模塊二常見模型專練

專題29一線三等角模型

例1（2020·江蘇蘇州·統考中考真題）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，BC90，P是BC上一

點，PAPD，APD90．

求證：ABCDBC．

ABCD

問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，B∠C45，P是BC上一點，PAPD，APD90．求

BC

的值．

例2（2021年·吉林長春·中考真題）在ABC中，ACB＝90o，AC＝BC，直線MN經過點C，且ADMN

于D，BEMN于E．

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①ACD≌CEB；

②DE＝AD＋BE．

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE＝ADBE；

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，

并加以證明．

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例3（2020年·海南·中考真題）（1）嘗試探究：如圖①，在ABC中，BAC90，ABAC，AF是過

點A的一條直線，且B，C在AE的同側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；

DE與BD、CE的數量關系為．

（2）類比延伸：如圖②，ABC90，BA=BC，點A，B的坐標分別是(-2，0)，(0，3)，求點C的坐標．

（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標平面內找一點P（不與點C重合），使PAB與ABC全等．直

接寫出點P的坐標．△

一線三等角是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形。這

個角可以是直角，也可以是銳角或者鈍角。對于“一線三等角”，有的地區叫“K型圖”，也有的地區叫“M型

圖”。

“一線三等角”的起源

DE繞A點旋轉,從外到內，從一般位置到特殊位置.

下面分幾種類型討論：

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一、直角形“一線三等角”——“一線三直角”

結論：△ADB∽△CEA

二、銳角形“一線三等角

結論：△ADB∽△CEA∽△CAB

三、鈍角形“一線三等角

結論：△ADB∽△CEA∽△CAB

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【變式1】（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯考階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC

上一點，且BP＝2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P點，然后將這個角繞P點轉動，使角的兩邊

始終分別與AB、AC相交，交點為D、E．

(1)求證：△BPD∽△CEP；

(2)是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由．

【變式2】（2022·河北唐山·唐山市第十二中學校考一模）如圖，拋物線yax2bx3與x軸交于A，B兩

點，其中A（－2，0），點D（4，3）為該拋物線上一點．

(1)B點坐標為______；

(2)直線x=n交直線AD于點K，交拋物線于點P，且點P在點K上方，連接PA、PD．

①請直接寫出線段PK長（用含n的代數式表示）

②求△PAD面積的最大值；

(3)將直線AD繞點A逆時針旋轉90°得到直線l，若點Q是直線l上的點，且∠ADQ=45°，請直接寫出點Q

坐標______．

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【變式3】（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋

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物線y=-x22x交x軸于A、B兩點，點C在拋物線上，且點C的橫坐標為-1，連接BC交y軸于點D．

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(1)如圖1，求點D的坐標；

(2)如圖2，點P在第二象限內拋物線上，過點P作PG⊥x軸于G，點E在線段PG上，連接AE，過點E

作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設點P的橫坐標為t，線段PE的長為d，求d與t的函數關系式；

2

(3)如圖3，在（2）的條件下，點H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=AH，求

3

點P的坐標．

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【變式4】（2022·內蒙古鄂爾多斯·統考二模）如圖，拋物線yax2bx3與x軸交于A2,0，B6,0兩

點，與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為4,3．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標為mm0，過點P作PMx軸，垂足為M．PM與直線l交于

點N，當點N是線段PM的三等分點時，求點P的坐標；

(3)若點Q是y軸上的點，且ADQ45，求點Q的坐標．

【變式5】（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，ABC中BC30，DEF30，且點E為邊BC的中

點．將DEF繞點E旋轉，在旋轉過程中，射線DE與線段AB相交于點P，射線EF與射線CA相交于點Q，

連結PQ．

(1)如圖1，當點Q在線段CA上時，

①求證：BPE∽VCEQ；

②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數量關系？請說明理由；

CQ

(2)當△APQ為等腰三角形時，求的值．

BP

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【培優練習】

1．（2022秋·浙江麗水·八年級統考期末）如圖，點P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點，且BD4，

ABC60．連結PD，以PD為邊，在PD的右側作等邊△DPE，連結BE，則△BDE的面積為（）

A．43B．2C．4D．63

2．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點

D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）

99

A．3B．2C．D．

42

3．（2022秋·八年級課時練習）如圖所示，ABC中，ABAC,BAC90．直線l經過點A，過點B作BEl

于點E，過點C作CFl于點F．若BE2,CF5，則EF__________．

4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y＝﹣x2+4x上有一點B（1，3），點B與點C關于拋物線的

對稱軸對稱．過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．點M在直線BH上運動，點N在x軸正半軸上運動，

以C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，點N的坐標為_____．

5．（2022秋·八年級課時練習）如圖，直線l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的

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頂點A、B、C分別在直線l1、l2、線段PQ上，點O是斜邊AB的中點，若PQ等于72，則OQ的長等于

_____．

6．（2022秋·浙江金華·八年級校考階段練習）如圖，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，分別過點B，

C作過點A的直線的垂線BD，CE，垂足為D，E．若BD4cm，CE3cm，求DE的長．

7．（2022春·全國·九年級專題練習）感知：（1）數學課上，老師給出了一個模型：

如圖1，BADACBAED90，由12BAD180，2DAED180，可得1D；

BC

又因為ACBAED90，可得△ABC∽△DAE，進而得到______．我們把這個模型稱為“一線三等

AC

角”模型．

應用：（2）實戰組受此模型的啟發，將三等角變為非直角，如圖2，在ABC中，ABAC10，BC12，

點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且APDB．

①求證：△ABP∽△PCD；

②當點P為BC中點時，求CD的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當△APD為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．

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8．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在ABC中，ABBC．

（1）如圖①所示，直線NM過點B，AMMN于點M，CNMN于點N，且ABC90．求證：

MNAMCN．

（2）如圖②所示，直線MN過點B，AM交MN于點M，CN交MN于點N，且AMBABCBNC，

則MNAMCN是否成立？請說明理由．

9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）問題背景：（1）如圖①，已知ABC中，BAC90，ABAC，直

線m經過點A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點D，E，易證：DE______+______．

（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在ABC中，ABAC，D，A，E三點都在直線m上，

并且有BDAAECBAC，請求出DE，BD，CE三條線段的數量關系，并證明．

（3）實際應用：如圖③，在△ACB中，ACB90，ACBC，點C的坐標為2,0，點A的坐標為6,3，

請直接寫出B點的坐標．

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10．（2022秋·八年級課時練習）（1）課本習題回放：“如圖①，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，

垂足分別為D，E，AD2.5cm，DE1.7cm．求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為________．

（2）探索證明：如圖②，點B，C在MAN的邊AM、AN上，ABAC，點E，F在MAN內部的射

線AD上，且BEDCFDBAC．求證：ABE≌CAF．

（3）拓展應用：如圖③，在ABC中，ABAC，ABBC．點D在邊BC上，CD2BD，點E、F在

線段AD上，BEDCFDBAC．若ABC的面積為15，則ACF與BDE的面積之和為________．（直

接填寫結果，不需要寫解答過程）

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11．（2022秋·吉林長春·七年級長春市第四十五中學校考期中）通過對數學模型“K字”模型或“一線三等角”

模型的研究學習，解決下列問題：

[模型呈現]如圖1，BAD90，ABAD，過點B作BCAC于點C，過點D作DEAC于點E．求

證：BCAE．

[模型應用]如圖2，AEAB且AEAB，BCCD且BCCD，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所

圍成的圖形的面積為________________．

[深入探究]如圖3，BADCAE90，ABAD，ACAE，連接BC，DE，且BCAF于點F，DE

與直線AF交于點G．若BC21，AF12，則△ADG的面積為_____________．

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12．（2022秋·八年級課時練習）

(1)如圖（1），已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，

垂足分別為點D、E.證明△：DE=BD+CE．

(2)如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有

∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意△銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出

證明；若不成立，請說明理由．

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13．（2022秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習）（1）觀察理解：

如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，

求證：△AEC≌△CDB．

（2）理解應用：

如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交

EG于點I．利用（1）中的結論證明：I是EG的中點．

（3）類比探究：

①將圖1中△AEC繞著點C旋轉180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關系_______；

②如圖4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉90°至

DE，△AED的面積為．

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14．（2023秋·廣西南寧·八年級校考階段練習）在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E，在直線m上方

有ABAC，且滿足BDAAECBAC．

(1)如圖1，當90時，猜想線段DE,BD,CE之間的數量關系是____________；

(2)如圖2，當0180時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由；

(3)應用：如圖3，在ABC中，BAC是鈍角，ABAC，BADCAE,BDAAECBAC，直線m

與CB的延長線交于點F，若BC3FB，ABC的面積是12，求FBD與△ACE的面積之和．

15．（2022秋·八年級課時練習）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥

直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA

＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；

若不成立，請說明理由．

（3）拓展應用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F

為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，

求證：△DEF是等邊三角形．

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16．（2021秋·四川達州·九年級統考期中）模型探究：

（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直線ED經過點C，過A作ADED于

點D，過B作BEED于點E．求證：BECD；

模型應用：

（2）已知直線l1:y2x4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉90°至直線l2，如圖2，求直

線l2的函數表達式；

1

（3）如圖3，已知點A、B在直線yx4上，且AB42．若直線與y軸的交點為M，M為AB中點．試

2

判斷在x軸上是否存在一點C，使得ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形．

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17．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）已知：CD是經過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直

線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直線CD經過∠BCA的內部，∠BCD＞∠ACD．

①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關系：．

②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數量關系，能使①中的結論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數量關

系．

（2）如圖3．若直線CD經過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結論是否成立？若成立，進行證明；若

不成立，寫出新結論并進行證明．

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18．（2022秋·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知A(a,0)、B(0,b)分別在坐

標軸的正半軸上．

（1）如圖1，若a、b滿足(a4)2b30，以B為直角頂點，AB為直角邊在第一象限內作等腰直角ABC，

則點C的坐標是________；

（2）如圖2，若ab，點D是OA的延長線上一點，以D為直角頂點，BD為直角邊在第一象限作等腰直

角△BDE，連接AE，求證：ABDAED；

（3）如圖3，設ABc，ABO的平分線過點D