工程力學

EngineeringMechanics第13章圓軸的扭轉工程力學

EngineeringMechanics13.1傳動軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律軸的扭轉扭轉實例汽車傳動軸攪拌器主軸螺絲刀十字套筒扳手等軸的扭轉以扭轉變形為主的桿件稱為軸。最常用的是圓截面軸。特點：外力偶作用在垂直于桿件軸線的平面內，桿件的任意兩個橫截面之間發生繞軸線的相對轉動。主要討論圓軸扭轉：外力、內力、應力、強度和剛度問題。扭轉變形是桿件變形的一種基本形式。M0M013.1.1傳動軸上外力偶矩的計算軸的扭轉13.1傳動軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖在扭轉變形中，受到的外載荷為外力偶矩。在工程計算中，外力偶矩往往不是直接給出的，通常已知：軸的傳遞功率P(單位：kW)和轉速n(單位：r/min)，求：外力偶矩MtBnDACd2d11m0.3m0.5mPAPDPB13.1.1傳動軸上外力偶矩的計算軸的扭轉13.1傳動軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖已知：軸的傳遞功率P(單位：kW)和轉速n(單位：r/min)，求：外力偶矩Mt外力偶所做的功軸傳遞的功單位：1kW=1000N·m/s每分鐘內=13.1.2桿件扭轉時的內力——扭矩和扭矩圖軸的扭轉13.1傳動軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖

內力偶矩，稱為扭矩，用T

表示。按右手螺旋法則，矢量方向離開截面時， 扭矩為“+”，

反之為“-”。扭矩的符號規定：MtMt(a)TmmMt(b)MtmmT(c)mm13.1.2桿件扭轉時的內力——扭矩和扭矩圖軸的扭轉13.1傳動軸的外力偶矩、扭矩和扭矩圖以沿桿軸線方向的坐標表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的另一坐標表示相應截面上的扭矩。——扭矩圖。扭矩圖的作用：(1)形象地表示了扭矩沿軸線的變化情況；(2)容易確定最大扭矩的數值及其所在的截面。軸的扭轉13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒是指筒壁的厚度遠小于圓筒直徑的圓筒，當其受扭轉時，其變形易于觀察和分析，以及實驗研究。Mt軸的扭轉13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.1薄壁圓筒在扭轉時的變形特點(1)各圓周線大小、形狀和間距不變。圓周線間距不變→長度不變，

→橫截面上無正應力(2)圓周線只是繞軸線作相對轉動，各縱向線傾斜同一角度，所有矩形變成平行四邊形。在相鄰兩橫截面間發生了相對錯動，即產生剪切變形，在橫截面上存在與上述變形相對應的應力，即垂直半徑的切應力。圓周線形狀和大小不變，

→在包含軸線在內的縱向截面上無正應力。Mt軸的扭轉13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.2薄壁圓筒在扭轉時的切應力特點Mtrt由于t<<r

→沿壁厚切應力不變；又沿圓周方向各點的變形相同

→沿圓周各點應力相同。即：

薄壁圓筒扭轉時橫截面上的切應力均勻分布，方向垂直于半徑。MtMt軸的扭轉13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.2薄壁圓筒在扭轉時的切應力特點OTtr則微面積微剪力微力矩扭矩dA又Mtrt軸的扭轉13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.3純剪切、切應力互等定理用相距dx的兩個橫截面，

和相距dy

的兩個縱向平面，

在薄壁圓筒上切下一個微小六面體。微小單元體abcd

的邊長分別為dx，dy

和t。微小單元體的力偶矩平衡：adcbxyzdxdytMtrt軸的扭轉13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.3純剪切、切應力互等定理adcbxyzdxdyt切應力互等定理：在相互垂直的兩個截面上，切應力必然成對存在，且數值相等，兩者都垂直于兩截面的交線，

方向則共同指向、或共同背離這一交線。dxdy單元體四個側面上，

只有切應力而無正應力，

這種情況稱為純剪切應力狀態。Mtrt13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.4切應變、剪切胡克定律切應變微體在切應力作用下產生剪切變形，互相垂直的側邊所夾直角發生微小變化，該直角的改變量稱為切應變，用表示單位：rad(弧度)發現當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力與切應變成正比。G——切變模量，單位GPa。1GPa=109Pa剪切胡克定律dxdy利用薄壁圓筒的扭轉實現純剪切試驗。13.2薄壁圓筒的扭轉、切應力互等定理與剪切胡克定律13.2.4切應變、剪切胡克定律各向同性材料的三個材料常數的關系理論和試驗都可以證明，對于各向同性材料，在比例極限內彈性常數、、三者之間的關系為：各向同性材料只有兩個獨立的材料常數。這節課就講到這里。同學們根據這次課學習到的內容和閱讀教材，完成教材上的習題。工程力學

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EngineeringMechanics13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件薄壁圓筒扭轉：均勻分布的垂直于半徑方向的切應力。實心或空心圓軸扭轉：橫截面上切應力不是均勻分布。從變形幾何關系、物理關系和靜力學關系三方面進行綜合分析。Mt軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力1.變形幾何關系圓軸扭轉變形實驗表明：扭轉時圓軸表面的變形情況與薄壁圓筒相似(2)圓周線只是繞軸線作相對轉動，各縱向線傾斜同一角度，所有矩形變成平行四邊形。(1)各圓周線大小、形狀和間距不變。Mt軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力1.變形幾何關系圓軸扭轉的假設圓軸扭轉，變形后橫截面仍保持為平面，

其形狀、大小不變，半徑仍保持為直線，

相鄰兩截面的間距不變。

——圓軸扭轉的平面假設。由此，圓軸的橫截面就像剛性平面一樣，繞軸線旋轉了一個角度。MtMt軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力1.變形幾何關系mmnnd

x軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力1.變形幾何關系對于某一給定的橫截面同一橫截面上，任一點的切應變與該點距圓心的半徑成正比。

式(d)為圓軸扭轉時的變形幾何關系。扭轉角沿軸的變化率軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力2.物理關系對于同一截面為常數橫截面上任意點處的切應力與該點到圓心的距離成正比， 即沿半徑成線性變化。上式表明：(2)因為切應變發生在垂直于半徑的平面內， 故切應力與半徑垂直。(3)由切應力互等定理知，徑向縱截面上也必然存在著相應的切應力。軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力3.靜力學關系無法計算該截面內的分布內力系可簡化為一個合力偶，即該截面上的內力——扭矩。仍然未知，軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力3.靜力學關系對某一橫截面（極慣性矩）圓軸扭轉變形的基本關系式圓軸扭轉時橫截面上任一點處切應力的公式引入軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力圓軸扭轉時橫截面上任一點處切應力的公式圓截面的邊緣上，達到最大值R，該處切應力最大，其值為扭轉截面系數，m3或cm3極慣性矩，m4或cm4圓軸扭轉時橫截面最大切應力與截面扭矩成正比，與扭轉截面系數成反比。軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.1圓軸扭轉時橫截面上的應力圓軸扭轉時橫截面上任一點處切應力的公式圓軸扭轉應力公式的適用范圍(1)上述公式都是以平面假設為基礎推導出的，已被試驗所證實，說明平面假設是正確的。(2)只適用于等直圓軸，平面假設只對等直圓軸才是正確的。(3)推導過程中，由于使用了胡克定律，所以上述公式只適用于不超過材料的剪切比例極限的情況。軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.2極慣性矩和扭轉截面系數的計算1.

實心圓軸Od軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.2極慣性矩和扭轉截面系數的計算2.

空心圓軸OdD這節課就講到這里。同學們根據這次課學習到的內容和閱讀教材，完成教材上的習題。工程力學

EngineeringMechanics全國高等教育自學考試指導委員會第13章圓軸的扭轉工程力學

EngineeringMechanics13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.4圓軸扭轉時的變形與剛度條件13.5圓軸扭轉時的靜不定問題軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.3圓軸扭轉的強度條件為了保證圓軸扭轉時不因強度不夠而破壞，軸內最大扭轉切應力不得超過材料的許用切應力，故強度條件為變截面階梯軸：等截面圓軸：研究發現塑性材料脆性材料靜載荷情況軸的扭轉13.3圓軸扭轉時的橫截面上的應力與強度條件13.3.3圓軸扭轉的強度條件為了保證圓軸扭轉時不因強度不夠而破壞，軸內最大扭轉切應力不得超過材料的許用切應力，故強度條件為變截面階梯軸：等截面圓軸：實心軸空心軸的比較軸的扭轉13.4圓軸扭轉時的變形與剛度條件13.4.1圓軸扭轉的變形圓軸扭轉變形基本關系式則相距l

的兩個橫截面之間的扭轉角為若兩截面間扭矩T

不變的等直圓軸，T、G、Ip

為常數，則單位：radGIp——圓軸的截面抗扭剛度。扭轉角的正負號規定與扭矩T

相同。軸的扭轉13.4圓軸扭轉時的變形與剛度條件13.4.2圓軸扭轉時的剛度條件軸的剛度條件：限制軸的最大的單位長度的扭轉角，使其不超過規定的單位長度的許用扭轉角。單位：rad/m單位：o/m許用扭轉角的數值：

可按對機器的要求、軸的工作條件，從有關手冊中查出。軸的扭轉13.4圓軸扭轉時的變形與剛度條件軸的扭轉13.5圓軸扭轉時的靜不定問題圓軸扭轉時也存在靜不定問題，求解思路與軸向拉伸或壓縮靜不定問題相同，列寫靜力學平衡方程，判斷靜不定次數。分析變形幾何關系，得到變形協調條件。根據變形的物理關系，代入變形協調條件，得到補充方程。聯立靜力學平衡方程和補充方程，求解。請感興趣的同學自行閱讀教材上的例子。軸的扭轉13.5圓軸扭轉時的靜不定問題這節課就講到這里。同學們根據這次課學習到的內容和閱讀教材，完成教材上的習題。軸的扭轉例某傳動圓軸受外力偶作用所示，軸直徑d=50mm，a=0.5m，材料切變模量G=80GPa。試計算該軸右端面D

相對于左端面A

之間的扭轉角。解：1.繪制扭矩圖2.計算變形2kN·mdDaaa1kN·m1kN·m2kN·mCBAABC(T)2kN·m1kN·m2kN·mD軸的扭轉例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應力[τ]=60MPa，許用單位長度扭轉角。試按強度條件和剛度條件的要求設計該軸BC段的直徑。解：1.繪制扭矩圖。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m2.分段校核強度（前面例子已完成）AB

段強度符合要求且超過5%，BC

段強度不合要求軸的扭轉例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應力[τ]=60MPa，許用單位長度扭轉角。試按強度條件和剛度條件的要求設計該軸BC段的直徑。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m3.按強度條件設計BC

段的直徑軸的扭轉例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應力[τ]=60MPa，許用單位長度扭轉角。試按強度條件和剛度條件的要求設計該軸BC段的直徑。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m4.按剛度條件設計BC

段的直徑軸的扭轉例如圖所示變截面圓軸（階梯圓軸），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切變模量G=80Gpa，許用切應力[τ]=60MPa，許用單位長度扭轉角。試按強度條件和剛度條件的要求設計該軸BC段的直徑。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m4.按剛度條件設計BC

段的直徑3.按強度條件設計BC

段的直徑5.綜合強度和剛度條件確定該軸BC

段的直徑設計時可選取整為D2=66mm。軸的扭轉例如圖所示，兩端A、B固定端的圓截面軸，在其C

截面處受到外力偶矩M0

的作用，AC

段的扭轉剛度為G1Ip1，BC

段的扭轉剛度為G2Ip2，試求A、B

兩處約束力偶矩。1.取圓軸為研究對象，受力分析，列寫平衡方程解CM0ABG1Ip1G2Ip2abCABGIp1GIp2M0MAMB一個方程，兩個未知量，故為一次靜不定問題2.變形協調條件3.物理方程(a)(b)4.補充方程軸的扭轉例如圖所示，兩端A、B固定端的圓截面軸，在其C

截面處受到外力偶矩M0

的作用，AC

段的扭轉剛度為G1Ip1，BC

段的扭轉剛度為G2Ip2，試求A、B

兩處約束力偶矩。CM0ABG1Ip1G2Ip2abCABGIp1GIp2M0MAMB(a)(b)平衡方程補充方程聯立式(a)和(b)，求解軸的扭轉解

1.計算外力偶矩例如圖所示傳動軸，其轉速為n=300r/min，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D的輸出功率分別是PB=PC=15kW，PD=20kW。試作軸的扭矩圖，并確定最大扭矩值（絕對值）

。DBCn112233

2.截面法計算各段扭矩

3.畫扭矩圖(T)636N·m954N·m477N·m+-A軸的扭轉例某傳動軸，軸內最大扭矩T=1.6kN·m

，若許用切應力[τ]=50MPa，試按如下兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。（1）實心圓截面軸；（2）空心圓截面軸，其內、外徑的比值α=0.9。解：1.確定實心圓截面軸直徑d12.確定空心軸的外徑D軸的扭轉解：1.確定實心圓截面軸直徑d12.確定空心軸的外徑D