6．（2024·北京海淀·模擬預測）1772年，法籍意大利數學家拉格朗日在論文《三體問題》中指出：兩個質量相差懸殊的天體（如太陽和地球）所在同一平面上有5個特殊點，如圖中的、、、、所示，人們稱為拉格朗日點。若飛行器位于這些點上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步做圓周運動。若發射一顆衛星定位于拉格朗日點，下列說法正確的是（）A．該衛星繞太陽運動周期大于地球公轉周期B．該衛星在點處于平衡狀態C．該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度D．該衛星在處所受太陽和地球引力的合力比在處小【答案】C【詳解】AC．該衛星與地球同步繞太陽運動，可知衛星繞太陽運動周期等于地球公轉周期，根據可知，該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度，選項A錯誤，C正確；B．該衛星繞太陽做勻速圓周運動，可知在點不是處于平衡狀態，選項B錯誤；D．該衛星在處所受太陽和地球引力的合力等于衛星繞太陽做圓周運動的向心力，則根據因在L2點的轉動半徑大于在L1的轉動半徑，可知衛星在處所受太陽和地球引力的合力比在處大，選項D錯誤。故選C。7．（2024·河南許昌·一模）開普勒186F是人們迄今發現的最像地球的一顆行星，這顆行星位于天鵝座開普勒186紅外星5顆行星中的最外層，與恒星距離為5240萬公里，距離地球500光年。根據觀測發現某顆行星（下文稱為A星球）有一顆近地衛星，當地球的近地衛星轉了4圈時，A星球的近地衛星才轉了一圈，A星球的半徑約為地球半徑的，設地球和A星球的密度、表面的重力加速度分別用、、、表示。則下列說法正確的是（）A．地球和A星球的密度之比B．地球和A星球表面的重力加速度之比C．分別在地球和A星球表面相同高度處以相同的速度平拋一個物體，A星球上的物體落地較早D．A星球的自轉角速度增加到（為地球半徑）時，會發生解體【答案】B【詳解】A．由題意可知，對于近地衛星，在星球表面有星球的體積為星球的密度為故地球和A星球的密度之比故A錯誤；B．對于近地衛星，在星球表面有地球和A星球表面的重力加速度之比故B正確；C．小球做平拋運動物體落地的時間為A星球的重力加速度小，物體落地的時間較長，A星球上的物體落地較晚，故C錯誤；D。設A星球最外端的一物體質量為，當角速度為時，該物體將要離開A星球，即解得故D錯誤。故選B。8．通常情況下中子星的自轉速度是非?？斓?，因此任何的微小凸起都將造成時空的扭曲并產生連續的引力波信號，這種引力輻射過程會帶走一部分能量并使中子星的自轉速度逐漸下降．現有一中子星(可視為均勻球體)，它的自轉周期為T0時恰能維持該星體的穩定(不因自轉而瓦解)，則當中子星的自轉周期增為T=2T0時，某物體在該中子星“兩極”所受重力與在“赤道”所受重力的比值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】自轉周期為T0時恰能維持星體的穩定，有：，當中子星的自轉周期增為T=2T0時，在兩極有：，在赤道有：，聯立解得．故D正確，ABC錯誤．二、多選題(本題共4小題。每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的。全部選對的得全分,選對但不全的得一半分,有選錯的得0分)9．（2018·全國·一模）近期天文學界有很多新發現，若某一新發現的星體質量為m、半徑為R、自轉周期為T、引力常量為G，下列說法正確的是()A．如果該星體的自轉周期，則該星體會解體B．如果該星體的自轉周期，則該星體會解體C．該星體表面的引力加速度為D．如果有衛星靠近該星體表面做勻速圓周運動，則該衛星的速度大小為【答案】AD【詳解】AB.如果在該星體“赤道”表面有一物體，質量為，當它受到的萬有引力大于跟隨星體自轉所需的向心力時，則有：解得：此時，星體處于穩定狀態不會解體，而當該星體的自轉周期：此時，星體會解體，故A正確，B錯誤；C.在該星體表面，則有：解得該星體表面的引力加速度為：故C錯誤；D.如果有質量為的衛星靠近該星體表面做勻速圓周運動，則有：解得該衛星的速度大小為：故D正確．10．（2020·山東濰坊·二模）在宇宙中，當一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統。在相互繞行的過程中，質量較大的恒星上的物質會逐漸被吸入到質量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”。天鵝座X—1就是這樣一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖所示。在剛開始吞噬的較短時間內，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內，下列說法正確的是（）A．它們間的萬有引力大小變大B．它們間的萬有引力大小不變C．恒星做圓周運動的線速度變大D．恒星做圓周運動的角速度變大【答案】AC【詳解】AB．設質量較大的為，質量較小的為，則兩者之間的萬有引力為解得數學知識可知，當時，有最大值，根據題意可知質量較小的黑洞吞噬質量較大的恒星，因此萬有引力變大，故A正確，B錯誤；CD．對于兩天體，萬有引力提供向心力，即解得兩天體質量表達式為兩天體總質量表達式為兩天體的總質量不變，天體之間的距離L不變，因此天體的周期T和角速度也不變，質量較小的黑洞的質量增大，因此恒星的圓周運動半徑增大，根據可知，恒星的線速度增大。故C正確，D錯誤。故選AC。11．（2023·湖北·模擬預測）潮汐現象是指在月球和太陽引力作用下形成的海水周期性漲落現象。某同學查閱資料發現月球繞地球轉動的軌道半徑約為地球半徑的60倍，地球質