2021屆高三數學（理）提升演練：拋物線一、選擇題1．已知拋物線x2＝ay的焦點恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點，則a等于()A．1B．4C．8 D．162．拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A．－eq\f(17,16) B．－eq\f(15,16)C.eq\f(7,16) D.eq\f(15,16)3．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y軸的距離為()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是()A．相離 B．相交C．相切 D．不確定5．已知F為拋物線y2＝8x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，則||FA|－|FB||的值等于()A．4eq\r(2) B．8C．8eq\r(2) D．166．在y＝2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是()A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)二、填空題7．以拋物線x2＝16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________．8．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(－3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________．9．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F，那么||＋||＝________.三、解答題10．依據下列條件求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；(2)過點P(2，－4)．11．已知點A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量與的夾角為eq\f(π,4)，求△POM的面積．12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，－1)，B點在直線y＝－3上，M點滿足∥，·＝·，M點的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值．詳解答案一、選擇題1．解析：依據拋物線方程可得其焦點坐標為(0，eq\f(a,4))，雙曲線的上焦點為(0,2)，依題意則有eq\f(a,4)＝2,解得a＝8.答案：C2．解析：拋物線方程可化為x2＝－eq\f(y,4)，其準線方程為y＝eq\f(1,16).設M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知eq\f(1,16)－y0＝1?y0＝－eq\f(15,16).答案：B3．解析：依據拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y軸的距離為：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C4．解析：設拋物線焦點弦為AB，中點為M，準線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|＝半徑，故相切．答案：C5．解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為y＝x－2由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝8x))，消去y得x2－12x＋4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(144－16)＝8eq\r(2).答案：C6．解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準線，F為其焦點，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當且僅當A、P、N三點共線時取等號．∴P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1，則可排解A、C、D.答案：B二、填空題7．解析：拋物線的焦點為F(0,4)，準線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的方程為x2＋(y－4)2＝64.答案：x2＋(y－4)2＝648．解析：設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)，則準線為y＝－eq\f(a,4).∵Q(－3，m)在拋物線上，∴9＝am.而點Q到焦點的距離等于點Q到準線的距離，∴|m－(－eq\f(a,4))|＝5.將m＝eq\f(9,a)代入，得|eq\f(9,a)＋eq\f(a,4)|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，∴所求拋物線的方程為x2＝±2y，或x2＝±18y.答案：x2＝±2y或x2＝±18y9．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,2x＋y－4＝0))，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點的橫坐標，故x1＋x2＝5，由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，所以||＋||＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7答案：7三、解答題10．解：雙曲線方程化為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，左頂點為(－3,0)，由題意設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則－eq\f(p,2)＝－3，∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x.(2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線對稱軸為坐標軸，可設拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入P點坐標求得m＝8，n＝－1，∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.11．解：設點M(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，P(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)，∵P，M，A三點共線，∴kAM＝kPM，即eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)＋1)＝eq\f(y1－y2,\f(y\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,2),4))，即eq\f(y1,y\o\al(2,1)＋4)＝eq\f(1,y1＋y2)，∴y1y2＝4.∴·＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＋y1y2＝5.∵向量與的夾角為eq\f(π,4)，∴||·||·coseq\f(π,4)＝5.∴S△POM＝eq\f(1,2)||·||·sineq\f(π,4)＝eq\f(5,2).12．解：(1)設M(x，y)由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．再由題意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.所以曲線C的方程為y＝eq\f(1,4)x2－2.(2)設P(x0，y0)為曲線C：y＝eq\f(1,4)x2－2上一點，由于y′＝eq\f(1,2)x，所以l的斜率為eq\f(1,2)x0.因此曲線l的方程為y－y0＝eq\f(1,2)x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－xeq\o\al(2,0)＝0.則O點到l的距離d＝eq\f(|2y0－x\o\al(2,0)|,\r(x\o\al(2,0)＋4