第1頁（共1頁）2025年高考數學復習熱搜題速遞之復數（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．設z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．2．若a為實數，且2+ai1+i=3+A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．下列各式的運算結果為純虛數的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）4．設z=3-i1+2i，則A．2 B．3 C．2 D．15．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）6．設（1+i）x＝1+yi，其中x，y是實數，則|x+yi|＝（）A．1 B．2 C．3 D．27．若z＝4+3i，則z|A．1 B．﹣1 C．45+35i 8．若復數z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B．-45 C．4 D9．若復數（1﹣i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）10．設（1+2i）（a+i）的實部與虛部相等，其中a為實數，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3二．填空題（共5小題）11．設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，則|z1﹣z2|＝12．i是虛數單位，則|5-i1+i|的值為13．已知a∈R，i為虛數單位，若a-i2+i為實數，則a的值為14．i是虛數單位，復數6+7i1+2i=15．i是虛數單位，若復數（1﹣2i）（a+i）是純虛數，則實數a的值為．三．解答題（共5小題）16．已知復數z滿足|z|=2，z2（1）求復數z；（2）設z、z2、z﹣z2在復平面上的對應點分別為A、B、C，求△ABC的面積．17．已知復數z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z為純虛數．（1）求復數z及z；（2）若ω=z2+i，求復數ω的模|18．已知z為復數，z+2i和z2-i均為實數，其中（Ⅰ）求復數z；（Ⅱ）若復數（z+ai）2在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．19．已知復數z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i為虛數單位．（1）若復數z1+az2在復平面上對應的點在第四象限，求實數a的取值范圍；（2）若z=z1z220．已知z是復數，z+2i與z2-（1）求復數z；（2）復數（z+ai）2在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

2025年高考數學復習熱搜題速遞之復數（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．設z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．【考點】復數的模；復數的運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】C【分析】利用復數的代數形式的混合運算化簡后，然后求解復數的模．【解答】解：z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i則|z|＝1．故選：C．【點評】本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的模的求法，考查計算能力．2．若a為實數，且2+ai1+i=3+A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考點】虛數單位i、復數．【專題】數系的擴充和復數；數學運算．【答案】D【分析】根據復數相等的條件進行求解即可．【解答】解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai＝（1+i）（3+則a＝4，故選：D．【點評】本題主要考查復數相等的應用，比較基礎．3．下列各式的運算結果為純虛數的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）【考點】純虛數；復數的運算；虛數單位i、復數．【專題】轉化思想；數系的擴充和復數．【答案】C【分析】利用復數的運算法則、純虛數的定義即可判斷出結論．【解答】解：A．i（1+i）2＝i?2i＝﹣2，是實數．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是純虛數．C．（1+i）2＝2i為純虛數．D．i（1+i）＝i﹣1不是純虛數．故選：C．【點評】本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4．設z=3-i1+2i，則A．2 B．3 C．2 D．1【考點】復數的模．【專題】對應思想；轉化法；數系的擴充和復數．【答案】C【分析】直接利用復數商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3-i1+2i，得|z|＝|故選：C．【點評】本題考查復數模的求法，考查數學轉化思想方法，是基礎題．5．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【專題】計算題；規律型；轉化思想；數系的擴充和復數．【答案】A【分析】利用復數對應點所在象限，列出不等式組求解即可．【解答】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在復平面內對應的點在第四象限，可得：m+3＞0m-1＜故選：A．【點評】本題考查復數的幾何意義，考查計算能力．6．設（1+i）x＝1+yi，其中x，y是實數，則|x+yi|＝（）A．1 B．2 C．3 D．2【考點】復數的模．【專題】方程思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】B【分析】根據復數相等求出x，y的值，結合復數的模長公式進行計算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即x=1y=x，解得x=1y=1，即|x+yi故選：B．【點評】本題主要考查復數模長的計算，根據復數相等求出x，y的值是解決本題的關鍵．7．若z＝4+3i，則z|A．1 B．﹣1 C．45+35i 【考點】共軛復數；復數的運算．【專題】計算題；規律型；轉化思想；數系的擴充和復數．【答案】D【分析】利用復數的除法以及復數的模化簡求解即可．【解答】解：z＝4+3i，則z|z故選：D．【點評】本題考查復數的代數形式混合運算，考查計算能力．8．若復數z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B．-45 C．4 D【考點】復數的除法運算．【專題】數系的擴充和復數．【答案】D【分析】由題意可得z=|4+3i|3-4i=5【解答】解：∵復數z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z=|4+3i故z的虛部等于45故選：D．【點評】本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的乘除法法則的應用，屬于基礎題．9．若復數（1﹣i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【專題】轉化思想；不等式的解法及應用；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】B【分析】復數（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在復平面內對應的點在第二象限，可得a+1＜0【解答】解：復數（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在復平面內對應的點在第二象限，∴a+1＜01-a則實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．故選：B．【點評】本題考查了復數的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10．設（1+2i）（a+i）的實部與虛部相等，其中a為實數，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考點】復數的乘法及乘方運算．【專題】計算題；規律型；轉化思想；數系的擴充和復數．【答案】A【分析】利用復數的乘法運算法則，通過復數相等的充要條件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i的實部與虛部相等，可得：a﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．故選：A．【點評】本題考查復數的相等的充要條件的應用，復數的乘法的運算法則，考查計算能力．二．填空題（共5小題）11．設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，則|z1﹣z2|＝23【考點】復數的模．【專題】計算題；轉化思想；分析法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】見試題解答內容【分析】利用復數模的計算公式和復數的運算性質，求解即可．【解答】解：復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，所以|z1+z2|＝∴|z1∴8+z1z∴|z1﹣z2|2＝8﹣（z1z2又|z1﹣z2|＞0，故|z1﹣z2|＝23．故答案為：23．【點評】熟練掌握復數的運算法則和純虛數的定義、復數模的計算公式是解題的關鍵．12．i是虛數單位，則|5-i1+i|的值為【考點】復數的運算；復數的模．【專題】計算題；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】見試題解答內容【分析】本題可根據復數定義及模的概念及基本運算進行計算．【解答】解：由題意，可知：5-i1+i=(5-∴|5-i1+i|＝|2﹣3i故答案為：13．【點評】本題主要考查復數定義及模的概念及基本運算．本題屬基礎題．13．已知a∈R，i為虛數單位，若a-i2+i為實數，則a的值為【考點】復數的除法運算．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數．【答案】見試題解答內容【分析】運用復數的除法法則，結合共軛復數，化簡a-i2+【解答】解：a∈R，i為虛數單位，a-由a-可得-2+a解得a＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查復數的乘除運算，注意運用共軛復數，同時考查復數為實數的條件：虛部為0，考查運算能力，屬于基礎題．14．i是虛數單位，復數6+7i1+2i=4【考點】復數的運算．【專題】計算題；對應思想；定義法；數系的擴充和復數．【答案】見試題解答內容【分析】根據復數的運算法則計算即可．【解答】解：6+7i1+2i=故答案為：4﹣i【點評】本題考查了復數的運算法則，屬于基礎題．15．i是虛數單位，若復數（1﹣2i）（a+i）是純虛數，則實數a的值為﹣2．【考點】純虛數；虛數單位i、復數．【專題】數系的擴充和復數．【答案】見試題解答內容【分析】由復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部等于0且虛部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i為純虛數，得a+2=01-2a≠0，解得：故答案為：﹣2．【點評】本題考查了復數代數形式的乘法運算，考查了復數為純虛數的條件，是基礎題．三．解答題（共5小題）16．已知復數z滿足|z|=2，z2（1）求復數z；（2）設z、z2、z﹣z2在復平面上的對應點分別為A、B、C，求△ABC的面積．【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的模．【專題】綜合題；對應思想；轉化法；數系的擴充和復數．【答案】見試題解答內容【分析】（1）設z＝a+bi（a，b∈R），由已知列關于a，b的方程組，求解可得復數z；（2）分類求得A、B、C的坐標，再由三角形面積公式求解．【解答】解：（1）設z＝a+bi（a，b∈R），由已知可得：a2+b解得a=1b=1∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）當z＝1+i時，z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面積S=12×2×1當z＝﹣1﹣i時，z2＝2i，z﹣z2＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面積S=12×2×1∴△ABC的面積為1．【點評】本題考查復數的乘方和加減運算，考查復數相等的條件和復數的幾何意義，以及三角形的面積的求法，考查運算能力，屬于中檔題．17．已知復數z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z為純虛數．（1）求復數z及z；（2）若ω=z2+i，求復數ω的模|【考點】共軛復數；復數的運算；虛數單位i、復數．【專題】轉化思想；數學模型法；數系的擴充和復數．【答案】見試題解答內容【分析】（1）把z＝3+bi（b∈R）代入（1+3i）?z，利用復數代數形式的乘除運算化簡結合已知條件即可求出復數z及z；（2）利用復數代數形式的乘除運算化簡ω=z【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b∈R），∴（1+3i）?z＝（1+3i）?（3+bi）＝（3﹣3b）+（9+b）i又∵（1+3i）?z是純虛數，∴3﹣3b＝0，且9+b≠0，∴b＝1，∴z＝3+i，z=3-（2）ω==7-∴|ω|=(【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念以及復數模的求法，是中檔題．18．已知z為復數，z+2i和z2-i均為實數，其中（Ⅰ）求復數z；（Ⅱ）若復數（z+ai）2在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．【考點】復數的混合運算．【專題】計算題．【答案】見試題解答內容【分析】（I）設出復數的代數形式，整理出z+2i和z2-i，根據兩個都是實數虛部都等于（II）根據上一問做出的復數的結果，代入復數（z+ai）2，利用復數的加減和乘方運算，寫出代數的標準形式，根據復數對應的點在第一象限，寫出關于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結果．【解答】解：（Ⅰ）設復數z＝a+bi（a，b∈R），由題意，z+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i∈R，∴b+2＝0，即b＝﹣2．又z2-∴2b+a＝0，即a＝﹣2b＝4．∴z＝4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z＝4﹣2i，∵（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i對應的點在復平面的第一象限，∴16解得a的取值范圍為2＜a＜6．【點評】本題考查復數的加減乘除運算，考查復數的代數形式和幾何意義，考查復數與復平面上點的對應，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題．19．已知復數z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i為虛數單位．（1）若復數z1+az2在復平面上對應的點在第四象限，求實數a的取值范圍；（2）若z=z1z2【考點】共軛復數；復數的運算；復數的代數表示法及其幾何意義．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】（1）實數a的取值范圍是（-13，（2）z=-1