蘇科2024新版第六章 平面圖形的初步認識6.2角瞄準學習目標：讓你知己知彼，百戰不殆1.1.認識角是基本圖形之一，了解角的概念；2.知道角的分類及平角、周角、銳角、鈍角、直角的概念；3.知道角的度量單位，會對角的度量單位進行簡單換算，會計算角的和差；4.理解補角和余角的概念，掌握余角和補角的性質；5.能借助量角器，圓規等比較角的大小，會用尺規作圖作一個角等于已知角；6.理解角平分線的定義，能解決有關角平分線的簡單問題。理清思維導圖：讓你運籌帷幄，決勝千里挖掘數學文化：讓你了解數學背后的故事聽數學家談數學——角度值的由來？最早明確使用角度值的文字記載于希臘學者托勒密的《天文學大成》。在美索不達米亞平原上，公元前的古巴比倫人把圓周的稱為1度（記作1°），度下面又設有“分”和“秒”二個單位，60分為1度，60秒為1分。最早明確使用角度值的文字記載于希臘學者托勒密的《天文學大成》。在美索不達米亞平原上，公元前的古巴比倫人把圓周的稱為1度（記作1°），度下面又設有“分”和“秒”二個單位，60分為1度，60秒為1分?？键c詳解：讓您快速掌握每個考點知識點1：角的概念1.角的定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB． 2.角的定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．名師指點（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角． 知識點2：角的表示方法1.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：角的表示方法圖示記法適用條件①三個大寫字母任何情況都適用②一個大寫字母該角的頂點處只有一個角③數字任何情況都適用，但需要提前在圖中標注④希臘字母任何情況都適用，但需要提前在圖中標注名師指點用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或小寫希臘字母．2.角的畫法：（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角．（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角．知識點3：角的度量1.角的度量單位是度（）、分（）、秒（），把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．2.角的單位換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．名師指點在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得數大于等于60時要向高一位進位．知識點4：角的大小比較角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量法．先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小．方法2：疊合法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝；由圖(3)可得∠AOB＞．知識點5：角的分類角按照大小可分為知識點6：角的和差計算角的和、差關系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．名師指點(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點7：角平分線角平分線的概念：文字語言：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．圖形語言：幾何語言：如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．知識點8：余角和補角1、余角：（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．（2）性質：同角（等角）的余角相等．2、補角：（1）定義：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．（2）性質：同角（等角）的補角相等．名師指點(1)互余互補指的是兩個角的數量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們的位置無關．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°α)，一個角α的補角可以表示為(180°α)．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°。經典例題：為你快速找到，航行燈塔 題型1 角的概念的說法判斷例題1．下列說法中，正確的個數有（

）①兩條射線組成的圖形是角；②角的大小與邊的長短有關；③角的兩邊可以畫的一樣長，也可以一長一短；④角的兩邊是兩條射線；⑤因為平角的兩邊也成一條直線，所以一條直線可以看作一個平角．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】此題考查了角的定義，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，注意不要忽略“公共端點”．還應注意角的大小與邊的長短無關，與度數的大小一致．根據角的概念，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：①有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故原說法錯誤；②角的大小與邊的長短無關，故原說法錯誤；③角的兩邊是兩條射線，射線不能度量，所以不能說長或短，故原說法錯誤；④有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故角的兩邊是兩條射線，此說法正確；⑤平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，故選項錯誤；以上5種說法正確的有1個，故選：A．【變式訓練】1．有下列關于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角； ②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點D； ④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題主要考查了角的定義，根據角的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解，熟練掌握有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角是解決此題的關鍵．【詳解】有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，故①錯誤，不符合題意；角的大小與開口大小有關，角的邊是射線，沒有長短之分，故②錯誤，不符合題意；角的邊是射線，不能延長，故③錯誤，不符合題意；角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，④正確，符合題意，∴只有④一個選項正確，故選：A．2．下列說法不正確的是（

）A．兩個銳角的和不一定大于直角B．兩個鈍角的和不一定大于平角C．直角都等于D．1周角=2平角=4直角【答案】B【分析】本題考查的是角的概念．根據角的概念判斷即可．【詳解】解：A、兩個銳角的和不一定大于直角，本選項不符合題意；B、兩個鈍角的和一定大于平角，本選項符合題意；C、直角都等于，本選項不符合題意；D、1周角=2平角=4直角，本選項不符合題意；故選：B．3．下列語句正確的是（

）A．一條直線可以看成一個平角B．周角是一條射線C．角可以看成是由一條射線旋轉而成的D．角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形【答案】D【分析】本題考查角的概念，根據角的概念即可求出答案．【詳解】A選項，平角有一個頂點和兩條邊，所以一條直線不可以看成一個平角，故A選項錯誤；B選項，周角是一條射線繞著它的端點旋轉一周所形成的角，故B選項錯誤；C選項，角可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形，故C選項錯誤；D選項，角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形，故D選項正確．故選：D．4．下列關于角的說法中，正確的個數為（

）①兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查角的知識，首先正確理解角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，注意不要忽略“公共端點”，還應注意角的大小與邊的長短無關，與度數的大小一致；然后結合角的定義的理解，對選項進行一一分析，排除錯誤答案即可．【詳解】解：角是由有公共端點的兩條射線所構成的圖形，故①②③正確；角的大小與邊的長短無關，只與兩條邊張開的角度有關，故④錯誤．故選D．題型2 角的表示問題例題2.如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（

）A．與表示同一個角B．也可用來表示C．圖中共有三個角：D．表示的是【答案】B【分析】本題主要考查了角的概念，準確計算是解題的關鍵．直接利用角的概念以及角的表示方法，進而分別分析得出即可；【詳解】和表示同一個角，正確，故A不符合題意；不可以用表示，故B錯誤；圖是共有三個角：，，，正確，故A不符合題意；表示的是，正確，故D不符合題意．故選B．【變式訓練】1．如圖，在內部作了一條射線，下列說法正確的是.（

）A．可以用表示 B．這條射線記作射線C．與是同一個角 D．【答案】C【分析】本題考查了射線和角的表示方法，角的和差等知識．根據射線和角的表示方法、角的和差即可判斷求解，掌握射線和角的表示方法是解題的關鍵．【詳解】解：A、不可以用表示，該選項錯誤，不合題意；B、這條射線記作射線，該選項錯誤，不符合題意；C、與是同一個角，該選項正確，符合題意；D、，該選項錯誤，不合題意；故選：C．2．如圖，給出下列說法：①和是同一個角；②和是同一個角；③和是同一個角；④和不是同一個角．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了本題主要考查角的表示，熟練掌握角的表示方法是解題的關鍵；根據角的表示方法逐項判斷即可；【詳解】解：①和滿足頂點相同，兩邊所在的射線相同．是同一個角，故原說法正確；②和滿足頂點相同，兩邊所在的射線相同．是同一個角，故原說法正確；③和的頂點相同，兩邊所在的射線不相同．不是同一個角，故原說法錯誤；④和的頂點不相同，兩邊所在的射線也不相同．不是同一個角，故原說法正確．綜上所述：說法正確的有三個．故選：C．3．如圖所示，還可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查角的表示方法，根據一個角可以用三個大寫字母表示，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，還可以表示為；故選B．4．下列選項中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查角的表示方法，解決這類問題的關鍵是要熟練掌握角的幾種表示方法．根據角的表示方法對各選項逐一分析即可作出判斷．【詳解】A．頂點O處有四個角，這四個角均不能用表示，故本選項錯誤；B．頂點O處只有一個角，這個角能用，，表示，故本選項正確；C．頂點O處有三個角，這三個角均不能用表示，故本選項錯誤；D．頂點O處有3個角，這3個角均不能用表示，故本選項錯誤；故選：B．題型3 角的度量、換算、大小比較問題例題3.比較大?。海ㄓ谩?gt;”“<”“=”填空）．【答案】【分析】本題考查的是角度的單位互化，角度的大小比較，由，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為：【變式訓練】1．【答案】/30度3分【分析】此題考查了度數的乘法和減法運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則．首先計算為，然后相減即可求解．【詳解】．故答案為：．2．比較大小：．（填、或）【答案】【分析】本題主要考查了度、分、秒的轉化運算，注意以60為進制，比較簡單．先進行度、分、秒的轉化運算，再對比即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．3．【答案】【分析】本題主要考查度、分、秒之間的換算，小單位變大單位用除法，由一度等于分，一分等于秒，進行換算即可．【詳解】解：故答案為：4．如果，，則，．【答案】【分析】本題考查了度分秒的換算，角的和差計算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．根據角度的加減運算法則求解即可．【詳解】解：∵，，∴，；∴，，．故答案為：90°，．題型4 角度的四則運算問題例題4.計算：； ．【答案】；．【分析】先計算乘法，再計算減法即可；先計算除法和括號內的減法，再計算減法即可；此題主要考查了度分秒的計算，解題的關鍵是掌握計算順序和運算法則．【詳解】解：；．【變式訓練】1．計算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角的計算，熟練掌握度分秒的換算是解題的關鍵．（1）根據度分秒的換算計算即可；（2）根據度分秒的換算計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．計算：(1)（結果用度、分、秒表示）．(2)（結果用度表示）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角度的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據度分秒的進制進行計算，即可解答；（2）根據度分秒的進制進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．計算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角度的運算，按照實數的運算順序“先算乘除，后算加減”進行運算，注意是解題的關鍵．（1）根據角的四則運算法則求解即可；（2）根據角的四則運算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．4．計算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了度分秒之間的換算的應用，注意．（1）先度分秒分別相加，再根據滿進的原則求出即可；（2）先進行單位的換算，再度分秒分別相減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．題型5 余角的概念與計算例題5.若兩個角和為90度，則這兩個角互余．已知，，則與的關系是（

）A．互補 B．互余 C．和為鈍角 D．和為周角【答案】B【分析】本題考查了互余，解題關鍵是掌握若兩個角的和等于，即這兩個角互余．根據已知條件，得出，即可得到答案．【詳解】解：∵，，，與互余，故選：B．【變式訓練】1．如圖，，則下列說法錯誤的是（

）A．與不互為余角 B．與互為余角C．與互為余角 D．與互為余角【答案】A【分析】本題考查了互余的概念及計算，掌握互余的概念是解題的關鍵．根據互余的概念及計算可得，由此進行判定即可求解．【詳解】解：∵，∴，即與互為余角，故B選項正確，不符合題意；∵，∴，即與互為余角，故A選項錯誤，符合題意；∴，即與互為余角，故D選項正確，不符合題意；∴，即與互為余角，故C選項正確，不符合題意；故選：A．2．一副三角板按如圖所示的方式擺放，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了余角和補角，能根據題意得出算式是解此題的關鍵．根據題意得出和，兩等式相減，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：D．3．若，則的余角的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了余角和補角，度分秒的換算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據余角的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：∵，∴的余角，故選：A．4．已知，則的余角度數是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求一個角的余角，如果兩個角的和是，那么這兩個互為余角，由此計算即可．【詳解】解：若，則的余角為，故選：B．題型6 補角的概念與計算例題6.如果，那么的補角的度數是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了余角的定義，度分秒的換算．根據“和為180度的兩個角互為補角，”進行計算即可．【詳解】解：因為，所以的補角的度數是：．故選：C．【變式訓練】1．一定能使等式“”成立的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據平角的定義判斷即可．【詳解】根據平角的定義判定

中，符合題意，

中，不符合題意；

中，不符合題意；

中無法確定兩個角的關系，不符合題意；故選Ａ．2．如圖，直線、相交于點O，，圖中與互補的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據同角的余角相等，得到，根據平角的定義，得到，，進而得到，即可得出結果．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴圖中與互補的角有，共3個；故選C．3．如圖，，直線經過點．在下面的五個式子中：①；②；③；④；⑤，等于的補角的式子的個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據已知條件得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，利用補角定義依次判斷即可．【詳解】解：∵，∴∠1+∠2=90°，∵直線經過點，∴∠2+∠3=180°，①；②是等于的補角的式子，∵2（∠1+∠2）=180°，∴∠2=180°（），故③符合題意；∵∠3=180°∠2，∠1=90°∠2，∴=2（180°∠2）2（90°∠2）∠2=，故④符合題意；∵，∴⑤不符合題意，故選：C．4．如果一個角的補角是，那么這個角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據補角的定義即可得到答案．【詳解】解：設這個角為，由補角的定義可得，∴，故選：D．題型7 角的性質（同或等角的余角（或補角）相等）運用例題7.如圖，點在直線上，，那么下列說法錯誤的是（）A．與相等 B．與互余C．與互補 D．與互余【答案】D【分析】根據余角和補角的定義逐一判斷即可得解．本題主要考查余角和補角，互為余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系．不論這兩個角在哪兒，只要度數之和滿足了定義，則它們就具備相應的關系．【詳解】∵，∴，∴，故A選項正確；∵，∴，即與互余，故B選項正確；∵，，∴，即與互補，故C選項正確；無法判斷與是否互余，例如當時，，，不互余，故D選項錯誤；故選：D．【變式訓練】1．如圖，平面內，，平分，則以下結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．0個【答案】B【分析】先根據余角的性質證明，再根據，即可判斷①正確；根據，即可判斷②正確；根據，且，可判斷③錯誤；根據平分線的定義得出，根據得出，根據，即可判斷④正確．【詳解】解：，，∵，，故①正確；，故②正確；，而，故③不正確；平分，，∵，，即點、、共線，，，故④正確；綜上分析可知，正確結論的個數有3個，故B正確．故選：B．2．如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（圖中所有角均指小于的角）．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根據等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，結合即可判斷①正確；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，結合即可判斷②正確；由∠BOC∠AOD=∠AOC+90°∠AOD，而不能判斷∠AOD=∠AOC，即可判斷③不正確；由E、O、F三點共線得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，從而可判斷④正確．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°∠AOC∠AOF=180°∠BOD∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正確；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB=180°，所以②正確；∠COB∠AOD=∠AOC+90°∠AOD，而，所以③不正確；∵E、O、F三點共線，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正確．所以，正確的結論有3個．故選：C．3．如圖①、圖②、圖③和圖④，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形為（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】本題考查了直角三角板中的角度的關系，同角的余角相等，根據直角三角板中的角度分別求出和逐項求解即可．【詳解】圖①，，∴，符合題意；圖②，，∴，不符合題意；圖③，根據同角的余角相等可得，符合題意；圖④，，∴，符合題意；綜上所述，擺放位置中的圖形為①③④．故選：D．4．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了余角和補角，需結合余角和補角的定義進行求解；如果兩個角的和是，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角．如果兩個角的和是，那么稱這兩個角互為補角，簡稱互補，也可以說其中一個角是另一個角的補角；根據圖象求解即可．【詳解】解：A．由圖可知，所以與互余，故本選項錯誤；B．同角的余角相等，所以，故本選項正確；C．由圖可知，但推不出，故本選項錯誤；D．由圖可知，所以和互補，故本選項錯誤．故選：B．題型8 角平分線問題例題8已知在的內部，，是補角的（本題出現的角均指不大于平角的角）．(1)如圖1，求的值；(2)在（1）的條件下，平分，射線滿足，求的大??；(3)如圖2，若，射線繞點O以每秒的速度順時針旋轉，同時射線以每秒的速度繞點O順時針旋轉，當射線與重合后，再以每秒的速度繞點O逆時針旋轉．設射線，運動的時間為t秒（），當時，請直接寫出t的值．【答案】(1)的值為；(2)的大小為或，過程見解析；(3)或【分析】（1）根據角度的比例關系和補角的性質列式，即可進行求解；（2）根據角平分線的定義及（1）問結果，可求的大小，分射線在內部；射線在外部，兩種情況進行討論；（3）根據題意列出和關于時間的關系式，再應用絕對值的化簡規則進行求解．【詳解】（1）解：；又是補角的，，即，，，故的值為；（2）解：平分，，，，當射線在內部時，

，，，，當射線在外部時，

，，，，故的大小為或；（3）解：當順時針旋轉時，，，代入，，即，去絕對值符號：或，（舍）或，當逆時針旋轉時，，，代入，，即，去絕對值符號：或，（舍）或，故答案為：或．【變式訓練】1．如圖，已知：平分，平分．(1)若，①求出及其補角的度數；②求出和的度數，并判斷與是否互補；(2)若，則與是否互補？請說明理由．【答案】(1)①，的補角的度數為；②，；與互補；(2)與不一定互補，理由見解析【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，求一個角的補角度數，補角的定義，角平分線的定義等等：（1）①根據角的和差關系可求出的度數，進而可求出的補角的度數；②先求出的度數，再根據角平分線的定義分別求出的度數，再求出的度數即可得到結論；（2）根據角平分線的定義分別表示出的度數，再表示出的度數即可得到結論．【詳解】（1）解：①∵，∴，∴的補角的度數為；②∵平分，平分，，∴，，∴，∴，∴與互補；（2）解：與不一定互補，理由如下：∵，∴，∵平分，平分，，∴，，∴，∴，∵不一定為，∴不一定為∴與不一定互補．2．如圖，直線、相交于O，，．(1)求的度數；(2)試說明平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查角的運算，涉及角平分線的性質，鄰補角的性質，屬于基礎題型．（1）先根據條件和鄰補角的性質求出的度數，然后即可求出的度數．（2）只要證明即可得證．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，∴平分．3．如圖，已知過的內部任意一點C畫射線，使，，若，分別平分和．求：(1)的度數；(2)求的度數．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了幾何圖中的角度計算角平分線的有關計算．（1）直接根據計算即可；（2）根據題意，由角平分線定義得出，，由計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵平分，平分，，，∴，∴．4．如圖，O為直線上一點，平分．(1)求出的度數；(2)請通過計算說明是否平分．【答案】(1)(2)平分，理由見解析【分析】本題主要考查了角的度數的計算，正確理解角平分線的定義，以及鄰補角的定義是解題的關鍵．（1）根據，首先利用角平分線的定義和鄰補角的定義求得和即可；（2）根據與互余即可得出的度數，由（1）可知，那么，進而可得出結論，從而求解．【詳解】（1）解：，平分，，；（2）平分．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分．題型9 有關角的作圖問題例題9.如圖，已知和，．用直尺和圓規作兩個角，使其大小分別為．【答案】見解析【分析】本題考查作圖—復雜作圖，熟練掌握作一個角等于已知角的方法是解答本題的關鍵．先作，再在的內部作，則的大小即為；先作，再在的外部作，則的大小即為．【詳解】如圖，先作，再在的內部作，則．先作，再在的外部作，則．【變式訓練】1．如圖（甲），和都是直角．(1)如果，那么的度數是多少?(2)找出圖（甲）中相等的角．如果，它們還會相等嗎？說明理由．(3)在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個與相等的角．【答案】(1)(2)相等的角有：，，還會相等(3)見解析【分析】本題考查了余角，以及角的和差計算，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵．（1）根據，，求出的度數，然后即可求出的度數；（2）根據已知條件可得，由等式的性質可得；當，由等式得性質即可求解，故它們還會相等；（3）首先以為邊，在外畫，再以為邊在外畫，即可得到．【詳解】（1）解：因為，，所以，所以，；（2）解：因為和都是直角，所以，所以，所以，所以相等的角有：，如果，它們還會相等，理由如下：因為和都是直角，所以，所以，所以所以．（3）解：如圖，畫，則即，為所畫的角．2．如圖，已知．(1)畫出的平分線；(2)若，利用（1）的結果．①求的度數；②試求的補角．【答案】(1)圖見解析(2)①②【分析】本題考查尺規作角平分線，與角平分線有關的計算：（1）尺規畫出角平分線即可；（2）①根據角平分線平分角即可得出結果；②根據互補的兩角和為180度，進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）①∵，平分，∴；②由（1）知：，∴的補角為．3．如圖，已知，點在射線上．(1)請按照下列步驟畫圖(保留作圖痕跡)：①用圓規在射線上取一點，使；②在內部作射線，使；③在射線上取一點(不與點重合)，連接，；(2)由圖可知，(填“”“”或“”)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查基本的幾何圖形：（1）按要求作圖即可；（2）根據線段比較的方法，借助圓規，即可求得答案．【詳解】（1）如圖所示：（2）借助圓規可知，．故答案為：4．如圖，已知．(1)試用量角器或三角尺在的下方畫的余角；(2)畫射線的反向延長線，若，求的度數．（友情提醒：請用黑色水筆將答題卡上所畫的線加黑加粗）【答案】(1)圖見解析(2)見解析，【分析】本題考查作角，畫射線，幾何圖形中求角的度數．找準角度之間的和差關系，（1）畫，即可；（2）畫出，根據角度之間的和差關系，進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）如圖，即為所求；∵，∴，∵，∴．題型10 三角板的綜合問題例題10.如圖①是某網頁套尺4件套的截圖，圖②是其中一副三角板的簡化示意圖，是的平分線，請用尺規按下列要求作圖并解答問題．(1)延長線段到F，使；(2)延長，交的延長線于點M；(3)在（1）（2）的條件下，如果，那么__________，__________，____________________″．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，，，【分析】本題考查了尺規作圖、度分秒的換算、角平分線的定義，平行線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）延長，以點C為圓心，線段的長為半徑畫弧，交的延長線于點F，則即為所求；（2）按照題意延長即可；（3）由，可得，由三角板可知，，，，則可得，，再根據角平分線的定義以及度分秒的換算可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，點M即為所求；（3），，，，由三角板可知，，，，，，，，是的平分線，，故答案為：，，，．【變式訓練】1．小明閱讀了教材中“借助三角尺畫角”的探究活動（如圖1、圖2的實物圖所示），他在老師指導下畫出了圖1所對應的幾何圖形，并標注了所使用三角尺的相應角度（如圖3），他發現用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺畫出圖2對應的幾何圖形，并標注所使用三角尺的相應角度；(2)結合畫圖再思考：用一副三角尺畫出的角的大小有什么規律；(3)圖3中，若平分平分，請在圖3中補全圖形求出的度數，并猜想與的數量關系；(4)如圖4，若是任意角，在的外部，平分平分的條件不變，第（3）題中與的數量關系是否發生變化，如果結論不變請說明理由；如果變化，請寫出新結論并給出證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)補全圖形見解析，，(4)不發生變化，理由見解析【分析】本題考查三角板中的角度計算，作圖—應用與設計作圖，角平分線的定義，角的和與差．利用數形結合的思想是解題關鍵．（1）結合題干中的圖2即可畫出其對應的幾何圖形；（2）由三角板的特點可知用一副三角尺畫出的角的大小是的倍數；（3）由角平分線的定義即可補全圖形，由角平分線的定義可求出，，即得出．又可求出，即得出；（4）由角平分線的定義可得出，，再根據角的和與差，結合圖形求解證明即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所畫圖形；（2）解：因為一副三角板中存在的角，所以用一副三角尺畫出的角的大小是的倍數；（3）解：補全圖形如下，∵平分平分，∴，，∴．∵，∴；（4）解：不發生變化，理由：∵平分平分，∴，．∵，，∴，，∴，∴，∴，即，∴．2．“三角板拼角”的問題．將一副三角板如圖這樣放置，就可畫出，在實驗中同學們發現用一副三角板還能畫出其他特殊角．請你借助三角板完成以下操作，并在所畫圖形上標注所使用三角板的相應角度：(1)設計用一副：三角板畫出角的畫圖方案，并畫出相應的幾何圖形；(2)用一副三角板能畫出的角嗎？______(選填“能”或“不能”)．【答案】(1)見解析(2)不能【分析】本題考查的是角的和差運算，理解角的和差關系是解本題的關鍵；（1）由，從而可畫出的角；（2）由不能化為，，，的和差關系，從而可得答案．【詳解】（1）解：用一副三角板畫出135°角，如圖所示，

（2）∵三角板中的已知角為：，，，，而不能化為這幾個角的和差關系，∴不能畫出的角．3．用一副三角尺進行操作探究：把銳角為的三角尺記作三角尺①，把銳角為的三角尺記作三角尺②，用三角尺①，②完成以下作圖．①

②(1)作出大小為的角；（要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖）(2)已知，在圖中作出的平分線．（要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了三角板中角度的計算，角平分線的定義；（1）用含的直角三角板和含的直角三角板組合即可得到答案；（2）根據題中構造出15度角即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：

（2）解：如圖所示，即為所求：

4．七年級上冊《數學實驗手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出，在實驗中同學們發現用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標注所使用三角尺的相應角度；①設計用一副三角尺畫出角的畫圖方案，并畫出相應的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出的角平分線，并在所畫圖形上標注所使用三角尺的相應角度．(3)如圖，現有角的三種模板，，，請設計一種方案，只用給出的一種模板畫出的角．小冬想出了一個方案，利用角模板畫出角，動手操作：如圖，M、O、N三點在一條直線上，將的頂點B與點O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點O逆時針旋轉，得，再將繞點O逆時針旋轉，得，……，如此連續操作18次，再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請從或角模板中選一個你認為能畫出角的模板，設計一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個（n為正整數）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用，理由見解析(4)不一定能，理由見解析【分析】（1）①用一副三角尺畫出角的畫圖方案，用含的兩個角拼接即可求解;②根據用一副三角板可以直接畫出角的度數是15的倍數可解答；（2）根據題意設計一個，一邊與射線重合，另一邊即為角平分線，（3）根據題目所給的方案，進行設計即可求解；（4）根據角度的四則運算進行判斷即可求解．【詳解】（1）解：①用一副三角尺畫出角，如圖所示，②用一副三角板可以直接畫出角的度數是15的倍數，∴用一副三角尺能不能畫出的角，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用，用的角旋轉15次，則，與差，再旋轉16次，得到，與周角差，再旋轉16次，得到，超過始邊∴繞點O逆時針旋轉，得，再將繞點O逆時針旋轉，得，……，如此連續操作47次，可得的角，即：．（4）對于任意一個（n為正整數）角的模板，只用此模板不一定能畫出的角例如，，此時無論如何旋轉，都不能得到的角培優訓練：讓你一飛沖天，一鳴驚人一、選擇題（本大題共10小題）1．下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【答案】C【分析】根據角的動態定義和角的靜態定義解答．【詳解】解：A、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；B、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，故此選項符合題意；；D、角度的大小與邊的長短無關，故此選項不符合題意．故選：C．2．如圖，能用、、三種方法表示同一個角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角的表示方法，根據角的表示方法，結合圖形判斷即可．【詳解】解：．、、表示的不一定是同一個角，錯誤，∵以為頂點的有多個角，故本選項不符合題意；．、、表示的不一定是同一個角，錯誤，∵以為頂點的有多個角，故本選項不符合題意；．、、表示的是同一個角，正確，故本選項符合題意；．、、表示的不一定是同一個角，錯誤，∵以為頂點的有多個角，故本選項不符合題意；故選：C．3．若，，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了度分秒的換算，掌握度、分的單位換算方法是解題的關鍵．先將進行單位換算，即可得出結論．【詳解】解：∵，∴．故選：A．4．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形個數是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了三角板中角度的計算，根據直角三角板可得第一個圖形，進而可得；根據余角和補角的性質可得第二個圖形、第四個圖形中，第三個圖形和互補．【詳解】解：根據角的和差關系可得第一個圖形，根據等角的補角相等可得第二個圖形，第三個圖形，不相等，根據同角的余角相等可得第四個圖形，因此的圖形個數共有3個，故選：C．5．根據如圖所示，下列式子錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的知識點是角的計算，根據各角之間的和差關系進行判斷得出正確選項．【詳解】解：A.，正確，不符合題意；B.，正確，不符合題意；C.由于不確定，所以，故此選項符合題意；D.，正確，不符合題意．故選：C．6．如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則的數量關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，根據題意可求出，，據此可得答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，，∴，，∴，∴，故選：C．7．如圖，是的平分線，是內部一條射線，過點O作射線，在平面內沿箭頭方向轉動，使得，若，則的度數為（

）A． B． C．或 D．無法計算【答案】C【分析】本題主要考查了有關角平分線的計算，明確題意，理清圖中各角度之間的數量關系是解答本題的關鍵．由是的平分線得，進而求得，結合得，再分兩種情況：當在下方時，，當在上方時，分別討論即可求解．【詳解】解：∵，是的平分線，∴，又∵，∴，而，∴，如圖，當在下方時，此時，；如圖，當在上方時，此時，；即：或，故選：C．8．如圖，，則圖中與互余的角有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了求一個角的余角，根據互為余角的兩個角的和為，即可得出答案．【詳解】解：，，與互余，，與互余，與互余的角是和，共個，故選B．9．如圖，在三角形中，．D是邊上的一個動點（點D不與A，B重合），過點D，C作射線，與邊，形成夾角分別為，，則與滿足數量關系（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了余角和補角，根據與互補，與互余可得，，列式相減即可得出結論．【詳解】解：由圖可知與互補，與互余，∴①，②，得．故選：D．10．如圖，，則圖中，，三個角的數量關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查互余的概念，關鍵是掌握余角的性質．由，得出，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選：A．二、填空題（本大題共10小題）11．如圖所示的圖形中有個小于平角的角，寫出以為一邊的所有角：．【答案】7，，，【分析】本題考查了角的表示及分類熟練掌握角的表示及分類是解答本題的關鍵．根據角的表示方法及角的分類，即可得到答案．【詳解】題圖中小于平角的角有，，，，，，，共7個；其中以為一邊的角有，，，．故答案為：7；，，，．12．比較大?。海ㄓ?，或連結）．【答案】【分析】本題考查角度的換算，先把兩個都統一用度和分表示，再比較大小即可．【詳解】解：∵，而，∴故答案為：．13．如圖，將一副直角三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點，那么度．【答案】180【分析】本題考查了三角板中的角度計算，根據題意可得，根據即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：180．14．已知與互余，若，則的度數為【答案】/70度【分析】本題考查了求一個角的余角，根據兩個角互余，則兩個角相加之和為，進行求解即可．【詳解】解：∵與互余，∴，∵，∴，故答案為：．15．若的余角為，則的補角的大小是．【答案】【分析】本題考查了角的補角和余角，熟練掌握角的補角和余角是解題的關鍵；先計算出的度數，從平角為互補角的和，從而解得．【詳解】解：的余角為，，的補角為，故答案為：．16．如圖，將書面斜折過去，使頂點A落處，為折痕，如果為的平分線，則度．【答案】90【分析】此題考查了折疊的性質和角平分線的定義．根據折疊的性質和角平分線的定義得到，，利用角的和差關系即可得到答案．【詳解】解：∵把書面斜折過去，使頂點A落處，為折痕，∴，∵為的平分線，∴，∴，即，故答案為：．17．如圖，點O在直線上，平分，平分．給出下面四個結論：①與互余：②與互補；③；④．上述結論中，正確結論的序號有．【答案】①②③④【分析】本題主要考查角平分線的性質、余角、補角和角度的和差關系，根據角平分線得和，利用平角即可判定①，結合余角和補角得定義即可判斷②，利用角平分線的性質和平角即可判斷③，利用角度和差關系即可判斷④．【詳解】解：∵平分，平分∴，，∵A，O，B三點在同一直線上，，∴，即與互余，故①正確；∵A，O，B三點在同一直線上，∴，∵平分，∴，∴，即與互補，故②正確；∵，∴，則，故③正確；∵，，∴，故④正確；故答案為：①②③④．18．如圖，平面內，，點E，O，F在一條直線上，下列結論：①；②與互補；③平分；④；⑤因為，所以與，互余．其中正確的有．（填序號）【答案】①②③【分析】本題考查了角度的計算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分線的定義．根據余角的定義、角的計算和角平分線性質，對五個結論逐一計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，①的說法正確；∵，即與互補，②的說法正確；∵，