高三數學大題規范訓練（11）15.設公差不為的等差數列的首項為，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列為正項數列，且，設數列的前項和為，求證：.16.某基層工會擬通過摸球的方式對會員發放節日紅包.現在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數學期望.17.已知函數.（1）若，當時，試問曲線是否存在能與兩坐標軸圍成等腰直角三角形的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，請說明理由；（2）若在上單調，求實數取值范圍.18.如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點到達點的位置，點在平面的射影落在邊上.（1）求的長度；（2）若是邊上的一個動點，是否存在點，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.19.已知，動點滿足，動點的軌跡為曲線交于另外一點交于另外一點.（1）求曲線的標準方程;（2）已知是定值，求該定值;（3）求面積的范圍.

高三數學大題規范訓練（11）15.設公差不為的等差數列的首項為，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列為正項數列，且，設數列的前項和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解答【解答】【分析】（1）設等差數列的公差為，則，根據等比中項的性質及等差數列通項公式得到方程，求出，即可求出通項公式；（2）由（1）得，即，從而得到，再利用裂項相消法計算可得.【小問1詳解】設等差數列的公差為，則，，，成等比數列，則，即，將代入上式，解得或（舍去）．；【小問2詳解】由（1）得，又，所以，所以，則．16.某基層工會擬通過摸球的方式對會員發放節日紅包.現在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解答，96【解答】【分析】（1）利用正難則反的原則即可得到答案；（2）按步驟得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.【小問1詳解】設事件“一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元”，因為每次摸出的球不放回袋中，所以.【小問2詳解】由已知得，，因為每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元紅包的概率分別為，，，所以，，，，，所以得分布列為8090100110120所以.17.已知函數.（1）若，當時，試問曲線是否存在能與兩坐標軸圍成等腰直角三角形的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，請說明理由；（2）若在上單調，求實數的取值范圍.【答案】（1）存在，或（2）【解答】【分析】（1）易知滿足題意的切線方程斜率需為1或，且不過原點，利用導數的幾何意義可求得結果；（2）利用導數與函數的單調性的關系將問題轉化為在上恒成立，再對分情況討論即可求得實數的取值范圍為.【小問1詳解】若，則，得，若一條直線能與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則該直線的斜率為1或，且不過原點；易知，顯然不可能成立，當時，令，得，故，所以切點或，所以存在切線滿足題意，且切線方程為或.【小問2詳解】求導可知，因為在上單調，且，所以在上單調遞減，則在上恒成立，若，由（1）易知符合題意，若，當時，；當時，單調遞增，所以，即，解得；若，當時，；當時，單調遞減，所以，即，解得；綜上，實數的取值范圍為.18.如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點到達點的位置，點在平面的射影落在邊上.（1）求的長度；（2）若是邊上的一個動點，是否存在點，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【答案】（1）1（2）【解答】【分析】（1）利用投影性質以及線面垂直性質可得，再利用三角形相似可求得；（2）建立空間直角坐標系，設，并根據坐標分別求得平面與平面的法向量，由兩平面夾角的余弦值列方程解得，可得.【小問1詳解】作，垂足為，連接，如下圖所示：由點在平面的射影落在邊上可得平面，又平面，所以，因為，且平面，所以平面，又平面，所以，又因為為矩形，，可得，由，可得，所以，；由可得，即；即的長度為1.【小問2詳解】根據題意，以點為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，并設，可得，所以；易知，，設平面的一個法向量為，所以，解得，取，則，即，設平面的一個法向量為，所以，解得，取，則，即，因此可得，整理可得，解得（舍）或；因此，即可得.所以的長度為.19.已知，動點滿足，動點的軌跡為曲線交于另外一點交于另外一點.（1）求曲線的標準方程;（2）已知是定值，求該定值;（3）求面積的范圍.【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）設點的坐標，由題意可得點的恒縱坐標的關系，即可得到曲線的標準方程；（2）設直線和直線方程，然后與橢圓的方程聯立，即可得到的坐標關系，進而可得為定值；（3）由題意可得的比值，由題意可得面積的表達式，再由函數的單調性，即可得到結果.【小問1詳解】令Px,y且，因為，所以，整理可得，所以的標準方程為.【小問2詳解】設Px0,y0設直線和直線的方程分別為，，聯立直線與橢圓方程，整理可得，則，，聯立直線與橢圓方程，整理可得，可得，，又因為，，所以，所以，即，同理可得，，即，所以.設Px0,y0設，則有，又，可得，同理