第四部分三角形

專題16銳角三角函數及其應用（5大考點）

核心考點一特殊角的三角函數值及其計算

核心考點二由三角函數值求銳角

核心考點核心考點三銳角三角函數的增減性

核心考點四解直角三角形及其應用

核心考點五三角函數的綜合

新題速遞

核心考點一特殊角的三角函數值及其運算

例1（2021·貴州黔東南·統考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋

轉60，使點B落在點B的位置，連接BB，過點D作DE⊥BB，交BB'的延長線于點E，則BE的長為

（）

24

A．31B．232C．3D．3

33

【答案】A

【分析】利用已知條件求得CBFEDF30,設EFx，將DF,FC,BF都表示出含有x的代數式，利用

tanFBC的函數值求得x，繼而求得BE的值

【詳解】

第1頁共77頁.

設BE,CD交于點F,

由題意：ABAB,BAB60

ABB是等邊三角形

ABB60

四邊形ABCD為正方形

ABCC90

∴∠CBF=90°-60°=30°，

DE⊥BB

E90

又DFECFB

EDFCBF30

設EFx

EFEF

DF2EF2x

則sinEDF1

2

FCDCDF22x

FC

BF=2FC44x

sinCBF

BEBFEF43x

BEBEBB43x223x

FC3

tanCBF

BC3

22x3

23

3

解得：x1

3

3

BE23(1)31

3

故選A

【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，特殊角的銳角三角函

數值，靈活運用銳角三角函數的定義及特殊三角函數值是解題的關鍵．

例2．（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）定義一種運算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：當45，30時，

第2頁共77頁.

232162

sin4530，則sin15的值為_______．

22224

【答案】62

4

【分析】根據sin()sincoscossin代入進行計算即可．

【詳解】解：sin15sin(4530)

=sin45cos30cos45sin30

2321

=

2222

62

=

44

62

=．

4

故答案為：62．

4

【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵．

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發現小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，

并依次標注序號：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請寫出正確的計算過程．

21x23x

（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

3111

【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．

34x32

【分析】（1）根據乘方、絕對值、特殊角的三角函數值、立方根、負整數指數冪、零指數冪的法則計算即

可；

第3頁共77頁.

12

（2）先把括號內通分，接著約分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，

x3

則利用分式有意義的條件把x=-1代入計算即可．

31

【詳解】（1）其他錯誤，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，

34

正確的計算過程：

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

41627

31

341

34

41627

111

=28；

21x23x

（2）

x3xx26x9

2xx3x(x3)

x(x3)(x3)2

x3x(x3)

x(x3)(x3)2

1

=，

x3

∵x2-2x-3=0，

∴（x-3）（x+1）=0，

x-3=0或x+1=0，

∴x1=3，x2=-1，

∵x=3分式沒有意義，

∴x的值為-1，

11

當x=-1時，原式==．

132

【點睛】本題考查了實數的運算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化簡求值．也考查了特殊角的三

角函數值、立方根、負整數指數冪、零指數冪．

知識點：特殊角的三角函數值

第4頁共77頁.

1.圖表記憶

三角函數圖形記憶

30°45°60°

123

sin

222

1

cos32

222

3

tan13

3

2.規律記憶

30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，2，3；

30°，45°，60°角的余弦值分別是60°，45°，30°角的正弦值。

【變式1】（2022·湖南邵陽·統考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以點A為圓心、AB

長為半徑的弧BE與DC相交于點E，點E為DC的中點，則由BC、CE和弧BE圍成的陰影部分圖形的面

積是（）

88

A．63B．83C．633D．833

33

【答案】A

【分析】根據矩形的性質得出AB=CD=AE=4，∠ADC=90°，結合中點及特殊角的三角函數值與勾股定理得

22

出∠DAE=30°，AD=AEDE23，∠BAE=60°，結合圖形得出S陰影S矩形ABCDSADES扇形ABE，代入

求解即可．

第5頁共77頁.

【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD=AE=4，∠ADC=90°

∵E為CD中點，

∴CE=DE=2，

在Rt?ADE中，

DE1

sinDAE，

AE2

∴∠DAE=30°，AD=AE2DE223，

∴∠BAE=60°，

S陰影S矩形ABCDSADES扇形ABE

16042

AB·ADAD·DE

2360

18

423232

23

8

63，

3

故選：A．

【點睛】題目主要考查矩形的性質，特殊角的三角形函數值，勾股定理，求不規則圖形的面積等，理解題

意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．

【變式2】（2022·河南洛陽·統考二模）如圖1，在ABC中，ABC60，點D是BC邊上的中點，點P

從ABC的頂點A出發，沿ABD的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運動到點D．線段DP的長度

y隨時間x變化的關系圖象如圖2所示，點N是曲線部分的最低點，則ABC的面積為（）

163

A．4B．43C．8D．

3

【答案】D

第6頁共77頁.

【分析】由函數圖象可知AD=4，當DP⊥AB時，AP=23,此時有DP長的最小值，由勾股定理可以求出

DP的長度，進而結合∠B=60°求得BP，即可求出△ABD的面積，然后利用點D是BC邊上的中點，得到

S△ABC2S△ABD．

【詳解】解：過D作DP⊥AB于P

由函數圖像可得，AD=4，當DP⊥AB時，AP=23,此時有DP長的最小值，

∴DPAD2AP242(23)22

∵ABC60

DP223

∴BP

tan6033

83

∴ABAPBP

3

118383

∴SDPAB2

ABD2233

∵點D是BC邊上的中點，

163

∴S2S

ABCABD3

故選：D

【點睛】本題考查了垂線段最短、勾股定理、特殊角度的三角函數值，解題的關鍵是通過函數圖象得到當

DP⊥AB時，AP=23．

2

31

【變式3】（2020·四川自貢·校考一模）在ABC中，若sinAcosB0，A，B都是銳角，

22

則ABC是______三角形．

【答案】等邊

【分析】根據非負數的性質分別求出∠A和∠B，繼而可判斷ABC的形狀．

2

31

【詳解】解：∵sinAcosB0，

22

第7頁共77頁.

2

31

∴sinA0，cosB0，

22

31

∴sinA，cosB，

22

∴∠A=60°，∠B=60°，

∴ABC是等邊三角形．

故答案為：等邊．

【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，非負數的性質，等邊三角形的判斷，解題關鍵是熟記特殊角的三

角函數值．

【變式4】（2022·貴州銅仁·統考二模）如圖，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O(0，

0)，點B(23，2)．D是邊BC上一點(不與點B重合)，過點D作DE∥OB交OC于點E．將該紙片沿DE

折疊，得點C的對應點C′．當點C′落在OB上時，點C′的坐標為________．

31

【答案】(,)

22

1

【分析】根據B點坐標可求出AB、OB，得到ABOB，所以AOB30，BOC60，再利用折疊與

2

1

平行的性質，證明△OEC′是等邊三角形，OE=CD=AB，然后可利用三角函數求出點C′的坐標．

2

【詳解】∵點B坐標為(23，2)，

∴AB=2，OA=23，

2

∴OB22234

1

∴ABOB

2

∴AOB30，BOC60

∵C′是C關于DE的對稱點

∴CEDCED，EC=EC′

∵DE∥OB

∴CEDEOC=60°

第8頁共77頁.

∴∠OEC′=180°-2×60°=60°

∴△OEC′是等邊三角形

11

∴OE=EC=EC′=AB=11

22

31

∴C′橫坐標=1sin60，縱坐標=1sin30

22

31

∴C′坐標為,

22

【點睛】本題考查了三角形，熟練運用特殊三角形的性質是解題的關鍵．

1

【變式5】．（2021·新疆烏魯木齊·校考三模）計算：()2tan452cos30|13|(20212021)0.

2

【答案】6

【分析】利用有理數的乘方法則，絕對值的意義，特殊角的三角函數值，零指數冪的意義化簡計算即可．

13

【詳解】解：原式=()22311

22

=43311

=6

【點睛】本題主要考查了實數的運算，有理數的乘方法則，絕對值的意義，特殊角的三角函數值，零指數

冪的意義，正確使用上述法則進行運算是解題的關鍵．

核心考點二由三角函數值求銳角

例1（2021·山東泰安·統考中考真題）如圖，在ABC中，AB6，以點A為圓心，3為半徑的圓與邊BC

相切于點D，與AC，AB分別交于點E和點G，點F是優弧GE上一點，CDE18，則GFE的度數是

（）

A．50°B．48°C．45°D．36°

【答案】B

第9頁共77頁.

【分析】連接AD，由切線性質可得∠ADB=∠ADC=90°，根據AB=2AD及銳角的三角函數可求得∠BAD=60°，

易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，則∠GAC=96°，根據圓周角定理即可求得∠GFE的度數．

【詳解】解：連接AD，則AD=AG=3，

∵BC與圓A相切于點D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

AD1

在Rt△ADB中，AB=6，則cos∠BAD==，

AB2

∴∠BAD=60°，

∵∠CDE=18°，

∴∠ADE=90°﹣18°=72°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，

∴∠GAC=36°+60°=96°，

1

∴∠GFE=∠GAC=48°，

2

故選：B．

【點睛】本題考查切線性質、銳角的三角函數、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理、圓周角定理，

熟練掌握切線性質和圓周角定理，利用特殊角的三角函數值求得∠BAD=60°是解答的關鍵．

例2．（2022·重慶·統考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BC2，以B為圓心，BC的長為

半徑畫弧，交AD于點E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結果保留π）

第10頁共77頁.

π

【答案】

3

【分析】先根據特殊角的銳角三角函數值，求出ABE，進而求出EBC，再根據扇形的面積公式求解即

可．

【詳解】解：∵矩形ABCD，

AABC90，

以B為圓心，BC的長為半輕畫弧，交AD于點E，BC2，

BEBC2，

在RtABE中，AB1，

AB1

cosABE，

BE2

ABE60，

EBC906030，

30π22π

S陰影．

3603

π

故答案為：．

3

【點睛】本題考查了由特殊角的三角函數值求角度數，矩形的性質，扇形的面積的計算，綜合掌握以上知

識點并熟練運用是解題的關鍵．

例3（2021·山東菏澤·統考中考真題）在矩形ABCD中，BC3CD，點E，F分別是邊AD、BC上的

動點，且AECF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．

（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PEPF；

（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；

（3）當AB5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．

10

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

3

【分析】（1）分別根據平行線的性質及折疊的性質即可證得∠DEF＝∠EFB，∠DEF＝∠HEF，由此等量

第11頁共77頁.

代換可得∠HEF＝∠EFB，進而可得PE＝PF；

（2）連接PM，ME，MF，先證RtPHM≌RtPBM（HL），可得∠EPM＝∠FPM，再證EPM≌FPM

（SAS），由此即可得證；

1

（3）連接AC，交EF于點O，連接OG，先證明EAO≌FCO（AAS），由此可得OC＝AC＝5，進而

2

根據折疊可得OG＝OC＝5，由此得到點G的運動軌跡為圓弧，再分別找到點G的起始點和終點便能求得

答案．

【詳解】（1）證明：∵在矩形ABCD中，

∴AD//BC，AB＝CD；

∴∠DEF＝∠EFB，

∵折疊，

∴∠DEF＝∠HEF，

∴∠HEF＝∠EFB，

∴PE＝PF；

（2）證明：連接PM，ME，MF，

∵在矩形ABCD中，

∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，

又∵AE＝CF，

∴AD－AE＝BC－CF，

即：DE＝BF，

∵折疊，

∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，

∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，

第12頁共77頁.

又∵由（1）得：PE＝PF，

∴PE－HE＝PF－BF，

即：PH＝PB，

在RtPHM與RtPBM中，

PHPB

，

PMPM

∴RtPHM≌RtPBM（HL），

∴∠EPM＝∠FPM，

在EPM與FPM中，

PEPF

EPMFPM，

PMPM

∴EPM≌FPM（SAS），

∴ME＝MF，

∴點M在線段EF的垂直平分線上；

（3）解：如圖，連接AC，交EF于點O，連接OG，

∵AB＝CD＝5，BC3CD，

∴BC＝53，

∴在RtABC中，AC＝AB2BC2＝10，

∵AD//BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在EAO與FCO中，

第13頁共77頁.

AECF

EAOFCO，

AOECOF

∴EAO≌FCO（AAS），

1

∴OA＝OC＝AC＝5，

2

又∵折疊，

∴OG＝OC＝5，

當點E與點A重合時，如圖所示，此時點F，點G均與點C重合，

當點E與AD的中點重合時，如圖所示，此時點G與點B重合，

∵O為定點，OG＝5為定值，

∴點G的運動路線為以點O為圓心，5為半徑的圓弧，且圓心角為∠BOC，

BC

在RtABC中，tan∠BAC＝＝3，

AB

∴∠BAC＝60°，

∵OA＝OB＝OC＝OG，

∴點A、B、C、G在以點O為圓心，5為半徑的圓上，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

120510

∴BC的長為＝，

1803

第14頁共77頁.

10

∴點G運動的路線長為．

3

【點睛】本題考查了矩形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定及性質、圓的相關概念及性質，弧長公

式的應用，第（3）問能夠發現OG＝5是解決本題的關鍵．

【變式1】（2022·山東濱州·統考一模）如圖，在半徑為6的⊙O中，點A是劣弧BC的中點，點D是優弧BC

1

上一點，sinD=,則BC的長為（）

2

79

A．63B．43C．3D．3

32

【答案】A

【分析】設BC與OA交于E點，根據點A是劣弧BC的中點，得到AC=AB，繼而得到∠COA=∠AOB，

1

根據sinD，得出銳角∠D=30°，再同一段弧其所對圓心角是其所對應圓周角的兩倍，得到∠COA=2∠D，

2

∠COA=60°=∠AOB，再得到∠OCB=∠OBC=30°，因為∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，可知△OEC是直

角三角形，利用特殊角即可求出CE，再同理求出BE，即可求出BC．

【詳解】設BC與OA交于E點，

∵點A是劣弧BC的中點，

∴AC=AB，

∴圓心角∠COA=∠AOB，

第15頁共77頁.

1

∵sinD，

2

∴銳角∠D=30°，

∵同一段弧其所對圓心角是其所對應圓周角的兩倍，即∠COA=2∠D，

∴∠COA=60°=∠AOB，

又∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC=30°，

∴∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，即△OEC是直角三角形，

∵OC=6，∠OCB=∠OBC=30°，

3

∴CE=OC=33，

2

同理可求出BE=33，

∴BC=CE+EB=63，

故選：A．

1

【點睛】本題考查了銳角三角函數、圓心角與圓周角的關系、解直角三角形等知識．依據sinD得到

2

∠D=30°再得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB是解答本題的關鍵．

【變式2】（2022·山東·統考二模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB1,BC3，點P是AD邊上的一個

動點，連結BP，點C關于直線BP的對稱點為C1，當點P運動時，點C1也隨之運動．若點P從點A運動到

點D，則線段CC1掃過的區域的面積是（）

3333

A．B．C．D．2

42

【答案】B

【分析】先判斷出點Q在以BC為直徑的圓弧上運動，再判斷出點C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上

運動，找到當點P與點A重合時，點P與點D重合時，點C1運動的位置，利用扇形的面積公式及三角形

的面積公式求解即可．

【詳解】解：設BP與CC1相交于Q，則∠BQC=90°，

第16頁共77頁.

∴當點P在線段AD運動時，點Q在以BC為直徑的圓弧上運動，

延長CB到E，使BE=BC，連接EC，

∵C、C1關于PB對稱，

∴∠EC1C=∠BQC=90°，

∴點C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上運動，

當點P與點A重合時，點C1與點E重合，

當點P與點D重合時，點C1與點F重合，

PCAB13

此時，tanPBC，

BCBC33

∴∠PBC=30°，

133

∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=BC，BQ=3CQ，

222

13333

∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，SCCBQ，

BCF21224

2

線段掃過的區域的面積是120333．

CC1S

360BCF4

故選：B．

【點睛】本題考查了矩形的性質、三角形中位線定理、直角三角形的性質、三角函數以及扇形面積公式等

知識；熟練掌握矩形的性質和軸對稱的性質是解題的關鍵．

第17頁共77頁.

【變式3】（2021·貴州遵義·統考一模）在綜合實踐課上，某學習小組要測量塔的高度，在測量過程中，結

合圖形進行了操作（如圖所示）．在塔AB前的平地上選擇一點C，測出塔頂的仰角為30°，從C點向塔底

B走80m到達D點，測出塔頂的仰角為45°，那么塔AB的高為____________m（計算結果精確到0.1m，參

考數據：21.41，31.73）．

【答案】109.2

ABAB

【分析】在Rt△ABD中，BD，在Rt△ABC中，BC，再根據CD=BC-BD=80即可

tanADBtanACB

求解．

【詳解】根據題意可知AB⊥BC，

AB

∴在Rt△ABD中，BD，

tanADB

AB

在Rt△ABC中，BC，

tanACB

∵∠ADB=45°，∠ACB=30°，

ABABABAB

∴BDAB，BC3AB，

tan∠ADBtan∠45otan∠ACBtan∠30o

∵CD=80，

∴CD=BC-BD=3ABAB80，

80

∴AB40340401.7340109.2（m），

31

故塔高109.2米，

故答案為：109.2．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，理解仰角的含義并熟記特殊角的三角函數值是解答本題的關鍵．

【變式4】．（2022·吉林長春·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，連結AO，過點A

作ABx軸于點B，AB3，OB1，把ABO繞點O逆時針旋轉120后，得到A1B1O，則點A1的坐標

為______．

第18頁共77頁.

【答案】(2,0)

【分析】根據勾股定理可得OA，根據特殊三角比求出∠AOB=60°，可知△ABO繞點O逆時針旋轉120后

OA的對應邊OA1位于x軸上，繼而可得答案．

【詳解】解：∵ABx軸于點B，AB3，OB1，

AB2

∴tanAOB3，OAOB2AB21232

OB

∴AOB60，

∴把ABO繞點O逆時針旋轉120后，得到如下圖A1B1O，

∵OA2，

∴OA1OA2，

∴點A1的坐標為(2,0)，

故答案為：（-2，0）

【點睛】本題主要考查旋轉變換下坐標與圖形的變化，解直角三角形得出OA的長是解題的根本，根據△ABO

繞點O逆時針旋轉120°后OA的對應邊OA1位于x軸上是解題的關鍵．

【變式5】（2022·重慶·重慶八中校考模擬預測）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30方向，距離小島20

千米的點A處，它沿著點A的南偏東15的方向航行．

第19頁共77頁.

(1)漁船航行多遠距離小島B最近（結果保留根號）？

(2)漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續航行106千米到點C處時突然發生事故，漁船馬上向小島

B上的救援隊求救，問救援隊從B處出發沿著哪個方向航行到達事故地點航程最短，最短航程是多少．（結

果精確到1千米，參考數據21.41,31.73,62.45）

【答案】(1)102km；

(2)從B處沿南偏東45出發，最短行程202km．

【分析】（1）過B點作AC的垂線BD交AC于點D，則AD為所求，根據已知條件得到BAD45即可解

答；

（2）根據特殊角的銳角三角函數值得到C30，DBC60，從而求出BC的長度，再求出DBE的度

數，即可得到EBC的度數．

【詳解】（1）解：過B點作AC的垂線BD交AC于點D，

∵垂線段最短，AC上的D點距離B點最近，AD即為所求，

由題意可知：BAF30，CAF15，

2

∴BAD45,ADBDABsin4520102km，

2

∴漁船航行102km時，距離小島B最近．

第20頁共77頁.

BD1023

（2）解：在RtBDC中，tanC，

DC1063

C30，DBC60，

BD

BC202km，

sin30

∵ABD45，ABE903060，

DBE15，

EBCDBCDBE45o．

答：從B處沿南偏東45出發，最短行程202km．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用中的方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三角形的相

關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想．

核心考點三銳角三角函數的增減性

例1（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂L1Lcos，阻力臂L2lcos，

如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（）

A．越來越小B．不變C．越來越大D．無法確定

第21頁共77頁.

【答案】A

【分析】根據杠桿原理及cos的值隨著的減小而增大結合反比例函數的增減性即可求得答案．

【詳解】解：∵動力×動力臂=阻力×阻力臂，

∴當阻力及阻力臂不變時，動力×動力臂為定值，且定值＞0，

∴動力隨著動力臂的增大而減小，

∵杠桿向下運動時的度數越來越小，此時cos的值越來越大，

又∵動力臂L1Lcos，

∴此時動力臂也越來越大，

∴此時的動力越來越小，

故選：A．

【點睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數和反比例函數的增減性，熟練掌握相關知識是解決本

題的關鍵．

例2（2022·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD

上一點，若AC45，OE2，則AB的最大值為__________．

【答案】4

ABABOF

【分析】設ACB，則OAE，根據sin，sin，根據正弦的增減性可得，當OF

AC45AO

最大值，AB取得最大值，進而即可求解．

【詳解】設ACB，則OAE，

ABAB

則sin

AC45

OF

過點OFAD，則sin

AO

OE2，當E點與F點重合時，OF取得最大值，此時最大，則sin最大，即AB取得最大值，

2AB

此時，AB4

2545

第22頁共77頁.

AB的最大值為4

故答案為：4

【點睛】本題考查了矩形的性質，正弦的增減性，掌握三角函數的關系，矩形的性質是解題的關鍵．

例3（2021·浙江寧波·統考一模）如圖是某公園的一臺滑梯，滑梯著地點B與梯架之間的距離BC4m．

（1）現在某一時刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m，滑梯最高處A在陽光下的影長為1m，

求滑梯的高AC；

（2）若規定滑梯的傾斜角（ABC）不超過30°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

【答案】（1）2米；（2）符合

【分析】（1）利用影長物高成比例求解即可；

（2）先求出銳角三角函數值，再利用銳角三角函數值求出角的范圍即可．

AC1.8

【詳解】解：（1），

10.9

AC2m，

答：滑梯高AC為2米；

（2）∵AC=2m,BC=4m，

AC213

∴tanABCtan30，

BC423

∵正切值隨著角的增大函數值增大，

ABC30，

這架滑梯的傾斜角符合安全要求．

【點睛】本題考查影長物高成比例性質，正切三角函數的定義，及正切函數的增減性，掌握影長物高成比

例性質，正切三角函數的定義，及正切函數的增減性是解題關鍵．

第23頁共77頁.

1.三角函數值的變化規律

①當角度A在0°—90°間變化時，正弦值和正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）

②當角度A在0°—90°間變化時，余弦值和余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）。

【變式1】（2020·甘肅張掖·統考模擬預測）若090，則下列說法不正確的是（）

A．sin隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大

D．0<sin<1

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的O,CDEF，CD,EF均為直徑，BHOC,AGOC,A,B都在O上，利

用銳角三角函數的定義分析可得答案．

【詳解】解：如圖，作半徑為1的O,CDEF，CD,EF均為直徑，BHOC,AGOC,

A,B都在O上，

OAOB1,

BHAG

由sinBOHBH,sinAOGAG,

OBOA

顯然，BOH＜AOG，而BH＜AG，

所以當090時，sin隨的增大而增大，故A正確；

同理可得：

第24頁共77頁.

當090時，cos隨的減小而增大，故B錯誤；

當090時，tan隨的增大而增大，故C正確；

當AOG，當點A逐漸向F移動，邊AG逐漸接近OA，

AG

sinsinAOG逐漸接近1.

OA

當090時，0<sin<1，故D正確；

故選B．

【點睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數的增減性是

解題的關鍵．

【變式2】．（2022·上海·校考模擬預測）如果銳角A的度數是25°，那么下列結論中正確的是（）

13

A．0sinAB．0cosA

22

3

C．tanA1D．1cotA3

3

【答案】A

【分析】根據“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．

【詳解】解：∵0°＜25°＜30°

1

∴0sin25

2

1

∴0sinA．

2

故選A．

【點睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當角度在0°~90°間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或

減小）而增大（或減小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）；③正切值隨著角度的

增大（或減小）而增大（或減小）．

【變式3】（2020·內蒙古·統考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數定義為_____，

寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關系__________．

AC

【答案】cosA=sin70o＞cos40o＞cos50o

AB

【分析】根據余弦的定義即可確定答案；根據sin70°=cos20°且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增

大而減小即可確定大小關系．

【詳解】解：∵直角三角形ABC中，角C為直角

∴BC為斜邊，AC為直角邊且為∠A的一邊

第25頁共77頁.

AC

∴余弦的定義為cosA=；

AB

∵sin70°=cos20°且正弦在銳角范圍內隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內隨角度的增大而減小

∴sin70o==cos20o＞cos40o，cos40o＞cos50o

∴sin70o＞cos40o＞cos50o．

AC

故答案為cosA=，sin70o＞cos40o＞cos50o．

AB

【點睛】本題考查了余弦函數的定義和正弦、余弦函數的增減性，掌握正弦在銳角范圍內為增函數

、余弦在銳角范圍內為減函數是解答本題的關鍵．

【變式4】（2022·江蘇宿遷·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A0,3，點O平分BC，BC23，

點E、D分別在BA、CA上運動，且AECD，連接CE、BD交于點P，點F23,1，連接PF，則PFC

度數的最大值為__________．

【答案】30°##30度

【分析】根據已知條件證明△AEC≌△CDB，BPC120，求得點P的軌跡，延長FC交y軸于點Q，以

Q為圓心，QC為半徑作圓，交y軸于點M，連接FM，過點QNFP，交FP的延長線于點N，連接

OB,OB,OP，根據正弦的增減性判斷當PF與Q相切時候，PFC度數最大．

【詳解】點A0,3，點O平分BC，BC23，

OBOC3，

AOBC，

ABAC，

在RtAOC中，AO3,OC3，

AO3

tanACO3，

OC3

ACO60=BAC，

ABC是等邊三角形，

第26頁共77頁.

ACBC，

在△AEC與△CDB中，

AECD

EACDCB，

ACBC

AEC≌CDB，

ACEDBC，

ACEECB60，

DBCECBACEECB60，

BPC120，

延長FC交y軸于點Q，以Q為圓心，QC為半徑作圓，交y軸于點M，連接FM，過點Q作QNFP，交

FP的延長線于點N，連接OB,OP，如圖，

F23,1,C3,0，

設直線FC的解析式為ykxb，

23kb1

則，

3kb0

3

k

解的3，

b1

Q0,1，

OC

tanOQC3，

OQ

第27頁共77頁.

OQC60，

BQC120，

優弧BC=240，

BPC120，

P在Q上，

NQ

設CFP，則sin，

QF

NQ

QF為定值，sin隨著QN的增大而增大，即最大時，QN最大，

QF

當QNQM取得最大值，

此時PF與O相切，

90OQF30，

即PFC度數的最大值為30．

故答案為：30．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，圓周角定理，切線的性質，正弦的增減性，求得點P的軌跡是解

題的關鍵．

【變式5】（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，已知ABC和射線BD上一點P（點P與點B不重合），

且點P到BA、BC的距離為PE、PF．

(1)若EBP40，FBP20，PBm，試比較PE、PF的大小；

(2)若EBP，FBP，，都是銳角，且．試判斷PE、PF的大小，并給出證明．

【答案】(1)PEPF

(2)PEPF，理由見解析

【分析】（1）根據三角函數的定義，分別表示出PE,PF，進而根據角度比較函數值的大小即可求解；

（2）同（1）的方法，即可求解．

第28頁共77頁.

PE

【詳解】（1）解：在Rt△BPE中，sinEBPsin40，

BP

PEBPsin40，

PF

在RtBPF中，sinFBP