2024-2025學年四川省德陽市高三上學期11月期中數學模擬檢測試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.【正確答案】C2.已知復數，則的虛部是（）A.2 B. C. D.【正確答案】D3.一個盒子中裝有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球.若從中任取兩個球，則恰有一個紅球的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A4.已知，則（）A. B. C.2 D.3【正確答案】A5.設，則使成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】B6.定義在上函數的導函數為，若，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據給定條件構造函數，利用導數確定單調性，結合求解不等式即得.【詳解】依題意，令，求導得，則在上單調遞減，由，得，不等式，則或，即或，解得或，所以不等式解集為.故選：B7.已知雙曲線的左焦點為，為坐標原點，若在的右支上存在關于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據條件，利用幾何關系得到，又，得到，再結合雙曲線的定義得到，即可求解.【詳解】設雙曲線的焦距為，右焦點為，直線交于點，連接，因為為正三角形，，所以為的中點，所以，故，易知，所以，由雙曲線的定義知，即，得.故選：D．8.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】取的中點，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立空間坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】解：取的中點，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點到直線的距離為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，也叫取整函數.令函數，以下結論正確的有（）A. B.為偶函數C. D.的值域為【正確答案】AC【分析】根據取整函數的定義判斷各選項.【詳解】A選項：，A選項正確；B選項：，，即，所以函數不是偶函數，B選項錯誤；C選項：由已知可得，所以，，C選項正確；D選項：由已知，則，即，D選項錯誤；故選：AC.10.等差數列中，，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，則【正確答案】ABD【分析】利用等差數列的性質，對于A，，計算即可；對于B，由已知計算數列公差，再求值即可；對于C，結合數列單調性比大小；對于D，由，，得.【詳解】等差數列中，，設公差為，若，則，A正確；若，，則，得，，B正確；若，，所以公差，當時，有，則有，當時，有，得，所以，則有，C錯誤；若，則，因為，所以，D正確．故選：ABD．11.已知正方體棱長為為正方體內切球的直徑，點為正方體表面上一動點，則下列說法正確的是（）A.當為中點時，與所成角余弦值為B.當面時，點的軌跡長度為C.的取值范圍為D.與所成角的范圍為【正確答案】ABC【分析】建立空間直角坐標系利用空間向量即可得A正確，利用線面平行性質以及椎體體積公式計算可得點的軌跡即是線段，可得B正確，利用極化恒等式計算可得C正確，由點的位置關系可知D錯誤.【詳解】根據題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，對于A，如下圖所示：易知，則,可得，即當為中點時，與所成角余弦值為，可得A正確；對于B，易知是邊長為的正三角形，故其面積為，由三棱錐的體積為，可得點到平面的距離為，即點在與平面平行且距離為平面內，連接，如下圖所示：由正方體性質可得平面平面，且兩平面間的距離等于，所以點平面，又面，平面平面，即可得點的軌跡即是線段，因此點的軌跡長度為，即可得B正確；對于C，依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：，又因為為球的直徑，所以，即可得，又易知當點為正方體與球的切點時，最小；當點為正方體的頂點時，最大；即，因此可得的取值范圍為0,2，即C正確；對于D，易知的中點即為球心，如下圖所示：當時，與所成的角最大，此時，顯然，結合兩直線所成角的范圍可知與所成角的范圍為錯誤，即D錯誤.故選：ABC三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，則的最小值為______.【正確答案】##4.5【分析】由數量積運算可得，再由“1”的技巧及基本不等式得解.【詳解】因為向量，所以，且.所以，當且僅當，即時等號成立，故13.函數在內存在單調遞增區間，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據給定條件，求出函數的導數，再利用在內有解即可.【詳解】函數，求導得，由函數在內存在單調遞增區間，得不等式在內有解，不等式，而函數在上單調遞增，當時，，因此，所以的取值范圍是.故14.雙曲線的離心率可以與其漸近線有關，比如函數的圖象是雙曲線，它的實軸在直線上，虛軸在直線上，實軸頂點是，焦點坐標是，，離心率為，已知函數的圖象也是雙曲線，其離心率為.則其離心率__________.【正確答案】【分析】根據材料得到雙曲線的軸和頂點的定義，根據雙曲線的離心率和其漸近線的斜率之間的關系求雙曲線的離心率，利用雙曲線的離心率的定義求雙曲線的焦點坐標.【詳解】直線和軸是雙曲線的兩條漸近線，由閱讀材料可知，雙曲線的焦點所在的對稱軸是直線，由頂點的定義知，對稱軸與雙曲線的交點即頂點，聯立得，解得：或，所以雙曲線的位于第一象限的頂點為，若將雙曲線繞其中心適當旋轉可使其漸近線變為直線，則雙曲線的離心率，則，四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟15.如圖所示，直線之間的距離為2，直線之間的距離為1，且點分別在上運動，，令. (1)判斷能否為正三角形？若能，求出其邊長的值;若不能，請說明理由;(2)求面積的最小值.【詳解】（1）過作，過作，垂足分別為，如圖，由，，得，在中，，在中，，由是正三角形，則，即，整理得，又，解得，所以.（2）由（1）知，，而，由，得，則當，即時，取最大值，所以時，取得最小值.16.基礎學科招生改革試點，也稱強基計劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生．強基計劃的校考由試點高校自主命題，某試點高校校考過程中筆試通過后才能進入面試環節．2022年報考該試點高校的學生的筆試成績X近似服從正態分布．其中，近似為樣本平均數，近似為樣本方差．已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計總體．（1）假設有84.135%的學生的筆試成績高于該校預期的平均成績，求該校預期的平均成績大約是多少？（2）若筆試成績高于76.5進入面試，若從報考該試點高校的學生中隨機抽取10人，設其中進入面試學生數為，求隨機變量的期望．（3）現有甲、乙、丙、丁四名學生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設這4名學生中通過面試的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．參考數據：若，則：；；．【小問1詳解】由.又，，，所以該校預期的平均成績大約是.【小問2詳解】由得，，即從所有參加筆試的學生中隨機抽取1名學生，該生筆試成績76.5以上的概率為.所以隨機變量服從二項分布，所以.【小問3詳解】X可能取值為0，1，2，3，4，由題意可知，，，，，.所以，的分布列為X01234所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動點.（1）若為中點，證明：平面；（2）若，在線段上是否存在點使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點位置，若不存在，說明理由.【小問1詳解】連接，交于點，因為底面為矩形，故為BD的中點，又因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】底面為矩形，所以，平面，又平面，，如圖，以為原點，所在直線為軸、軸，軸建立空間直角坐標系，由題意得，，設，設，所以，可得，所以，，，，設面的法向量為，則，取，則，為平面的一個法向量，設面的法向量為，則，取，則，可取，設面與面夾角為，則，化簡得，即，解得或（舍），所以在線段上存在點使得面與面夾角余弦值為，此時，即點為（靠近點）的三等分點.18.已知函數.（1）當時，求曲線在處切線的方程；（2）當時，試判斷零點的個數，并說明理由；（3）是否存在實數，使是的極大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）；（2）1個，理由見解析；（3）存在，.【小問1詳解】當時，，求導得，則，而，于是切線方程是，所以曲線在處切線的方程.【小問2詳解】當時，，求導得，函數在上單調遞增，又，所以函數有且僅有一個零點，是0.【小問3詳解】由是的極大值，得，使得當時，且恒成立，求導得，因此是的變號零點，即，解得，經檢驗，當時，，則當時，當時，于是是的極大值，符合條件，所以的取值集合為.19.已知數列滿足，數列為公差為的等差數列，且滿足.記，稱為由數列生成的“函數”.（