第2章基本測量理論

與測量數(shù)據(jù)處理2.1測量標(biāo)準(zhǔn)2.2測量方法2.3測量誤差2.4測量誤差的合成與分配2.5測量數(shù)據(jù)處理

2.1測量標(biāo)準(zhǔn)

2.1.1標(biāo)準(zhǔn)的定義和分類

標(biāo)準(zhǔn)是測量的依據(jù),沒有標(biāo)準(zhǔn)便無所謂測量。廣義地講,測量標(biāo)準(zhǔn)是指提供參考標(biāo)準(zhǔn)或?qū)ζ渌麥y量設(shè)備進(jìn)行校準(zhǔn)的高級測量設(shè)備。

測量標(biāo)準(zhǔn)包括以下幾種:

(1)參考標(biāo)準(zhǔn)。

(2)傳遞標(biāo)準(zhǔn)或工作標(biāo)準(zhǔn)。

(3)人為標(biāo)準(zhǔn)。

(4)內(nèi)部標(biāo)準(zhǔn)。

(5)工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。

(6)標(biāo)準(zhǔn)參考部件。

2.1.2基本的電子標(biāo)準(zhǔn)

電子標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)是國際單位制及其導(dǎo)出量。

國際單位制的SI基本單位如下:

(1)米(m,長度)。

(2)千克(kg,質(zhì)量)。

(3)秒(s,時間)。

(4)安培(A,電流)。

(5)開爾文(K,溫度)

(6)摩爾(mol,物質(zhì)的量)。

(7)坎德拉(cd,光強(qiáng)度)。

以下是最常用的國際單位制的導(dǎo)出量:

頻率,基本單位為赫茲(Hz);

功率,基本單位為瓦特(W);

電荷量,基本單位為庫侖(C);

電位,基本單位為伏特(V);

電容,基本單位為法拉(F);

電阻,基本單位為歐姆(Ω);

電導(dǎo),基本單位為西門子(S);

磁通量,基本單位為韋伯(Wb);

磁通量密度,基本單位為特斯拉(T);

電感,基本單位為亨利(H)。

2.2測量方法

2.2.1直接測量直接測量是一個直接的比較過程,所測到的量值就是它最終所需要得到的被測量的值。

2.2.2間接測量

當(dāng)測量對象不便于測量,而與它有著確定的函數(shù)關(guān)系的另一個量便于測量時,我們可對后者進(jìn)行直接測量,并進(jìn)行數(shù)學(xué)推演,得到原始測量對象的相應(yīng)量值,這樣的測量方法即為間接測量。

例如,要在不斷開電路的情況下,測定圖2.1中流過負(fù)載的電流,負(fù)載電阻RL已知,我們只要用電壓表V測得RL兩端的

電壓U,即可由公式I=U/RL算出負(fù)載中的電流。

圖2.1間接測量法測電流

2.2.3調(diào)零測量

調(diào)零測量法的原理是:將一個校準(zhǔn)好的基準(zhǔn)源與未知的被測量進(jìn)行比較,并調(diào)節(jié)其中之一,使二者的量值的差為零,這樣,從基準(zhǔn)源的讀數(shù)即可推算出被測量的值。以圖2.2為例,U為標(biāo)準(zhǔn)電壓源,R1和R2是標(biāo)準(zhǔn)分壓電阻,A為電流表。測量時,通過調(diào)節(jié)R1和R2的比例,使電流表指示為零,這時

圖2.2調(diào)零測量法測電壓

用這種方法測量得到的測量結(jié)果準(zhǔn)確度較高。我們可以看出,由于電流表無電流流過,因此測量結(jié)果只與標(biāo)準(zhǔn)電壓源和標(biāo)準(zhǔn)電阻有關(guān)。如果換一種測量方案,如圖2.3所示,采用間接測量法,流過電流表的電流為IA,則被測電壓Ux=IAR,測量結(jié)果的好壞和電流表的技術(shù)等級有著直接的聯(lián)系。

圖2.3間接測量法測電壓

2.3測量誤差

2.3.1測量誤差的概念與常用測量術(shù)語(1)真值與示值。(2)測量誤差。(3)等精度測量和非等精度測量。(4)測量準(zhǔn)確度。(5)測量精密度。(6)測量不確定度。(7)測量正確度。

測量的準(zhǔn)確度、精密度、正確度的含義可用圖2.4(a)、(b)、(c)來表示。圖中空心點為真值,黑點為六次測量值。顯然,圖2.4(c)所示是準(zhǔn)確度較高,也就是精密度和正確度都較高的測量。

圖2.4測量結(jié)果正確性表示

2.3.2誤差的定義與表示方法

測量誤差為測量結(jié)果與被測量真值之差。

1.絕對誤差

設(shè)測量值為X,被測量真值為A0,則絕對誤差ΔX可表示為

2.相對誤差

絕對誤差并不能作為比較測量結(jié)果準(zhǔn)確度高低的依據(jù)。

在實際應(yīng)用中,相對誤差有以下幾種:

(1)實際相對誤差。實際相對誤差是用絕對誤差ΔX與被測量的實際值A(chǔ)的百分比值來表示的,即

(2)標(biāo)稱相對誤差。標(biāo)稱相對誤差是用絕對誤差ΔX與儀器的測量值X的百分比值表示的,即

(3)滿度相對誤差,即引用誤差。其定義為絕對誤差與測量儀器滿度值的百分比,即

式中:γm為滿度相對誤差;ΔX為絕對誤差;Xm為儀器的滿度值。

如果已知儀器的滿度相對誤差γm,則可以推算出該儀器最大的絕對誤差,即

2.3.3測量誤差的來源

一般的測量過程都是條件受限的測量,必然存在不同程度的誤差。測量誤差的主要來源有以下幾個方面:

(1)儀器誤差。

(2)使用誤差。

(3)人身誤差。

(4)方法誤差。

(5)環(huán)境誤差。

2.3.4測量誤差的分類和處理

雖然各種測量誤差產(chǎn)生的原因不盡相同,但按測量誤差的性質(zhì)和特點,大致可以將其劃分為三類:系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。

1.系統(tǒng)誤差

在多次等精度測量同一值時,絕對值和符號保持不變的誤差,或當(dāng)測量條件改變時,按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差,簡稱系差。如果系統(tǒng)誤差值保持恒定,則稱為恒定系差,否則稱為變值系差。

系統(tǒng)誤差的主要特點是:只要測量條件不變,誤差即為確切的數(shù)值,用多次測量取平均值的辦法也不能改變或消除系差。當(dāng)測量條件改變時,誤差也隨之變化,并依據(jù)一定的規(guī)律,具有可重復(fù)性。

圖2.5描述了幾種不同系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律:

直線a屬于恒定系差;直線b屬于變值系差中的累進(jìn)性系差,而且是直線遞增的;直線c表示周期性系差,在整個測量過程中,系差值呈周期性變化;曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。

圖2.5系統(tǒng)誤差特征

產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有以下幾種:

(1)測量儀器具有局限性。

(2)測量時環(huán)境條件(如溫度、濕度及電源

電壓)與儀器使用要求不一致。

(3)采用近似的測量方法或近似的計算公式。

(4)測量人員讀取儀器示值時存在偏差。

系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度,系統(tǒng)誤差越小,測量的正確度就越高。在實際測量中,一方面應(yīng)采取措施,克服產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因,另一方面可以根據(jù)系統(tǒng)誤差所具有的確定性,在一定程度上對測量數(shù)據(jù)加以修正。

2.隨機(jī)誤差

產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有:

(1)測量儀器產(chǎn)生噪聲,零部件配合不良等。

(2)溫度及電源電壓的無規(guī)則運動、電磁干擾等。

(3)測量人員感覺器官的無規(guī)律變化產(chǎn)生的讀數(shù)偏差。

隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度,隨機(jī)誤差越小,測量的精密度越高。

隨機(jī)誤差的特點是:在多次測量中,誤差絕對值的波動有一定的界限,即具有有界性;當(dāng)測量次數(shù)足夠多時,正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會幾乎相當(dāng),即具有對稱性;隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零,即具有抵償性。隨機(jī)誤差的這些特性表明其服從統(tǒng)計規(guī)律,用數(shù)理統(tǒng)計的方法來表征,其服從正態(tài)分布,如圖2.6和圖2.7所示。

圖2.6測量值xi的正態(tài)分布曲線

圖2.7誤差δi的正態(tài)分布曲線

3.粗大誤差

粗大誤差是指明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。產(chǎn)生粗大誤差的原因主要有:

(1)測量方法不當(dāng)或錯誤

(2)測量操作疏忽和失誤

(3)測量條件變更

粗大誤差完全偏離了客觀實際,在處理測量數(shù)據(jù)時,應(yīng)將含有粗大誤差的測量值加以剔除。

2.4測量誤差的合成與分配2.4.1測量誤差的合成

設(shè)最終測量結(jié)果為y,各分項測量值為x1,x2,…,xn,且滿足函數(shù)關(guān)系并設(shè)各xi間彼此獨立,xi的絕對誤差為Δxi,y的絕對誤差為Δy,則

用高等數(shù)學(xué)的級數(shù)展開方法展開式(2－12),并舍去高次項,得到

以保守的辦法計算,則為

式中,Δx為系統(tǒng)總的合成誤差,其相對誤差形式為

以保守的辦法計算,則為

例2.1電阻R1=1kΩ,R2=5kΩ,相對誤差均為5%,求串聯(lián)后總的相對誤差。

解串聯(lián)后,R=R1+R2。由式(2－13)得串聯(lián)后電阻的相對誤差為

由此可見,相同誤差的電阻串聯(lián)后總電阻的相對誤差與單個電阻的相對誤差相同。

例2.2已知電阻上電壓及電流的測量相對誤差分別為γu

=±3%,γi=±2%,求功率P=UI的相對誤差。

解由式(2－14)可得

由此可知,兩乘積的相對誤差等于兩因子的相對誤差之和。

2.4.2測量誤差的分配

1.等準(zhǔn)確度分配

當(dāng)總誤差中各分項所起作用相近時,給它們分配以相同的誤差。若總誤差為Δy,分項誤差為Δxi,則有

例2.3有一工作在220V交流電壓下的變壓器,其工作電

路如圖2.8所示,已知初級線圈與兩個次級線圈的匝數(shù)比為N12∶N34∶N45=1∶2∶2,用最大量程為500V的交流電壓表測量變壓器總輸出電壓U,要求相對誤差小于±2%,應(yīng)該用哪個級別的交流電壓表?

圖2.8例2.3圖

解由于變壓器次級線圈的兩組電壓U1、U2為440V,總電壓U為880V,因此應(yīng)分別測量U1、U2,再用求和的方法求得總電壓U=U1+U2。已知總的相對誤差ΔU=U×(±2%)=

±17.6V,由于U1、U2性質(zhì)完全等同,因此根據(jù)等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差,則有

由此推得

可見,選用1.5級的電壓表能滿足測量要求。

2.等作用分配

等作用分配是指分配給各分項的誤差在數(shù)值上盡管有一定差異,但它們對誤差總和的作用和影響是相同的,即有

此時,分配公式為

例2.4用電壓表與電流表測量電阻上消耗的功率,已測出電流為100mA,電壓為3V,算出功率為300mW,若要求功率測量的系統(tǒng)誤差小于5%,則電壓和電流的測量誤差應(yīng)在多大范圍?

3.抓住主要誤差項進(jìn)行分配

當(dāng)各分項誤差中某項誤差特別大時,就可以不考慮次要分項的誤差,或酌情分給次要分項少量誤差比例,確保主要項的誤差小于總和的誤差。若主要誤差項有若干項,則可以把誤差在這幾個主要項中進(jìn)行等準(zhǔn)確度或等作用分配。

2.4.3最佳測量方案選擇

當(dāng)一個測量任務(wù)可以選取不同的測量方案時,首先應(yīng)注意改善測量的基本條件,使測量的分項誤差盡可能小一些,然后設(shè)計與比較多種測量方案,最后選出合成誤差最小的一

種方案即為最佳測量方案。

也就是說,這種方案下,有最小值。

例2.5用電阻表、電壓表、電流表的組合來測量電阻消耗的功率,已知電阻的阻值R,電阻上的電壓U,流過電阻的電流I,其相對誤差分別為γR=±2%,γU=±2%,γI=±3%,試確定最佳測量方案。

2.5測量數(shù)據(jù)處理

2.5.1有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則1.有效數(shù)字由于測量中誤差的存在或者測量儀器的分辨力的限制,測量數(shù)據(jù)中從某位起的右邊一位是欠準(zhǔn)確的估計數(shù)字,稱為存疑數(shù)字。所謂有效數(shù)字,是指從最左邊一位非零數(shù)字起算到右邊第一位存疑數(shù)字為止的多位數(shù)字。對于確定的數(shù),通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半。

例如,若末位數(shù)字是個位,則包含的絕對誤差值小于0.5;若末位是十位,則包含的絕對誤差值小于5。對于這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù),從它左邊第一個不為零的數(shù)字起,直到右邊最后一個數(shù)字為止,都叫有效數(shù)字。例如:

2.數(shù)字的舍入規(guī)則

對測量結(jié)果中多余的有效數(shù)字,應(yīng)按“小于5舍,大于5進(jìn),等于5時取偶數(shù)”的法則進(jìn)行處理。“等于5取偶數(shù)”是指當(dāng)尾數(shù)為5時,要保留的位是奇數(shù)時,則加1,要保留的位是偶數(shù)時,則不變。例如:將10.34,10.36,10.35,10.45保留小數(shù)點后一位有效數(shù)字,即

另一方面,在讀取測量儀器的示值時,測量誤差的小數(shù)點后面有幾位,則測量數(shù)據(jù)的小數(shù)點后面也取幾位。

例如:用一臺0.5級電壓表100V量程擋測量電壓,電壓表指示值為75.35V。

我們可以推算得U=±0.5%×U=±0.5%×100V=0.5V,故小數(shù)點后的第一位是存疑數(shù)字,根據(jù)舍入規(guī)則,示值末尾的0.35<0.5,所以應(yīng)舍去,測量報告值為75V。

2.5.2等精度