第五部分圓

專題19圓的基本概念及其性質（5大考點）

核心考點一圓周角、圓心角相關問題

核心考點二垂徑定理及其推論

核心考點核心考點三圓內接四邊形的性質

核心考點四正多邊形與圓相關的計算

核心考點五圓的基本性質綜合題

新題速遞

核心考點一圓周角、圓心角相關問題

例1（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形．若BCD121，則BOD

的度數為（）

A．138°B．121°C．118°D．112°

例2（2022·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖，AB、AC是O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D，

若BAD35，則C___________°．

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例3（2022·福建·統考中考真題）如圖，ABC內接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DFAB交BC于

點E，交⊙O于點F，連接AF,CF．

(1)求證：ACAF；

(2)若⊙O的半徑為3，CAF30，求AC的長（結果保留π）．

知識點、圓周角

1．頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）

2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等．

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應的其余各組量分別相等．

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【變式1】（2023·山東·統考一模）．如圖，在ABC中，AC4，以點C為圓心，2為半徑的圓與邊AB相

切于點D，與AC，BC分別交于點E和點F，點H是優弧EF上一點，EHF70，則BDF的度數是（）

A．35B．40C．55D．60

【變式2】（2022·陜西西安·一模）如圖，AB是O的直徑，點M是O內的一定點，PQ是O內過點M

的一條弦，連接AM，AP，AQ，若O的半徑為4，AM5，則APAQ的最大值為_____．

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【變式3】（2023·安徽合肥·校考模擬預測）如圖，已知AB為O的直徑，過O上點C的切線交AB的延

長線于點E，ADEC于點D．且交O于點F，連接BC，CF，AC．

(1)求證：BCCF；

(2)若AD3，DE4，求BE的長．

核心考點二垂徑定理及其推論

例1（2022·湖北鄂州·統考中考真題）工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了

一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖（1）所

示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已

知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，

AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（）

A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm

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例2（2022·黑龍江牡丹江·統考中考真題）O的直徑CD10，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，

OM:OC3:5，則AC的長為______．

例3（2022·四川攀枝花·統考中考真題）如圖，O的直徑AB垂直于弦DC于點F，點P在AB的延長線

上，CP與O相切于點C．

(1)求證：PCBPAD；

(2)若O的直徑為4，弦DC平分半徑OB，求：圖中陰影部分的面積．

1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

幾何語言：

垂徑定理的幾個基本圖形：

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垂徑定理在基本圖形中的應用：

2．其它正確結論：

⑴弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

⑵平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．

⑶圓的兩條平行弦所夾的弧相等．

3．知二推三：①直徑或半徑；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分優弧．以上五個條件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤時，要注意平分的弦非直徑．

4．常見輔助線做法：

⑴過圓心，作垂線，連半徑，造RT△，用勾股，求長度；

⑵有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．

【變式1】（2022·浙江杭州·校考二模）如圖，O的半徑ODAB于點C，連接AO并延長交O于點E，

連接EC．若AB8，CD2，則tanOEC為（）

63132213

A．B．C．D．

1713313

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【變式2】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，CD延長線上一點P

與點A的連線交O于點F，已知AB10，CD8，AF6，則PF的長為________．

【變式3】（2023·陜西西安·交大附中分校校考二模）如圖，已知AB是O的直徑，C是O上一點，

ODBC，垂足為D，連接AD，過點A作O的切線與DO的延長線相交于點E．

(1)求證：BE；

(2)若O的半徑為4，OE6，求AD的長．

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核心考點三圓內接四邊形的性質

例1（2021·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，點C，D在以AB為直徑的半圓上，ADC120，點E

是AD上任意一點，連接BE，CE，則BEC的度數為（）

A．20°B．30°C．40°D．60°

例2（2022·遼寧沈陽·統考中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于O，則AB的長是________

（結果保留π）

例3（2022·遼寧沈陽·統考中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于圓O，AD是圓O的直徑，AD，BC的

延長線交于點E，延長CB交PA于點P，BAPDCE90．

(1)求證：PA是圓O的切線；

1

(2)連接AC，sinBAC，BC2，AD的長為______．

3

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圓內接四邊形定理：圓內接四邊形的對角互補，一個外角等于其內對角。

【變式1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考三模）如圖，在O中，AD是直徑，DAB31，點C

是圓上的一動點（不與點A重合），則ACB的度數為（）

A．31B．59C．31或59D．59或121

【變式2】（2023·廣東深圳·校聯考一模）如圖，點E是正方形ABCD邊AB上的一點，已知DEF45，EF

分別交邊AC，CD于點G，F，且滿足AGDF32，則EG的長為______．

【變式3】（2021·貴州·統考一模）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為BC上的一點，連接DP，CP．

(1)求∠CPD的度數；

(2)當點P為BC的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．

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核心考點四正多邊形與圓相關的計算

例1（2022·湖北黃石·統考中考真題）我國魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術：割之彌細，所失彌少，割

之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每

次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，內接正二十四邊形，……．邊數越多割得越細，正多邊形

的周長就越接近圓的周長．再根據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖

l

1中圓內接正六邊形的周長l6R，則63．再利用圓的內接正十二邊形來計算圓周率則圓周率約為

62R

（）

A．12sin15B．12cos15C．12sin30D．12cos30

例2（2022·四川成都·統考中考真題）如圖，已知⊙O是小正方形的外接圓，是大正方形的內切圓．現假

設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是_________．

例3（2022·浙江金華·統考中考真題）如圖1，正五邊形ABCDE內接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答

下列問題，作法：如圖2，①作直徑AF；②以F為圓心，FO為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N；③連接

AM,MN,NA．

(1)求ABC的度數．

(2)AMN是正三角形嗎？請說明理由．

(3)從點A開始，以DN長為半徑，在⊙O上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．

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知識點、正多邊形與圓

（一）正多邊形及有關概念

（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。

（2）正多邊形的畫法：把圓n等分（n3），順次連接各等分點，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這

個圓就是這個正多邊形的外接圓。

（3）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。

（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。

（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。

（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。

（二）正多邊形的有關計算

n2180360

（1）正n邊形的每個內角都等于180.

nn

360

（2）正n邊形的每個中心角都等于.

n

（3）正n邊形的其他計算都可以轉化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進行，如圖所示，

2

18022a

設正n邊形的半徑為R,一邊ABa，邊心距OMr，則有BOM,Rr,正n邊

n2

形

1

的周長lna,面積SnS2nSlr.

AOBBOM2

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【變式1】（2023·安徽安慶·統考一模）如圖，五邊形ABCDE是O的內接正五邊形，AF是O的直徑，則

CDF的度數是（）

A．18B．36C．54D．72

【變式2】（2022·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，在圓中內接一個正五邊形，有一個大小為的銳角COD頂點

3

在圓心O上，這個角繞點O任意轉動，在轉動過程中，扇形COD與扇形AOB有重疊的概率為，求

10

___________．

【變式3】（2023·山東青島·統考一模）【問題提出】

正多邊形內任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關系？

【問題探究】

如圖①，ABC是等邊三角形，半徑OAR，AOB是中心角，P是ABC內任意一點，P到ABC各邊

、、

距離PF、PE、PD分別為h1h2h3，設ABC的邊長是a，面積為S．過點O作OMAB．

11

∴OMRcosAOBRcos60，AMRsinAOBRsin60，AB2AM2Rsin60，

22

1

∴S3S3ABOM3R2sin60cos60，①

ABCAOB2

1

∵S又可以表示ahhh②

ABC2123

1

聯立①②得ahhh3R2sin60cos60

2123

1

∴2Rsin60hhh3R2sin60cos60

2123

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∴h1h2h33Rcos60

【問題解決】

如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OAR，AOB是中心角，P是五邊形ABCDE內任意一點，P到

五邊形ABCDE各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的分析過程，探究

h1h2h3h4h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關系．

【性質應用】

（1）正六邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和h1h2h3h4h5h6_______．

（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和h1h2hn1hn______．

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核心考點五圓的基本性質綜合題

例1（2021·廣西梧州·統考中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸

正半軸上有一點C，使∠ACB＝30°，則點C的橫坐標是（）

A．3342B．12C．6+33D．63

例2（2022·內蒙古·中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACBC1，點P在以斜邊AB為直

徑的半圓上，M為PC的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是_______．

例3（2022·湖北荊門·統考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不

重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．

(1)求證：BE是⊙O的切線；

(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．

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圓的基本性質綜合題型，主要是要將圓相關的知識點結合起來考查，包括圓心角、圓周角、垂徑定理、

切線長定理等，關鍵在于明確題目考查的方向，靈活運用知識點解決問題.

【變式1】（2023·安徽滁州·校聯考一模）如圖，在ABC中，ABACBC4，延長BA至點D，連接CD，

ADC=45，點P為BC邊上一動點，PEAB于E，PFCD于F，連接EF，則EF的最小值為（）

3311

A．26B．36C．326D．336

2222

【變式2】（2023·北京海淀·中關村中學校考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，

ACB90，BC2，AC23，P是以斜邊AB為直徑的半圓上一動點，M為PC的中點，連接BM，則

BM的最小值為______

【變式3】（2023·安徽滁州·校聯考一模）如圖，已知四邊形ABCD內接于O，直徑AC與BD

交于E點，BD平分ADC．

(1)若ADBD，求證：DCDE；

AD5BD

(2)若=，求的值．

CD2AC

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【新題速遞】

1．（2022·臺灣·統考模擬預測）如圖，點C是⊙O的弦AB上一點．若AC6，BC2，AB的弦心距為3，

則OC的長為（）

A．3B．4C．11D．13

2．（2023·安徽安慶·統考一模）如圖，O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DEOB，AOC87，

則E等于（）

A．30B．29C．28D．27

3．（2023·湖北省直轄縣級單位·校考一模）如圖，PA、PB分別與O相切于A、B，P70，C為O上

一點，則ACB的度數為（）

A．110°B．120°C．125°D．130°

4．（2023·安徽合肥·一模）如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC、AD．若BAC28，

則D的度數是（）

A．56B．58C．62D．72

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5．（2023·陜西西安·西北大學附中校考三模）如圖，在Rt△ABC中，ACBC，ACB90，以點O為圓

心的量角器（半圓O）的直徑和AB重合，零刻度落在點A處（即從點A處開始讀數），點D是AB上一點，

連接CD并延長與半圓交于點P，若BDC72，則點P在量角器上的讀數為（）

A．36B．54C．64D．72

6．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考一模）如圖，AB是O的直徑，C、D是O上的點，CDB20，

過點C作O的切線交AB的延長線于點E，則E等于（）

A．70B．50C．40D．20

7．（2023·安徽淮北·校聯考一模）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點P是矩形ABCD內一點，連

接PA，PC，PD，若PAPD，則PC的最小值為（）

A．2134B．2103C．2D．4

8．（2023·河北衡水·校考二模）如圖1，某校學生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬AB20米，長BC24

米，為了能夠監控到禮堂內部情況，現需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要

求能觀測到禮堂前端墻面AB區域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發的觀測角

AMB45．甲、乙二人給出了找點M的思路，以及MC的值，下面判斷正確的是()

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甲：如圖2，在矩形ABCD中取一點O，使得OAOBOM，M即為所求，此時CM10米；

乙：如圖3，在矩形ABCD中取一點O，使得OAOB，且AOB90，以O為圓心，OA長為半徑畫弧，

交CD于點M1，M2，則M1，M2均滿足題意，此時MC8或12．

A．甲的思路不對，但是MC的值對B．乙的思路對，MC的值都對且完整

C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整D．甲的思路對，但是MC的值不對

9．（2022·北京海淀·中關村中學校考模擬預測）如圖，O的半徑為2，OABC，CDA22.5，則弦BC

的長為___________．

10．（2022·黑龍江綏化·校考模擬預測）如圖四邊形ABCD為O的內接四邊形，ACBD于點E，若AB8，

CD6，則O的半徑為_____．

11．（2023·安徽合肥·統考一模）如圖，點A，B，C，D在半徑為5的O上，連接AB，BC，CD，AD．若

ABC108，則劣弧AC的長為________．

12．（2023·湖北孝感·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點

O重合，ABx軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90，則第2023次旋轉結束時，

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點A的坐標為______．

13．（2022·四川瀘州·模擬預測）已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點P是反比例函數

6

y(x0)圖像上的一個動點，若以點P為圓心，3為半徑的圓與直線yx相交，交點為A、B，當弦AB

x

的長等于25時，點P的坐標為______．

14．（2023·安徽安慶·統考一模）如圖，D是等腰Rt△ABC的斜邊BC邊上一點，連接AD，作△ABD的外

10

接圓，并將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應點E恰好落在△ABD的外接圓上，若cosADB，

10

AB310．①BE_____②△ABD的外接圓的面積為__________（結果保留）

15．（2023·湖北省直轄縣級單位·校考模擬預測）如圖，在ABC中，ADBC，垂足是D．

(1)作ABC的外接圓O（尺規作圖）；

(2)若AB8，AC6，AD5，求ABC的外接圓O半徑的長．

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16．（2023·廣東肇慶·統考一模）如圖，在