清單07二次函數（13個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】次函數的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數【清單02】二次函數解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．【清單03】二次函數的圖象及性質解析式二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=當x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小【清單04】拋物線的平移二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．【清單05】二次函數與一元二次方程的關系1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．【清單06】用二次函數的性質解決實際問題利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數的解析式，列解析式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函數的最大值或最小值【清單07】用二次函數圖象解決幾何問題二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立二次函數的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的【考點題型一】二次函數的概念

【典例1-1】下列函數中屬于二次函數的是（

）A．y=3x?1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【典例1-2】關于x的函數y=(m?1)xm2+1+5【變式1-1】下列屬于二次函數的是（

）A．y=?2x2+3 B．y=2x C．y=【變式1-2】若y=(m?4)x2?5x+3表示y是x的二次函數，則m【變式1-3】若y=m?2xm2?2+3x是關于

【考點題型二】特殊二次函數的圖像和性質

【典例2】對于拋物線y=?2x?12+3A．函數最小值是3 B．當x>1時，y隨x的增大而增大C．拋物線的頂點坐標是?1,3 D．對稱軸為直線x=1【變式2-1】若二次函數y=x2+3的圖象經過點?1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【變式2-2】拋物線y=x?12?2A．?1,?2 B．1,?2 C．?1,2 D．1,2【變式2-3】設A(?5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是拋物線y=?A．y2>y3>y1 B．【變式2-4】已知關于x的二次函數y=?x?52+1，當2<x<6時，【考點題型三】與特殊二次函數有關的幾何知識

【典例3】如圖，拋物線C1:y=x2?4x的對稱軸為直線x=a，將拋物線C1向上平移5個單位長度得到拋物線C2【變式3-1】如圖，已知拋物線y1=?12x2+4，?2≤x≤2，將【變式3-2】如圖，拋物線y=13x2?3與x軸交于A，B兩點，F是以點C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動點，D是線段AF的中點，連接OD，【變式3-3】將拋物線y=?x2向右平移后，所得新拋物線的頂點是B，新拋物線與原拋物線交于點A（如圖所示），聯接OA、AB如果△AOB是等邊三角形，那么點B的坐標是【變式3-4】如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為1,1、1,4、4,4．若拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是

【考點題型四】二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質

【典例4】已知二次函數y=2x2?x+1A．頂點坐標為12,7C．當x≤1時，y隨x的增大而減小 D．若1<x1【變式4-1】下列關于二次函數y=?3x+1x?2的圖象和性質的敘述中，正確的是（A．點0,2在函數圖象上 B．開口方向向上C．對稱軸是直線x=1 D．與直線y=3x有兩個交點【變式4-2】已知二次函數y=?mx2+2mx+4m>0經過點A?2,y1A．y1<y2<y3 B．【變式4-3】二次函數y=ax2+x?6的圖象與x軸交于A?3,0、A．它的對稱軸為直線x=1 B．頂點坐標為?C．點B的坐標為2,0 D．當x<?1時，y隨x的增大而增大【變式4-4】拋物線y=ax2+bx+ca≠0，y與x?2012my?5343?5A．開口向下 B．頂點坐標為1,4 C．當x<0時，y隨x的增大而減小 D．m=4

【考點題型五】二次函數y=ax2+bx+c的最值與求參數范圍問題

【典例5】已知二次函數y=x2?2ax+a2?1，當A．1或0 B．1或2?3 C．2?3或3?1【變式5-1】已知二次函數y=x2?bx+1，當?32≤x≤12時，函數A．?2或32 B．?116或32 C．±【變式5-1】已知二次函數y=mx2?4mx+1，其中m>0．若當0≤x≤4時，對應的y的整數值有6個，則mA．12<m<34 B．1<m≤54【變式5-2】已知拋物線y=x2+2a?1x?3，若當?1≤x≤3時，函數的最大值為1，則a的值為【考點題型六】根據二次函數y=ax2+bx+c的圖像判斷有關的信息

【典例6】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結論：①abc<0；②2a+b=0；③m為任意實數，則a+b≤m(am+b)；④a?b+c>0；⑤若ax12+bA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式6-1】在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，現給以下結論：①abc<0；②c+2a<0；③9a?3b+c=0；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-2】如圖，已知頂點為?3,?6的拋物線y=ax2+bx+c過?1,?4，則下列結論：①abc<0；②對于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③?5a+c=?4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-3】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點在0,?2和0,?1之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，下列結論：①4a+2b+c>0；②4ac?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-4】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為12,1，下列結論：①abc<0；②b2?4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型七】二次函數的平移變換

【典例7】將拋物線y=x2向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（A．y=x+52+2C．y=x+52?2【變式7-1】將拋物線y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x?2)2+1【變式7-2】要得到二次函數y=?x?22+1A．向左平移2個單位，再向下平移1個單位B．向右平移2個單位，再向上平移1個單位C．向左平移1個單位，再向上平移2個單位D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位【變式7-3】在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2+1A．y=x?32?1C．y=x+32?1【考點題型八】二次函數的交點問題

【典例8】拋物線y1=?x2+4x和直線yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【變式8-1】二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，當函數值y<0時，自變量x【變式8-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bxa>0和直線y=kxk>0交于點O和點A，則關于x【變式8-3】如圖，已知二次函數y1=ax2+bx+c與一次函數y2=kx+m的圖象相交于點A(?5,?3)，B(3,4)【考點題型九】二次函數應用-類拋物線問題

【典例9】【綜合與實踐】為響應國家“雙減”政策號召，落實“五育并舉”舉措，我縣各校開展了豐富多彩的社團活動．球類運動課上，甲乙兩人打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺的中軸線運動，從側面看乒乓球臺如圖所示，MN為球臺，EF為球網，點E為MN中點，MN=28dm，EF=1.5dm，甲從M正上方的A處擊中球完成發球，球沿直線撞擊球臺上的B處再彈起到另一側的C處，從C處再次彈起到P，乙再接球．以MN所在直線為x軸，M為原點作平面直角坐標系，xdm表示球與M的水平距離，ydm表示球到球臺的高度，將乒乓球看成點，兩次彈起的路徑均為拋物線，BC段拋物線的表達式為y1(1)①點F的坐標為______；②用含t的式子表示：點B的坐標為______；點C的坐標為______；(2)當球在球網EF正上方時到達最高點，求此時球與F的距離；(3)若球第二次的落點C在球網右側5dm處，球再次彈起最高為1.25dm，乙的球拍在N處正上方如線段GH，GH=1.5dm，【變式9-1】如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=?0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【變式9-2】“一河詩畫，滿城煙花”，每逢過年過節，人們會在美麗的瀏陽河邊上手持網紅煙花加特林進行燃放，當發射角度與水平面成45度角時，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y=?0.5x2+10x?38【變式9-3】圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分．據《范蠡兵法》記載：“飛石重十二斤，為機發，行二百步”，其原理蘊含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標系中，將投石機置于斜坡OA的底部點O處，石塊從投石機豎直方向上的點C處被投出，已知石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是50,25，OC=5．(1)求拋物線的表達式；(2)在斜坡上的點A建有垂直于水平線OD的城墻AB，且OD=75，AD=12，AB=9，點D，A，B在一條直線上．通過計算說明石塊能否飛越城墻AB．【變式9-4】某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PE⊥ON，方案二，拋物線型拱門的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面積記為S2，點A′

(1)求方案一中拋物線的函數表達式；(2)在方案一中，當AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1【考點題型十】二次函數應用-面積問題

【典例10】以農業和農村為載體的生態農業觀光園，不僅具有生產性功能，還具有改善生態環境質量，為人們提供觀光、休閑、度假的生活性功能．數學探究小組以“設計矩形生態農業觀光園”為主題開展數學實踐活動．如圖，△ABC是一塊用籬笆圍出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，數學探究小組準備繼續用籬笆在該田地中圍出“矩形生態農業觀光園”．該觀光園為矩形DEFG，E、F落在BA邊上，D在BC邊上，G在AC邊上，（其中(1)若DE=204m，請求出矩形生態農業觀光園DG(2)因材料限制，新添加的籬笆總長最多只能為485m【變式10-1】如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形ABCD菜園，墻長為12米．設AB的長為x米，矩形ABCD菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數式表示BC與S；(2)若S=54，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個1.5米寬的門（無需籬笆），當x為何值時，S取最大值，最大值為多少？【變式10-2】綜合與實踐在綜合實踐課上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如圖1，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一個正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如圖2，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=a，高AD=?，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是多少？（用含a，?的代數式表示）(3)如圖3，已知四邊形的小木塊ABCD，測得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，CD【變式10-3】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如果箏形的兩條對角線長分別為6cm、8(2)已知箏形ABCD的對角線AC,BD的長度為整數值，且滿足AC+BD=6．試求當AC,BD的長度為多少時，箏形ABCD的面積有最大值，最大值是多少？

【考點題型十一】二次函數應用-利潤問題

【典例11】某款網紅產品很受消費者喜愛，每個產品的進價為40元，規定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天的銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍．(2)將產品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售產品獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？(3)該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤等于2200元，求銷售單價x的值．【變式11-1】某商店銷售一種進價60元/件的商品，經市場調查發現：該商品的每天銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數，其售價、銷售量的二組對應值如下表：售價x/（元/件）80100銷售量y/件10060(1)求銷售量y關于售價x的函數關系式．(2)①設商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數關系式．②若規定售價高于進價且不超過進價的1.5倍，問當售價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式11-2】某超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）x≥30存在如下圖所示的一次函數關系．(1)試求出y與x的函數關系式；(2)設該超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)根據市場調查，該超市經理要求每天利潤不得低于4320元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出）．【變式11-3】著名作家史鐵生用他積極樂觀的人生態度影響著無數的讀者，他是當之無愧的“時代巨人”．近日華南書苑直播平臺直播帶貨史鐵生散文集《病隙碎筆》，贏得了眾多粉絲的青睞．已知這本書的成本價為每本10元，規定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍．通過前幾天的銷售發現，當銷售定價為15元時，每天可售出700本，銷售單價每上漲10元，每天銷售量就減少200本．設每天的銷售量為y（本），銷售單價為x（元/本）(1)直接寫出y關于x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該書每天的利潤為7500元，求該書的銷售單價；(3)甘肅地震牽動著全國人民的心，該主播決定，每銷售一本書就捐贈a元a>0給災區，當每天銷售最大利潤為6000元時，求a的值．【考點題型十二】二次函數與幾何綜合應用

【典例12】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點A(?1,0)，B(3,0)，與y軸交于點C(0,3)，點P是坐標平面內一點，點P(1)求拋物線的解析式；(2)連接OP，若點D在拋物線上且∠DBO+∠POB=90°，求點D的坐標；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+c當?1≤x≤4時的函數圖象記為l1，將圖象l1在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象l1的其余部分保持不變，得到一個新圖象l2．若經過點P【變式12-1】如圖，拋物線y=?x2+bx+c與軸交于點A，與x軸交于點B、C，已知A(1)求拋物線的表達式，并求出點C的坐標．(2)點M是拋物線（第一象限內）上的一個動點，連接MA，MB，當△MAB面積最大時，求M點的坐標．(3)若點M坐標固定為1,6，Q是拋物線上除M點之外的一個動點，當△ABM與△ABQ的面積相等求出點Q的坐標．【變式12-2】如圖，拋物線y=?x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(1)求拋物線的表達式；(2)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標；(3)在坐標平面內是否存在點P，使得以A，C，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．【變式12-3】如圖，二次函數y=ax2+bx+ca<0的圖象與x軸交于A(?1,0)，B兩點，與y軸交于點C，已知(1)求該二次函數的表達式；(2)連接AC，P為第一象限內拋物線上一點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，連接PA，若△PDA與△COA相似，請求出滿足條件的P點坐標；若沒有滿足條件的P點，說明理由．【變式12-4】如圖，點C為二次函數y=x2+2x+1的頂點，直線y=?x+m與該二次函數圖象交于A(?3,4),B兩點（點B在y(1)求m的值及點C坐標；(2)根據圖象直接寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍；(3)連接AC、BC，求△ABC的面積；(4)在該二次函數的對稱軸上是否存在點Q，使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式12-5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸，y軸于A，B兩點，經過A，B兩點的拋物線y=?x2+bx+c與x(1)求拋物線的解析式；(2)點D在第二象限的拋物線上，且△AOD與△ABC面積相等，求D點坐標；(3)若P為線段AB上一點，∠APO=∠ACB，求AP的長；(4)在（3）的條件下，設M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【考點題型十三】二次函數與其他實際應用綜合【典例13】【綜合探究】運用二次函數來研究植物幼苗葉片的生長狀況在大自然里，有很多數學的奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖