《正弦定理》教學設計一、教學內容分析本節內容支配在《一般高中課程標準試驗教科書·數學必修5》（北師大版）其次章，正弦定理第一課時，是在高一同學學習了三角等學問之后，明顯是對三角學問的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對學校解直角三角形內容的直接延長，因而定理本身的應用又格外廣泛。依據實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次老師通過引導同學對實際問題的探究，并大膽提出猜想；其次層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最終進行簡潔的應用。同學通過對任意三角形中正弦定理的探究、發覺和證明，感受“觀看——試驗——猜想——證明——應用”這一思維方法，養成大膽猜想、擅長思考的品質和勇于求真的精神。二、學情分析對于高一的同學來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數，向量等學問，有確定觀看分析、解決問題的力氣，但對前后學問間的聯系、理解、應用有確定難度，因此思維機敏性受到制約。依據以上特點，老師恰當引導，提高同學學習主動性，多加以前后學問間的聯系，帶領同學直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設計思想：本節課接受探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在老師的啟發引導下，以同學獨立自主和合作溝通為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發覺和證明”為基本探究內容，為同學供應充分自由表達、質疑、探究、爭辯問題的機會，讓同學通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在學問的形成、進展過程中開放思維，逐步培育同學發覺問題、探究問題、解決問題的力氣和制造性思維的力氣。四、教學目標：1．讓同學從已有的幾何學問動身,通過對任意三角形邊角關系的探究，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導同學通過觀看，試驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，把握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2．通過對實際問題的探究，培育同學觀看問題、提出問題、分析問題、解決問題的力氣，增加同學的協作力氣和溝通力氣，進展同學的創新意識，培育制造性思維的力氣。3．通過同學自主探究、合作溝通，親身體驗數學規律的發覺，培育同學勇于探究、擅長發覺、不畏艱辛的創新品質，增加學習的成功心理，激發學習數學的愛好。4．培育同學合情合理探究數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正弦定理、向量的數量積等學問間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。五、教學重點與難點教學重點：正弦定理的發覺與證明；正弦定理的簡潔應用。教學難點：正弦定理的猜想提出過程。教學預備：制作多媒體課件，同學預備計算器，直尺，量角器。六、教學過程：（一）結合實例，激發動機 師生活動： 老師：呈現情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后連續向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，假如船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？同學：思考提出測量角A，C（圖1）老師：若已知測得，，要計算A、B兩地距離，你有方法解決嗎？ 同學：思考溝通，畫一個三角形，使得為6cm，，，量得距離約為4.9cm，利用三角形相像性質可知AB約為490m。老師：對，很好，在學校，我們學過相像三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？ 師生：共同回憶解直角三角形，=1\*GB3①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。=2\*GB3②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。。 老師：引導，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？ 同學：思考，溝通，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，同學闡述，老師板書。解：過作于（圖2）在中，（圖2），在中，老師：表示對同學觀賞，那么剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？老師：引導同學再觀看剛才解題過程。同學：發覺， 老師：引導 ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發覺什么？同學：發覺即然有，那么也有，。老師：引導 ，，，我們習慣寫成對稱形式，，，因此我們可以發覺，是否任意三角形都有這種邊角關系呢？設計意圖：愛好是最好的老師。假如一節課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從同學日常生活中的實際問題引入，激發同學思維，激發同學的求知欲，引導同學轉化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜想性的結論——猜想，培育同學從特殊到一般思想意識，培育同學制造性思維力氣。（二）數學試驗，驗證猜想老師：給同學指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應的邊長a：b：c為1：1：1，對應角的正弦值分別為，，，引導同學考察，，的關系。（同學回答它們相等）（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應的邊長a：b：c為1：1：，對應角的正弦值分別為，，1；（同學回答它們相等）（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應的邊長a：b：c為1：：2，對應角的正弦值分別為，，1。（同學回答它們相等）（圖3）（圖3） 老師：對于呢？同學：思考溝通得出，如圖4，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,BaACcb(圖4)則有BaACcb(圖4)則從而在直角三角形ABC中，老師：那么任意三角形是否有呢？同學按事先支配分組，出示試驗報告單，讓同學閱讀試驗報告單，質疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（假猶如學沒有問題，老師讓同學動手計算，附試驗報告單。） 同學：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數值，通過試驗數據計算，比較、、的近似值。 老師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值照舊保持相等。 我們猜想：==設計意圖：讓同學體驗數學試驗，激起同學的奇異???心和求知欲望。同學自己進行試驗，體會到數學試驗的歸納和演繹推理的兩個側面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：老師：我們雖然經受了數學試驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數學的思想方法證明呢？前面探究過程對我們有沒有啟發？同學分組爭辯，每組派一個代表總結。（以下證明過程，依據同學回答狀況進行敘述） 同學：思考得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗。=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設，，作：，垂足為在中，（圖5）在中，（圖5）同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設為鈍角，，，作交的延長線于（圖6） 在中，（圖6） 在中， 同銳角三角形證明可知 老師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？同學：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意△ABC，由學校所學過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。老師邊分析邊引導同學，同時板書證明過程。(圖7)AB(圖7)ABCDEFbac（圖7）在剛才的證明過程中大家是否發覺三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式同學：得到三角形面積公式 老師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8） 同學：在前面的檢驗中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉化為直角三角形。（圖8）證明：連續并延長交圓于，在中，即同理可證：， 老師：從剛才的證明過程中,，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他學問來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學過，這與邊的長度和三角函數值有較為親熱的聯系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？同學：思考（聯系作高的思想）得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，（圖9） （圖9） 即 同理： 對于鈍角三角形，直角三角形的狀況作簡潔交代。 老師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有愛好的同學回家再探究。設計意圖：經受證明猜想的過程，進一步引導啟發同學利用已有的數學學問論證猜想，力圖讓同學體驗數學的學習過程。（四）利用定理，解決引例師生活動：老師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。同學：馬上得出 在中， （五）了解解三角形概念設計意圖：讓同學了解解三角形概念，形成學問的完整性老師：一般地，把三角形的三個角、、和它們的對邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓同學體會用新的學問，新的定理，解決問題更便利，更簡潔，激發同學不斷探究新學問的欲望。（六）運用定理，解決例題師生活動：老師：引導同學從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 同學：爭辯正弦定理可以解決的問題類型： =1\*GB3①假如已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如； =2\*GB3②假如已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓同學思考回答解題思路，老師板書，讓同學思考主要是突出主體，老師板書的目的是規范解題步驟。 例1：在中，已知，，，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，已知，，，解三角形。例2的處理，目的是讓同學把握分類爭辯的數學思想，可先讓中等同學講解解題思路，其他同學補充溝通。 用實物投影儀呈現同學中解題步驟規范的解答。設計意圖：自己解決問題，提高同學學習的熱忱和動力，使同學體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要爭辯”的主動學習。（七）嘗試小結：老師：提示引導同學總結本節課的主要內容。同學：思考溝通，歸納總結。師生：讓同學嘗試小結，老師準時補充，要體現：（1）正弦定理的內容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。（3）分類爭辯的數學思想。設計意圖：通過同學的總結，培育同學的歸納總結力氣和語言表達力氣。（八）作業設計作業：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀看解的狀況并解釋毀滅一解，兩解，無解的緣由。課外鏈接：課后通過查閱相關書籍，上網搜尋，了解關于正弦定理的進展及應用（相關網址：）七、設計思路：本節課，同學在不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在老師預設的思路中，同學樂觀主動參與一個個相關聯的探究活動過程，通過“觀看——試驗——歸納——猜想——證明”的數學思想方法發覺并證明定理，讓同學經受了學問形成的過程，感受到創新的歡快，激發同學學習數學的愛好。其次，以問題為導向設計教學情境，促使同學去思考問題，去發覺問題，讓同學在“活動”中學習，在“主動”中進展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。結合實例，激發動機數學源于現實，從同學日常生活中的實際問題引入，激發同學學習的愛好，引導啟發同學利用已有的學問解決新的問