第6章

一次函數6.2第2課時

求一次函數關系式

2024/12/031、什么叫一次函數?3、說說一次函數和正比例函數之間的關系.

形如y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數．當b=0時，

y=kx(k為常數，k≠0)，y叫做x的正比例函數.2、什么叫正比例函數?一次函數中包括正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。知識回顧知識回顧

寫出下列各題中y與x之間的函數表達式，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？（1）摩托車以50千米/時的速度勻速行駛，行駛路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關系；（3）一棵樹現在高40厘米，每個月長高3厘米，x月后這棵樹的高度為y（厘米）.（2）正方體的表面積y（cm2）與它的棱長x（cm）之間的關系；

y＝50x,是一次函數，也是正比例函數y＝3x+40,是一次函數，不是正比例函數(1)已知函數y=4x+5，當x=-3時，y=____;當y=5時，x=____.(2)已知函數y=-3x＋1，當x=2時，y=____；

當y=0時，x=____.若在某個一次函數中,當x=-3時,y=-7;當x=0時,y=5;你能寫出這個一次函數的表達式嗎?獲取新知-70-5探究分析：求一次函數y＝kx＋b的解析式，關鍵是求出k，b的值.從已知條件可以列出關于k，b的二元一次方程組，并求出k，b.若在某個一次函數中,當x=-3時,y=-7;當x=0時,y=5;你能寫出這個一次函數的表達式嗎?探究1解：設這個一次函數的解析式為y＝kx＋b(k≠0).∵當x=-3時,y=-7;當x=0時,y=5;∴

解得∴y＝4x+5.一次函數的解析式為y＝4x+5.

確定一次函數表達式的一般步驟(1)設函數表達式為:

y=kx+b（k≠0）;(2)根據已知條件列出關于k、b的方程(組);(3)解方程(組);(4)把求出的k,b值代回到表達式中即可.歸納:一設、二列、三解、四還原.像這樣先設出函數表達式，再根據條件確定表達式中未知的系數，最后確定函數表達式的方法叫做待定系數法.歸納總結由于正比例函數的解析式y＝kx(k≠0)中，只有一個待定系數k，因此只需要一個條件就可以求得k的值，從而確定正比例函數的解析式．解析變1.1

已知y是x的一次函數,當x=3時,y=0;當x=1時,y=2.求這個一次函數的表達式.變1.2在一次函數y=kx+b（k≠0，k、b為常數）中，當x=1時,y=2，當x=3時,y=5，求出k、b的值。解：由x=1時,y=2，得2=k+b

由x=3時,y=5，得5=3k+b聯立方程組

，解得變1.3

已知y是關于x的一次函數，下表列出了部分對應值：x…－2－101b…y…－8a－214…(1)求此一次函數的表達式；(2)求a，b

的值．解：(1)設此一次函數的表達式為y＝kx＋b．由表格可知，當x＝1時，y＝1；

當x＝0時，y＝－2．將這兩組對應值代入表達式，得k＋b＝1，解得k＝3，

b＝－2，b＝－2.∴一次函數的表達式為y＝3x－2；(2)把x＝－1代入y＝3x－2，得y＝－5，

∴a＝－5．把y＝4代入y＝3x

－2，得x＝2，

∴

b＝2．變1.4

已知y是x的一次函數，下表列出了部分對應值:x…－213…y…7－2－8…則y與x的函數表達式為(

D

)A.y＝－2x＋1B.y＝2x－3C.y＝3x－1D.y＝－3x＋1D

變1.5一次函數中，當x=1時，y=5；當x=-1時，y=9，則一次函數表達式為________。y=-2x+7變1.6已知y是x的一次函數,且當x=1時,y=-1;當x=2時,y=1,求這個一次函數的表達式.

變1.7已知一次函數y=kx+b,當x=2時,y=1;當x=-1時,y=-3;當x=m時,y=3.求這個一次函數的表達式,并求出m的值.

變1.8已知一次函數的圖象過點(3,5)與(－4,－9)，求這個一次函數的解析式.求一次函數y＝kx＋b的解析式，關鍵是求出k，b的值.從已知條件可以列出關于k，b的二元一次方程組，并求出k，b.分析：設這個一次函數的解析式為y＝kx＋b(k≠0).因為y＝kx＋b的圖象過點(3,5)與(－4,－9)，所以

解方程組得這個一次函數的解析式為y＝2x－1.解：變1.9（2024·沛縣段考）已知

y

是

x

的一次函數，且當

x

＝1時，

y

＝－1；當

x

＝2時，

y

＝1，則該函數的表達式為

?.y

＝2

x

－3

123456789101112變1.10

已知y=kx+b(k≠0)，當x=0時，y=1；當x=1時，y=2，分別將這兩對x、y的值代入函數表達式，得方程組

，解得_________.已知一個正比例函數，當x=2時，y=4，則這個正比例函數的表達式為__________.說出你確定這個函數表達式的依據.y＝2x探究2(1)已知y與x成正比例，且當x＝－2時，y＝6.求y與x之間的函數表達式;(2)

y與x＋2成正比例，并且當x＝4時，y＝10，求y與x的函數關系式；(3)

已知y-3與x成正比例,且當x=-2時,y=7,求y與x之間的函數表達式；

(4)已知y－3與2－x成正比例，且x＝1時y＝6．試求y與x之間的函數表達式；四大題型（1）求

y

與

x

之間的函數表達式；解：（1）∵

y

與

x

成正比例，∴設

y

＝

kx

(k為常數，k≠0).∵當

x

＝－2時，

y

＝6，∴

6＝－2

k

，∴

k

＝－3.∴

y

與

x

之間的函數表達式為

y

＝－3

x

（2）當

y

的值為－3時，求

x

的值.解：（2）由題意，得－3＝－3

x

，解得

x

＝1已知

y

與

x

成正比例，且當

x

＝－2時，

y

＝6.123456789101112題型1y與x＋2成正比例，并且當x＝4時，y＝10，求y與x的函數關系式.根據正比例函數的定義，可以設y＝k(x＋2)，然后把x＝4，y＝10代入求出k的值即可.設y＝k(x＋2)(k為常數，k≠0)，∵x＝4時，y＝10，∴10＝k(4＋2)，解得

分析：解：對于一次函數，其表達式中的k、b皆為未知數時，該怎么處理呢？題型2已知y-3與x成正比例,且當x=-2時,y=7,則y與x之間的函數表達式為

.

y=-2x+3題型3已知y－3與2－x成正比例，且x＝1時y＝6．(1)試求y與x之間的函數表達式；題型4解：∵

y－3與2－x成正比例，∴可設y－3＝k(2－x)(k為常數，k≠0)．把x＝1，y＝6代入，可得6－3＝k(2－1)，解得k＝3，∴y－3＝3(2－x)，整理得y＝－3x＋9．∴y與x之間的函數表達式為y＝－3x＋9.(2)當y＝15時，求x的值．解題秘方：把y＝15代入(1)中的函數表達式，求出相應的x值即可．解：把y＝15代入函數表達式可得15＝－3x＋9，解得x＝－2．若

y

－2與2

x

＋3成正比例，且當

x

＝1時，

y

＝12.（1）求

y

與

x

之間的函數表達式.解：（1）設

y

－2＝

k

（2

x

＋3）(k為常數，k≠0)．把

x

＝1，

y

＝12代入，得12－2＝5k

，∴

k

＝2.∴

y

－2＝2（2

x

＋3），即

y

＝4

x

＋8.∴

y

與

x

之間的函數表達式為

y

＝4

x

＋8.（2）當

y

＝4時，求

x

的值.解：（2）當

y

＝4時，4

x

＋8＝4，解得

x

＝－1.12345678910111213變2.1已知y－3與2－x

成正比例，且x＝1時y＝6．(1)試求y與x之間的函數表達式；(2)當y＝15時，求x

的值．變2.2解：(1)∵y－3與2－x

成正比例，∴可設y－3＝k(2－x)(k

為常數，k≠0)．把x＝1，y＝6代入，可得6－3＝k(2－1)，解得k＝3，∴y－3＝3(2－x)，整理得y＝－3x＋9．∴y

與x的函數表達式為y＝－3x＋9；(2)把y＝15代入函數表達式y＝－3x＋9，

可得15＝－3x＋9，

解得x＝－2．已知2y－3與3x＋1成正比例，則y與x的函數表達式可能是(

C

)A.y＝3x＋1B.y＝＋1C.y＝＋2D.y＝3x＋2C變式2.3y1與x＋1成正比例，y2與x－1成正比例，y＝y1＋y2，當x＝2時，y＝9；當x＝3時，y＝14.求y與x的函數表達式.解：∵y1與x＋1成正比例，∴設y1＝k1(x＋1)(k1≠0)．∵y2與x－1成正比例，∴設y2＝k2(x－1)(k2≠0)．∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x＋1)＋k2(x－1)．

變式2.4

已知y=y2+y1，其中y1與x成正比例，y2與x-2成正比例，且當x

=-1時，y

=2；當x

=2時，y

=5，求y與x之間的函數表達式；變式2.5已知y=y2–y1，其中y1與x成正比例，y2與x+2成正比例，且當x

=-1時，y

=2；當x

=2時，y

=10，(1)求y與x之間的函數表達式；(2)當x取何值時，y的值為30？變式2.6解析變式2.7若5

y

＋2與

x

－3成正比例，則（

B

）A.

y

是

x

的正比例函數B.

y

是

x

的一次函數C.

y

與

x

沒有函數關系D.以上都不正確B1234567891011121314變式2.8在彈性限度內，彈簧長度y(cm)是所掛物體的質量x(g)的一次函數.已知一根彈簧掛10g物體時的長度為11cm，掛30g物體時的長度為15cm，試求y與x的函數表達式.思考：(1)一次函數的表達式里有幾個待定的常量？(2)要確定一個待定的常量，需要幾個已知條件？兩個呢？一次函數的表達式中有兩個待定系數，因而需要兩個條件.探究3在彈性限度內，彈簧長度y(cm)是所掛物體的質量x(g)的一次函數.已知一根彈簧掛10g物體時的長度為11cm，掛30g物體時的長度為15cm，試求y與x的函數表達式.

在一定范圍內，彈簧的長度

y

（cm）與它所掛物體的質量

x

（g）之間滿足表達式

y

＝

kx

＋

b

.已知所掛物體的質量為50g時，彈簧長12.5cm，所掛物體的質量為200g時，彈簧長20cm，則當彈簧長15cm時，所掛物體的質量為（

B

）A.

80gB.

100gC.

120gD.

150gB12345678910111213變式3.1

（新情境）小青乘飛機去旅游，從放置在座位后背的一份雜志上看到

如下表格：飛機距離地面的高度

h

/km0123…飛機機艙外面的溫度

t

/℃82－4－10…若某時刻飛機機艙外面的溫度顯示為－22℃，地面的溫度為8℃，則小

青所乘坐的飛機此時距離地面（

D

）A.

8kmB.

7kmC.

6kmD.

5kmD12345678910111213變式3.2某產品每件的銷售價x(元)與產品的日銷售量y(件)之間的關系如下表，若日銷售量y(件)是每件的銷售價x(元)的一次函數.x(元)152025…y(件)252015…(1)求日銷售量y(件)與每件銷售價x(元)之間的函數表達式(不要求寫自變量的取值范圍)；(2)若該產品每件的成本是10元，當每件的銷售價定為30元時，求每日的銷售利潤.變式3.3

(2)因為該產品每件的成本是10元，每件的銷售價為30元，所以每件的利潤為30-10=20(元)，日銷售量為-x+40=-30+40=10件.所以每日的銷售利潤為10×20=200(元).答：每日的銷售利潤為200元.故日銷售量y(件)與每件銷售價x(元)之間的函數表達式為y=-x+40.某客運公司規定旅客可免費攜帶一定質量的行李，當行李的質量超過規定時，需付行李費y(元)是行李質量x(kg)的一次函數.

已知行李質量為20kg時需付行李費2元，行李質量為50kg時需付行李費8元.(1)當行李質量x超過規定時，求y與x之間的函數表達式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

變式3.4(2)求旅客最多可免費攜帶行李的質量.

某地舉辦乒乓球比賽的費用

y

（元）包括兩部分：一部分是租用比賽

場地等固定不變的費用

b

（元），另一部分與參加比賽的人數

x

成正比

例.當

x

＝20時，

y

＝1

600；當

x

＝30時，

y

＝2

000.（1）求

y

與

x

之間的函數表達式；

123456789101112變式3.5（2）如果有50名運動員參加比賽，且全部費用由運動員均攤，那么每

名運動員需要支付多少元？

123456789101112（1）求

y

與

x

之間的函數表達式.

生物學研究表明，某種蛇的長度

y

（cm）是其尾長

x

（cm）的一次

函數.已知當蛇的尾長為6cm時，蛇的長度為45.5cm；當蛇的尾長為14cm

時，蛇的長度為105.5cm.12345678910111213變式3.6（2）當一條蛇的尾長為10cm時，這條蛇的長度是多少厘米？解：（2）∵

y

＝7.5

x

＋0.5，∴當

x

＝10時，

y

＝10×7.5＋0.5＝75.5.

∴這條蛇的長度是75.5cm.12345678910111213