第3節導數與函數的極值、最值[課程標準要求]1.借助函數圖象,了解函數在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數求函數的極大值、極小值.3.會求閉區間上函數的最大值、最小值.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.函數的極值(1)函數的極小值函數y=f(x)在點x=a處的函數值f(a)比它在點x=a附近其他點處的函數值都小,f′(a)=0;而且在點x=a附近的左側

,右側

,則a叫做函數y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數y=f(x)的極小值.f′(x)<0f′(x)>0(2)函數的極大值函數y=f(x)在點x=b處的函數值f(b)比它在點x=b附近其他點處的函數值都大,f′(b)=0;而且在點x=b附近的左側

,右側

,則b叫做函數y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數y=f(x)的極大值.(3)極小值點、極大值點統稱為

,極小值和極大值統稱為

.f′(x)>0f′(x)<0極值點極值(1)對于可導函數f(x),“f′(x0)=0”是“函數f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.(2)極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.2.函數的最大(小)值(1)一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值的步驟①求函數y=f(x)在區間(a,b)內的

;②將函數y=f(x)的各極值與

比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.連續不斷極值端點處的函數值f(a),f(b)函數最值是“整體”概念,而函數極值是“局部”概念.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”).(1)對于可導函數f(x),若f′(x0)=0,則x0為極值點.(

)(2)函數的極大值不一定是最大值,最小值也不一定是極小值.(

)(3)函數f(x)在區間(a,b)上不存在最值.(

)(4)函數的極值可能不止一個,也可能沒有.(

)×√×√2.(多選題)已知函數y=f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是(

)A.f(x)在x=-4處取極小值B.f(x)在x=-2處取極大值C.1.5是f(x)的極小值點D.3是f(x)的極小值點√√解析:由導函數f′(x)的圖象可得,當x=-4時,其左側附近的導數小于零,右側附近的導數大于零,所以f(x)在x=-4處取極小值,所以A正確;當x=1.5時,其左側附近的導數小于零,右側附近的導數大于零,所以1.5是f(x)的極小值點,所以C正確;而x=-2和x=3,左右兩側附近的導數值同號,所以-2和3不是函數的極值點,所以B,D錯誤.故選AC.3.(選擇性必修第二冊P94練習T1改編)已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是

.

解析:f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx-2=2(cosx+1)(2cosx-1).令f′(x)>0,(k∈Z)內單調遞增;令f′(x)<0,即f(x)在區間(2kπ+,2kπ+π),(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z)內單調遞減.4.函數f(x)=x3-ax2+2x-1有極值,則實數a的取值范圍是

.解析:f′(x)=3x2-2ax+2,由題意知f′(x)有變號零點,所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,02提升·關鍵能力類分考點,落實四翼考點一利用導數解決函數的極值問題角度一根據函數圖象判斷函數極值[例1](多選題)(2024·重慶檢測)函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示,則(

)A.-3是函數y=f(x)的極值點B.-1是函數y=f(x)的極小值點C.y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增D.-2是函數y=f(x)的極大值點√√解析:根據導函數的圖象可知,當x∈(-∞,-3)時,f′(x)<0,當x∈(-3,1)時,f′(x)≥0,所以函數y=f(x)在(-∞,-3)上單調遞減,在(-3,1)上單調遞增,可知-3是函數y=f(x)的極值點,所以A正確;因為函數y=f(x)在(-3,1)上單調遞增,可知-1不是函數y=f(x)的極小值點,-2也不是函數y=f(x)的極大值點,所以B錯誤,C正確,D錯誤.故選AC.由圖象判斷函數y=f(x)的極值,要抓住兩點(1)由y=f′(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標,可得函數y=f(x)的可能極值點.(2)由導函數y=f′(x)的圖象可以看出y=f′(x)的值的正負,從而可得函數y=f(x)的單調性.兩者結合可得極值點.角度二求函數的極值[例2](2024·河北邯鄲模擬)已知函數f(x)=ex-ax-1.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;解:(1)f′(x)=ex-a,所以切線斜率k=f′(0)=1-a,f(0)=0,所以切點為(0,0),所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=(1-a)x.(2)求函數f(x)的極值.解:(2)函數f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)=ex-a,當a≤0時,f′(x)=ex-a>0對x∈R恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上為增函數,無極值;當a>0時,令f′(x)=0,所以ex=a,x=lna,x(-∞,lna)lna(lna,+∞)f′(x)-0+f(x)↘極小值↗f(x)在x=lna處取得極小值f(lna)=a-alna-1,無極大值.運用導數求函數f(x)極值的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域.(2)求導數f′(x).(3)解方程f′(x)=0,求出函數定義域內的所有根.(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根x0左右兩側值的符號.(5)求出極值.角度三由函數極值(極值個數)求參數值(范圍)[例3](1)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極小值10,則a+b等于(

)A.-7 B.0C.-7或0 D.-15或6√解析:(1)由函數f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b.又函數f(x)在x=1處有極小值10,f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11).令f′(x)>0,得x>1或x<-,所以函數f(x)在(-∞,-)上單調遞增,在(-,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.顯然滿足函數f(x)在x=1處有極小值10.令f′(x)<0,得-<x<1,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,所以函數f(x)在R上單調遞增,不滿足函數f(x)在x=1處有極小值10.所以a+b=4-11=-7.故選A.(2)(2024·四川綿陽模擬)已知函數f(x)=ax2-2x+lnx有兩個不同的極值點x1,x2,則實數a的取值范圍為(

)√解析:(2)由f(x)=ax2-2x+lnx(x>0),若函數f(x)=ax2-2x+lnx有兩個不同的極值點x1,x2,則方程2ax2-2x+1=0有兩個不相等的正實根,故選C.(1)已知函數極值,確定函數解析式中的參數時,要注意根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解.(2)導數值為0不是此點為極值點的充要條件,所以用待定系數法求解后必須檢驗.[針對訓練](1)(角度一)已知函數f(x)的導函數的圖象如圖所示,則f(x)的極值點的個數為(

)A.0 B.1 C.2 D.3√(1)解析:因為在x=0左、右兩邊的導數值均為負數,所以0不是極值點,故由題圖可知f(x)只有2個極值點.故選C.(2)(角度三)已知函數f(x)=+mlnx-2x存在極值點,則實數m的取值范圍為

.

(2)解析:由題意知x>0,且f′(x)=,m,若只有一個極值點,則g(x)=x2-2x+m在區間(0,+∞)內有唯一的變號零點,g(0)≤0即可,解得m≤0;若有兩個極值點,則g(x)=0在區間(0,+∞)上有兩個不同的根,設g(x)=x2-2x+解得0<m<1.綜上所述,實數m的取值范圍是(-∞,1).(-∞,1)(3)(角度二)已知函數f(x)=,其中a∈R.若函數f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y-1=0平行.①求a的值;(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.因為函數f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y-1=0平行,所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.經驗證,a=-1符合題意.②求函數f(x)的極值.解:②由①得f(x)=,f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).令f′(x)=0,得x=-1或x=2.當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如表所示,x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以當x=-1時,f(x)取得極大值,且f(-1)=2;當x=2時,f(x)取得極小值,且f(2)=-.考點二利用導數解決函數的最值問題[例4](2024·江蘇蘇州模擬)已知函數f(x)=xlnx-a(x-1),求函數f(x)在區間[1,e]上的最小值.解:f(x)=xlnx-a(x-1),則f′(x)=lnx+1-a,①當ea-1≤1,即a≤1時,x∈[1,e],則f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上單調遞增,所以f(x)的最小值為f(1)=0.②當1<ea-1<e,即1<a<2時,由f′(x)=0,得x=ea-1,在[1,ea-1]上,f′(x)≤0,f(x)單調遞減,在[ea-1,e]上,f′(x)≥0,f(x)單調遞增,所以f(x)的最小值為f(ea-1)=a-ea-1.③當ea-1≥e,即a≥2時,在[1,e]上,f′(x)≤0,f(x)單調遞減,所以f(x)的最小值為f(e)=a+e-ae.綜上,當a≤1時,f(x)的最小值為0;當1<a<2時,f(x)的最小值為a-ea-1;當a≥2時,f(x)的最小值為a+e-ae.(1)求函數f(x)在閉區間[a,b]上的最值時,在得到極值的基礎上,結合區間端點的函數值f(a),f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數的最值.(2)若所給函數f(x)解析式含參數,則需對函數f(x)求導,通過對參數分類討論,判斷函數的單調性,從而得到函數f(x)的最值.[針對訓練](2024·四川雅安模擬)設曲線f(x)=在點(1,f(1))處的切線方程為y=x+b(其中a,b∈R,e是自然對數的底數),則f(x)在區間[-3,3]上的最大值為

,最小值為

.

27e30依題可得f′(1)=,所以a=3.令f′(x)=0,解得x=0或2,令f′(x)>0,解得0<x<2,令f′(x)<0,解得x<0或x>2.所以f(x)在[-3,0)上單調遞減,在[0,2]上單調遞增,在(2,3]上單調遞減.故f(x)在區間[-3,3]上的最大值為f(-3)=27e3,最小值為f(0)=0.考點三導數在實際問題中的應用[例5]為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式;解:(1)由C(0)==8,得k=40,因此C(x)=.而建造費用為C1(x)=6x.所以隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x(0≤x≤10).(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小?并求出最小值.令f′(x)=0,當0≤x<5時,f′(x)<0,當5<x≤10時,f′(x)>0,所以f(x)的最小值為f(5)=6×5+=70.所以當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值70萬元.解得x=5或x=-(舍去).利用導數解決實際問題的四個步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系,建立實際問題的數學模型,寫出實際問題中變量之間的函數關系式y=f(x).(2)求函數的導數f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比較函數在區間端點和f′(x)=0的點處的函數值的大小,最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實際問題,結合實際問題作答.[針對訓練](2024·山東德州模擬)高鐵的快速發展給群眾出行帶來巨大便利,促進了區域經濟和社會發展.已知某條高鐵線路通車后,發車時間間隔t(單位:分鐘)滿足2≤t≤20,t∈N*.經測算,高鐵的載客量與發車時間間隔t相關:當10≤t≤20時,高鐵為滿載狀態,載客量為1200人;當2≤t<10時,載客量會在滿載基礎上減少,減少的人數與(10-t)2成正比,且發車時間間隔為5分鐘時的載客量為950人.設發車時間間隔為t分鐘時,高鐵載客量為P(t).解:(1)當2≤t<10時,減少的人數與(10-t)2成正比,設比例系數為k,所以P(t)=1200-k(10-t)2,2≤t<10,當t=5時,P(5)=950,即1200-k(10-5)2=950,解得k=10,(1)求P(t)的表達式;所以P(t)=解:(2)由題意可得(2)若該線路發車時間間隔為t分鐘時的凈收益Q(t)=P(t)-40t2+660t-2048(單位:元),當發車時間間隔為多少時,單位時間的凈收益最大?最大為多少?令H′(t)=0,得t=8.當2≤t<8時,H′(t)>0,當8<t<10時,H′(t)<0,所以H(t)的最大值為H(8)=316;當2≤t<10時,當10≤t≤20時,所以H(t)的最大值為H(10)=295.2,因為295.2<316,所以當t=8時,單位時間的凈收益最大,為316元.1.三次函數的圖象與基本性質三次函數的一般形式為f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,且a≠0),其定義域為R,值域為R,在整個定義域R上沒有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判別式為Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),f′(x)中的參數a與Δ的符號對原函數f(x)的單調性、極值點起決定性作用,如表所示:微點提能5三次函數的圖象和性質項目a>0a<0圖象Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0單調性(-∞,x1),(x2,+∞)上單調遞增;(x1,x2)上單調遞減R上單調遞增(-∞,x1),(x2,+∞)上單調遞減;(x1,x2)上單調遞增R上單調遞減極值點兩個極值點x1,x2無極值點兩個極值點x1,x2無極值點對稱性三次函數的圖象是中心對稱曲線,對稱中心為點

設f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.據多項式恒等則其對應系數相等,可得m=-,且n=am3+bm2+cm+d,從而三次函數f(x)的圖象是中心對稱曲線,且由n=f(m)知其對稱中心(m,f(m))仍然在曲線上.2.三次方程f(x)=0的實根個數(1)當Δ≤0,即b2-3ac≤0時,方程f(x)=0有且只有一個實數根.(2)當Δ>0,即b2-3ac>0時,設f′(x)=0的兩根為x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,則方程f(x)=0有且只有一個實數根;若f(x1)·f(x2)=0,則方程f(x)=0有兩個不相等的實數根;若f(x1)·f(x2)<0,則方程f(x)=0有三個不相等的實數根.3.三次函數f(x)圖象的切線條數過f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心N作切線l,則坐標平面被切線l和函數f(x)的圖象分割為四個區域,有以下結論:(1)過區域Ⅰ、Ⅲ內的點作f(x)的切線,有且僅有三條;(2)過區域Ⅱ、Ⅳ內的點或對稱中心N作f(x)的切線,有且僅有一條;(3)過切線l或函數f(x)圖象(除去對稱中心N)上的點作f(x)的切線,有且僅有兩條.切線條數口訣:內一、上二、外三.類型一利用導數研究三次函數的對稱性[典例1](2024·河南安陽模擬)定義f″(x)是y=f(x)的導函數y=f′(x)的導函數,若方程f″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.可以證明,任意三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐點”和對稱中心,且“拐點”就是其對稱中心,若函數等于(

)A.1010 B.-1010 C.1011 D.-1011√利用導數求三次函數對稱中心的一般步驟第一步,對三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求導,得f′(x);第二步,對f′(x)求導,得f″(x);第三步,解方程f″(x)=0,得實數根x0;第四步,求f(x0),得函數f(x)的對稱中心(x0,f(x0)).[拓展演練](2024·安徽合肥模擬)若函數f(x)=ax3-(a>0)與函數g(x)=x2-cx的圖象恰有三個不同交點,且交點的橫坐標構成等差數列,則實數a的取值范圍是

.

必有兩個不同的實數根,又a>0,則Δ=4-8ac>0,所以ac<.三次函數的圖象是中心對稱圖形,由h(x)的圖象與x軸的三個不同交點的橫坐標構成等差數列,可知函數h(x)圖象的對稱中心一定在x軸上.類型二利用極值研究三次函數的零點[典例2](2024·江西贛州高三月考)已知函數f(x)=x3-4mx2-3m2x+2,其中m≥0.(1)若f(x)的極小值為-16,求m;解:(1)由題意得f′(x)=3x2-8mx-3m2=(x-3m)(3x+m),其中m≥0.當m=0時,f′(x)≥0,f(x)單調遞增,f(x)無極值;當m>0時,令f′(x)>0,令f′(x)<0,所以f(x)的單調遞減區間為(-,3m),單調遞增區間為(-∞,-),(3m,+∞),所以當x=3m時,f(x)取得極小值f(3m)=2-18m3,所以2-18m3=-16,解得m=1.(2)討論f(x)的零點個數.解:(2)由(1)知當m>0時,f(x)的極小值為f(3m)=2-18m3,當2-18m3<0,f(x)有三個零點,如圖中曲線①;當2-18m3=0,f(x)有兩個零點,如圖中曲線②;當2-18m3>0,f(x)有一個零點,如圖中曲線③;當m=0時,f(x)=x3+2,易知f(x)有一個零點.綜上,f(x)有一個零點;f(x)有兩個零點;f(x)有三個零點.[拓展演練]設函數f(x)=x3-a2x+b,其中a,b為常數.(1)討論f(x)的單調性;解:(1)f′(x)=x2-a2=(x-a)(x+a).當a<0時,由f′(x)>0,得x>-a或x<a,由f′(x)<0,得a<x<-a;當a>0時,由f′(x)>0,得x>a或x<-a,由f′(x)<0,得-a<x<a;當a=0時,f′(x)≥0.綜上,當a<0時,f(x)在(-∞,a),(-a,+∞)上單調遞增,在(a,-a)上單調遞減;當a>0時,f(x)在(-∞,-a),(a,+∞)上單調遞增,在(-a,a)上單調遞減;當a=0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.(2)若函數f(x)有且僅有3個零點,求的取值范圍.解:(2)由(1)可知,若f(x)有3個零點,則a≠0,且f(x)極大值·f(x)極小值<0,所以f(-a)f(a)=(b+a3)(b-a3)<0,類型三利用導數研究三次函數的切線問題[典例3](多選題)(2024·廣東廣州模擬)函數f(x)=x3-ax2-x+1,則下列結論正確的是(

)A.若函數f(x)在上單調遞減,則-1≤a≤B.若函數f(x)的對稱中心為(1,-2),則a=C.當a=1時,若f(x)=m有三個根x1,x2,x3,則0<m<D.當a=1時,若過點(-1,n)可作曲線y=f(x)的三條切線,則0<n<√√√解析:對于選項A,f(x)=x3-ax2-x+1,f′