2024-2025學年江蘇省南京市高二上學期期末數學檢測試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知方程表示橢圓，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.2.已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則的公比是（）.A1 B.2. C.3 D.53.已知，記在處的切線為，則過與垂直的直線方程為（）.A B. C. D.4.已知直線，圓，其中若點在圓外，則直線與圓的位置關系是（）.A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切5.數列滿足，則數列的前8項和為（）.A.63 B.127 C.255 D.2566.已知為圓上兩動點，且，則弦的中點到直線距離的最大值為（）．A B. C. D.47.已知函數，則的最大值為（）.A.2 B. C. D.8.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（A. B. C. D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）.9.已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構成直角三角形，則點坐標可能是（）.A. B.C. D.10.已知數列的前項和為，下列命題正確的有（）.A.若為等差數列，則一定是等差數列B.若為等比數列，則一定是等比數列C.若，則一定是等比數列D.若，則一定是等比數列11.下列不等式恒成立的有（）.A.當時，B.當時，C.（其中，為自然對數的底數）D.當時，12.已知點，點在曲線上運動，點在圓上運動，則值可能是（）.A.1 B.3 C.4 D.5三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知為橢圓上一點，，分別為上動點，則的最大值為_________．14.已知在處取得極小值，則實數的值為_________．15.已知數列的前項和為，則數列的通項公式為____________.16.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，分別過作準線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則_______．四、解答題（本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.18.已知數列的前項和為，且_________.在①；②成等比數列；③三個條件中任選一個補充在橫線上，并解答下面問題：（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和，求證.19.已知函數（1）若，求函數的單調減區間；（2）若在上單調遞減，求實數的取值范圍.20.已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.（1）求直線的方程；（2）若直線與雙曲線交于另一點求的面積.21.已知正項數列滿足，且（1）求數列的通項公式；（2）若的前項和為，求.22.已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.2024-2025學年江蘇省南京市高二上學期期末數學檢測試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知方程表示橢圓，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據橢圓的標準方程即可求解m的范圍.【詳解】依題意，解得或故選：D2.已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則的公比是（）.A.1 B.2. C.3 D.5【正確答案】C【分析】根據給定條件，求出等差數列的公差與首項的關系即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由成等比數列，得，整理得，則，所以的公比.故選：C3.已知，記在處的切線為，則過與垂直的直線方程為（）.A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再求出與其垂直的直線方程.【詳解】由，求導得，則切線的斜率為，因此過與垂直的直線斜率為1，方程為.故選：A4.已知直線，圓，其中若點在圓外，則直線與圓的位置關系是（）.A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切【正確答案】A【分析】求出圓心到直線的距離的表達式，再由在圓外，求出，與的關系，進而求出與的關系，判斷出直線與圓的位置關系．【詳解】因為點在圓外，所以可得，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交．故選：A．5.數列滿足，則數列的前8項和為（）.A.63 B.127 C.255 D.256【正確答案】C【分析】根據給定條件，求出數列的特征，再利用等比數列前n項和公式計算即得.【詳解】由，得，因此數列是首項為1，公比為2的等比數列，數列的前8項和為.故選：C6.已知為圓上兩動點，且，則弦的中點到直線距離的最大值為（）．A. B. C. D.4【正確答案】C【分析】根據題意畫出圖形，由數形結合即可求點到直線距離的最大值.【詳解】依題意，所以，因為為的中點，所以，如圖所示，過點作直線的垂線，垂足為，連接，則圓心到直線的距離為，因為當且僅當三點共線時等號成立，所以，所以的最大值為.故選：C7.已知函數，則的最大值為（）.A.2 B. C. D.【正確答案】B【分析】求導，根據導函求解函數的單調性，即可求解最值.【詳解】，由于，則，令,即，解得，,即，解得，因此在單調遞增，在單調遞減，故，故選：B8.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據雙曲線的定義以及三角形的面公式可以得到為直角三角形，進而由勾股定理可以求解.【詳解】由雙曲線的定義可知得因，，設，則，，，為直角三角形，，即，，故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）.9.已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構成直角三角形，則點坐標可能是（）.A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】根據給定條件，按直角頂點為點和焦點分類求出點坐標.【詳解】橢圓的焦點，設，由為直角三角形，則直角可能為若為直角，則，由，得；若為直角，則，由，得；若為直角，則在圓上，由，解得，所以點坐標可能是AD.故選：AD10.已知數列的前項和為，下列命題正確的有（）.A.若為等差數列，則一定是等差數列B.若為等比數列，則一定是等比數列C.若，則一定是等比數列D.若，則一定是等比數列【正確答案】AC【分析】根據等差數列的片段和性質即可求解A，舉反例即可求解BD，根據的關系，結合等比數列的定義即可求解C.【詳解】對于A，設等差數列的公差為，則，則，同理可得，所以，所以，，仍為等差數列，故A項正確；對于B,取數列為，1，，1，，，，不能成等比數列，故B項不正確；對于C，由可得時，，相減可得（），由可得，因此對任意都成立，故是等比數列，C正確，對于D，由可得，相減可得，若，不是等比數列，故D錯誤．故選：AC．11.下列不等式恒成立的有（）.A.當時，B.當時，C.（其中，為自然對數的底數）D.當時，【正確答案】ABD【分析】分別構造，，，，即可利用導數求解單調性得解.【詳解】對于A，令，則，故在單調遞增，故，故，A正確，對于B，設，則當時在1,+∞單調遞減，當時，在0,1單調遞增，故，故，B正確，對于C，令,，當在0,+∞單調遞增，當在單調遞減，所以，故，故C錯誤，對于D，令，則，故在1,+∞單調遞增，故，故，D正確，故選：ABD12.已知點，點在曲線上運動，點在圓上運動，則的值可能是（）.A.1 B.3 C.4 D.5【正確答案】CD【分析】根據拋物線的定義及圓的性質求出的最小值即可.【詳解】拋物線的焦點，準線，圓的圓心為，半徑為1，過點作于，設點，，，，當且僅當三點共線，點位于之間時等號成立，，因此，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為4，AB不可能，CD可能.故選：CD關鍵點點睛：關鍵是能夠將所求式子表示為關于某一變量的函數的形式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知為橢圓上一點，，分別為上動點，則的最大值為_________．【正確答案】【分析】根據給定條件，利用橢圓的定義及圓的性質求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由在橢圓上，得，解得，，則橢圓的焦點，，因此，當且僅當分別為線段的延長線與圓的交點，所以的最大值為.故14.已知在處取得極小值，則實數的值為_________．【正確答案】1【分析】根據給定條件，求出導數進而求出值，再驗證即可.【詳解】由，求導得，由在處取得極小值，得，解得，此時，當時，，當且僅當時取等號，當時，，因此是函數的極小值點，所以.故115.已知數列的前項和為，則數列的通項公式為____________.【正確答案】【分析】根據的關系即可作差求解.【詳解】由可得，兩式相減可得，當時，，故，故16.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，分別過作準線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則_______．【正確答案】【分析】設出方程，與拋物線方程聯立，可得，橫坐標的積，結合已知向量等式求解，的坐標，即可由面積公式求解.【詳解】由題意可知直線有斜率且不為0,設所在直線方程為，聯立，得．不妨設在第一象限，,，,，則，又，，即，聯立，解得或（舍，則，即，進而可得所以解得，故四、解答題（本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.【正確答案】（1）（2）分析】（1）根據拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯立方程組求出交點坐標，即可得到弦長.【小問1詳解】由題：拋物線上一點到其焦點F的距離為2，即，所以拋物線方程：【小問2詳解】聯立直線和得，解得，，18.已知數列的前項和為，且_________.在①；②成等比數列；③三個條件中任選一個補充在橫線上，并解答下面問題：（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和，求證.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）先根據推出數列為等差數列，公差．若選①，根據等差中項求出，再求出，根據和可得通項公式；若選②，根據等比中項列式求出，可得；若選③，根據等差數列求和公式列式求出，可得；（2）利用裂項相消法求和得，即可求證.【小問1詳解】由，得，得，所以數列為等差數列，公差．若選①，因為，所以，得，所以，，所以，若選②，因為成等比數列，所以，所以，所以，所以，所以．若選③，因為，所以，所以，【小問2詳解】，所以，又因為，所以．19.已知函數（1）若，求函數的單調減區間；（2）若在上單調遞減，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）把代入，求出函數的導數，再解不等式即得.（2）求出導數，由在上恒成立求解即得.【小問1詳解】當時，，求導得，由，解得，所以函數的單調減區間為.【小問2詳解】由函數，求導得，由在上單調遞減，得，，函數在上單調遞減，，于是，解得，所以實數的取值范圍是.20.已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.（1）求直線的方程；（2）若直線與雙曲線交于另一點求的面積.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）已知過A?2,0，討論直線斜率是否存在，斜率不存在時不符合題意，斜率存在時設直線的點斜式方程，由直線和圓相切得到圓心到直線的距離為半徑，解出的值即可得到直線方程；（2）若直線與雙曲線有兩個交點，則直線方程為，聯立直線與雙曲線方程得到點的縱坐標，由得到三角形的面積.【小問1詳解】由知左頂點A?2,0，當直線斜率不存在時與圓不想切不符合題意；當直線斜率存在時，設即，由與圓相切得，解得或，所以直線的方程為或.【小問2詳解】由知，所以漸近線斜率為，若直線的斜率為，則與雙曲線只有點一個交點，不符合題意，舍去；若直線的方程為，與雙曲線有兩個交點，聯立消去并整理得，解得或，因為，所以，又因為，所以.21.已知正項數列滿足，且（1）求數列的通項公式；（2）若的前項和為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）對已知等式分解因式化簡可得，則數列是以3為公比，3為首項的等比數列，從而可求出其通項公式；（2）由（1）得，然后利用錯位相減法可求出.【小問1詳解】由，得，因為，所以，即，因為，所以數列是以3為公比，3為首項的等比數列，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，所以，所以.22.已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的